数学物理方程期末试卷
数学物理方程考试试题及解答(1)
数学物理方程考试试题及解答(1)数学物理方程考试试题及解答考试题目：求解一阶常微分方程y'+3y=x+e^(-2x)解答：1. 首先我们需要将原方程变形，得到y'和y的系数都为1的形式： y'+3y=x+e^(-2x)y'+3y-1*x= e^(-2x)即：y'+3y-(1*x)= e^(-2x)2. 根据一阶常微分方程的标准形式 y'+p(x)y=q(x) ，我们可以将上述方程的左侧写成d/dx(y*e^(3x))的形式。
具体步骤如下：(y'+3y)e^(3x) - x*e^(3x) = e^(3x)*e^(-2x)即：d/dx(y*e^(3x)) - x*e^(3x) = e^xd/dx(y*e^(3x)) = e^(3x)+x*e^(3x)+e^x3. 将方程两侧的d/dx和e^(3x)去掉，得到最终的含y的方程：y*e^(3x) = ∫(e^(3x)+x*e^(3x)+e^x)dx + C= (1/3)*e^(3x) + (1/2)*x*e^(3x) + e^x + C即：y = (1/3) + (1/2)*x + e^(-3x)*(e^(2x)*C+1)4. 因为是一阶线性齐次方程，存在唯一的初始条件y0，可以将解方程带入初始条件得到C的值。
考试题目：提出热传导方程的边界条件∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)解答：热传导方程描述的是一个物质内部温度分布随时间变化的情况，它可以用数学模型来表示:∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)其中，u(x,t)是时间t和空间x处的温度，a是热传导系数，代表了物质的传热速率。
热传导方程的边界条件通常有如下几种：1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：即在给定的边界上已知温度u，通常写成形式u(x,t)|_∂Ω = f(x,t) 。
在第一类边界上，温度保持不变，而且是已知的，所以我们直接用Dirichlet边界条件就可以描述。
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、选择题1.在一个匀速运动中，物体的速度v与物体的位移s的关系是：A.v=s/tB.v=s/t^2C.v=s*tD.v=s*t^22.以下哪个物理量属于标量？A.速度B.力C.加速度D.距离3.物体质量为m，重力加速度为g，物体所受重力的大小为：A. mgB. mg/2C. 2mgD. mg^24.物体自由落体下落t秒后的位移s与时间t的关系为：A. s=gtB. s=gt^2C. s=gt^3D. s=1/gt5.以下哪个物理量属于矢量？A.面积B.速度C.力D.质量二、填空题1.一辆车以10m/s的速度匀速行驶了20秒，那么它的位移是_____________米。
2.物体在一个小时内匀速运动40千米，速度为_____________米每秒。
3.物体在水平地面上受到10牛的推力，质量为2千克，加速度为_____________。
4.一个物体从100米高的地方自由落体，下落10秒后的速度是_____________米每秒。
5.物体质量为5千克，重力加速度为10米每秒的平方，所受重力的大小是_____________牛。
三、解答题1.用物理公式解释为什么月亮绕地球运动？答：根据万有引力定律，任意两个物体之间都存在引力。
月球的质量相对较小，在地球的引力作用下，它会受到向地心的引力，从而绕着地球进行运动。
2.一个物体以10m/s的速度沿水平方向运动，另一个物体以5m/s的速度沿同一方向追赶第一个物体，如果第二个物体和第一个物体质量相同，两个物体发生碰撞后，它们的速度是多少？答：根据动量守恒定律，两个物体的总动量在碰撞前后保持不变。
因此，第一个物体的动量为10 kg·m/s，第二个物体的动量为5 kg·m/s。
由于两个物体质量相同，碰撞后它们的速度将相等。
设碰撞后的速度为v，则第一个物体的动量为10v kg·m/s，第二个物体的动量为5v kg·m/s。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数学初二物理期末试卷答案
一、选择题1. 下列哪个物理量是标量？（）A. 力B. 速度C. 功D. 时间答案：D解析：标量是只有大小没有方向的物理量，时间就是这样的物理量。
2. 下列哪个物理量的单位是N·m？（）A. 功B. 力C. 速度D. 时间答案：A解析：功的单位是焦耳（J），而1J=1N·m，所以功的单位是N·m。
3. 下列哪个物理量的单位是m/s？（）A. 速度B. 加速度C. 力D. 时间答案：A解析：速度的单位是米每秒（m/s），表示物体在单位时间内移动的距离。
4. 下列哪个物理量的单位是kg·m/s²？（）A. 力B. 功C. 速度D. 时间答案：A解析：力的单位是牛顿（N），而1N=1kg·m/s²，所以力的单位是kg·m/s²。
5. 下列哪个物理量的单位是J/kg？（）A. 功B. 力C. 速度D. 热量答案：D解析：热量的单位是焦耳（J），而1J=1kg·m²/s²，所以热量的单位是J/kg。
二、填空题6. 一个物体在水平面上做匀速直线运动，速度为5m/s，则物体在2秒内通过的距离是______m。
答案：10解析：根据速度的定义，速度=位移/时间，所以位移=速度×时间=5m/s×2s=10m。
7. 一个物体在5秒内通过的距离是25m，则物体的平均速度是______m/s。
答案：5解析：根据速度的定义，速度=位移/时间，所以平均速度=位移/时间=25m/5s=5m/s。
8. 一个物体受到的合力是10N，物体的质量是2kg，则物体的加速度是______m/s²。
答案：5解析：根据牛顿第二定律，F=ma，所以加速度a=F/m=10N/2kg=5m/s²。
9. 一个物体在水平面上做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，初速度为3m/s，则物体在5秒内的位移是______m。
数学物理方程期末试卷
数学物理方程期末试卷第一部分：选择题请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。
1.求解y″+y=0有解的方法是？A. 特征根法 ( )B. 系数法 ( )C. 齐次线性微分方程法 ( )D. 变量分离法 ( )2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？A. u在区域内为调和函数 ( )B. u在区域内为多项式函数 ( )C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在t=1时，u(x,1)=?A. $\\frac{x}{2}$B. xe−2C. $\\frac{x}{e^2}$D. xe2 ( )4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？A. 特征线法 ( )B. 微分方程求解法 ( )C. 变量分离法 ( )D. 特征值法 ( )5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？A. $y''+y=\\sin(x)$B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )C. $y''+y=\\cos(x)$D. $y''-y=\\sin(x)$第二部分：填空题请在每个题目中填入恰当的答案。
