人教A版高中数学必修二蓝山二中与点到直线的距离与两条平行直线间的距离教案
最新人教A版必修二3.3.3点到直线的距离,3.3.4两条平行直线间的距离教案
点到直线的距离、两条平行直线间的距离教材剖析⒈教材的地位和作用“点到直线的距离”是高中课本第二册必修 2，3.3.4 ，“直线”的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。
在此以前，学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的地点关系，同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形联合”的数学思想方法。
在这个基础上，教材在第一章的最后安排了这一节。
点到直线的距离公式是解决理论和实质问题的重要工具，它使学生对点与直线的地点关系的认识从定性的认识上涨到定量的认识。
点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也能够求点的轨迹方程，如角均分线的方程，抛物线的方程等等。
教课目标1、知识目标：掌握点到直线距离的公式的推导及其运用；2、能力目标：培育学生察看、思虑、剖析、概括等数学能力，数形联合、转变（或化归）、等数学思想、特别与一般的方法以及数学应意图识与能力；3、德育目标：指引学生用联系与转变的看法看问题，认识和感觉研究问题的方式方法，在研究问题的过程中获取成功的体验。
教课要点：公式的推导及其结论以及简单的应用。
教课难点：发现点到直线距离公式的推导方法。
教课方法：启导法、议论法。
教课过程：一、创建情形给出定义某电信局计划年末解决当地域最后一个小区P 的电话通讯问题．离它近来的只有一条线路经过，要达成这项任务，起码需要多长的电缆？经过丈量，若依据部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得悉这个小区的坐标为P（－ 1，5），离它近来线路其方程为2x+y+10=0．[ 板书 ] 点到直线的距离二、提出问题初探思路“求点 P（-1 ，5）到直线 l ：2x+y+10=0 的距离。
”发问学生解题思路，预计学生的思路：先求过点P 的l的垂线l'的方程；再联立 l 、l'求垂足 Q，最后用两点间距离公式求│ PQ│。
湖北省高二数学人教A版必修2《3.3.3点到直线的距离与两条平行直线间的距离》教案
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距合格[ ]不合格[ ]
教研组长（签字）：
检查日期：年月日
课题名称
点到直线的距离和两平行线间的距离
教师姓名
学生年级
高二
课时
2
课程标准描述
熟练掌握点到直线的距离公式；会用点到直线距离公式求解两平行线距离。
考试大纲描述
熟练掌握点到直线的距离公式；会用点到直线距离公式求解两平行线距离。
教材内容分析
求点到直线的距离是一个几何问题，在平面几何中从几何图形的角度进行过定性和定量的研究.在解析几何中再次提出这个问题，体现了研究同一个问题的不同方法，体现了坐标法的应用.点到直线的距离公式作为一个重要工具广泛应用于今后很多解析几何问题的求解过程中.此外，从本章的安排来看，点到直线的距离公式可以看做两点间距离公式的应用，由它还可以得到两条平行线间的距离，因此无论从知识结构还是从教材来看它都起着承上启下的作用，它是《直线的交点与距离公式》这一单元的核心内容.
难点
点到直线距离公式的推导和公式的应用
教学环节
教学活动
教师复备
导
构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点到直线的距离及两条直线之间的距离．
思
1.什么是平面上点到直线的距离？
2．在平面直角坐标系中，如果已知某点 的坐标为 ，直线 的方程是 ，如何求点P到直线l的距离?
