波的叠加干涉和驻波.
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4.波的干涉_驻波
三、驻波能量：
⒈动能：
当各质点同时到达平衡位置时： 介质无形变，势能为零，此时驻波能量为动能。 波腹处动能最大，驻波能量集中在波腹附近。
⒉势能：
当各质点同时到达最大位移时： 动能为零，此时驻波能量为势能。 波节处形变最大，势能最大，能量集中在波节附近。
⒊结论：
动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转 换，能量交替传递，无定向传播。
2 x 波腹位置： cos(2 ) 1 相邻两波腹距离 10 20 0 x x k , k 0,1,2 2 2
相邻两波节距离 x
各点相位：
y 2 A cos(2
x
) cos(2 t )
各质点作振幅为 2 A cos(2
cos(2
相位跃变（半波损失）
波 疏 介 质
波 密 介 质 较 大
u
较 小
u
当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射 到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相 位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.
π
当波从波密介ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂直入射到波疏介质， 被反射 到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相 位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
特征：
1、波形不移动。 2、各质点以不同的振幅在各自的平衡位置附近振动。
3、分段振动：振幅最大的点为波腹，
振幅为零的点为波节。
二、驻波方程：
沿X 轴正、负向传播的两列平面简谐波的波动方程为： x 在任意点 x 处叠加， y1 A cos 2 ( t ) 合位移： x y y1 y2 y 2 A cos 2 ( t ) x 2 A cos(2 ) cos(2 t ) ( 设初相 10 20 0)
机械波的干涉和驻波现象
机械波的干涉和驻波现象机械波是一种传播能量的波动现象，其在传播过程中会出现干涉和驻波现象。
干涉是指两个或多个波在空间中相遇后，相互叠加形成新的波纹图案的现象。
驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象。
一、干涉现象干涉现象是指两个或多个波在空间中相互叠加形成新的波纹图案的现象。
干涉可以分为两种类型：同相干和异相干。
同相干是指波峰和波峰、波谷和波谷相遇时叠加，形成增强效应；异相干是指波峰和波谷相遇时叠加，形成消减效应。
干涉现象的产生需要满足两个条件：一是两个或多个波源的波长要相近，二是两个或多个波源之间的相位差要满足特定条件。
根据波源的数量和位置不同，干涉现象可以分为以下几种情况：1. 双缝干涉：当光波通过两个狭缝时，会形成一系列明暗相间的干涉条纹。
这是因为入射光经过两个缝洞后形成的两个次波在空间中相互干涉。
2. 单缝干涉：当光波通过一个狭缝时，由于狭缝的宽度很窄，波的传播方向发生偏折，形成一系列干涉条纹。
3. 平行板干涉：当光波通过两块平行而透明的玻璃板时，由于玻璃板的折射作用，光波发生了相位差，形成干涉条纹。
干涉现象的应用非常广泛。
例如在光学实验中，利用干涉现象可以测量波长、厚度等物理量；在工程中，干涉仪常被用于光学薄膜的检测和表面形貌的测量。
二、驻波现象驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象，这是波的反射和干涉相互作用的结果。
驻波现象发生需要满足以下两个条件：波源的频率必须恰好满足空间限制所形成的驻波条件，同时波在空间中的传播方向相反。
驻波现象可以在各种波动现象中观察到，如声波、水波和电磁波等。
在声学中，我们常常能够观察到管道中的驻波现象。
当在一根管子中引入声波后，它会来回在管道内反射，当波的频率满足特定条件时，波的幅度呈现出固定的分布规律，形成驻波。
这种现象被广泛应用于乐器制作中，使得乐器能够产生特定的音调。
除了声波，驻波现象在电磁波中也很常见。
例如，在一个封闭的金属盒中，微波在盒子内反射，形成驻波现象，这是微波炉的工作原理之一。
波的叠加-干涉-驻波
1.合成振幅公式
质点同步参加同方向同频率旳谐振动
合振动 :
两种特殊情况
两分振动相互加强。
A
若 A1=A2 , 则 A=0 。
两分振动相互减弱。
A
（1）相长与相消干涉
2.波程差体现式
波程差为零或为波长旳整数倍时，各质点旳振幅最大，干涉相长。
波程差为半波长旳奇数倍时，各质点旳振幅最小，干涉相消。
二、波旳叠加原理
当两列波同步在同一介质中传播时，在它们相遇旳区域内，每点旳振动是各列波单独在该点产生旳振动旳合成。
看动画
波旳叠加原理
三、波的干涉
波旳干涉是在特定条件下波叠加所产生旳现象。
它们发出旳波列在媒质中相遇叠加时，某些质点旳振动一直加强，某些质点旳振动一直减弱或完全相消。这种现象称为波旳干涉。
