数学物理方程试卷(B)

2011-2012

一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码

（A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。

1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题.

(A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）.

(A) 2260u u u

u t x ∂∂++-=∂∂； (B) 2222cos 40∂+-⋅-=∂u

t t u x x ； (C) 2

90∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭

u xu t t ； (D) 22

60∂∂+⋅-⋅=∂∂t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）.

(A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数；

(D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）.

(A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3

R Ω⊂为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）.

(A) 若2

()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f

Γ⎧∇=Ω⎨=⎩在内

的解是唯一确定的；

(B) 若2

1()

()u C C ∈ΩΩ，则2u

u dV dS n

Ω

Γ∂∇=∂⎰⎰⎰⎰⎰

； (C) 牛曼内问题20,|1u u n

Γ⎧∇=Ω⎪

⎨∂=⎪∂⎩在内有解且不唯一；

(D) 半径为R 的均匀球，上半球面温度保持为1，下半球面温度保持为0.

球心点的温度为

12

. 二、填空题（每空2分，共计14分）

请将正确答案填在题后相应的横线上。

1、 已知定解问题004,,0|0,|sin ,

tt xx t t t u u x R t u u x x R

===∈>⎧

⎨==∈⎩，则点(,)x t 的依赖区间为

________________________，其解(,)=u x t ______________________________________.

2、 二阶线性偏微分方程222

2

22220u u u x xy y x x y y

∂∂∂++=∂∂∂∂属于__________________型方程.（填椭圆、双曲或抛物）

3、 长为l 的均匀细杆表面绝缘，包括两端点0x =和x l =.已知初始温度为()f x ， 试写出

此定解问题.

___________________________________________________________________________. 4、 欧拉方程2

40x y''xy'y +-=的通解为__________________________________________.

5、 设3

R Ω⊂是以光滑曲面Γ为边界的有界区域，函数21∈,()

()u v C C ΩΩ.则第二格林

公式为_____________________________________________________________________.

6、 特征值问题()()0

(0)()0''''

X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩的特征函数()=n X x ____________________________. 三、（本题16分）求解下列定解问题（边界条件齐次化）

22

0022sin cos ,0,0,|3,|6,0,|31,0.x x l t u u x x

x l t t x l l u u t x u x l l ππ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪

==>⎨⎪⎛⎫

⎪=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩

四、（本题15分）利用行波法求解下列初值问题

22222002240,

,0,|0,|,.

==⎧∂∂∂+-=∈>⎪∂∂∂∂⎪

⎨

∂⎪==∈⎪∂⎩

y y u u u

x R y x x y y u u x x R y

五、（本题15分）利用Green 函数法求解求解半空间1x ≥内狄氏问题

()22222210,1,,,

|,,,.x u u u

x y R z R x y z

u f y z y R z R =⎧∂∂∂++=>∈∈⎪∂∂∂⎨⎪=∈∈⎩

六、（本题15分）已知函数n x （n 为整数）的Laplace 变换为1

!,n n n L x p +⎡⎤=

⎣⎦

利用Laplace 变换法求解下列定解问题

200,0,0,|1,0,|1,

0.x y u

xy x y x y u y y u x ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎨

=+>⎪⎪=>⎩

七、（本题10分）求解下列定解问题

2200,0,0||5,0|0,0x x l t u u A x l t t x u u t u x l

===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪

==>⎨⎪=≤≤⎪⎪⎩