1.y″−2y′+2y=0的通解为______。
2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}=0$ 的波动方程，初始时刻条件为$u(x,0)=\\varphi(x)$，$u_t(x,0)=\\psi(x)$，其解为$u(x,t)=\\frac{1}{2}(f_1(x-ct)+f_2(x+ct))$，其中f1(x),f2(x)分别是u(x,0)和u t(x,0)的__________。
数学物理方程试卷及答案
数学物理⽅程试卷及答案参考解答：⼀、填空题1. A 定解 B 初值（或Cauchy 问题） C 存在性、唯⼀性和稳定性2. D 双曲3. E (1)(2)(4)4. F [x-3t,x+t] ,G 决定区域5. H 222(21)(1,2,)4n n L πλ-==L I(21)cos (1,2,)2n x X n Lπ-==L ⼆、解：⽆界区域上波动⽅程200,,0|(),|()tt tt t t t u a u x t u x u x ?ψ==?=-∞<<+∞>??==?? 的达朗贝尔公式为：22()()1(,)()22x atx at x at x at u x t d aψξξ+--++=+对于本题所给半⽆界区域上的⾃由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：2(),()||x x x x ?ψ==即可，2a = ,代⼊达朗贝尔公式得22222222(2)(2)1()||2224,25(4),24x tx tx t x t u x d x xt t x tx t x t ξξ+--++=+??++≥?=?+⼆、解：设(,)()()u x t X x T t =，则()''()4''()()X x T t X x T t =，分离变量成为''()''()4()()T t X x T t X x λ==-，则''()()0,'(0)'(1)0''()4()0X x X x X X T t T t λλ+===??+=?，解前⼀⽅程，得固有值22(0,1,2,)n n n λπ==L 和固有函数()cos X x n x π=，代⼊⽅程''()4()0T t T t λ+=中可得()cos 2sin 2T t A n t B n t ππ=+，1,2,3,)n =L （由叠加原理，原⽅程有解1(,)(cos 2sin 2)cos nnn u x t A n t Bn t n x πππ∞==+∑。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
数理方程期末试题及答案
带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、 求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数； （3） 将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。 答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、 简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、 简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2
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2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人：欧峥1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ϕ初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。
(10分)2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()2x l x -，试写出其定解问题。
(10分)3、试用分离变量法求定解问题(10分)：.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,040224、分离变量法求定解问题(10分)222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)64(,0)31,(,0)sin tt xxtu a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ⎧=+<<>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x ux u x u a tu at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ=6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u7、用积分变换法求解定解问题（10分）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x uy u y x y x u8、用积分变换法求解定解问题(10分)：⎩⎨⎧==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt9、用格林函数法求解定解问题(10分)：222200, y 0, () , .y u ux y u f x x =⎧∂∂+=<⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。
(10分)考试内容分析①用数理方程研究物理问题的一般步骤；数理方程的建立(导出),包括三类典型方程的建立(导出)推导过程。
这里的1,2两道题就是考察学生在实际物理背景下能否写出定解问题。
这些定解问题并不复杂，主要就是让学生了解一下。
②3,4两道题主要考察分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。
第3题是最基本的分离变量法的运用，分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。
第4题是非齐次方程，主要考察学生对非齐次方程的处理能力。
③5，6两道题是考察行波法。
第5题就是书本中一维波动方程的D'Alembert公式的推导，是最最基础的东西，在这里考察学生平时的基础，题目不难但是能很好的考察学生对行波法的理解。
第6题考察了D'Alembert公式的应用，同时又因为方程式非齐次的，也考察了方程的齐次化。
④第7,8两道题是对积分变换法的考察。
第7题是对拉普拉斯变换的考察拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换。
第8题主要考察傅里叶变换的基本定理及其性质。
⑤9,10两道题是考察格林函数法。
第9题有些难度，是一道二维拉普拉斯的狄利克雷问题，主要考察对第二格林公式的理解及其应用。
第10题看似比较简单，但是也是大家比较容易忽略的问题，不一定能将其完整的解答。