Байду номын сангаас
有半波损失
固定端反射总是出现波节
自由端反射总是出现波腹
无半波损失
有半波损失
无半波损失
有半波损失
半波损失
1.在驻波中，两个相邻波节间各质点旳振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同． (C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同．
（1）驻波旳相位特点
相位、能量特点
（2）驻波旳能量特点
驻波旳能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能旳相互转移以及波腹与波节之间旳能量转移。
由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，反射波旳振动相位总是与入射波旳振动相位相同，形成驻波时，总是出现波腹。
无“半波损失”。
4. 反、入射产生驻波与“半波损失”
答案B
答案 D
答案B
答案C
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
解:由图可知, BP = 20 m, AB = 15 m
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
2π r1
λ
A = A + A + 2 A1 A2 cos ∆ ϕ r2 − r1 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − 2π 常量 第18章 波动 章 λ
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波 11-
讨论
A + A + 2 A1 A2 cos ∆ϕ r2 − r1 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − 2π λ A=
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波 11-
y = 2 A cos2π cos2π ν t
例 x=±
x
λ
4
λ
−
λ
2
−
y
λ
4
λ 3λ
2 4
为波节
o λ
4
x
< x < , y = 2 A cos 2 π x cos 2π ν t 4 4 λ λ x λ 3λ x cos2π < 0, < x < , y = 2 Acos2 π cos(2 π ν t +π ) 4 4 λ λ
( k = 0,1,⋯ ) Amin = 0 波节 相邻波腹和波节 相邻波腹 波腹(节 间距 相邻波腹 节)间距 = λ 2 ；相邻波腹和波节间距= λ 4
第18章 波动 章
2 λ x = ± (2 k + 1) 4
x = ±k
λ
( k = 0,1,⋯ )
Amax = 2 A
波腹
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节 ）相邻两波节之间质点振动同相位， 两侧振动相位相反， 波节处产生 两侧振动相位相反，在波节处产生 π 的相位跃变 . 与行波不同，无相位的传播） （与行波不同，无相位的传播）.
第18章 波动 章
波的叠加干涉驻波
要点二
详细描述
光波的叠加干涉驻波通常发生在两束相干光相遇时。当两 束光的频率相同、相位差恒定时，它们会在空间中形成稳 定的驻波。与声波的叠加干涉驻波类似，光波的叠加干涉 驻波也会产生明暗相间的干涉条纹。这些条纹的位置和间 距取决于光波的波长和相遇点的位置。在光学实验中，光 波的叠加干涉驻波被广泛应用于测量光波的相位和振幅。
波的叠加干涉驻波
目
CONTENCT
录
• 波的叠加原理 • 干涉现象 • 驻波的形成与特点 • 波的叠加干涉驻波实例分析 • 总结与思考
01
波的叠加原理
波的独立传播
01
波在传播过程中不受其他波的影 响，各自独立传播。
02
波的独立传播特性使得多个波可 以在同一介质中同时传播，而不 互相干扰。
波的线性叠加
对未来研究的展望
深入探索机制
进一步深入探索波的叠加干涉驻波机制，研究不同类型波 的叠加和干涉规律，以及驻波的形成条件和特性。
扩展应用领域
将波的叠加干涉驻波理论应用于更广泛的领域，如生物医 学、环境监测和地球物理学等，发掘其在这些领域的应用 潜力。
创新研究方法
发展新的研究方法和手段，利用现代科技手段对波的叠加 干涉驻波进行更精确的观测和实验验证，提高研究的可靠 性和精确度。
02
干涉现象
干涉的形成
波源
两个或多个波源产生相同频率的波。
传播路径
波在传播过程中相遇。
叠加区域
波在叠加区域相互作用。
干涉的条件
02
01
03
频率相同
两个波源产生的波频率必须相同。
有恒定的相位差
两个波在相遇时必须有恒定的相位差。
稳定的振动系统
波的叠加和干涉驻波
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第十章 波动和声
相邻波腹的坐标
xi
i
2
xi 1
i
1
2
代入驻波方程中
y (2Acos 2π x)cos t
中得
yi (2Acos iπ)cos t
yi1 [2Acos(i 1)π]cos t
(2Acos iπ)cos( t π)
相邻两波腹的相位相反.
