权重的确定方法

权重的确定方法
权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言。

某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。

在模糊决策中，权重至关重要，他反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位和所起的作用，直接影响决策的结果。

通常是根据经验给出权重，不可否认这在一定程度上能反映实际情况，但凭经验给出的权重有时不能客观的反映实际情况，导致评判结果“失真”。

比较客观的权重的判定方法有如下几种：
1.确定权重的统计方法
1.1专家估测法
该法又分为平均型、极端型和缓和型。

主要根据专家对指标的重要性打分来定权，重要性得分越高，权数越大。

优点是集中了众多专家的意见，缺点是通过打分直接给出各指标权重而难以保持权重的合理性。

设因素集U={n u u u ,...,2,1},现有k 个专家各自独立的给出各个因素i u （i=1,2,...,n ）的权重，
∑==k j ij i a k a 11（i=1,2,...,n ），即)1,...,1,1(1
1211∑∑∑====k
j nj k j j k j j a k a k a k A 。

1.2加权统计方法
当专家人数k<30人时，可用加权统计方法计算权重。

按公式i
s
i i k x w a ∑==1计算（其中s 为序号数）然后可得权重A 。

1.3频数统计方法
由所有专家独立给出的各个因素的权重，得到权重分配表，对各个因素i u （i=1,2,...,n ）进行但因素的权重统计实验，步骤如下：
第一步：对因素i u （i=1,2,...,n ）在它的权重ij a （j=1,2,...,k)中找出最大值i M 和最小值i m , 即{}ij k j i a M ≤≤=1max ,{}
ij k j i a m ≤≤=1min . 第二步;适当选取整数p,利用公式p
m M i i -计算出权重分为p 组的组距,并将权重从小到大分 为p 组.
第三步:计算出落在每组内权重的频数和频率.
第四步:根据频数和频率的分布请况,取最大频率所在分组的组中值为因素i u 的权重i a （i=1,2,...,n ）,从而得权重A=(n a a a ,...,,21).
1.4因子分析权重法
根据数理统计中因子分析方法，对每个指标计算共性因子的累积贡献率来定权。

累积贡献率越大，说明该指标对共性因子的作用越大，所定权数也越大。

1.5信息量权数法
根据各评价指标包含的分辨信息来确定权数。

采用变异系数法，变异系数越大，所赋的
权数也越大。

计算各指标的变异系数，将CV 作为权重分值，再经归一化处理，得信息量权重系数。

1.6独立性权数法
利用数理统计学中多元回归方法，计算复相关系数来定权的，复相关系数越大，所赋的权数越大。

计算每项指标与其它指标的复相关系数，计算公式为， ∑∑∑----=22)ˆ()()ˆ)((y y y y y y
y y R
R 越大，重复信息越多，权重应越小。

取复相关系数的倒数作为得分，再经归一化处理得权重系数。

1.7主成份分析法
一种多元分析法。

它从所研究的全部指标中，通过探讨相关的内部依赖结构，将有关主要信息集中在几个主成分上，再现指标与主成分的关系，指标Xj 的权数为：wj=dj ·bij ∑mj=1dj ·bij, 其中bij 为第i 个主成分与第j 个因素间的系数，di=λi/Σλk 为贡献率。

2.层次分析法
层次分析是一种决策分析的方法。

它结合了定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。

2.1建立递阶层次结构
层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线连接。

第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层叫做方案层。

如果有次级标准还可以增加次准则层等.
2.2构造两两比较判断矩阵
为了把这种定性分析的结果量化，20世纪70年代，美国数学家 Saaty 等人首先在层次分析中引入了九级比例标度和两两比较矩阵。

两个元素相互比较时，以其中一个元素作为1(如ui)，如果相对上一层,ui 与uj 比较,好坏相同，则uj 记为1；uj 比 ui 较好, uj 记为3;uj 比ui 好,uj 记为5；uj 比ui 明显好，uj 记为7;如果uj 比ui 好的多，则uj 记为9; 2, 4, 6, 8则是介于1,3,5,7,9之间的情况。

把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一行则可得到一个方阵A=(aij)n ×n ，称为两两比较矩阵。

设ui 与uj 比为aij ，则uj 与ui 比应为aji=1/aij , 所以两两比较矩阵A 也称为正互反矩阵。

如例1 建立层次分析模型
2.3由判断矩阵计算元素对于上层支配元素的权重（或排序）
用判断矩阵求权重的方法有很多种，下面介绍三种方法：
1. 和法
2. 最小夹角法
3. 特征向量法
2.4判断矩阵的一致性检验
但在实际问题中很难使A 满足一致性。

虽然AHP 并不要求判断矩阵具有完全的一致性，但是偏离一致性要求过大的判断矩阵所作出的最终决策也会于实际情况偏差太大，因此有必要对判断矩阵进行一致性检验。

2.5计算最底层元素对目标的权重
3.模糊关系方程法：
求解模糊关系方程X n ⨯1m m n B R ⨯⨯=1ο，实质上是求权重分配。

（1） 求最大解：将B 排到R 的上方，依次以B 和R 的各行进行比较，分别按下列公式
计算：x ={}n j r b b kj j j ,,2,1,Λ=<∧，并约定∧∅=1，称x =（n x x x Λ,,21）为方程的最大解。

（2） 判断解的存在性：首先，用b j “平铣”R 的第j 列：若r j kj b ≥，则用b j 代替r kj ，
反之，用0代替r kj ，k=1，2，n ,Λ；j=m ,,2,1Λ，“平铣”后的矩阵记为R 1，并将最大解x 列在R 1的右侧；其次，在R 1中依行删去大于最大解的元素，所得矩阵记为R 2。

（3） 求极小解：从第1列到第m 列的没列任取一非零元素，对所有这些非零元素按行
取最大值，并约定0=∅∨。

由此所得一个模糊向量称为方程的一个极小解。

对极
小解x=()n x x x Λ,,21，若存在另一个极小解x ()
''2'1',,n x x x Λ=，使x 'x ≤，则表明x 不是极小解，从方程的全部拟极小解中删去非极小解，所剩的每一个向量都是极小解。

（4） 构造解集：最大解为x =（n x x x Λ,,21），拟极小解为x '=()n x x x Λ,,21
x "=()n x x x Λ,,21，,Λ x k =()n x x x Λ,,21 ，利用居卡莫特法构造方程的解X 1，k X X ,,2Λ，则方程的解集为k X X X =Y ΛY Y 21χ（k n ≤）。