上海交大矩阵理论大纲
上海交通大学 矩阵理论 课件20110915
1
特征值
n阶复矩阵A可相似对角化（可对角化）：存在对角矩阵D = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )与 可逆矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )使得A = P DP −1 ，则称A与D相似。 λi ：特征值或特征根（本征值） αi ：特征向量 |λI − A|：特征多项式
• 矩阵A的迹等于其所有特征值的和； • 设f (x)为任意多项式，λ是A的一个特征值，α是属于特征值λ的特征向量， 则f (λ)是f (A)的一个特征值，α 是属于f (λ)的特征向量； • 设A可逆且特征多项式为|λI − A|，则其逆矩阵的特征多项式为|λI − A−1 | = s −1 ni −1 i=1 (λ − λi ) ，且若α是A的属于特征值λ的特征向量，则α也是A 的属 −1 于特征值 λ 的特征向量； • 任何特征值的几何重数不超过其代数重数； • 相似矩阵具有相同的特征多项式（因此具有相同的特征值）。
2
• n维线性空间中任意n个线性无关向量均构成一组基，且任何一组基恰 含n个向量； • n维线性空间中任意r个线性无关向量均能扩充成一组基。
3.4
过渡矩阵
n维线性空间V 中两组基α1 , α2 , · · · , αn 和β1 , β2 , · · · , βn ，分别称为α−基和β −基。 它们满足 β1 = p11 α1 + p21 α2 + · · · + pn1 αn , β2 = p12 α1 + p22 α2 + · · · + pn2 αn , . . .βn = p1n α1 + p2n α2 + · · · + pnn αn , 或用矩阵形式表达为 (β1 , β2 , · · · , βn ) = (α1 , α2 , · · · , αn )P. 矩阵P 称为由α−基到β −基的过渡矩阵。 设γ ∈ V 在α−基和β −基下的坐标分别为x = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和y = (y1 , y2 , · · · , yn )T 。 则 x1 y1 y1 x1 x2 y2 y2 x2 . . =P. , = P −1 . . . . . . . . . xn yn yn xn 这个公式称为坐标Vλ ：矩阵A的特征值λ的特征子空间，其维数称为特征 值λ的几何重数。 设σ (A)（所有特征值的集合）= {λ1 , λ2 , · · · , λs }，且|λI − A| = s i=1 (λ − λi )ni ，则称正整数ni 为特征值λi 的代数重数。
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
矩阵论教学大纲-上海交通大学数学系
《高等代数》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：MA1092、课程名称（中文）：高等代数课程名称（英文）：Higher Algebra3、学时/学分：72学时+ 18学时（习题课）/4学分4、先修课程：解析几何5、面向对象：联读班。
6、开课院（系）、教研室：理学院数学系，代数和组合数学教研室7、推荐教学参考书：《大学代数》，陆少华、沈灏编著，上海交大出版社，2002。
《高等代数》，北京大学数学力学系。
二、课程的性质和任务高等代数是一门重要的数学基础课。
代数的理论、方法和思想已渗透到数学与科学的各个领域。
随着通信与计算机科学的迅速发展，高等代数作为描述离散对象的各学科的重要基础，其地位与作用越来越重要。
同时，代数课程还承担着提高学生数学素养，训练与培养思维能力、计算能力与建立数学模型能力的任务。
通过《高等代数》课程的学习，应使学生能较好地熟悉与掌握多项式理论及线性代数的基本概念、理论与方法，并能运用到所学专业中去。
三、教学内容和要求《高等代数》高等代数的教学内容分为八部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章数与多项式（10）1数环与数域（2）2一元多项式、最大公因式（2）3 多项式的因式分解理论（4）4 习题课（2）要求：熟悉数环与数域的基本概念与运算法则；理解因子分解唯一性定理；熟练掌握求最大公因式的辗转相除法。
第二章行列式（10）1 行列式的定义与基本性质（4）2 行列式的按行展开，Laplace定理（2）3 行列式的计算（2）4 习题课（2）要求：熟悉行列式的基本性质、掌握行列式的常用计算方法。
第三章矩阵(12)1 矩阵的概念与矩阵运算（2）2 矩阵的初等变换与相抵标准形、矩阵的秩（4）3 习题课（2）4 逆矩阵与矩阵的求逆（2）5 分块矩阵，例（2）要求：熟练掌握矩阵的加、乘与求逆运算；熟练掌握求矩阵相抵标准形的初等变换方法。
第四章线性方程组（12）1 解线性方程组的矩阵消元法（2）2 Cramer法则，例（2）3 n维向量组的线性关系、向量组的等价与向量组的秩（4）4 线性方程组的矩阵形式、向量形式；线性方程组解的结构（2）5 习题课（2）要求：掌握线性方程组的求解理论与解线性方程组的矩阵消元法；理解线性方程组解的几何意义。
工程矩阵理论教学大纲与授课计划
研究生《工程矩阵理论》课程教学大纲与授课计划一、基本信息1.课程名称：工程矩阵理论2.英文名称：Matrix Analysis3.课程类别：学位课程□公共学位课 专业基础学位课□专业必修学位课非学位课程□专业选修课□全校公共选修课4.课程编号：5.开课学院：自动化学院6.授课教师：周绍生、赖晓平7.授课教师职称：教授8.开课学期：第一学期9.学分： 310.总学时： 4811.适用专业：控制科学与工程、新能源电力及其控制、控制工程（专业硕士）12.预修课程：高等数学、线性代数二、教学目标矩阵理论是理工课学生从事理论研究和工程应用的基础，通过本课程的学习，使学生在大学线性代数的基础上，学习和掌握矩阵分析的理论知识，为进一步学习其它专业知识、开展学术研究和进行工程计算打下必备的专业基础。
