波的叠加波的干涉驻波
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4.波的干涉_驻波
三、驻波能量：
⒈动能：
当各质点同时到达平衡位置时： 介质无形变，势能为零，此时驻波能量为动能。 波腹处动能最大，驻波能量集中在波腹附近。
⒉势能：
当各质点同时到达最大位移时： 动能为零，此时驻波能量为势能。 波节处形变最大，势能最大，能量集中在波节附近。
⒊结论：
动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转 换，能量交替传递，无定向传播。
2 x 波腹位置： cos(2 ) 1 相邻两波腹距离 10 20 0 x x k , k 0,1,2 2 2
相邻两波节距离 x
各点相位：
y 2 A cos(2
x
) cos(2 t )
各质点作振幅为 2 A cos(2
cos(2
相位跃变（半波损失）
波 疏 介 质
波 密 介 质 较 大
u
较 小
u
当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射 到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相 位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.
π
当波从波密介ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂直入射到波疏介质， 被反射 到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相 位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
特征：
1、波形不移动。 2、各质点以不同的振幅在各自的平衡位置附近振动。
3、分段振动：振幅最大的点为波腹，
振幅为零的点为波节。
二、驻波方程：
沿X 轴正、负向传播的两列平面简谐波的波动方程为： x 在任意点 x 处叠加， y1 A cos 2 ( t ) 合位移： x y y1 y2 y 2 A cos 2 ( t ) x 2 A cos(2 ) cos(2 t ) ( 设初相 10 20 0)
波的叠加-干涉-驻波
1.合成振幅公式
质点同步参加同方向同频率旳谐振动
合振动 :
两种特殊情况
两分振动相互加强。
A
若 A1=A2 , 则 A=0 。
两分振动相互减弱。
A
（1）相长与相消干涉
2.波程差体现式
波程差为零或为波长旳整数倍时，各质点旳振幅最大，干涉相长。
波程差为半波长旳奇数倍时，各质点旳振幅最小，干涉相消。
二、波旳叠加原理
当两列波同步在同一介质中传播时，在它们相遇旳区域内，每点旳振动是各列波单独在该点产生旳振动旳合成。
看动画
波旳叠加原理
三、波的干涉
波旳干涉是在特定条件下波叠加所产生旳现象。
它们发出旳波列在媒质中相遇叠加时，某些质点旳振动一直加强，某些质点旳振动一直减弱或完全相消。这种现象称为波旳干涉。
Байду номын сангаас
有半波损失
固定端反射总是出现波节
自由端反射总是出现波腹
无半波损失
有半波损失
无半波损失
有半波损失
半波损失
1.在驻波中，两个相邻波节间各质点旳振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同． (C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同．
（1）驻波旳相位特点
相位、能量特点
（2）驻波旳能量特点
驻波旳能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能旳相互转移以及波腹与波节之间旳能量转移。
由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，反射波旳振动相位总是与入射波旳振动相位相同，形成驻波时，总是出现波腹。
无“半波损失”。
4. 反、入射产生驻波与“半波损失”
答案B
答案 D
答案B
答案C
垂直入射的反射波和透射波 波的叠加 波的干涉与驻波
222221t yxy ∂∂=∂∂µ波速ρYu =Tu η=yt ϕ0＝透射波与入射波同相π=0或入射波在反射时有π的突变r ϕ0＝z z −+1212z z 12r ϕπ＝这种入射波在反射时发生反向的现象叫z z z z −=+2112较小的称为波疏介质较大的称为波密介质从波疏介质入射到波密介质时，反射波有半波损失y强度反射系数和强度透射系数在实际问题中非常重要。
例如：标准状态下空气的波阻: z=420kg/(m2.s)水的波阻: z=1.5x106 kg/(m2.s)钢的波阻（按纵波计算）: z=4.6x107kg/(m2.s)＝0.1％T空气－水T＝0.004％空气－钢＝12％T水－钢y在反射点的振动(,)cos()y t x A t 5ωπ=−oybaxcos[()]a 2t x x −−πωλ)2cos(πλπω+−=x t A§5.6 波的叠加波的干涉与驻波一、波的独立性原理和叠加原理1、波的独立传播特性：几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.2、波的叠加原理：在相遇区域内，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.3. 叠加成立条件：波的强度较小,媒质形变与弹力呈线性关系。
频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.常量L,2,1,0π2=±=∆k k ϕL,2,1,0π)12(=+±=∆k k ϕ121A A A A <<−=∆ϕ其他21A A A +=振动加强，干涉相长12m ax I I I =++21A A A −=振动减弱，干涉相消12m in I I I =+波程差12r r −=δ21A A −振动减弱L,2,1,0)21=+k k λ2121A A A A A +<<−其他21A A +振动加强L,2,1,0=k k λ∆++cos 22122A A A应用程序A'节4、驻波的获得驻波常由一列行波在介质分界面上反射，从而入射波和反射波干涉叠加而形成一般情况下，入射波在两种介质分界处反射时是否发生半波损失，与波的种类、两种介质的性质以及入射角的大小有关。
波的叠加原理 波的干涉 驻波.ppt
4
Amin 0
波节
相邻波腹(节)间距 2 ；相邻波腹和波节间距 4
第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
π 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 .
