湘教版数学七年级下册2.2.1 平方差公式.docx
湘教版七下数学2.2.1平方差公式教学设计
湘教版七下数学2.2.1平方差公式教学设计一. 教材分析湘教版七下数学2.2.1平方差公式是初中数学中一个重要的概念，它不仅在解决实际问题中有很大的应用，而且为后续学习完全平方公式和二元一次方程组等知识打下基础。
本节课通过引入平方差公式，让学生理解平方差公式的含义，并能够熟练运用平方差公式进行计算和解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。
但部分学生对数学公式的学习还存在一定的困难，对公式的理解和运用不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过引导和激励，提高他们对平方差公式的理解和运用能力。
三. 教学目标1.理解平方差公式的含义，掌握平方差公式的运用方法。
2.能够运用平方差公式解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生对数学学习的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：平方差公式的推导和灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。
2.启发式教学法：通过提问和引导，启发学生思考，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，提高学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。
2.准备平方差公式的推导过程，用于呈现和操练环节。
3.准备一些练习题，用于巩固和拓展环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的主题，如：一个正方形的边长为a，求它的对角线的长度。
让学生思考并解答这个问题，引导学生发现正方形对角线的长度可以用平方差公式来表示。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，让学生了解平方差公式的来历。
通过讲解和演示，让学生理解平方差公式的含义，并能够熟练运用平方差公式进行计算。
3.操练（10分钟）让学生进行一些平方差公式的练习题，巩固学生对平方差公式的理解和运用。
湘教版七年级下册2.平方差公式课件
2 0032－(2 0032－1) ＝2 0032－2 0032＋1 ＝1.
A．(a－2)(2＋a)＝a2－2
B．(x＋2)(2x－2)＝2x2－4
C．(－a－b)(a＋b)＝a2－b2
D．(ab－3)(ab＋3)＝a2b2－9
3、计算：
(1)
2x2
3 2
a
2x2
3 2
a
＝__4_x_4－__94_a2_____；
(2)(－5a－2b)(5a－2b)＝_4_b_2_－__2_5_a_2___；
(2)(x+2y)(x-2y)
解：原式＝ (2x)2 -12 原式＝ｘ２－（２ｙ）２
＝4x2 - 1
＝x2 – ４ｙ２
1、先把要计算的式子与公式对照,
2、哪个是 a ,哪个是 b.
例2 运用平方差公式计算：
（ 解 1） - - 2 2 x x - - 1 2 1 2y y - - 2 2 x x + + 1 21 2 y y （解2）：= (((444aaa++)bb2))(-(-b-b2b++44aa)).
（3）51×49
=4 a2－9；
=(50+1)(50-1)
=502－12
（4）(－2x2－y)(－2x2+y) =(-2x2)2－y2=2500-1
=4x4－y2.
=2499
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
=(9x2－16)－(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
2、下列各式运算正确的是( D ）
第二章
【湘教版】七年级数学下册：2.2.1《平方差公式》教案
【湘教版】七年级数学下册：2.2.1《平方差公式》教案第一篇：【湘教版】七年级数学下册：2.2.1《平方差公式》教案百度文库平方差公式教学目标：一、知识与技能经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；二、过程与方法会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；三、情感、态度与价值观：了解平方差公式的几何背景。
教学重点：1、弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；2、会用平方差公式进行运算。
教学难点：会用平方差公式进行运算教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学过程：一、预学1、计算下列各式(复习)：（1）(x+2)(x-2)（2）(1+3a)(1-3a)（3）(a+b)(a-b)2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3、讨论归纳：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
二、探究1、范例分析 P102 例1至例3 例1、运用平方差公式计算：（1）(2x+1)(2x-1)（2）(x+2y)(x-2y)解：原式=(2x)2-12 解：原式=x2-(2y)2 =4x-1 =x-4y 2注意题目中的什么项相当于公式中的a和 b，然后正确运用公式就可以了。
例2 运用平方差公式进行计算：（1）(-2x-11y)(-2x+y)（2）(-4a-b)(-4a+b)(3)(y+2)(y-2)(y2+4)2211121222解：(1)(-2x-y)(-2x+y)=(-2x)-(y)=4x-y2224（2）(-4a-b)(-4a+b)=(-4a)2-b2=16a2-b2(3)(y+2)(y-2)(y2+4)＝(y2-4)(y2+4)＝(y2)2-42＝y4-16三、精导百度文库百度文库运用平方差公式计算：102×98 解：102×98 ＝(100+2)(100-2)＝1002-22 ＝10000-4＝9996四、提升1、练习P103 练习题 1至3题2、小结：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2的几何意义如图所示使用公式时，应注意两个项中，有一个项符号是相同的，另一个项符号相反的，才能使用这个公式。