三、教学方式课堂教学四、教学内容1. 课程简介矩阵是许多理工学科如数学物理、电子通信、系统控制、模式识别、土木建筑、航空航天、经济管理、计算机等学科最重要的数学工具之一。
矩阵理论和线性代数本身极富创造性，其创造性丰富了其它学科的内容，推动了其它学科的发展。
《工程矩阵理论》课程主要包括矩阵特征值、Jordan标准型、内积空间及标准正交基、矩阵分解、矩阵范数、矩阵函数、矩阵广义逆及矩阵张量积及矩阵导数等内容。
2. 学习重点与难点第一章线性空间与线性映射。
学习和掌握线性空间、线性子空间、线性映射以及线性变换的不变子空间等知识。
重点内容：基与坐标、坐标变换，线性映射及其值域与核，特征值和特征向量，矩阵的相似对角形。
难点内容：不变子空间。
第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形。
学习和掌握λ-矩阵及Smith标准形，初等因子与相似条件，矩阵的Jordan标准形等内容。
重点内容：矩阵的Jordan标准形。
难点内容：矩阵的Jordan标准形。
第三章内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵。
学习和掌握内积空间及其标准正交基，酉变换、正交投影变换及其矩阵表示，正规变换与正规矩阵，Hermite 矩阵与Hermite二次齐式，Reyleigh商等相关内容。
研究生矩阵论复习提纲(全)
1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。
矩阵论课程教学大纲
《矩阵论》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号： xxxxx课程中文名称：矩阵论课程英文名称：Matrix Theory课程性质：学位课考核方式：考试开课专业：工科各专业开课学期：1总学时：36学时总学分： 2学分二、课程目的和任务矩阵论是线性代数的后继课程。
在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。
为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。
从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。
为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。
并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。
本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。
要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。
四、教学内容与学时分配(一) 线性空间与线性变换 8学时1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。
(二) 内积空间 6学时1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系；2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法；3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间4. 掌握酉空间与实内积空间的异同；5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。
(三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法；2. 理解埃尔米特二次型的含义；3. 会求史密斯标准形；4. 会求若当标准型。
矩阵论复习大纲
第一章1 线性空间概念（封闭性）2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3）8 不变子空间，正交变换，酉交变化例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α，T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与12W W ⋂的维数，并求出12W W ⋂解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+()⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==711022-203-5-30121-17110301111121211,,,2121行变换ββααA B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000310040101-001000031007110121-1得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--⨯X ββαα.即0711*******121211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------X解得()(){}.4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321TTk W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即例2 设3R 上线性变换T 为,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++=求T 在基TT T)111(,)110(,)101(321-===ααα下的矩阵B.