（与行波不同，无相位的传播）.
y 2Acos 2π x cos 2π t
cos
2
2
2k , I 4I; (2k 1) , I 0
I
6 4 2 o 2 4 6
干涉现象的强度分布第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
二、驻波的形成 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.
s1
r1
*P
波的相干条件 1）频率相同；
s2
r2
2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定.
波源振动 点P 的两个分振动
y1 A1 cos(t 1)
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p
A1
cos(t
1
2π
r1 )
y2 p
A2 cos(t 2
第18章
2）求线上除波节点之外的任意点的振动周期是多少？
解 驻波的波节点不动，其它各点以相同的周期
振动 由 2 π 40π 得 20Hz T 第0.1085章s 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
例 已知： y 0.040sin 5 π x cos40 π t
3）求在0 t 0.050s内的什么时刻，线上所有点横
Amin 0
波节
相邻波腹(节)间距 2 ；相邻波腹和波节间距 4
第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
π 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 .
（与行波不同，无相位的传播）.
y 2Acos 2π x cos 2π t
cos
2
2
2k , I 4I; (2k 1) , I 0
I
6 4 2 o 2 4 6
干涉现象的强度分布第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
二、驻波的形成 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.
s1
r1
*P
波的相干条件 1）频率相同；
s2
r2
2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定.
波源振动 点P 的两个分振动
y1 A1 cos(t 1)
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p
A1
cos(t
1
2π
r1 )
y2 p
A2 cos(t 2
第18章
2）求线上除波节点之外的任意点的振动周期是多少？
解 驻波的波节点不动，其它各点以相同的周期
振动 由 2 π 40π 得 20Hz T 第0.1085章s 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
例 已知： y 0.040sin 5 π x cos40 π t
3）求在0 t 0.050s内的什么时刻，线上所有点横
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
解:由图可知, BP = 20 m, AB = 15 m
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
16-7波的叠加原理 波的干涉 驻波
up k 相速度
Am(x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频
率和波数分别为m 2, km波速k 2, ug m km k 群速度
两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为 ，波数为 ,波k
速为 up 。它k 的振幅的变化也像一个传播的波, 它的角频率为 2, 波数为 k,波2 速为 ug 。 k
上述讨论的合成波称为波包。
3. 驻波
驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线 上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
驻波
实验——弦线上的驻波：
驻波
实验——弦线上的驻波：
t 0
t T 4 t T 2
t 3T 4
OA B C D EF GH
波节O B D F H 波腹A C E G
振幅A和相位 0
A A12 A22 2A1A2 cos20 10 2 (r2 r1)
tg0
A1
sin
10
A1
cos
10
2r1 2r1
A2 A2
sin20 cos20
2r2
波腹位置 2Acos 2 x 1
2 x k
x k (k 0,1,2,....)
2
驻波
波节位置 2Acos 2 x 0
2 x (2k 1)
2
x (2k 1) (k 0,1,2,....)
4
相邻两个波腹(节)间的距离为 。2
t
x u
l 2u
Am(x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频
率和波数分别为m 2, km波速k 2, ug m km k 群速度
两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为 ，波数为 ,波k
速为 up 。它k 的振幅的变化也像一个传播的波, 它的角频率为 2, 波数为 k,波2 速为 ug 。 k
上述讨论的合成波称为波包。
3. 驻波
驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线 上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
驻波
实验——弦线上的驻波：
驻波
实验——弦线上的驻波：
t 0
t T 4 t T 2
t 3T 4
OA B C D EF GH
波节O B D F H 波腹A C E G
振幅A和相位 0
A A12 A22 2A1A2 cos20 10 2 (r2 r1)
tg0
A1
sin
10
A1
cos
10
2r1 2r1
A2 A2
sin20 cos20
2r2
波腹位置 2Acos 2 x 1
2 x k
x k (k 0,1,2,....)
2
驻波
波节位置 2Acos 2 x 0
2 x (2k 1)
2
x (2k 1) (k 0,1,2,....)
