高中数学《等比数列的概念及通项公式》学案1 新人教A版必修5
人教新课标版数学高二A必修5学案 等比数列的前n项和(一)
明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等． 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答 大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨． 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。
高二数学人教A版必修5《2.4.2等比数列的概念及通项公式》教学设计
等比数列的概念及通项公式柳河八中：李先臣【知识目标】1．理解【知识目标】1．理解等比数列的定义。
2．掌握通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题。
【能力目标】通过渗透函数、方程的思想，培养学生的观察、发现、猜想、归纳、分析的思维能力。
【美育目标】等比数列与等差数列的相似美，结构美等比数列的定义。
2．掌握通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题。
【能力目标】通过渗透函数、方程的思想，培养学生的观察、发现、猜想、归纳、分析的思维能力。
【美育目标】等比数列与等差数列的相似美，结构美。
教学重点难点1．理解等比数列的定义。
2．掌握通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题。
教学过程一，引入课题【教师引导】1、由教师引导，师生动手来发现一个数列。
1、2、4、8、16……2、由一句文言文引出一个数列。
1、21 、41、18、116……学生动手操作和认真倾听来观察，发现这两列数及观察这两列数的共同特点，从而来认识等比数列。
【设计意图】1、创设学习情境。
2、激发学生学习的兴趣。
二对等比数列定义的研究【教师引导】[提出问题]能找这些数列的特点吗？( 1 ) 2，22，23，24，…（2）1、21、41…(21)n-1… 通过观察，发现，探究等比数列的特点，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）【学生参与】这个问题由学生看黑板或屏幕来回答，发现并说出这两个数列的特点。
【设计意图】培养学生观察、思维的能力。
借助黑板与多媒体增强学生感性认识。
【教师引导】［定义］一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列。
[提出问题]等比数列的定义用数学表达式该怎么表示吗？q a a nn =+1（常数）引导学生类比等差数列的定义，得出等比数列的定义，并理解剖析等比数列的定义。
【设计意图】让学生的学习由感性到理性的过程。
三对等比中项的研究由练习2与等差中项的概念类比，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项。
2019-2020年高中数学《2.4 等比数列》学案 新人教A版必修5
2019-2020年高中数学《2.4 等比数列》学案新人教A版必修5一、教学目标：1、通过具体实例抽象出等比数列模型，理解并掌握等比数列概念；2、类比等差中项的概念掌握等比中项的概念；3、理解等比数列的通项公式及推导，并能简单的应用公式。
二、教学过程：（一）自主探究：1、等比数列的概念：一般的，，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示。
2. 符号表示：若，则称数列为，为，且。
3、等比中项：若成等比数列，则叫做与的，此时与（填同号或异号）。
4、等比数列的通项公式为：。
5、等比数列的函数特征：预习自测：1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：①（），3,27；②3，（），5；③1，（），（），．2、等比数列，…中，是这个数列的第项．3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？（1）；（2）；（3）（4）4、求出下列等比数列中的未知项：（1）；（2）5、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列；（）②数列是公比为2的等比数列；（）③若，则成等比数列；（）④若，则数列成等比数列；（）思考：如何证明一个数列是等比数列：（二）合作学习例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。
例3、已知数列的前项和=，，求证：数列是等比数列。
（三）巩固训练，反馈回授：1．如果成等比数列，那么（）A． B. C. D.2. 等比数列中，，，则与的等比中项是___________3.（1）一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项4．在等比数列中，（1），求；（2），，求（四）师生总结：（五）课后作业：1、课本53页习题2.4 A组1题2、课本54页7、8题2019-2020年高中数学《2.4.1-2.4.2平面向量坐标表示》教学案新人教版必修4【学习目标】（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算．【重点、难点】平面向量线性运算的坐标表示【温故而知新】平面向量基本定理如果e1和e2(如图2－3－7①)是同一平面内的的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在一对实数λ1，λ2，使 (如图2－3－7②)，其中的向量e1和e2叫作表示这个平面内所有向量的一组．答案：2.两个不共线唯一a＝λe1＋λ2e2 不共线基底【教材助读】阅读P86－87并回答问题1、在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取轴、轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量 记作：= 称作向量的坐标 如： === = = =2、+=(x 1+y 1)+(x 2+y 2)=(x 1+ x 2)+ (y 1+y 2)即：+= 同理：= λ=λ(x+y)=λx+λy ∴λ=结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
高中数学《2.4等比数列的概念与通项》 新人教A版必修5
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a
n
是等比数列
an1q,(nN*,q为 非 0常 数 ） an
注：由于0不可作为除数，所以 如果某数列的某一项有0，则该 数列不可能是等比数列。
按照定义，等比数列的一般形式应该如下：
n= 1
a1q3 … a1qn-1
2.等比数列通项公式：
an
a1qn1
2.4 等比数列的概念与通项
国王为什么不能兑现承诺?