这里还要求你写出其物理意义，意图当然不言而喻了，就是想体现数学物理方程这门课的意义,将数学与物理结合起来，了解古典方程的类型，明白其物理意义和现象。
答案及分析1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数(,)u x t 满足2,tt xx u a u = （2分） 其中2Ta ρ=.由于左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，所以(0,0)0,(0,)sin 0,0,x x u Tu t A t t ω=+=>因此 sin (0,),0.x A tu t t Tω=-≥ （2分） 又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面，所以(,)(,)0,x Tu l t ku l t --= 即 (,)(,)0.x Tu l t ku l t += （2分） 而初始条件为 0(),().t tt ux u x ϕψ==== （2分）因此，相应的定解问题为200,0,0,sin (0,),(,)(,)0,0.(),().tt xx xx t t t u a u x l t A t u t Tu l t ku l t t T u x u x ωϕψ==⎧=<<>⎪⎪=-+=≥⎨⎪==⎪⎩ （2分）2、解：侧面绝热，方程为2,0,0t xx u a u x l t =<<> （3分）边界条件为 00,,0x xx lqu u t k====> （3分）初始条件为 0(),02t x l x ux l =-=<< （3分）因此，相应的定解问题为： （1分）3、解 令)()(),(t T x X t x u =（2分），代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ（2分），由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin)(πn B x X n n =(1分)，再解)(t T ，得到16;22)(tn n n eC t T π-=（2分），于是,4sin(),(16122xn eC t x u tn n n ππ-∞=∑=（1分）再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ（1分），所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑（1分）4、解：令(,)(,)()u x t V x t W x =+ （1分）将其代入定解问题可以得到：2,(0,0)(0,)0,(,)0.....(1)4(,0)31(),(,0)sin tt xx t V a V x l t V t V l t x V x W x V x x l l π⎧⎪=<<>⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪=+-= ⎪⎪⎝⎭⎩（1分）222()sin cos 0(2)(0)3,()6a W x x x l l W W l ππ⎧''+=⎪⎨⎪==⎩ （1分）(2)的解为：2224()sin 3132l x W x x al l ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2分）对于(1)，由分离变量法可得一般解为1(,)cos sin sin n n n n at n at n x V x t a b l l l πππ+∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ （2分）由初始条件可求得：222444(,)cos sin sin 324l a l at xV x t t a l a l l πππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ (2分)所以，原定解问题的解为：2222224444(,)cos sin sin sin 3132432l a l at x l x u x t t x al a l l a l l πππππππ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1分)5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2分）令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ）（2分）令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)（2分）所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(xϕ-F(0).（2分）且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= （1分）所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ （1分）即为古尔沙问题的解。
6、解令)(),(),(x w t x v t x u +=(1分)，代入原方程中，将方程齐次化，因此x a x w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2''2''22222=⇒=+⇒++∂∂=∂∂(2分)，再求定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-=>∂∂=∂∂==,0),(cos 12sin 0,02022222t t tvx xw a x t xv a t v v (2分)由达朗贝尔公式得到以上问题的解为atx a at x at x aat x at a a at x t x v cos cos 1cos sin 0)]cos(1)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+=(4分)故.cos 1cos cos 1cos sin ),(22x a at x a at x t x u +-=(1分)7、解 对y 取拉普拉斯变换),()],([p x U y x u L =(1分)，对方程和边界条件同时对y 取拉普拉斯变换得到p p U pdx dU px 11,120+===(3分)，解这个微分方程得到p p x p p x U 111),(22++=(3分)，再取拉普拉斯逆变换有1),(++=y yx y x u (2分)所以原问题的解为1),(++=y yx y x u .(1分)8、解：对于初值问题关于x 作Fourier 变换，得：⎪⎩⎪⎨⎧==>∈+0)0,(ˆ),(sin )0,(ˆ0,),,(ˆd ),(ˆd 2222ωωωωωt u x F u t R x t u a t t u（2分）该方程变为带参数ω的常微分方程的初值问题。
解得t ja t ja e C e C t uωωω-+=21),(ˆ（2分）于是0)()0,(ˆ,)(sin )0,(ˆ2121=-=+==C C ja u C C x F u t ωωω（2分）则由)(sin 2121x F C C ==，得：))((sin 21),(ˆt ja t ja e e x F t uωωω-+=。