湘教版初中数学七年级下册2.2.1 平方差公式
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！2.2 乘法公式2.2.1 平方差公式学习目标：1．经历探索平方差公式的过程；2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.重 点:平方差公式的推导和应用难 点:理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．预习导学——不看不讲学一学：阅读教材P42“动脑筋”与“说一说”说一说：计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）议一议：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．【归纳总结】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即：（a+b）（a-b）=a2-b2你能用数形结合的思想解释平方差公式吗？想一想：下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？（1）(x+2)(x-2)=x2-2 （2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4填一填：（a+b)(-b+a) = (3a+2b)(3a-2b)=公式的结构特征①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z ）（x-y-z ）=[（x-z ）+y][（x-z ）-y]=（x-z ）2-y 2．【课堂展示】P43例题1,2,3合作探究——不议不讲互动探究一：运用乘法公式计算：734×814互动探究二：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？)32)(32(b a b a -+ )32)(32(b a b a -+- )32)(32(b a b a +-+- )32)(32(b a b a --- ))((c b a c b a +-++ ))((c b a c b a -+--【当堂检测】： 1.填空（1） （__+__）（__+__）= 942-a （2） （a+2b+2c ）（a+2b-2c ）写成平方差公式形式：2.计算（1）102×98（2）(a+b)(a-b)(a 2+b 2) （3）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） （4）（b+2a ）（2a-b ） （5）（-x+2y ）（-x-2y ） （6）（a+2b+2c ）（a+2b-2c ）相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
湘教版七年级数学下册第二章《平方差公式》公开课课件 (2)
复习题
B组
7.下列式中能用平方差公式计算的有( )
①(x-
1 2
y)(x+
1 2
y),
②(3a-bc)(-bc-3a),
③(3-x+y)(3+x+y),
④(100+1)(100-1)
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
答案：D
8.下列式中,运算正确的是( )
①(22 a)2 = 4a2 ,
本课节内容 2.2
乘法公式
子目内容 2.2.1
平方差公式
动脑筋
计算下列各式，你能发现怎样的规律？
(a+1)(a-1)=a2-a+a-12 = a2 -1 (a+2)(a-2)=a2-2a+2a-22= a2 - 4
(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32 = a2 - 9 (a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42 = a2 -16
（1）(2x+1)(2x-1) 解 (2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12 = 4x2-1.
（2）(x+2y)(x-2y)
解 (x+2y)(x-2y) = x2 -(2y)2 = x2 -4y2
例2 运用平方差公式计算：
（1）-2x-1y-2x+1y；
2
2
（2）(4a+b)(-b+4a).
解析 A 中同类项为x5，合并后应为2x5，A错.
B 中是同底数幂的乘法，应为
-(-x)3+5=-(-x)8=-x8，B正确
C 中应为(-2)3·(x2)3 ·y3 ·4x-3=-32x3y3，C错
湘教版七年级数学下册课件2.平方差公式
（2）(3+2a)(－3+2a)； =(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9.
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
=2499. （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
课堂小测
4.利用平方差公式计算: (a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
课堂小测
5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
③(2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 1 ④(5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
新知探究
归纳总结 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
新知探究
算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z).