印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋 的大臣西萨·班·达依尔，并问他想得到什么 样的奖赏，大臣说：“陛下，请您在这张棋 盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二 个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒， 照这样下去，每一小格内都比前一小格内的 麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒 为止。并把这样 摆满棋盘上六十 四格的麦粒赏给 您的仆人。”
a1 q
qn
用法：首项和公比 通项公式 任何一项
n= 1
2
3
4…n
an=
a1
a1q a1q2 a1q3 … a1qn-1
a a q n am比an多乘了(m-n)个公比：
nm m
3.aam n qnmanamqnm
一些几何问题导出的问题： 已知两个数a,b，如何插入一个数G使得
a,G,b成等比数列？
Gb aG
4.abG 2 Gab
预习自测
（ 1） — 729 （ 2） 2
3 （ 3） 9
2 . 1 .2 8 1 0 7
例1（2） （抢答）：把所有项用a1和q表示，再解方程组。 变式1：乘的时候别展开成4项，注意因式分解。 例4（1）：总共4个数成等比数列，题目已暗示a1和a4的值。
题号 例1（1） 例1（2） 例2+变式
高二数学《等比数列》教案 新人教A版必修5
广东省佛山市中大附中三水实验中学高二数学《等比数列》教案新人教A版必修5科组长签名：科组成员签名：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
高中数学 24 等比数列学案 新人教A版必修5 学案
2.4等比数列学案课内探究学案 （一 ）学习目标 1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道na ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用． （二）学习过程 1、自主学习、合作探究1.等差数列的证明：①n n a AB =（0B ≠）；②n n S a bq =+（0q ≠、1q ≠），0a b +=；③证明1n n a a +为常数（对于n a >适用）；④证明212n n n a a a ++=⋅。
2.当引入公比q 辅助解题或q 作为参数时，注意考虑是否需要对1q =和1q ≠进行分类讨论。
3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。
4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是m n p qa a a a =（m n p q +=+）和2m n p a a a =（2m n p +=）。
5. 三数成等比数列，一般可设为a q 、a 、aq ；四数成等比数列，一般可设为3a q 、aq 、aq 、3aq ；五数成等比数列，一般可设为2a q 、aq 、a 、aq 、2aq 。
2、精讲点拨 三、典型例题 例1 数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n项和为6560，求首项1a 和公比q 。
解：若1q =，则应有22n nS S =，与题意不符合，故1q ≠。
依题意有：()()121180(1)116560(2)1n n a q q a q q ⎧-⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⎪⎨-⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪-⎩(2)(1)得21821nnq q -=-即282810n n q q -+= 得81n q =或1nq =（舍去），81n q ∴=。
2.4等比数列-高中数学人教A版必修5学案(无答案)
第二章 数列2.4 等比数列（一）一、目标要求1.理解等比数列的定义，了解等比中项的定义；2.掌握等比数列的通项公式，并能应用.二、基本梳理1.等比数列的定义(1)两个条件① ； ② ；(2)结论；(3)相关概念.2.等比中项(1)前提： ；(2)结论： ；(3)满足关系式： .3.已知等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为)0 q q （（1）递推公式（2）通项公式三、问题与例题问题1：什么是等比数列？如何正确理解它的概念？1.观察下列数列（1）3,3,3，...（2）1,2,4,8， (632)（3），，，，81-4121-1... （4）5,25,125,625,...四个数列的共同特点是什么？2.已知数列的通项公式：n n a 283⨯=（1）计算：342312,,a a a a a a （2）计算：n n a a 1+ （3）这个数列是否是等比数列？它与什么数列类似？3.数列123...12,632343-⨯n ，，，，，...是否为等比数列？若是，公比是多少？若数列}{n a 的通项公式为123-⨯=n n a ，求证：数列}{n a 是等比数列.问题2：等比数列的通项公式是怎样的？如何推导？4.求下面数列的第4项和第5项（1）5，-15，45，...（2），，，2212... 如何求第20项，第50项呢？5.若等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ,请推导等比数列的通项公式？并写出过程.例题.在等比数列}{n a 中，（1）已知61,2,3a q a 求-==.（2）已知n a a a 求,8,231-=-=.变式训练：求下列各等比数列}{n a 的通项公式：（1）已知n n n a a a a ，求32,511-==+.（2）已知n a a a 求,160,2063==.四、配餐练习A 组 1.82是等比数列，，，22424...的第 项. 2.等比数列}{n a 中，17=a 且654,1,a a a +成等差数列，求数列}{n a 的通项公式.B 组数列}{n a 的前n 项和为n S ，）（*+∈+==N n S n n a a n n ,2,111，求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等比数列.。