检
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于()
A．7B．5C．3D．2
2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于()
A．5 B． C． D．3
2021年高中数学3.3.3点到直线的距离和两条平行直线间的距离教案新人教A版必修
2021年高中数学3.3.3点到直线的距离和两条平行直线间的距离教案新人教A版必修2【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).图1新知探究提出问题①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=；(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x 0,y 0)，d=?学生应能得到猜想：d=.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(,0). ∴P′N=221221|||)(|B A C C B A C A C A +-=++-•.(*)∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上,∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0.代入(*)得|P′N|=即d=,.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=.证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=. 又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2，∴d=.讨论结果：①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离公式为d=. ②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=.应用示例例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以d=|-(-1)|=.点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积.解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.AB 边所在的直线方程为,即x+y-4=0.点C 到x+y-4=0的距离为h=，因此，S △ABC =×=5.点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1=0或7x ＋y ＋5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离.答案：.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,)，则直线MO′的方程为y-3=x.直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求，相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测导学案当堂检测【板书设计】一、点到直线距离公式二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题3.3 A 组9、10；B 组2、4及导学案课后练习与提高学校--临清实高学科--数学编写人—张子云审稿人--周静3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P117~ P119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点，则的中点坐标为，间的长度为 .问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?5分钟训练1.点（0，5）到直线y=2x的距离是( )A. B. C. D.2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.3.已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x-y+3=0的距离为1,则a的值等于( )A. B. C. D.参考答案1.解析:根据点到直线的距离公式得.答案：B2.解析:根据两条平行线间的距离公式得=2.答案：23.解析:根据点到直线的距离公式得.2|1|12|1|11|32|22=+⇒=+=++-a a a因为a ＞0，所以.答案：C三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立二、学习过程知识点1：已知点和直线，则点到直线的距离为：.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线的距离呢并画出图形来.例 分别求出点到直线的距离.问题2：求两平行线：，：的距离.知识点2：已知两条平行线直线，，则与的距离为注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.典型例题例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.变式训练点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习.拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值..学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为( )A. B. C. D.2.点P(m-n,-m)到直线=1的距离为( )A. B. C. D.3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )A. B. C. D.24.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为( )A.直线2x+y-2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=05.若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A. B. C. D.6.