波的叠加
波的叠加 波的干涉
几个波相遇后，并不改变各自的原有 特征（波长、频率、 振动方向等）而继续向前传播。就好象没有与其它波相遇一 样。
2、波的叠加原理 (superposition principle of wave)
在相遇区域内，任一质点的振动是这几个波单独在该点 引起的振动的合成。即任一时刻，各质点的位移是各波在该点 引起位移的矢量和。
S1
r1
r2
P
2
P点处质点的振动位移
y y1 y2 A cos( t )
2
S2
2 A A1 A2 2 A1 A2 cos
2 A1 A2 2 A1 A2 cos 2 1 2 2
0
0
r2 r1
I A2
I I1 I 2 2 I1 I 2 cos
相干波(coherent wave)
（1）振动方向相同（不垂直）
相干波源 （2）频率相同 （3）相位差恒定
两个相干波发生干涉时， 振动加强（减弱）的条件？
水波干涉图样
二、波的干涉(interference of waves)
两个相干波发生干涉时，振动加强（减弱）的条件？
r1
S1
P
S1：
S2：
y (t ) A10 cos( t 10 )
r1 y1 r , t A1 cos[ 1(t ) 10 ] u yr, t y1 (r, t ) y2 (r, t ) r2 y2 r , t A2 cos[ 2 (t ) 2 0 ] u
二、波的干涉
两列波在空间相遇，如果叠加的结果是有的地 方的强度始终加强、有的地方的强度始终减弱，即强 度在空间有一个稳定的分布。
波的叠加与波的干涉
波的叠加与波的干涉波动现象是自然界中常见的一种物理现象，而波的叠加与波的干涉是波动现象中重要的两种基本形式。
本文将深入探讨波的叠加与波的干涉的原理、特点以及应用。
一、波的叠加波的叠加是指两个或多个波在空间和时间上交叠形成新波的现象。
它遵循以下原理：1. 波的叠加原理：当两个或多个波同时到达同一位置时，它们会按照线性叠加的原理相互影响，形成一个新的合成波。
合成波的振幅等于各个波的振幅的矢量和。
2. 波的叠加干涉：当两个具有相同频率的波相遇时，它们的振幅可能增强或减弱，这种现象被称为干涉。
当两个波的振幅相加时，称为正向干涉；当两个波的振幅相减时，称为负向干涉。
波的叠加在日常生活和科学研究中都有广泛的应用，例如水波、声波、光波等的叠加现象可以解释波浪的形成、音乐声音的合成以及干涉仪等光学仪器的工作原理。
二、波的干涉波动现象中的另一种重要形式是波的干涉。
波的干涉是指两个或多个波在空间和时间上重叠形成新波时产生的干涉现象。
波的干涉有以下特点：1. 干涉现象是波的性质之一：只有波动物体才能产生干涉现象，如水波、声波、光波等。
因此，波动物体是干涉现象的基础。
2. 干涉效应的强弱取决于波的相位：当两个波的相位差为整数倍的关系时，波的干涉效应会增强，这被称为构造性干涉；而当相位差为半整数倍的关系时，波的干涉效应会减弱，这被称为破坏性干涉。
波的干涉不仅有理论意义，而且在科学研究和工程领域也有广泛的应用。
例如，干涉仪可以用于测量光的波长和薄膜的厚度，这对材料科学和光学技术的研究起到了重要的推动作用。
三、波的叠加与波的干涉的应用波的叠加与波的干涉在许多领域都有实际应用价值。
1. 光学应用：干涉仪是一种重要的光学仪器，可以用于测量光的波长、薄膜的厚度以及空气的折射率等。
干涉现象也是光的衍射和散射的原理，这些原理在显微镜、望远镜、激光等光学仪器和光学科学研究中都有广泛的应用。
2. 声学应用：干涉现象也存在于声学领域，例如声音的叠加与干涉可以用于音乐声波合成、混音等方面。
波的叠加原理-全文可读
率和波数分别为
波速
群速度
两个频率相近 、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为 ，波数为 ,波
速为
。它的振幅的变化也像一个传播的波,
它的角频率为 , 波数为 ,波速为
。
上述讨论的合成波称为波包。
3. 驻波
驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直 线上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
P
S1和S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为 :
波的干涉
P点的合方程为 :
振幅A和相位
f0
对于P点
为恒量，
因此A也是恒量 ，并与P点空间位置
A=A A（合振幅最大）
.当
时，得
（合振幅最小）
当 为其他值时 ，合振幅介于
和
之间
若f 10=f 20，上述条件简化为：
（合振幅最大） （合振幅最小）
波的干涉
干涉现象的强度分布
波的干涉
例题16- 10 试计算并分析两个频率相近 、振幅相等 、 同方向振 动的简谐波的叠加。
解 波动方式： 叠加后得到
y
x
波的干涉
y
令
或。
或
变化缓慢（对应包络曲线）
x
波的干涉
把
看成是一个角频率为 、波数为
的波 ，这个波的速度为：
相速度
Am (x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频
波的干涉
波程差 两列相干波源为同相位时 ，在两列波的叠加的区 域内 ，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点 ，振 幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点 ，振幅 最小。 因
若I 1=I2，叠加后波的强度：
波的叠加与波的合成
波的叠加与波的合成波是物质或能量的传播形式，我们生活中的许多现象都与波有关。
在物理学中，波的叠加与波的合成是一个重要的概念，它们可以帮助我们理解波的性质和相互作用。
一、波的叠加波的叠加是指两个或多个波在同一时刻、同一地点相遇而形成的现象。
根据波的性质，波的叠加可以表现出不同的特点。
1.相干叠加相干叠加是指两个或多个波的幅度和相位相同或相差恒定的叠加。
在相干叠加中，波的幅度可以相互增强，也可以相互减弱，形成更大或更小的振幅。
这种叠加现象可以通过实验观察到干涉条纹的形成。
2.不相干叠加不相干叠加是指两个或多个波的相位差是无规律的、随机的叠加。
在不相干叠加中，波的幅度无法相互增强或减弱，而是呈现出平均效果。
这种叠加现象可以通过实验观察到光的散射现象。
二、波的合成波的合成是指两个或多个波相互叠加形成一个新的波的现象。
根据波的性质和传播介质的不同，波的合成可以表现出不同的方式。
1.同向运动波的合成当两个或多个同向运动的波相互叠加时，它们的振幅将直接相加，形成一个更大或更小的振幅。
这种合成现象可以在声音波和水波中观察到。
2.反向运动波的合成当两个或多个反向运动的波相互叠加时，它们的振幅将相互抵消，形成一个更小或完全消失的振幅。
这种合成现象可以在声音波和光波中观察到。
三、波的干涉和破坏波的干涉和破坏是波的叠加和合成中的一种特殊现象。
它们直接涉及到相位差，决定了波的叠加效果。
1.干涉干涉是指两个或多个波相遇时，由于波的相位差的不同而产生的叠加效果。
根据相位差的不同，干涉可以分为构成干涉和破坏干涉。
构成干涉是指相位差相同或相差λ的波相遇叠加形成增强的干涉条纹，如光的干涉。
破坏干涉是指相位差相差½λ的波相遇叠加形成减弱或完全消失的干涉条纹，如声音的破坏干涉。
2.破坏破坏是指两个或多个波完全抵消，导致干涉条纹消失的现象。
在破坏中，波的振幅相互消除，不再发生叠加，从而形成空白区域。
这种现象可以通过实验观察到光的破坏干涉，如干涉仪的操作。
5-(4)波的叠加
引：
声波的叠加 一般而言，波的叠加较复杂 y x
15 – 8
一、波的叠加原理
多普勒效应
第十五章 机械波
1、波的独立传播特性：当媒质中有几个波同时传播 时，各个波的振幅、波长、频率、振动方向以及传 播方向等特性并不因存在其它波而改变，表现出各 自独立传播的性质。 2、波的叠加原理：当几列波在媒质中相遇时，相遇 处质点的振动将是各个波单独引起的分振动的合成。