4
相邻两个波腹(节)间的距离为 。2
t
x u
l 2u
波的叠加原理、干涉、驻波、多普勒
8
3.干涉加强、减弱条件 设有两个频率相同的波源
S 1和 S 2
y 10 A10 cos( t 1 )
y 20 A 20 cos( t 2 )
其振动表达式为： ， P
r1 S2
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 2 S1
y 1 A1 cos( t 1
反射波 y 2 A cos( t
2
x)
x 0
x
2
其合成波称为驻波其表达式：
y y 1 y 2 A cos( t
16
2
x ) A cos( t
x)
利用三角函数关系 cos cos 2 cos cos 2 求出驻波的表达式： 2 2 y y 1 y 2 A cos( t x ) A cos( t x) 2 2 A cos x cos t 简谐振动 简谐振动的振幅
2 r
u2
定理证明: 由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、 B点会发射子波， B i 经t后， B点发射的子波到达 u1 t 界面处D点， A点的到达C点， i A
sin i
sin r
BD
AD
AC AD
u1 t AD
u2t
r
D
u2t AD
r
1
C
sin i sin r
y B A cos[ t 0
22
X
B
2 ( 30 x )
]
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
2 x
3.干涉加强、减弱条件 设有两个频率相同的波源
S 1和 S 2
y 10 A10 cos( t 1 )
y 20 A 20 cos( t 2 )
其振动表达式为： ， P
r1 S2
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 2 S1
y 1 A1 cos( t 1
反射波 y 2 A cos( t
2
x)
x 0
x
2
其合成波称为驻波其表达式：
y y 1 y 2 A cos( t
16
2
x ) A cos( t
x)
利用三角函数关系 cos cos 2 cos cos 2 求出驻波的表达式： 2 2 y y 1 y 2 A cos( t x ) A cos( t x) 2 2 A cos x cos t 简谐振动 简谐振动的振幅
2 r
u2
定理证明: 由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、 B点会发射子波， B i 经t后， B点发射的子波到达 u1 t 界面处D点， A点的到达C点， i A
sin i
sin r
BD
AD
AC AD
u1 t AD
u2t
r
D
u2t AD
r
1
C
sin i sin r
y B A cos[ t 0
22
X
B
2 ( 30 x )
]
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
2 x
波的干涉 驻波解读
当波从波疏介质垂直入射到波密介 质， 被反射到波疏介质时形成波节. 入 射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半 波损失.
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质 时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射 波在分界处不产生相位跃变，没有半波损失。
P点的合振动为
y y1 y2 A cos(t )
其中
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
其中两个分振动的相位差为
(1 2 )
2π( r2 r1 )
1 2 的值是由波源决定的，且对空间各点 由于 此值都相同，故可令其为零，从而有
驻波相邻的波节和波腹之间的λ/4区域实际上构成一个独立的 振动体系，它与外界不交换能量，能量只在相邻波节和波腹之间 流动.
四、半波损失
在两种介质的分界处形成波节还是波腹是由介质的密度和 波速u 的乘积决定的。 对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 与波速u的乘积u 较大的介质称为波密介质，较小的介质称为波疏介质。
*
波源振动
y10 A10 cos(t 1 )
y20 A20 cos(t 2 )
P
P点的两个分振动
y1 A1 cos(t 1 2 π )
r2 y2 A2 cos(t 2 2π )
r1
P点的合振动为
y y1 y2 A cos(t )
§4 波的叠加、干涉 和 驻波 一、波的叠加原理
1 波传播的独立性 实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持 自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互 不影响，这称为波传播的独立性. 2 波的叠加原理 在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独 传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理.
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峰时，点B 恰为波谷.设波
速为10ms，1 试写出由A、
B发出的两列波传到点P 时
干涉的结果.
解
P
15 m 干涉情况决定于两波传播到p
点时的相差
A 20 m B
两波传播到p点时的相差为：
BA2πBP AP
因A为波峰时，B为波谷，所以有两波源的相 差为（设 A 的相位较 B 超前）：
ABπ
BP 152202 25
x(4,34)c, o2π sx0
动画演示
y (2Acos 2π x) cost (2Acos 2π x) cos(t π)
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成， 反射发生在两介质交界面上，在交界面处 出现波节还是波腹，取决于介质的性质.
介质分类
波疏介质,波密介质
44
(k 0,1,2， )
b 当 cos 2π x 1 时 A 2A 为波腹
x 2k
4
( 的偶数倍)
4
(k 0,1,2， )
结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大
波腹:
x
2k
4
(k 0,1,2， )
相邻波腹（节）间距 2
相邻波腹和波节间距 4
y
波腹
( 的偶数倍)
4
波节
同一点 ， = 常量，A=常量，与时间无关
不同点 ， 变化，A变化，决定于点（x,y,z)
形成稳定的振幅分布 ----波的干涉现象
讨论
A A12 A22 2A1A2 cos
位相差 决定了合振幅的大小.