两平行直线l 1、l 2分别过点P 1(1,0)、P 2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l 1：_________________,l 2：_______________.7.已知直线l 过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l 的距离为3，求直线l 的方程.8.已知直线l 过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.9.已知三条直线l 1：2x-y+a=0(a ＞0),直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3：x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是.(1)求a 的值.(2)能否找到一点P,使得P 点同时满足下列3个条件:①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 到l 2的距离的；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是？若能,求P 点的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1.解析:由点到直线的距离公式可得d=.答案：C2.解析:nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得222222222|||)(|n m n m m n n m mn m n m n +=+--=+---.答案：A3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O 到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得.答案：B4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得｜m-1｜=1，解得m=2或m=0.故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.答案：D5.解析:依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得｜m+7｜=｜m+5｜m=-6，即x+y-6=0，根据点到直线的距离公式得：M 到原点的距离的最小值为.答案：A6.解析:因P 1(1,0)、P 2(1,5)间的距离为5，所以两平行直线l 1、l 2垂直于过P 1(1,0)、P 2(1,5)的直线，又因过P 1(1,0)、P 2(1,5)的直线垂直于x 轴，所以l 1、l 2平行于x 轴，即方程分别为l 1：y=0,l 2：y=5.答案：y=0 y=57.解：直线l 的斜率不存在时，即方程为x=-2，此时点B(1,-1)到该直线的距离为3，满足条件；直线l 的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+2)+3，根据点到直线的距离公式得d==324k=-7k=,即此时直线l 的方程为y=(x+2)+37x+24y-58=0.故所求直线的方程为x=-2或7x+24y-58=0.8.解：直线l 平行于直线AB 时，其斜率为k=k AB ==-1，即直线方程为y=-(x-1)+1x+y-2=0；直线l 过线段AB 的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l 的方程为y=1.综上，直线l 的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根据题意得：l 1与l 2的距离d=⇒=+⇒=+27|21|51075|21|a a a=3或a=-4(舍). (2)设P 点坐标为(x 0,y 0),则x 0＞0,y 0＞0.若P 点满足条件②,则2×⇒--=+-5|212|5|32|0000y x y x ｜8x 0-4y 0+12｜=｜4x 0-2y 0-1｜,8x 0-4y 0+12=4x 0-2y 0-1或8x 0-4y 0+12=-(4x 0-2y 0-1)4x 0-2y 0+13=0或12x 0-6y 0+11=0; ① 若P 点满足条件③, 则⇒--⨯=+-⨯2|12|25|32|20000y x y x ｜2x 0-y 0+3｜=｜x 0+y 0-1｜,2x 0-y 0+3=x 0+y 0-1或2x 0-y 0+3=-(x 0+y 0-1),x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; ② 由①②得⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+-=+-023,011612023,01324042,013240000000000x y x x y x y x y x 或或 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1837,9121,32631,3221,300000000y x y x y x y x 或或或 故满足条件的点P 为(-3,)或()或()或().。
最新人教版高中数学必修2第三章《点到直线的距离、两条平行直线间的距离》教案
《点到直线的距离、两条平行直线间的距离》教案教学目标：1．理解点到直线公式的推导过程，掌握点到直线与两条平行直线间距离公式及应用.2. 通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法，并在推导过程中培养学生思维能力和创新能力.3. 引导学生勇于探索，善于探究的精神，从而养成学生良好的数学学习品质.教学重点难点：1．重点：点到直线距离公式与两条平行直线间距离公式及应用.2．难点：点到直线距离公式的推导.教法与学法：1．教法选择：设置情景——探究新知——变式演练——思维拓展——归纳小结.2．学法指导：观察、思考，操作、尝试、合作，表达、交流.教学过程：一、设置情境，激发学生探索的兴趣二、变式演练，提高能力三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：《点到直线的距离》和《两条平行线间的距离》是直线与方程最后两节的内容.它是解决点线、线线距离的基础，也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线作准备.2．学生现实状况分析：在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系.距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线、直线与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识.3. 教材编写意图是让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法，逐步学会利用数形结合、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；能让学生充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣.4．本节课的难点和重点是公式的推导，而推导方法是丰富多彩的，其蕴涵的思想也是深刻的，如何能在一节课中既能让学生了解多种推导方法，又能领悟其中的思想？课前准备环节，让学生利用网络资源和查找资料课前自主学习，给学生提供一个课前探究问题的平台.。
