湘教版数学七年级下册--因式分解
初中数学试卷
因式分解
一、选择题
1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
(x+y)＝ax+ay +4=x(x-4)+4
（
＝5x(2x-1) +6x＝(x+4)(x-4)+6x
2.分解因式8ab(a-b)3-12a(a-b)2时，应提取的公因式是( )
(a-b)3 (a-b)2 (a-b)2 3.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
+1 +9 +5y
4.添加一项，能使多项式9x2+1构成完全平方式的是( )
5.计算：852-152=( )
&
900 000
6.下列因式分解中，正确的个数为( )
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③-x2+y2=（x+y）（x-y）.
个个 C. 1个个
+9a2b分解因式的正确结果是( )
(a2-6a+9) (a+3)(a-3) (a2-3)2 (a-3)2
8.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )
，2 ，1 ，3 ，8
?
二、填空题(每小题4分，共16分)
9.多项式9x2y-15xy-6y的公因式是_____________.
10.一个多项式因式分解的结果是(x+2)(x-3)，那么这个多项式是_____________.
11.已知x、y是二元一次方程组
23,
245
x y
x y
-=
+=
⎧
⎨
⎩
的解，则代数式x2-4y2的值为_____________.
12.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是_____________(用a，b的代数式表示).
三、解答题
13.因式分解：
—
（1）-4a2+12ab-9b2; （2）x4-x2y2; （3）a4-1.
$
14.运用因式分解知识说明：2n+3-2n+1(n为正整数)能被6整除.
15.已知a-2b=1
2
，ab=2，求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.
$
16.用简便方法计算下列各题：
(1)39×37-13×34； (2)××++(101
2
)2-(9
1
2
)2.
;
17.把一个边长为a米的正方形广场的四周各留出一个边长为b米的正方形用来修花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大如果修建每平方米的草坪需要5元，请计算当a=92，b=4时，投资修此草坪需要多少钱
'
18.下面是某同学对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2-4a=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（a2-4a+4）2（第四步）
…
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底___________;（填“彻底”或“不彻底”）（2）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________;
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解. %
.
参考答案
11.15 2
13.(1)原式=-(4a2-12ab+9b2)=-(2a-3b)2.
(2)原式=x2(x2-y2)=x2(x+y)(x-y).
(3)原式=(a2+1)(a2-1)=(a2+1)(a+1)(a-1).
14.因为2n+3-2n+1=2n(23-2)=2n×6，所以能被6整除.
15.原式=-a2b2(a2-4ab+4b2)=-a2b2(a-2b)2.
当a-2b=1
2
，ab=2时，原式=-22×(
1
2
)2=-1.
16.(1)原式=39×(37-27)=390.
(2)原式=1
2
1
2
1
2
1
2
草坪的面积为：a2-4b2（平方米）；
当a=92，b=4时，草坪的面积为：a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(92+8)×(92-8)=8 400(平方米).所以投资修此草坪需要的钱是8 400×5=42 000(元).
答：草坪面积（a2-4b2)平方米，投资修此草坪需要42 000元.
18.(1)不彻底.
(2)（a-2）4.
(3)设x2-2x=y,原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4.。
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
湘教版数学七年级下册第3章 因式分解 小结与复习 课件
x y x2 y 2
x y x y
2
2 2 4 a a b 2 ab a b b a b
a b a 2 2ab b 2
a b a b
2
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
典型题，分类剖析：
类型六：利用完全平方式证明和计算有关问题： 已知x= 3 1 ，求x2-2x+1的值
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型七：转化思想的应用 已知y=2,请你说明无论x取何值时， 代数式（3x+5y）2-2(3x+5y)(3x-5y)+(3x-5y)2的值不变
1.提公因式法．
步骤： ① 找 ； ②拆 ； ③提．
找出公因式的步骤如下： （1）定符号：如果原来多项式的第1项的系数为负，则把负号 提出。【此时括号内的各项要变号．】 （2）定系数：取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的 系数。 （3）定字母：取各项中相同的字母。【字母的指数取各项中 次数最低的．】 （4）定式子：取各项中相同的式子。【式子的指数取各项 中次数最低的．】
两因数的和恰好等于一次项系数．
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例4 把多项式
2
x x2
2
因式分解
x x2
x 2 x 1
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典型例题，分类剖析：
类型一：用提公因式法分解因式 b2-2b
类型二：用公式法分解因式: a2-4= x2+4x+4=
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x 1 x 1
2
2
湘教版七年级下册数学 第3章 因式分解 阶段核心应用 因式分解的八种常见应用
解：设“希尔伯特”数为 (2x＋1)2＋(2x－1)2－(2x＋1)·(2x－1)(x为自然数)， 因为(2x＋1)2＋(2x－1)2－(2x＋1)(2x－1)＝4x2＋3， 所以4x2能被4整除，所以所有用连续两个奇数表达出的 “希尔伯特”数一定被4除余3.