干涉的位相差条件
当 2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大
Amax A1 A2 干涉加强
涉所合成波称为驻波
动画演示
2 条件 两列振幅相同的相干波异向传播 前进波 反射波
3 驻波的形成
动画演示
y 2A
a
t 0
b o
c
u xu
y
tT 4
u xu
y 2A
tT 2
u xu
y
波节：a、b 波幅：o、c
二 驻波方程
正向 y1Aco2sπ(tx) 负向 y2Aco2sπ(tx)
yy1y2
A co 2 π ( st x) A co 2 π ( st x)
动画演示
(1)相干条件 频率相同，振动方向相同，位相差恒定
(2)相干波 满足干涉条件的波称相干波.
(3)相干波源 产生相干波的波的波源称相干波源. 动画演示
(4)干涉现象的定量讨论
波源振动 y 1 A 1cot s1 )( 激发相干波
y 2 A 2cot s2 ) (
两波引起点P 的两个分振动
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2c os s 1
212πr2r1
s2
r1 *P r2
I A A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2c os 2
II1I22I1I2co s
212πr2r1
021常 数 时
s1 r1 *P
s2
r2
决定 r2r1 于 考察点，x设 y ,z,其
P
15 m
u100.10 100
A 20 m B
两波传播到p点时的相差为：
B A 2 π B A P P π 2 π 2 0 .1 1 5 5 2π 01
21010 π
所以干涉减弱，点P合振幅： AA1A2 0
三 驻波的产生
1 现象
驻波是特殊的干涉现象
当两列振幅相同、传播方向相反的相干波发生干
12.3.1 波的叠加原理
波传播的独立性：两列波在某区域相遇后 再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰.
波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动 为二波单独在该点引起的振动的合成.
动画演示
二 波的干涉
频率相同、振动 方向平行、相位相同 或相位差恒定的两列 波相遇时，使某些地 方振动始终加强，而 使另一些地方振动始 终减弱的现象，称为 波的干涉现象.
波长 ： 反射波在B点有半个波长损失 条件 ： A：垂直入射
B：从波密媒质(Z较大）反射回波蔬媒质
波阻抗： Z = u 折射：无半波损失
A
B
波蔬媒质
波密媒质Z较大
P 没有半
波损失
m
波密介质 波疏介质
2Aco2π s xco2π st
讨论
驻波方程 y2Aco2π sxco2π stA' cost
(1)振幅 2Acos2π x 随 x 而异,与时间无关
cos 2 π x
1 0
2πxkπ k0,1,2,
2πx(k1 2)π k0,1,2,
a 当 cos 2π x 0 时 A 0 为波节
x (2k 1) ( 的奇数倍)
当 2k 1π
合振幅最小
Amin A1 A2 干涉减弱
位相差
(2
2πr2
)
(1
2πr1
)
如果2 1即相干波源S1、S2同位相
则
2π
r1
r2
2π
r1 r2 称为波程差（波走过的路程之差）
2π
r1
r2
2π
2kπ (2k 1)π
加强 减弱
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉 的波程差条件，则有
3
5 x
4
4
4
4
振幅包络图
2
(2) 相位分布
y (2Acos 2π x) cos t Acos t
x(4,4)c, o2sπx0 动画演示
y (2Acos 2π x) cost
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
y
波腹
波节
3
5 x
4
4
442Fra biblioteky4
4
3
4
5
4
x
x(
,
),
44
y (2Acos 2π x) cost
波疏介质
波密介质
动画演示
波
波
疏
密
介
介
质
质
u
u
较
较
小
大
三 相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分
界处产生 π的相位跃变，相当于出现了半个
波长的波程差，称半波损失.
（2） 半波损失
B点为波节： 位相 ： 前进波波在B点有位相 的突变
干涉的波程差条件
当 r1 r2 k 时（半波长偶数倍）
合振幅最大
Amax A1 A2
当
r1
r2
(2k
1)
2
时（半波长奇数倍）
合振幅最小
Amin A1 A2
例 如图所示，A、B 两点
P
为同一介质中两相干波源. 15 m 其振幅皆为5 cm，频率皆 为100 Hz，但当点 A 为波 A 20 m B
y1PA1cost(12π r1) y2PA2cots(22πr2)
s1 s2
r1 *P r2
此两个分振动为简谐振动
点P 合振动：
y P y 1 P y 2 P A co t s)(
tanA A11csoins11( (22ππrr11)) A A22scions22((22ππrr21))