S2
2p
10m
4 cos(100t 6 ) 4 cos(100t )
200
y p y1 p y2 p A cos(100πt ) cos(100t )m
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos 52 42 2 5 4 cos 1m
15 – 8
讨论
多普勒效应
第十五章 机械波
(4) 非相干叠加 点P的两个分振动
y p y 1p y 2p
1 r2 y2 p A2 cos( 2 t 2 2 π ) 2
y1 p A1 cos(1t 1 2 π
r1
)
第十五章 机械波 15 例18如图所示，A、B两点为同一介质中两相干波源。 – 多普勒效应
(2)
振动始终加强 振动始终减弱
( 2k 1) π k 0,1,2,
A A1 A2
其他
A1 A2 A A1 A2
15 – 8
讨论
(3) 若
2 多普勒效应A22 2 A1 A2 cos 第十五章 A A1
机械波
则 2 π
常量
了解波的叠加与相干性
了解波的叠加与相干性波的叠加与相干性是物理学中一个重要的概念，在光学、声学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍波的叠加和相干性的基本原理和特点，以及它们在实际应用中的一些重要影响。
一、波的叠加波的叠加是指当两个或多个波同时传播到同一空间时，它们会相互叠加，形成新的波形态。
根据叠加原理，波的叠加可以分为两种情况：1. 线性叠加：当两个波的振幅叠加时，其结果是简单地将两个波的振幅相加，并保持相位不变。
这意味着，如果两个波的相位相同时，它们会增强；如果两个波的相位相差180度（即相位相反），它们会相互抵消。
这种叠加现象在光的干涉和声音的叠加中都有重要应用。
2. 非线性叠加：当波之间存在非线性关系时，其叠加结果不再满足线性叠加原理。
在非线性叠加情况下，波的振幅可能会发生变化，并且可能会产生新的频率成分。
非线性叠加在一些特殊情况下出现，例如在强光下的光学材料中，会发生光学非线性效应。
波的叠加现象在日常生活中有很多实例，比如两个水波在池塘中相遇时产生的波纹叠加效应、多个声源同时发出声音时形成的声音混响等。
二、波的相干性波的相干性是指两个或多个波之间存在稳定的相位关系。
具体而言，波的相干性可以分为两种情况：1. 完全相干：当两个波的相位差为常数时，它们称为完全相干波。
在这种情况下，波的相位关系保持不变，并且它们的叠加结果具有明显的干涉效应。
完全相干波的干涉现象在光的干涉和干涉仪的实验中经常出现。
2. 部分相干：当两个波的相位差随时间变化时，它们称为部分相干波。
在这种情况下，波的相位关系是随机的，并且它们的叠加结果往往无规律可循。
部分相干波的叠加现象在光的散射、声音的多普勒效应等实际场景中都有应用。
由于波的相干性直接影响波的叠加效应，因此它在很多领域都具有重要的应用价值。
例如，光的干涉和衍射是基于波的相干性原理设计的激光干涉仪、光栅等光学器件。
三、波的叠加与相干性的应用1. 光学领域：在光学中，波的叠加和相干性是很重要的概念。
波的叠加原理
y1 A1 cos w t + ( j 1
y2合振A动2 c的os振w幅t + ( j 2
相干振动合成
A1
A
A2
2pr1 )
l
2pr2 )
l
合振动
y y1 + y2
A cos (w t + j )
A
A12 A22
2 A1 A2 cos ( j 2 j 1
2p
r2
l
r1
)
j
A1 sin( j 1 合振动的初A1相c位os ( j 1
则合成振动 的振幅最小
)时
波程差为半波长的奇数倍时， 各质点的振幅最小，干涉相消。
波的干涉:
在两相干波的交叠区域内，有的 地方振动始终加强，有的地方振动始终 削弱，而其它位置的振动的强弱介乎二 者之间，形成振动强弱稳定分布的叠加 现象，称为波的干涉现象。
总结：波的干涉
(1) 相干波源的条件 ①频率相同; ②振动方向相同; ③相位差恒定。
能产生干涉现象的波称为相干波.