新人教A版必修五学案：2.4.1等比数列(一)
§2.4.1等比数列（一）讲义编写者：数学教师秦红伟下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263; ① 1，21，41，81，…； ② 1，3220,20,20，…； ③ ......1098.1,1098.1,0198.132 ④对于数列①，n a =12-n ; 1-n n a a =2（n ≥2）．对于数列②， n a =121-n ；211=-n n a a （n ≥2）．对于数列③，n a =120-n ; 1-n n a a =20（n ≥2）． 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．一、【学习目标】1、理解和掌握等比数列概念．2、等比数列的通项公式的推导及应用，等差数列＂等比＂的理解、把握和应用；二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第48—51页内容，然后回答问题1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）. 思考：（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ； ｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q = 1时，{a n }为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅=观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；… …)0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，．迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a a n n =-1 所以11342312--=⋅⋅n n n q a a a a a a a a ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ， 3.等比数列的通项公式2: )0(≠⋅=-q a qa a m m n m n ， 三、例题讲解例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：23231218=⇒=q .316328,832122132=⨯===⨯==∴q a a q a a 例2．求下列各等比数列的通项公式：;8,2 )1(31-=-=a a n n a a a 32,5 )2(11-==+且解：(1)24213±=⇒=⇒=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 (2)111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又： 例3．已知数列{a n }满足12,111+==+n n a a a ，（1）求证数列{a n +1}是等比数列；（2）求n a 的表达式。
2_4_1等比数列的概念及通项公式教案(人教A版必修5)史进发
2.4.1 等比数列 第一课时 教材分析 等比数列是高中数学重要内容之一，它不但有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,等比数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，另一方面,学习等比数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。 学情分析 学生经过等差数列的学习，绝大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维水平和演绎推理水平。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促动思维水平的进一步发展。 设计理念 数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的水平及创造水平的载体。新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生有追求过程的体验。 从发现等比数列定义及通项公式的过程中让学生体会到，有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也能够做一些看似数学家才能完成的事，在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提升了他们提出问题、解决问题的水平，培养了他们的创新水平，这正是新课程所倡导的教学理念。 三维目标 一、知识与技能 1.理解现实生活中存有这个类特殊数列; 2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式; 3.能在具体的问题情境中，发现数列中的等比关系，并能用相关的知识解决相对应的实际问题; 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法实行教学; 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动; 3.密切联系实际，激发学生学习的积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳水平; 2.通过对相关实际问题的解决，表达数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学重点 1.等比数列、等比中项的概念; 2.等比数列的通项公式及其应用. 教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系; 2.等比数列与指数函数的关系. 教学方法：问题教学法 教具准备 多媒体课件、投影仪等 教学过程 一问题情境 1、某种细胞分裂的模型.