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3. 强度计算
设有两个频率相同的波源S1和S2
其振动表达式为
y10 A10 cos(t 1 ) S2
r2
p
y20 A20 cos(t 2 )
传播到 P 点引起的振动为：
S1
r1
y1 A1 cos(t kr1 1 )
y2 A2 cos(t kr2 2 )
在P点的振动为
y y1 y2 Acos(t )
振幅因子 谐振因子
k 2π
y (2Acos 2π x)cos t
(1)驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体
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第十章 波动和声
波腹—— 振幅取最大值.
2Acos 2π x 2A
x i
2
i 0,1,2,
波节—— 振幅为零. 波节处的质元静止不动.
2 Acos 2π x 0
第十章 波动和声 (2) 相位特点
两相邻波节之间的各质元振动相位相同，每 一波节两侧各质元的振动相位相反. 在驻波中却没有能量的定向传递.
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第十章 波动和声
3. 定量计算
设
y1 y2
A cos A cos
t t
kx kx
7.7波的叠加、驻波
鼓皮上的二维驻波(图为几种简正模式)
二维共振克拉尼图案
小提琴的简正模式
例7.4
l
例7.5 一频率为248.5Hz的音叉放在盛水的细管口， 连续调节水面高度，当空气柱的高度相继为
L1 = 0.34 m 和 L2 = 1.03 m 时发生共鸣。 求：声波在空气中的声速 u
解： 发生共鸣时形成驻波，
但各质元间仍有能量的交换。 能量由两端向中间传，
势能→动能。
瞬时位移为0， 势能为0， 动能最大。
能量由中间向两端传， 动能→势能。
3. A 1 A 2 的情形：
设 A2 ( A1 A) A1 ， 则有
y
x
2A1 cos
2
cos
t
A cos (
t
x
2 )
同一段振动方向相同；相邻段振动方向相反：
x =λ /4 , 波节 x =λ / 2 (-) (+) 2x
x=0
A 2Acos x 2
波腹 (-) (+)
波腹 在波节两侧变号
x = 3λ /4 , 波节
③ 能量：合能流密度为
w u w (u) 0
，
平均说来没有能量的传播，
L1
管口为波腹，水面为波节。
L2
空气柱长满足条件：
L (2n 1) ，n 0, 1, 2
4
L1 (2n 1) 4 0.34m
L2
2(n 1) 1
4
1.03m
L2 L1 2 0.69m
故 2(L2 L1) 1.38m
y2 A2 cos( t k2x 2 ) ~y2 A2 exp i( ω t k2x φ2 )
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—波的叠加原理。
6
叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解 为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因；
波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵 守叠加原理的。
如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程 ，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方 程，它就不遵从叠加原理。
波动方程： 2 y x 2
2.干涉减弱条件
当 cos 1时，即 (2k 1) ,(k 0,1,2,3 )
A Amin | A1 A2 |
I Imin I1 I2 2 I1I2
11
干涉相消
当两相干波源为同相波源
时，有： 1 2
(2
1)
2
(r2
P
y20 A20 cos(t 2 )
r1
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为：
y1
A1
cos(t
1
2
r1 )
S1 S2
y2
A2
cos(t
2
2
r2 )
A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
9
下面讨论干涉现象中的强度分布 S2 在 P 点的合成振动为：
第二节
波的叠加原理 波的干涉、驻波
1
一、惠更斯原理
1.内容
介质中任一波阵面上的各点， 都是发射子波的新波 源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面
根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面， 就可以确定下一时刻的波阵面。
t 时刻波面 t+t时刻波面 t+ t
波传播方向
ut
平面波
球面波
2
腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当
各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。
动能集中在波腹。
• 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，
能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等
于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和
为零。所以驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运
i
BD AD
u1t
AD
sin r AC AD
u2t
AD
u2t r D
C
r
sin sin
i r
u1 u2
1 2
/ t / t
1 2
n 21
证毕
惠更斯原理不能说明子波的强度分布，也不能解释
波动为什么不会向后传播的问题。
5
二、波的叠加原理
1.内容 1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播 过程中没有遇到其它波一样。 ——波的独立性原理 2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。
rB
100
A 20m B
B
A
2
rB
rA
200
201
P点干涉减弱。
13
例2：两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同， 它们相距 3 / 2，由 P、Q 发出频率为 ，波长 为的两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求： ①自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。②两波
1 u2
2y t 2
它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。
若 y1、y2分别是它的解，则( y1 y2 ) 也是它的解,
即上述波动方程遵从叠加原理。
7
三、波的干涉
1.波的干涉现象
频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两
列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点
振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它
可见在A、B两点是波腹处。
23
4.半波损失
在绳与墙壁固定处，为波
节位置。
波节 波腹
这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在
该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为， 相当于波程相差/2。
入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波
程损失了半个波长的现象称为半波损失。
反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
10
A
A12
A22
2A1A2
cos ,
(2
1)
2
(r2
r1)
1.干涉加强条件
当 cos 1 时， 即 2k , (k 0,1,2,3,...)