2. 波的干涉:
在两相干波的交叠区域内，有的地方振动始终加强，有 的地方振动始终削弱，而其它位置的振动的强弱介乎二者之 间，形成振动强弱稳定分布的叠加现象，称为波的干涉现象
3. 两列相干波的叠加：
两相干波源的振动方程:
y10 A1 cos (w t + j 1) y20 A2 cos (w t + j 2)
一 驻波的产生
驻波
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
二 驻波方程
波的叠加
k 0,1,2,3,... 干涉相长
k 0,1,2,3,... 干涉相消
初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的 区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动 的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数 倍时合振幅最小，干涉相消。
r1 r2 (2k 1) , 2
相对于介质，波源不动，观察者在运动。 u vR u vR ' vs 0, vR 0 u vS u u vR ' 观察者背着波源运动， vR 0 u u vR ' 观察者向着波源运动， vR 0 u
Vs 表示波源相对于介质的运动速度。
u 声波的速度—只与介质性质有关，与波 源、观 察者运动无关。
(1)考虑波源(声源)的运动 声源以速度VS运动，在一个 周期T内由S点运动到S’点。
S
v sT
S'
uT
A
x
因为声速和声源的运动无关，S’和A两个振动状 态相同（同相）。 这相当于把声源静止时的波长，由于声源的运动 而被压缩在S’A之间了，
二、波的干涉
1.波的干涉现象 频率相同、振动方向相同、有恒定位相差的两 列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点 振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它 位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称这 种稳定的叠加图样为干涉现象。
源满 2.相干条件 称足 为相 1.两列波振动方向相同； 相干 干条 波件 2.两列波频率相同； 源的 3.两列波有稳定的相位差。 。 波
u vs vs T v v u vs v
波长变为：
uT
S
Vs VsT
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此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射
时波的强度不变）。求：（1）反射波的波动方程；
（2）在x=6m处介质质元的振动方程；（3）在区
间0<x<7m，干涉相消点的位置。
解: (1)O点 y入O Acos(10t )
y反
Acos[10 (t
Acos[10 (t
14 x)
x
20
)
7
当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射 时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。
当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射 时，无半波损失，界面处出现波腹。
例：如图所示，有一沿X轴正向传 播的平面简谐波，其波动方程为：
y1
y1
A c os [10
(t
x) 20
](SI )
O
y2 7 x(m)
察者运动无关。
(1)考虑波源(声源)的运动 S
S' A
声源以速度VS运动，在一个 vsT
x
周期T内由S点运动到S’点。
uT
因为声速和声源的运动无关，S’和A两个振动状态
相同（同相）。
这相当于把声源静止时的波长，由于声源的运动 而被压缩在S’A之间了，
波长变为：
vsT
u v
vs v
u vs v
u vS
一般情况下，波源和观察者的运动不在两者的
连线上，此时多普勒公式中的VR、 VS只要换成波源 与观察者的速度在连线上的分量就可以了。
2
2
r2 )
A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
下面讨论干涉现象中的强度分布 S2 在 P 点的合成振动为：
r2
p
y y1 y2 Acos(t )
S1
r1
A A12 A22 2A1A2 cos
(2
1 )
2
(r2
r1)
由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动
波件
源的
3.两列波有稳定的相位差。 。 波
3.干涉加强、减弱条件
设有两个频率相同的波源 S1和 S2 ，其振动表达式为：
y10 A10 cos(t 1)
P
y20 A20 cos(t 2 )
r1
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为：
y1
A1
cos(t
1
2
r1 )
S1 S2
y2
A2
cos(t
]
]
20
(2)在x=6m处介质质元的振动方程
y6
A c os (10t
6
2
)
A c os (10t
6
2
7 )
即：y6 2Acos(10t)
(3)因为在x=7m处为波密反射点，该处为波节点。
因为两相邻波节之间的间隔为/2 。
uT 20 2 40 4(m) y1
10
O
所以在0<x<7m区间的干涉相消点为：
时，式中VR、 VS以负值代入。
讨论：
• 相对于介质，波源和观察者都不动的情况
vs 0, vR 0
' u vR
u vS
观察者所接收到的频率就是波源的频率。
• 相对于介质，波源不动，观察者在运动。
vs 0, vR 0
' u vR u vR
u vS
u
观察者背着波源运动，vR
称
r1 r2 k, k 0,1,2,3,... 干涉相长
r1
r2
(2k
1)
2
,
k 0,1,2,3,... 干涉相消
为 波 程 差
初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的