高中数学 第二章 数列 第十四课 等比数列的通项公式导学案 新人教A版必修5
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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2.4等比数列的概念及通项公式
【例题选讲】
1．等比数列na中，6117aa，5144aa，则1020aa（ ）
:A32 :B 23 :C 32或23 :D
32或2
3
2. 7个实数排成一行，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的
积的差为42，首尾两项及中间项的和是27，求中间项.
3. 等比数列na中,25)2(,04642aaaaan；求53aa
4．已知数列na中，12,111nnaaa；求na
【巩固练习A】
1. 已知下列命题
①若acb2，则cba,,成等比数列；
②若na为等差数列，且常数0c，则数列nac为等比数列；
③若na为等比数列，且常数0c，则数列nac为等比数列；
④常数列既为等差数列，又是等比数列.
其中，真命题的个数为 （ ）
:A1个 :B2个 :C3个 :D
4个
2.等比数列na中，43a，165a，则9a（ ）
:A256 :B-256 C.128 :D
-128
3.若数列na是等比数列，则数列1nnaa（ ）
:A一定是等比数列 :B
可能是等比数列，也可能是等差数列
:C一定是等差数列 :D
一定不是等比数列
4.设21a，数列na21是公比为2的等比数列，则6a（ ）
:A64 :B160 :C79.5 :D
31.5
5．等比数列na中，43a，15a，则8a_____
6.如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，则这个常数为____.
7.首项为3的等比数列的第n项为48，第32n项是192，则n＝_____.
8．已知等差数列na的公差d≠0, 且a1, a3, a9成等比数列, 求____1042931aaaaaa.
【提高练习B】
9. 等比数列na中,,100010a公比21q;求满足1na的最大n
10. 已知数列na中，21a，21nnaa
（1）求证：}{lgna是等比数列 （2）求数列na的通项公式
11．在ABC中，边cba,,成等比数列；则角B的取值范围。
12.设*,Nba,na是首项为a,公差为b的等差数列, nb是首项为b,公比a为的等比
数列,且满足32211ababa
（1）求a的值
（2）如存在nm,，使nmba1；求b的值。
2.4等比数列的概念及通项公式
【例题选讲】
.1C
.2
解：设奇数项为dadadada3,,,3 偶数项为bqbqb,,
由题意得 22724243bbaba
答：中间项为2
3．解：25225)2(6424424642aaaaaaaaa
252255323aaaa25)(253aa
0na 553aa
4．解：)1(211211nnnnaaaa
}1{na是以211a为首项，公比为2的等比数列
12222111nnnnnaa
【巩固练习】
1.A 2 A 3 B 4 C 5 81 6 12.5 7 5 8 1613
9.解：等比数列na中,,100010a公比21q1021000nna
1na191000102nn 满足1na的最大19n
10．21nnaannaalg2lg01
}{lgna
是首项为2lg公比为2的等比数列
1122122lg22lglgnnnnnaa
11．解：边cba,,成等比数列acb2
3cos212)(2cos2222acaccaacbcaB
Bycos在),0(B上是单调递减函数
30B
12．解：（1）32211abababaabbaba20
2)(2bbaabaab 1abbaab
332abbaab Na 2a
（2）nmba112)1()1(nbmba
]2)1[(11nmba
*,,,Nbanm ba1 baba1
得31ab