人教课标版高中数学必修2《点到直线的距离与平行直线间的距离》教学设计
点到直线的距离与平行直线间的距离一、教学目标 （一）核心素养这节课是坐标法的延续，体会两个距离（点线距离，线线距离）研究由易到难的过程，体会数学研究中化归思想的应用，学会用代数方法解决简单的几何问题，体会数形结合这种解析几何最核心的思想方法，同时提升数学证明与解题的规范性与严密性以及化归思想的应用． （二）学习目标1．通过证明，要掌握点到直线的距离公式和会求两点间的距离公式． 2．会用代数法解决简单的几何问题． （三）学习重点1．点到直线距离公式的推导及其推导的规范性与完备性． 2．点到直线的距离和平行直线间的距离的简单应用． 3．用代数方法处理几何问题． （四）学习难点1．点到直线的距离公式的证明．2．点到直线距离公式与平行直线间距离公式的应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第106页至第109页，填空： 点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d（2）阅读课本110页B 组习题第三题，填空：两条平行120,0Ax By C Ax By C ++=++=直线间的距离为d2．预习自测1.点(0,2)P 到直线:30l x -=的距离为（ ） A ．0 B ．1C．3D．5答案：C．解析：【知识点】点到直线距离公式．【解题过程】作图可知点线距离为横坐标之差．点拨：作图可知点线距离为横坐标之差．2.点(0,2)+-=的距离为（）l x yP到直线:3430A．0B．1C．3D．5答案：B．解析：【知识点】点线距离公式．【解题过程】1d．点拨：直接利用点线距离公式．3.两条平行3480,3430++=++=直线间的距离为（）x y x yA．0B．1C．3D．4答案：B．解析：【知识点】平行直线间距离公式．【解题过程】1d==．点拨：直接利用平行直线间距离公式求解．(二)课堂设计1．知识回顾（1）联立两直线方程：1112220A xB yC A x B y C ，若方程组有唯一解，此解就是 交点 的坐标；（2）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为 22121212()()PP x x y y ． （3）平面上点(,)P x y 到原点(0,0)的距离公式为 22OP x y ．2．问题探究探究一 研究讨论，推导点到直线的距离公式★ ●活动① 从特殊到一般研究讨论点到直线的距离 已知点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，（1）0A =时，即直线平行于x 轴时，此时直线为:Cl y B=-，点到直线的距离为00By C Cd y B B+=+=； （2）0B =时，即直线平行于y 轴时，此时直线为:Cl x A=-，点到直线的距离为00Ax C Cd x A A+=+=； （3）当0,0B A ≠≠时，过000(,)P x y 作直线:0l Ax By C ++=的垂线，垂足为(,)Q x y ，则2200()()d x x y y =-+- 直线0P Q 的方程为00()B y y x x A -=-，即00()()0A y y B x x ---=，联立00()()00A y y B x x Ax By C ---=⎧⎨++=⎩，考虑整体处理，将方程组处理为000000()()()()()A y yB x x A x x B y y A BC -=-⎧⎨-+-=-++⎩求解00,x x y y --得0002200022()()A Ax By C x x AB B Ax ByC y y A B-++⎧-=⎪⎪+⎨-++⎪-=⎪⎩+，代入d = （1），（2）仍然满足这个公式．【设计意图】利用化归思想和整体处理的思想，将点线距离转化为点点距离处理，同时训练学生的计算推导能力和数学书写的规范性． ●活动② 利用向量方法推导点线距离公式当0B =或0A =时，同活动①；当0,0B A ≠≠时，点线距离为垂线段0P Q 长，此线段长为向量0P S 在垂直于直线l 的向量上投影长， 00000000(,)()(1,)()(1,)()(,)P P P P P P P y y BP Q x x y y x x x x A x x A B x x A-=--=-=-=--， 取垂直直线的向量(,)n A B =，所以0(n P S A x d n=【设计意图】利用向量投影的几何意义处理点线距离问题，并通过一问多解体会整体处理给我们带来的计算简化．●活动③ 继续使用化归思想处理平行直线间距离（可让学生自主完成）已知两条平行120,0Ax By C Ax By C ++=++=直线，在直线10Ax By C ++=上任取点000(,)P x y ，由点线距离公式可得两条直线间的距离d ．【设计意图】回归思想的应用．探究二 点线距离、平行直线间距离公式的应用 ●活动① 巩固基础，检查反馈例1 已知三角形三点(11),(2,2),(0,3)A B C -，-，则三角形ABC 的面积为 ．【知识点】直线方程，两点间距离，点线距离公式，三角形面积公式．【解题过程】AB 直线方程为0x y -=，C 到0x y -=的距离为d ，所以面积为92S ==． 【思路点拨】综合使用点线距离，点点距离． 【答案】92． 同类训练 已知点(,0)a 到直线10x y -+=，则a 的值为 ． 答案：1a =或3a =-．解析：【知识点】点线距离公式．【解题过程】由点线距离公式d ，1a =或3a =-．点拨：由距离公式列式解方程． 【设计意图】熟悉点线距离公式．例2 求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程．【知识点】平行直线之间距离公式．【解题过程】设直线':5120l x y m -+=2=，20m =-或32m =．【思路点拨】由平行直线间距离公式列式求解． 【答案】512320x y -+=或512260x y --=．