A Amax A1 A2
干涉相长
I Imax I1 I2 2 I1I2
21 动状态，稳定态。
例题 ： 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都 是100赫兹，相差为，其A、B 相距30米，波速为400米/ 秒，求: AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。
解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴
，取A点的振动方程 : yA Acos(t )
y1 t 0
x
x0
y2 t 0
x
x0
y
y1
y2
Acos(t
2
x)
Acos(t
2
x)
16
利用三角函数关系 cos cos 2cos cos
求出驻波的表达式：
2
2
y
y1
y2
Acos(t
2
x)
Acos(t
2
2 r u 2
①.入射线、折射线和界面的法线在同一平面上；
②.
4
sin i sin r
u1 1 u 2 2
n2 n1
n 21
定理证明:
由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、B 点会发射子波，
经t后， B点发射的子波到达界面处iD
点， A点的到达C点，
A
B
i u1t
sin
倍时合振幅最小，干涉相消。
干涉加强减弱条件：
12
2k 加强 (2k 1) 减弱
例：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率 =100Hz， 波速 u =10 m/s，AB=，求：P 点振动情况。
解：rA 15m
P
rB 15 2 20 2
u 10 0.1m 15m
x) 20
](SI )
O
y2 7 x(m)
此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射
时波的强度不变）。求：（1）反射波的波动方程；
（2）在x=6m处介质质元的振动方程；（3）在区
间0<x<7m，干涉相消点的位置。
源在 R 处干涉时的合振幅。
解：
2
(r1
r2 )
2
3
2
3
为 的奇数倍，
P
Q
R
合振幅最小，
3 /2
| A1 A2 |
14
四、驻波
1.驻波的产生 有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒
定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同 一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内 就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。
2x 2 (30 x) (2k 1) (k 1,2,3 )
相干相消的点需满足： 30 2x k
因为： u 4m / sec
x
X
A
30 x B
x 15 k 2 k 0,1,2,...
30m
x 1,3,5,7,9,.....2. 5,27,29m
2
的各点。
波节的位置为： x (2k 1) ,
18
4
波节 波腹
k 0,1,2,3,...
相邻波腹间的距离为：
x k 1 x k
(k 1) k
22
2
波节 波腹
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
相邻波节间的距离为：
x k 1 x k
[2(k 1) 1] (2k 1)
2.惠更斯原理的应用
利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射。 1、波的衍射
波在传播过程中，遇到障碍物 时其传播方向发生改变，绕过障碍 物的边缘继续传播的现象。
波达到狭缝处，缝上各点都可看 作子波源，作出子波包络，得到新的 波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。 当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。
在X轴上A点发出的行波方程：
yA
A c os (t
2x )
O
A
x
30 x 30m
X B
B点的振动方程 : yB Acos(t 0)
在X轴上B点发出的行波方程：
yB
A c os [t
0
2
(30
x)]
22
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
x)
2Acos 2 x cost
简谐振动的振幅
简谐振动
它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率 相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不 同而不同。
驻波方程： y 2Acos 2 x cost
17
6
叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解 为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因；
波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵 守叠加原理的。
如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程 ，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方 程，它就不遵从叠加原理。
波动方程： 2 y x 2
2.干涉减弱条件
当 cos 1时，即 (2k 1) ,(k 0,1,2,3 )
A Amin | A1 A2 |
I Imin I1 I2 2 I1I2
11
干涉相消
当两相干波源为同相波源
时，有： 1 2
(2
1)
2
(r2
P
y20 A20 cos(t 2 )
r1
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为：
y1
A1
cos(t
1
2
r1 )
S1 S2
y2
A2
cos(t
2
2
r2 )
A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
9
下面讨论干涉现象中的强度分布 S2 在 P 点的合成振动为：
第二节
波的叠加原理 波的干涉、驻波
1
一、惠更斯原理
1.内容
介质中任一波阵面上的各点， 都是发射子波的新波 源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面
根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面， 就可以确定下一时刻的波阵面。
t 时刻波面 t+t时刻波面 t+ t
波传播方向
ut
平面波
球面波
2
腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当
各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。
动能集中在波腹。
• 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，
能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等
于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和
为零。所以驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运
i
BD AD
u1t
AD