区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动
的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数
倍时合振幅最小，干涉相消。
2k 加强 干涉加强减弱条件：
约定
当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者 听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当 火车离开站台，听到的笛声频率降低。
假设声源与观察者在同一直线上运动。
取波动从波源传向观察者的方向为X轴的正方向。
VR 表示观察者相对于介质的运动速度。
Vs 表示波源相对于介质的运动速度。 u 声波的速度—只与介质性质有关，与波 源、观
(2k 1) 减弱
例：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率 =100Hz， 波速 u =10 m/s，AB=，求：P 点振动情况。
解： rA 15m
P
rB 15 2 20 2
u 10 0.1m 15m
rB
100
A 20m B
B
A
2
rB
rA
200
201
P点干涉减弱。
例2：两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同，它 们相距 3 / 2，由 P、Q 发出频率为 ，波长为的 两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求：①自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。②两波源在 R 处干
讨论：
y 2Acos 2 x cost
1.振幅项
2A
cos
2
x
只与位置
有关，而与时间无关。
2波.2振腹x幅的最k位大置的的为各点：点称x；为振波k幅腹值,，最对k大应为于02,A1|。,co2s,23,.x.. | 1 即
2
振幅为零的点称为波节，
对应于 | cos 2 x | 0即
2
x (2k 1)
二）对现象的解释
1）从某时刻波阵面得到下一时刻的波阵面
平面波
t 时 刻 的 波 阵 面
球面波
t t
ut
时刻的
波阵面
t 2t
时刻的 波阵面
时t 刻的t
波阵面
t 时 刻 的 波 阵
t 2t
面
ut 时刻的波阵面
多普勒效应
定义：观察者接受到频率有赖于波源或观察者运 动的现象，称为多普勒效应。
例如
干涉相长
I Imax I1 I2 2 I1I2
2.干涉减弱条件
当 cos 1时，即 (2k 1) ,(k 0,1,2,3)
A Amin | A1 A2 |
干涉相消
I Imin I1 I2 2 I1I2
当两相干波源为同相波源
时，有： 1 2
(2
1)
2
(r2
r1)
此时相干条件写为：
驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形 并没有传播。
2.驻波的表达式
设有两列相干波，分别 沿X轴正、负方向传播，选 初相位均为零的表达式为：
y1 t 0
x
x0
入射波
y1
Acos(t
2
x)
反射波
y2
Acos(t
2
x)
其合成波称为驻波其表达式：
y2 x0
t 0
x
y
y1
y2
Acos(t
2
x)
0
'
u vR
u
观察者向着波源运动，vR
0
'
u vR
u
• 相对于介质观察者不动，波源在运动
vs 0, vR 0
' u vR u
u vS u vS
波源向观察者运动，vs
0
'
u
u vS
波源背离观察者运动
vs
0
'
u
u vS
• 相对于介质波源和观察者同时运动
' u vR
涉时的合振幅。
解：
2
(r1
r2 )
2
3
2
3
为 的奇数倍，
P
Q
R
合振幅最小，
3 /2
| A1 A2 |
四、驻波
有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒 定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同 一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内 就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。
当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠 加可产生驻波。
的强度为：
I I1 I2 2 I1I2 cos
对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
A
A12
A22
2A1A2
cos ,
(2
1)
2
(r2
r1)
1.干涉加强条件
当 cos 1 时， 即 2k , (k 0,1,2,3,...)
A Amax A1 A2
y2 7 x(m)
x 1,3,5,7(m)
惠更斯原理
一、惠更斯原理内容
介质中任一波阵面上的各点，都是发射子波的新 波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波 阵面。
根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面， 就可以确定下一时刻的波阵面。
t时刻波面
t+t时刻波面
波传播方向
t+ t
ut
平面波
球面波
2
4
3.驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是
一种特殊的振动。
半波损失
在绳与墙壁固定处，为波
节位置。
波节 波腹
这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在
该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为， 相当于波程相差/2。
--------------------半波损失。
反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节 还是波腹与这分界处两边的介质性质有关。
S
Vs
VsT
uT
S S' A