(3)已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇 数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224， 求这两个“希尔伯特”数．
可得整数解mn＝＝59，，或mn＝＝1135.， 所以这两个“希尔伯特”数分别为 327 和 103 或 903 和 679.
7．阅读材料： 例：求代数式2x2＋4x－6的最小值． 解：2x2＋4x－6＝2(x2＋2x－3)＝2(x＋1)2－8.可知当x＝－
1时，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8. 根据上面的方法解决下列问题： (1)分解因式：m2－4m－5＝________________；
(m＋1)(m－5)
(2)当a，b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小 值？并求出这个最小值；
4．先阅读下列材料，然后解题： 材 料 ： 因 为 (x － 2)(x ＋ 3) ＝ x2 ＋ x － 6 ， 所 以 (x2 ＋ x －
6)÷(x－2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除，所以 x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－ 6＝0.
(1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6
解：因为x2＋mx－14能被x＋2整除， 所以当x＝－2时，x2＋mx－14＝0. 所以(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.
5．已知a，b，c为三角形ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝ c2＋2ac.
(1)试判断三角形ABC属于哪一类三角形；
湘教版 七年级下册数学 因式分解一
第7讲 因式分解（一）提公因式法、公式法一、 知识要点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
注：因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止。
因式分解是恒等变形，不能随意把多项式改变原来的大小。
2、提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++多项式中的公因式：数字部分找最大公约数，字母部分找相同的字母和最低次幂3、公式法：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-特点：①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或某式的平方形式；③分解的结果是这两个数或两个式子的和与它们差的积；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=+特点：①左边相当于一个二次三项式；②首末两项符号为正且能写成某数或某式的完全平方形式；③中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号可正可负；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
二、知识运用经典例题例1、多项式232118xy axy a xy -+-中的公因式是例2、已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是1(21)()4x x -+，求m ，n 的值。
例3、把下列各式分解因式（1）、2963x x y x z -+（2）、2210515x y xy xy --+（3）、()()()()xx y a b yy x b a ----- （4）、)2()37)(2(b a a b a b a +--+例4、计算201320142014201420132013⨯-⨯例5、把下列各式分解因式（1）211625m - （2）2()1a b +-（3）22(2)16(1)x x -++- （4）21236m n -+（5） 2244x xy y ++ （6）22293m mnn ++三、知识运用课堂训练1、下列各式能用平方差公式分解的是（ ）A 、22m n --B 、2219p q + C 、321649y x -D 、224k h -+2、下列各式是完全平方式的是（ ）A 、214m m ++ B 、22x xy y ++ C 、21x x +- D 、22h d +3、下列多项式能用公式法分解的是（ ）A.22x y --B.232a ab b -+C. 524x y -D. 2210.049y x -4、把多项式22155x y -分解因式是 。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)᠆ 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
湘教版七年级下册第三章因式分解--小结与复习(一)PPT课件
1、下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？ (1) 3a2+6a=3a(a+2) 是 (2) (2y+1)(2y-1)=4y2-1 否
(3) 18a3bc=3a2b·6ac 否 (4) x²+2x+1=x(x+2)+1 否
2、检验下列因式分解是否正确？
(1).2ab2+8ab3=2ab2 (1+4b) √ (2). 2x2-9= (2x+3)(2x-3) ×
4、将下列各式分解因式：
⑴ -a²-ab；
=-a(a+b)
⑵ m²-n²；
= (m+n)(m-n)
⑶ x²+2xy+y²
=(x+y)²
(5) 3x³+6x²y+3xy²
=3x(x+y)²
(4) 3am²-3an²；
=3a (m+n)(m-n)
(6) x²-4x(x-y)+ 4(x-y)²；
(2y-x)2
平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符合公式 特征
完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法
因式分解的一般步骤：
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要 先提取公因式；
二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用完全平方公式；
(6) 已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解下列方程：
(3x- 4) ²- (3x+ 4) ²=48
若AB=0则A=0或 B=0 方法：左边 为0，右边进行因 式分解。
七年级数学下册第3章因式分解公式法(第2课时)课件(新版)湘教版
解:原式=3x2y2(3xy-7x+4). 原式= x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y). 原式=(a-b-2c)2. 原式=m2-3m-4+3m= m2-4 =(m+2)(m-2).
【火眼金睛】
因式分解: 1 x2-2x+3.
4
解:原式=x2-x+ ( 1 )2
2
= (x 1 )2 .