同类训练 两平行直线10,0x y x y a ++=++=，求a 的值． 答案：1,3a =-．解析：【知识点】平行直线间距离．1,3a =-．点拨：由平行直线间距离公式列式求解． 【设计意图】巩固平行直线间距离公式．●活动② 强化提升、灵活应用 例3 求过点(1,2)P 且与点(2,3),(4,5)A B -的距离相等的直线l 的方程． 【知识点】点线距离公式． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】情况一，直线l 过AB 中点(3,1)-，由两点式可得直线l 的方程为3270x y +-=；情况二，直线l 与AB 平行，4l AB k k ==-，直线l 的方程为460x y +-=． 【思路点拨】分类讨论．【答案】3270x y +-=或460x y +-=．同类训练 已知直线1l ，2l 平行，直线1l 过点(0,1)A ，直线2l 过点(5,0)B ，且两直线间的距离为5，求直线1l ，2l 的方程．答案：12:0,:5l x l x ==或12:12550,:125600l x y l x y -+=--=． 解析：【知识点】平行直线间距离公式． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】情况一，两条直线的斜率均不存在，此时12:0,:5l x l x ==， 情况二，两条直线的斜率均存在，设12:1,:(5)l y kx l y k x =+=-，此时5d ，解得125k =，此时12:12550,:125600l x y l x y -+=--=． 点拨：由特殊到一般，分类讨论．【设计意图】分类讨论，数学问题解的完备性． ●活动③ 距离公式在解析几何中的简单应用例4 点(,)P x y 为函数2y x =的图像上一点，求点(,)P x y 到直线:10l x y --=的距离的最小值及此时点P 的坐标． 【知识点】点线距离公式．【数学思想】函数思想．【解题过程】d，此时11(,)24P．【思路点拨】将距离函数化，再求函数最值．，11 (,) 24 P．同类训练点(,)P x y为函数1(0)xy x=>的图像上一点，求点(,)P x y到直线:10l x y++=的距离的最小值及此时点P的坐标．，(1,1)P．解析：【知识点】点线距离公式，均值不等式．【数学思想】函数思想，不等式思想．【解题过程】d=，此时(1,1)P．点拨：利用均值不等式求函数最值．【设计意图】函数化求解距离最值问题．3. 课堂总结知识梳理（1）点000(,)P x y到直线:0l Ax By C++=的距离d（2）两条平行120,0Ax By C Ax By C++=++=直线间的距离d．重难点归纳（1）解决数学问题的规范性与完备性，在设直线方程时，一定要注意特殊到一般，先考虑直线斜率不存在的情形．（2）数形结合，合理选择工具处理距离中的最值问题．（三）课后作业基础型自主突破1．点(1,1)到直线3480x y+-=的距离为________．答案：15．解析：【知识点】点到直线的距离公式．【解题过程】15 d．点拨：直接利用点线距离公式．2．平行直线3480,3430x y x y+-=+-=间的距离为________．答案：1．解析：【知识点】平行直线间距离公式．【解题过程】1d．点拨：直接使用平行直线间距离公式．3．点(1,1)到直线0x y m++=，则m的值为________．答案：0或-4.解析：【知识点】点线距离公式．【解题过程】0d m=或4m=-．点拨：代入点线距离公式列方程求解．4．点(1,1)到直线10x my+-=的最大距离为________．答案：1．解析：【知识点】过定点的直线系，点线距离公式．【数学思想】数形结合【解题过程】10x my+-=过定点(1,0)1=．点拨：动直线过定点．5．到直线30,50x y x y+-=++=距离相等的直线方程为________．答案：10x y++=．解析：【知识点】平行直线间距离公式．【数学思想】方程思想【解题过程】设所求直线方程为0x y c ++=，由题意可知35c c +=-，解得1c =，直线方程为10x y ++=．点拨：待定系数，列式求解．6．已知三角形ABC 中(32),(1,5)A B -，，点C 在直线330x y -+=上，则三角形ABC 的面积为10，则点C 的坐标为___________．答案：(-1,0)或5(,8)3．解析：【知识点】点线距离公式．【解题过程】5AB =，且:34170AB x y +-=，设(,33)C x x +，三角形的高34(33)1745x x h ++-==，解得1x =-或53x =，所以C 为(-1,0)或5(,8)3． 点拨：将三角形的高处理为点线距离，设未知数列方程求解． 能力型 师生共研7．点(,)a b 在直线34150x y +-=的最小值为________． 答案：3．解析：【知识点】点到原点的距离公式． 【数学思想】数形结合．34150x y +-=上点的距离，它们的最小值即为原点到直线34150x y +-=的距离001535d +-==．(,)a b 到原点的距离将问题转化为点线距离求解．8．若两平行直线3210x y --=，60x ay c ++=，则2c a +的值为_______．答案：1±．解析：【知识点】平行直线间距离公式． 【数学思想】方程思想【解题过程】由平行关系可知4a =-，两直线为3210x y --=，3202cx y -+=，由平行直线间，解得24c +=，所以21c a +=±． 点拨：先求出a 的值，由平行直线间距离公式列式计算． 探究型 多维突破1．利用本课知识，探究直线3y x =+关于直线2y x =的对称直线的新求法． 答案：7150x y --=．解析：【知识点】点线距离公式． 【数学思想】方程思想．【解题过程】直线3y x =+关于直线2y x =的交点为(3,6)，设对称直线为6(3)y k x -=-，即630kx y k -+-=．由对称关系可知直线2y x =上的点到30x y -+=，630kx y k -+-=的距离相等，所以在直线2y x =上取点(0,0)1k =（舍）或7k =，所以直线方程为7150x y --=．点拨：由对称关系可知直线2y x =上的点到30x y -+=，630kx y k -+-=的距离相等． 2．已知动点(,)P x y 满足方程1(0)xy x =>．（1）求动点P到直线:20l x y +=距离的最小值；（2）设定点(,)A a a ，若点P A ，之间的最短距离为22,求满足条件的实数a 的取值． 答案：（1（2）1-=a 或10． 解析：【知识点】点线距离公式． 【数学思想】不等式，分类讨论．