新知探究
湘教版数学七年级下册2.2.1《平方差公式》说课稿
湘教版数学七年级下册2.2.1《平方差公式》说课稿一. 教材分析《平方差公式》是湘教版数学七年级下册第2章第2节第1课时的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握平方差公式的推导过程及其应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以帮助学生解决一些实际问题，而且也是学习更高阶数学的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法运算，也初步接触了因式分解。
但是，对于平方差公式的推导过程和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将会引导学生通过观察、讨论、探究的方式，自主发现并掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，并能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程及其应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、小组合作法、案例教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何求解两个数的平方差。
2.探究过程：学生分组讨论，每组尝试找出解决这个问题的方法。
教师巡回指导，引导学生发现平方差公式的推导过程。
3.公式讲解：教师讲解平方差公式的推导过程，让学生理解并掌握公式。
4.应用练习：学生独立完成一些练习题，巩固对平方差公式的理解和应用。
5.总结提升：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，激发学生对数学的兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是对学生的学习效果的评价，包括学生对平方差公式的理解和运用能力的评价；二是对教师的教学过程的评价，包括教师的教学方法、教学手段、教学等方面的评价。
2022年湘教版七年级数学下册第二章《平方差公式》优件1
题3
(3) (-4x+1)(-4x-1)
解:原式 = (4x)2 12
= 16x2 1
例题：利用平方差公式计算
(4()-1xy)(1xy)
4
4
(5) (ab+8)(ab-8)
(6)m (n)m (n)3n2
题4
(4) (1xy)(1xy)
4
4
解:原式 = ( 1 x)2 y2
4
= 1 x2 y2
看谁算得快
(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4) (-m+n)(-m-n)
a
a
b
a2
b2
剩下的面积=a2-b2
长方形的面积=(a+b)(a-b)
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
例题：利用平方差公式计算
(1) (5+6x) (5-6x) (2) (3m-2n)(3m+2n) (3) (-4x+1)(-4x-1)
题1
(1)(5+6x)(5-6x)
解:原式 =52 (6x)2
= 2536x2
题2
(2) (3m-2n)(3m+2n)
解:原式 = (3m)2(2n)2
= 9m24n2
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2.2.1 平方差公式
45
4545
15
长方形的面积=(45+15) ×(45-15) =60×30 =1800
45
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初中数学试卷
2.2.1 平方差公式
要点感知两个数的__________与这两个数的__________的等于这两个数的平方差,即
(a+b)(a-b)=__________.
预习练习计算：
(1)(2a+1)(2a-1)=__________；
(2)(s-3t)(s+3t)=__________；
(3)(2a+3b)(2a-3b)=__________；
(4)(ab+4b)(ab-4b)=__________.
知识点1 平方差公式
1.下列计算中，不能用平方差公式计算的是( )
A．（x+y）（x-y） B．（-x-y）（-x+y） C．（x-y）（-x+y） D．（-x-y）（y-x）
2.下列各式计算正确的是( )
A.(x+3)(x-3)=x2-3
B.(2x+3)(2x-3)=2x2-9
C.(2x+3)(x-3)=2x2-9
D.(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1
3.如果(2x-3y)·M=4x2-9y2,那么M表示的式子为( )
A.-2x+3y
B.2x-3y
C.-2x-3y
D.2x+3y
4.下列各式:①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
5.计算：（1）(3x-y)(3x+y)=__________;（2）(-x-1)(x-1)=__________.
6.当x=3，y=1时，代数式(x+y)(x-y)+y2的值是__________.
7.计算：
(1)(2m+3n)(3n-2m); (2)(-1
2
x-
1
3
y)(
1
3
y-
1
2
x);
(3)(-3x2+1
2
)(-3x2-
1
2
).
知识点2 平方差公式的应用
8.若a2-b2=12,a+b=6,则a-b的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
9.对于任意的整数n,能整除(n+2)(n-2)-(n+3)(n-3)的整数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
10.如果（x+y-3)2+(x-y+5)2=0，那么x2-y2=__________.
11.计算：
(1)197×203; (2)99.8×100.2.
12.如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.