sin r AC AD
u2t
AD
u2t r D
C
r
sin sin
i r
u1 u2
1 2
/ t / t
1 2
n 21
证毕
惠更斯原理不能说明子波的强度分布，也不能解释
波动为什么不会向后传播的问题。
5
二、波的叠加原理
1.内容 1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播 过程中没有遇到其它波一样。 ——波的独立性原理 2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。
rB
100
A 20m B
B
A
2
rB
rA
200
201
P点干涉减弱。
13
例2：两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同， 它们相距 3 / 2，由 P、Q 发出频率为 ，波长 为的两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求： ①自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。②两波
1 u2
2y t 2
它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。
若 y1、y2分别是它的解，则( y1 y2 ) 也是它的解,
即上述波动方程遵从叠加原理。
7
三、波的干涉
1.波的干涉现象
频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两
列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点
振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它
可见在A、B两点是波腹处。
23
4.半波损失
在绳与墙壁固定处，为波
节位置。
波节 波腹
这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在
该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为， 相当于波程相差/2。
入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波
程损失了半个波长的现象称为半波损失。
反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
10
A
A12
A22
2A1A2
cos ,
(2
1)
2
(r2
r1)
1.干涉加强条件
当 cos 1 时， 即 2k , (k 0,1,2,3,...)
A Amax A1 A2
干涉相长
I Imax I1 I2 2 I1I2
21 动状态，稳定态。
例题 ： 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都 是100赫兹，相差为，其A、B 相距30米，波速为400米/ 秒，求: AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。
解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴
，取A点的振动方程 : yA Acos(t )
y1 t 0
x
x0
y2 t 0
x
x0
y
y1
y2
Acos(t
2
x)
Acos(t
2
x)
16
利用三角函数关系 cos cos 2cos cos
求出驻波的表达式：
2
2
y
y1
y2
Acos(t
2
x)
Acos(t
2
2 r u 2
①.入射线、折射线和界面的法线在同一平面上；
②.
4
sin i sin r
u1 1 u 2 2
n2 n1
n 21
定理证明:
由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、B 点会发射子波，
经t后， B点发射的子波到达界面处iD
点， A点的到达C点，
A
B
i u1t
sin
倍时合振幅最小，干涉相消。
干涉加强减弱条件：
12
2k 加强 (2k 1) 减弱
例：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率 =100Hz， 波速 u =10 m/s，AB=，求：P 点振动情况。
解：rA 15m
P
rB 15 2 20 2
u 10 0.1m 15m
x) 20
](SI )
O
y2 7 x(m)
此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射
时波的强度不变）。求：（1）反射波的波动方程；
（2）在x=6m处介质质元的振动方程；（3）在区
间0<x<7m，干涉相消点的位置。
源在 R 处干涉时的合振幅。
解：
2
(r1
r2 )
2
3
2
3
为 的奇数倍，
P
Q
R
合振幅最小，
3 /2
| A1 A2 |
14
四、驻波
1.驻波的产生 有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒
定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同 一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内 就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。
2x 2 (30 x) (2k 1) (k 1,2,3 )
相干相消的点需满足： 30 2x k
因为： u 4m / sec
x
X
A
30 x B
x 15 k 2 k 0,1,2,...
30m
x 1,3,5,7,9,.....2. 5,27,29m
2
的各点。
波节的位置为： x (2k 1) ,
18
4
波节 波腹
k 0,1,2,3,...
相邻波腹间的距离为：
x k 1 x k
(k 1) k
22
2
波节 波腹
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
相邻波节间的距离为：
x k 1 x k
[2(k 1) 1] (2k 1)
2.惠更斯原理的应用
利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射。 1、波的衍射
波在传播过程中，遇到障碍物 时其传播方向发生改变，绕过障碍 物的边缘继续传播的现象。
波达到狭缝处，缝上各点都可看 作子波源，作出子波包络，得到新的 波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。 当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。
在X轴上A点发出的行波方程：
yA
A c os (t
2x )
O
A
x
30 x 30m
X B
B点的振动方程 : yB Acos(t 0)
在X轴上B点发出的行波方程：
yB
A c os [t
0
2
(30
x)]
22
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
x)
2Acos 2 x cost
简谐振动的振幅
简谐振动
它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率 相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不 同而不同。
驻波方程： y 2Acos 2 x cost
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