【解题过程】（1）d ==≥x =时距离取得最小值（2）设点)1,(x x P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a xx a x a x d ++-+=-+-= 设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t xx ， 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )，对称轴为a t =，分两种情况:(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值 ， ∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍) ；(2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增,∴a t =时,)(t f 取最小值 ， ∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍) ；综上所述,1-=a 或10．点拨：利用函数不等式方法求解距离最值．自助餐1．,P Q 分别为直线10,2230x y x y +-=+-=上的点，则PQ 的最小值为（ ）A ．1B．C．D． 答案：D ．解析：【知识点】平行直线间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】两条直线平行，它们间的距离d 即为PQ 的最小值． 答案：PQ 的最小值为平行直线间距离．2．原点到直线(1)210a x y a --++=距离的最大值为_________．．解析：【知识点】过定点的直线系，点线距离．【数学思想】数形结合．【解题过程】直线(1)210a x y a --++=过定点(2,3)-，原点到直线距离的最大值即为原点到(2,3)-点拨：原点到直线距离的最大值即为原点到(2,3)-的距离．3．两平行10,20x my x my m ++=++=直线间的最大距离为_________．解析：【知识点】过定点的直线系．【数学思想】数形结合．【解题过程】10,20x my x my m ++=++=分别过定点(1,0),(0,2)--，所以它们间的最大距离即为两定点(1,0),(0,2)--点拨：分别过定点的平行直线间最大距离即为定点间距离．4．直线方程0ax by c ++=，满足222a b c +=，则到该直线距离为定值的点为_______． 答案：(0,0)．解析：【知识点】点线距离公式．【解题过程】(0,0)到直线的距离为1d ==．点拨：(0,0)到直线的距离为1d ==．三、解答题 1．求直线22y x =+关于直线5y x =-+对称的直线．答案：270x y -+=．解析：【知识点】直线交点，点线距离公式．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立22y x =+，5y x =-+可得它们的交点为(1,4)，在直线5y x =-+上取点(0,5)，设所求直线方程为4(1)y k x -=-即40kx y k -+-=2k =（舍）或12k =，所求直线方程为270x y -+=． 点拨：利用对称关系，在对称轴上取特殊点，利用此特殊点到两线距离相等列式求解．2．已知4()(0)f x x x x=+>，P 为函数图像上任意一点，O 为坐标原点，过P 作直线垂直y x =于点M ，作直线垂直y 轴于点N ，求四边形OMPN 的面积的最小值．答案：4+．解析：【知识点】点线距离公式，三角形面积公式．【数学思想】数形结合，不等式思想． 【解题过程】设点的坐标为4(,)P x x x+，将四边形的面积划分为三角形,OPN OPM ，OP =，PM由勾股定理2)OM x x===+，所以，四边形的面积为2211422218()(()2())()4222OP PN OM PM x x x x x x x+=+++=++，由均值不等式，它的面积最小值为4+，当228x x=时即342x =取得． 点拨：要学会把点线距离公式当成处理距离的有力工具，合理使用，在此题中利用点线距离公式表示出PM ，进而列式求解面积最值．。
人教A版高中数学必修二蓝山二中与点到直线的距离与两条平行直线间的距离教案
一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第三节的第三课时。
“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以“点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：1.点到直线的距离公式的运用中没有把直线化成一般式;2.两直线的距离公式的运用中没有统一系数.三、教学目标1.让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；2.通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力;在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；3.通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．四、教学重点，难点重点：点到直线距离公式的推导和应用．难点：发现点到直线距离公式的推导方法．五、教学过程(一)．创设情境提出问题问题1:某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．(二).自主探索推导公式问题2:已知点P(x0，y0)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．问题3:怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．问题4:如何求？思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．评价：此方法思路自然．问题5:(1)求线段长度可以构造图形吗？(2)什么图形？如何构造？(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S．思路二：在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．思路三：在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长．探索过程．（思路一）解：直线：，即由，（思路四）解：设，，，，；，由，而问题6:①上式是由条件下得出，对成立吗？②点P在直线上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？(三).