(1)设图1中阴影部分面积为S
1，图2中阴影部分面积为S
2
，请直接用含a，b的代数式表
示S
1，S
2
；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
13.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A.(3a+b)(a-b)
B.(-3a-b)(-3a+b)
C.(3a+b)(-3a-b)
D.(-3a+b)(3a-b)
14.计算2 011×2 013-2 0122的结果是( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
15.观察等式:①9-1=2×4；②25-1=4×6；③49-1=6×8…按照这种规律写出第n个等式____________________.
16.计算：
(1)(-3x+5y)(-5y-3x); (2)(x+y)(x-y)+(x+2y)(-x+2y)；
(3)(-a+1
2
b)(-a-
1
2
b)-(3a-2b)(3a+2b)；
(4)(x+2y)(x-2y)-(x-4y)(x+4y)+(6y-5x)(5x+6y).
17.已知(a+b-1)(a+b+1)=8，求a+b的值.
18.利用平方差公式计算：
(1)602
3
×59
1
3
; (2)
2
2014
201420152013
-⨯
.
19.小明家有一块边长为a米的正方形土地租给了养殖户刘杰.今年小明的爸爸对刘杰说：“我把这块地一组对边减少1米,另外一组对边增加1米,租金不变,继续租给你,你看如何？”养殖户刘杰一听,就答应了.你认为养殖户刘杰吃亏了吗？为什么？
20.若(2x+y-1)2+|x-2y-3|=0,求代数式(2x+y)(2x-y)-(x+2y)(x-2y)-1的值.
21.先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：化简：(2+1)(22+1)(24+1).
解：(2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1.
问题：化简：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1).
参考答案
要点感知和差积 a2-b2
预习练习 (1)4a2-1 (2)s2-9t2 (3)4a2-9b2 (4)a2b2-16b2
1.C
2.D
3.D
4.A
5.(1)9x2-y2 (2)1-x2
6.9
7.(1)原式=9n2-4m2.
(2)原式=1
4
x2-
1
9
y2.
(3)原式=9x4-1
4
.
8.B 9.D 10.-15
11.(1)原式=(200-3)(200+3)=2002-32=40 000-9=39 991.
(2)原式=(100-0.2)×(100+0.2)=1002-0.22=10 000-0.04=9 999.96.
12.(1)S 1＝a 2-b 2，S 2＝12
(2b+2a)(a-b)＝(a+b)(a-b). (2)(a+b)(a-b)＝a 2-b 2.
13.B 14.B 15.(2n+1)2-12=2n(2n+2)
16.(1)原式=(-3x+5y)(-3x-5y)=(-3x)2-(5y)2=9x 2-25y 2.
(2)原式=x 2-y 2+4y 2-x 2=3y 2.
(3)原式=a 2-14b 2-9a 2+4b 2=-8a 2+154
b 2. (4)原式=x 2-4y 2-x 2+16y 2+36y 2-25x 2=48y 2-25x 2.
17.(a+b-1)(a+b+1)=[(a+b)-1][(a+b)+1]=(a+b)2-1=8，
所以(a+b)2=9，
所以a+b=±3.
18.(1)原式=(60+23)×(60-23)=3 600-49=3 59959
. (2)原式=()22014201420141201(41)-+⨯-=222014201420141
-+=2 014. 19.养殖户刘杰吃亏了.
理由：因为原正方形的面积为a 2平方米,改变边长后面积为(a+1)(a-1)=a 2-1（平方米）,因为a 2＞a 2-1,所以,养殖户刘杰吃亏了.
20.根据题意，得230,210.x y x y --=+-=⎧⎨⎩
解得1,1.x y ==-⎧⎨⎩ 所以，原式=3x 2+3y 2-1=3×12+3×(-1)2-1=5.
21.原式=12
(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1) =12
(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1) =12
(34-1)(34+1)(38+1)…(364+1) =12
(38-1)(38+1)…(364+1) =12
(316-1)…(364+1) =12
(364-1)(364+1) =12
(3128-1).。