2
知识点一 用完全平方公式进行因式分解(P65例5、6、 7拓展) 【典例1】因式分解: 4x2-12xy+9y2.
(x-y)4-2(x-y)2+1. (x2+2x)2+2(x2+2x)+1.
【思路点拨】题目可直接利用完全平方公式进行因式 分解. 题目注意要把(x-y)看成整体,并且要分解到每个因式 都不能再分解为止. 题目要两次运用完全平方公式进行因式分解.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
(A)
A. 1 x2-xy+y2
4
B.2x2+4x+1
C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy
2.多项式x2+ax+4能用完全平方公式分解因式,则a的值
是 __±__4____.
3.因式分解:x2-x+ 1 .
(A)
A.4x2-4x+1
B.9x2+3x+1
C.x2+4x+2y2
D.x2+5xy+25y2
湘教版七年级下册第三章因式分解-----小结与复习(ppt)(二)
作业： 把下列各式因式分解
1.x2-5x-6 2.(x-y)2 ＋(x-y)-6 3.a4+a3+a+1
4.x4y+2x3y2-x2y-2xy2； (5). x2+2xy+y2-10x-10y+25
课外思考
1.若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次因式 乘积，则符合条件的整数m个数是多少？ 2、因式分解 (1). x4-3x3 -28x2 (2).5x2+6xy-8y2 (3).x 2-(a＋1) x＋a (4).ab(x2-y2)+xy(a2-b2). (5).2x 2-3xy-2y 2＋3x＋4y-2
对于x2+px+q
同号 （1）当q＞0时，a、b﹍﹍ 相同 且a、b的符号与p的符号﹍﹍。 （2）当q＜0时，a、b异号 ﹍﹍，
且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍ 与p的符号相同。 a、b中绝对值较大的因数 2、把下列各式因式分解 2y2-7xy-18 2 2 2 (3). x (1). x +3x-4 (2). x -11xy+24y (4). 2x2-7x+3 (5). x4+13x2+36 (6). (a+b)2-4(a+b)+3
湘教版
SHU XUE
七年级下
本节内容
因式分解
小结与复习（二）
分解因式的步骤：一提二套
即：(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式，完全平方公式）
分解因式的要求：
1、提公因式时不要漏项，掌握公因式的结构， 全部提出来。 2、套用公式时，根据公式特征选择。 3、务必检查是否分解彻底了，结果写成最简形式。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教学设计
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教学设计一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要介绍了多项式因式分解的概念、方法和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减运算和乘法运算，具备了一定的代数基础。
但是，对于多项式的因式分解，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和基本方法。
2.难点：多项式因式分解的技巧和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.利用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生形象地理解因式分解的概念和方法。
3.采用小组合作学习的方式，鼓励学生互相交流和讨论，培养学生的团队合作意识。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固和提高因式分解的能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和教具。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个实际问题，如“分解因式：x^2 - 5x + 6”，激发学生的兴趣，引导学生思考和探索因式分解的意义和方法。
2.呈现（10分钟）介绍因式分解的概念和方法，如提公因式法、十字相乘法等。
通过示例和讲解，让学生了解因式分解的基本步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用给定的方法尝试分解因式。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈和评价。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教案
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教案一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要让学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧，培养学生对多项式的理解和运算能力。
教材通过引入、讲解、练习等环节，使学生逐步掌握多项式因式分解的原理和方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法运算，对多项式有一定的理解。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
此外，学生可能对因式分解的方法和技巧掌握不牢固，需要老师在教学中进行引导和巩固。
三. 教学目标1.让学生理解多项式因式分解的概念和意义。
2.使学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧。
3.培养学生对多项式的理解和运算能力。
4.提高学生的逻辑思维能力和转化能力。
四. 教学重难点1.重点：多项式因式分解的概念、方法和技巧。
2.难点：如何灵活运用因式分解的方法和技巧，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用启发式教学法，引导学生主动探究多项式因式分解的方法。
2.使用案例分析法，让学生通过具体例子理解因式分解的原理。
3.运用小组合作学习法，培养学生团队合作精神和沟通能力。
4.利用巩固练习法，加强对因式分解方法的掌握。
六. 教学准备1.教材、多媒体教学设备。
2.相关练习题和测试题。
3.教学课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何将这些问题转化为多项式的因式分解问题。
例如，解决“一件衣服原价80元，优惠20%，现价是多少？”的问题，可以转化为多项式80x - 16x^2的因式分解。
2.呈现（10分钟）讲解多项式因式分解的概念和意义，介绍因式分解的方法和技巧。
通过具体例子，让学生理解因式分解的原理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试对给定的多项式进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。