形成结论点P(x 0，y 0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：适用于任意点、任意直线．(四). 应用举例例1.某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P 的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P （－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．要完成这项任务，至少需要多长的电缆？ 例2.求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：①3x=2 ②5y=3 ③2x ＋y=10 ④y=－4x+1 强调：直线方程的一般形式．例3.已知点(1,3),1A B C ，（3），（-1，0），求ABC ∆的面积 例4.求平行线2x －7y ＋8=0和2x －7y －6=0的距离． 问题7：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？解：在直线2x －7y －6=0上任取点P(x 0，y 0)，则2 x 0－7 y 0－6=0，点P(x 0，y 0)到直线2x －7y ＋8=0的距离是．变式:已知直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离.(五)引申思考：与两平行线间距离公式．(六).课堂练习教材P108 练习1.2.教材P109 练习1.(七).归纳总结①知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．②数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．(八).课外作业：《习案》与《学案》。
湖北省高二数学人教A版必修2《3.3.3点到直线的距离与两条平行直线间的距离》教案
课题名称点到直线的距离和两平行线间的距离 教师姓名学生年级 高二 课时 2 课程标准描述熟练掌握点到直线的距离公式；会用点到直线距离公式求解两平行线距离。
考试大纲描述熟练掌握点到直线的距离公式；会用点到直线距离公式求解两平行线距离。
教材内容分析 求点到直线的距离是一个几何问题，在平面几何中从几何图形的角度进行过定性和定量的研究.在解析几何中再次提出这个问题，体现了研究同一个问题的不同方法，体现了坐标法的应用.点到直线的距离公式作为一个重要工具广泛应用于今后很多解析几何问题的求解过程中.此外，从本章的安排来看，点到直线的距离公式可以看做两点间距离公式的应用，由它还可以得到两条平行线间的距离，因此无论从知识结构还是从教材来看它都起着承上启下的作用，它是《直线的交点与距离公式》这一单元的核心内容.学生分析 引导学生选择可行的、能够突出坐标法特点的方法进行推导，在推导过程中，引导学生合理变形，细心计算，从而得到点到直线的距离公式.学习目标 1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 重点点到直线距离公式的推导和公式的应用 难点点到直线距离公式的推导和公式的应用 教学环节 教学活动教师复备导 构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点到直线的距离及两条直线之间的距离．思1.什么是平面上点到直线的距离？ 2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，如何求点P 到直线l 的距离?法一）：法二):思路小结： 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离检查结果及修改意见：合格[ ] 不合格[ ]教研组长（签字）：检查日期：年月日。
人教A版高中数学必修2《三章直线与方程3.3.4两条平行直线间的距离》优质课教案_6
《3.3.4两条平行直线间的距》（教学设计与反思）五、归纳与提升例3 :任意两条平行线l i：Ax+By+C=0和1 2: Ax+By+C=O 的距离是多少呢？解（略）练习：求两直线6x-21y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
解（略）教师提出问题并把问题具体化，让学生先独立思考，教师再指导学生分析、引导，最后通过小组合作交流及讨论提炼出两条平行直线的距离公式。
通过分组探究讨论，学会活用公式，渗透转化与化归思想、特殊到一般、解析法证明的方法。
根据教材第108页例7改变，让学生可以利用点到直线的距离公式求解，也可以利用两条直线的距离公式的应用，引导学生总结出用两平行线间距离公式须将方程中x、y 的系数化为对应相同的形式后再利用平行线公式求解。
尝试用多种方法，培养学生探究与发散思维能力，为进一步挖掘题目的开放功能,形成“再创造”过程。
同时培养学生合作学习的团队精神。
其一本练习目的让学生发现这两条平行直线的系数不一样，不知道A、B的值带哪一个，从而引发学生的认知冲突。
其二是让学生体会三算（算理、算法、算链），提升运算求解能力。
六、归纳小结，理清脉络归纳小结（1）点到直线距离公式:A2 B2指导学生小结本节课的重点知识和数学思想方法，形成知识体系。
小结以学生为主，教师为辅，通过回顾，再认识探究过程，升华数学思想方法（2）两平行直线间的距离：dC2 _ C1A2 B2（3）本节课使用的数学思想和方法有那些？在使用两条平行直线距离公式时候要注意什么问题？评价设计五作业练习，巩固知识1.人教A版P l08练习第2题、P l09练习2.P iio A组第9、10题B组第2、4题3.思考题：求直线l i : Ax By C^ 0关于直线l : Ax By • C =0对称直线12方程。
体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。
板书设计投影屏幕课题探究问题1算法探究距离公式探究问题2有利于学生对本节课的知识有一个系统的认识•本节课在教学设计上，力求调动一切积极因素，激发学生的学习兴趣。
高中数学 第二章(点到直线的距离)学案 新人教A版必修2 学案
某某省某某市武城二中高二数学必修二人教A 版第二章《点到直线的距离》
【学习目标】
1.重点：点到直线的距离公式推导与应用。
点：点到直线的距离公式的推导。
【学习过程】
（一）自主学习（阅读课本，完成下列问题）
),(00y x P 到直线)0(022≠+=++B A C By Ax 的距离=d 。
1l ：01=++C By Ax 与0:22=++C By Ax l 的距离=d 。
（二）思考
计算两平行线间的距离应注意哪些问题？
【例题分析】
例1.求点)2,3(-P 到下列直线的距离：
（1）0143=--y x ；（2）6=y ；（3）y 轴.
ABC ∆中，)1,1(A ，),(m m B ，)2,4(C )41(<<m ，求m 为何值时，ABC ∆的面积S 最大。
1043:1=+y x l 和1543:2=+y x l 的距离。
【反馈练习】
)1,1(到直线01=-+y x 的距离为（ ）
A.1
B.2
C.2
2D.2 2.已知点)2,(a A )0(>a 到直线03:=+-y x l 的距离为1，则=a （ ） A.2B.22- C.12- D.12+
)2,3(A 和)4,1(-B 到直线03=++y mx 的距离相等，则m 为（ ）
A.0或21-
B.21或6-
C.21-或21
D.0或2
1 )5,0(到直线x y 2=的距离是。
)2,3(-M 且与原点距离为3的直线l 的方程为。
032=-+y x 和012=--y x 的交点且和点)1,0(距离为1的直线的方程。
3.3.两条平行直线间的距离-人教A版必修二教案
3.3 两条平行直线间的距离-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解平行线的概念及性质，掌握两条平行线间的距离计算方法；2.能够运用两条平行线间的距离计算方法解决实际问题；3.培养学生逻辑思维能力，提高思维清晰度和解决问题的能力。
二、教学重难点1.平行线的性质及两条平行线间的距离计算方法；2.实际问题的转化和解决。
三、教学过程1. 导入新知识•老师将两条平行线在黑板上画出，引出平行线的概念，并让学生复习重点。
2. 概念讲解•老师引导学生用自己的语言解释什么是平行线，然后讲解其性质，如平行线的任意两条同位角相等、内角和等于180度等。
3. 两条平行线间的距离计算•老师可以借助平行线的性质，让学生通过观察图形，自行推导出两条平行线间的距离计算公式。
•老师还可以通过教学视频等形式，向学生展示两条平行线间的距离计算方法，并让学生熟悉其使用方式。
4. 练习与实际问题解决•老师提供一些练习题让学生自己尝试解答，并及时纠正错误，让学生更好地掌握两条平行线间的距离计算方法。
•老师还可以提供一些实际问题，如建筑设计中的尺寸测量问题等，让学生将所学知识运用到实际中。
5. 总结和扩展•老师针对学生的表现进行总结和点评，梳理所学知识，让学生更好地理解和记忆所学内容。
•老师还可以提供一些拓展内容，如欧几里得几何等，让学生扩宽知识面，进一步提高数学水平。
四、教学方法1.课堂讲解法；2.图像展示法；3.练习与实际问题解决；4.思维导向教学法。
五、教学工具和教材1.教学视频、PPT等多媒体教学工具；2.人教A版必修二教材及配套教辅。
六、教学评价1.学生的参与度、掌握程度和应用能力；2.学生的测试成绩和作业完成情况；3.学生在实际问题解决中的表现。
七、教学反思1.平行线的性质讲解要简明扼要，不能太枯燥；2.需要加强课堂练习环节，让学生更好地理解和掌握知识点；3.能够更好地与实际问题结合，使学生更好地理解知识点。
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一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第三节的第三课时。
“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以“点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．
二、学生学习情况分析
本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：
1.点到直线的距离公式的运用中没有把直线化成一般式;
2.两直线的距离公式的运用中没有统一系数.
三、教学目标
1.让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；
2.通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力;在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；
3.通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．
四、教学重点，难点
重点：点到直线距离公式的推导和应用．
难点：发现点到直线距离公式的推导方法．
五、教学过程
(一)．创设情境提出问题
问题1:某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？
经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．
这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．
(二).自主探索推导公式
问题2:已知点P(x0，y0)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？
学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．
问题3:怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？
提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．
平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．
问题4:如何求？
思路一：过作于点，根据点斜式写出直
线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后
利用两点距离公式求得．
评价：此方法思路自然．
问题5:(1)求线段长度可以构造图形吗？(2)什么图形？如何构造？
(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？
构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S．
思路二：在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与
角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．
思路三：在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,
用余弦值．
思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），
求得线段PQ长．
探索过程．
（思路一）解：直线：，即
由，
（思路四）解：设，，，
，；，
由，
而
问题6:①上式是由条件下得出，对成立吗？
②点P在直线上成立吗？
③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？
(三).形成结论
点P(x 0，y 0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：
适用于任意点、任意直线．
(四). 应用举例
例1.某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P 的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P （－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．
要完成这项任务，至少需要多长的电缆？ 例2.求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：
①3x=2 ②5y=3 ③2x ＋y=10 ④y=－4x+1 强调：直线方程的一般形式．
例3.已知点(1,3),1A B C ，（3），（-1，0），求ABC ∆的面积 例4.求平行线2x －7y ＋8=0和2x －7y －6=0的距离． 问题7：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？
解：在直线2x －7y －6=0上任取点P(x 0，y 0)，则2 x 0－7 y 0－6=0，点P(x 0，y 0)到直线2x －
7y ＋8=0的距离是．
变式:已知直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离.
(五)引申思考：
与两平行线间距离公式．
(六).课堂练习
教材P108 练习1.2.教材P109 练习1.
(七).归纳总结
①知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．
②数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．(八).课外作业：
《习案》与《学案》。