解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为：,10111012123213132321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵,101110121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-又从C e e e )()(321321=ααα 得过渡矩阵,111101112,1111101011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-C C所以.4212204511⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-AC C B3.设3R 中，线性变换T 为：.3,2,1,==i T i i βα其,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321T T T ==-=ααα与.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321T T T =-==βββ求（1）T 在基321,,ααα下的矩阵。
上海交通大学研究生(非数学专业)数学基础课程《矩阵理论》教学大纲.doc
2018年度中等职业教育质量年度报告黑龙江东亚学团职业高级中学2019年3月目录一、学校情况11.1学校概况 11.2学生情况 11.3教师队伍 21.4设施设备 2二、学生发展32.1学生素质 32.2在校体验 42.3资助情况 52.4就业质量 52.5职业发展 6三、质量保障措施63.1专业动态调整 63.2教育教学改革 73.3教师培养培训 83.4规范管理 83.5德育工作情况 133.6党建情况 16四、校企合作164.1校企合作开展情况和效果184.2学生实习情况 184.3集团化办学情况18五、社会贡献195.1技术技能人才培养 195.2社会服务 205.3对口支援 20六、举办者履责206.1经费保障 206.2政策措施 21七、特色创新221.加强心理健康教育22八、主要问题和改进措施222018年度黑龙江东亚学团职业高级中学质量报告1.学校情况1.1学校概况黑龙江东亚学团职业高级中学系原第一机床厂职业高级中学，成立于1980年, 学校的主要任务是为工厂培养技术工人。
1995年，齐齐哈尔第一机床厂经济效益开始滑坡，出现拖欠职工工资的情况。
1998年2月学校加入了齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）为龙头的民办教育集团——黑龙江东亚学团，学校易名为黑龙江东亚学团职业高级中学。
2008年8月20日，由齐齐哈尔市国有资产监督管理委员会、齐齐哈尔职业学院、齐齐哈尔市龙沙区人民政府和齐齐哈尔第一机床厂四家单位共同签署的文件《关于对东亚学团资产清查界定和处置的协议书》中，黑龙江东亚学团职业高中办学性质被界定为“国有公办，执行托管协议。
委托齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）进行管理”。
校园占地面积5864.64平方米，建筑面积（校舍面积）22841.32平方米，校园总面积39040.32平方米。
学校资产总额13718916.91元，固定资产7554957.64元。
1.2学生情况目前学校在籍学生257人，其中职高学籍为37人；开设计算机平面设计、计算机网络技术、航空服务、铁路客运服务、汽车运用与维修、数控技术应用、机械制造技术等专业，2018年招生人数比上一年有所减少。
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上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程
《矩阵理论》教学大纲（附：选课指南）
一．概况
1．开课学院（系）和学科：理学院数学系
2．课程代码：
3．课程名称：矩阵理论
4．学时/学分：51学时/3学分
5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无
穷级数，常微分方程）
6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。
7．教材/教学参考书：
《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006
《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。
二、课程的性质和任务
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。
三、课程的教学内容和要求
矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)
第一章矩阵代数（复习，2）
1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）
要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法“左行右列”规则的深入理解和融会贯通；熟练掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。
第二章线性空间与线性变换（8）
1．线性空间、基与坐标、基变换与坐标变换（2）
2．线性子空间、交、和、直和、生成元（2）
3．线性变换、核、值域、线性变换在基下的矩阵（2）
4．不变子空间和导出算子、矩阵的四个重要子空间（2）
要求：理解线性空间、线性子空间、线性变换、不变子空间等的概念和性质，并能熟练构造新的线性空间和线性变换；能够利用矩阵表示线性变换、掌握与矩阵相关的四个子空间与线性变换之间的关系。
第三章内积空间、等距变换(6)
1．欧氏空间、内积、Cauchy-Schwartz不等式、正交性、标准正交基、Gram-Schmidt 正交化过程（2）
2．矛盾方程最优解、复内积空间、度量矩阵（2）
3．等距变换、正交变换与U-变换、正交矩阵与U矩阵（2）
要求：理解内积、正交、正交补等的定义；熟练掌握Gram-schmidt正交化方法；理解内积空间的概念，并能熟练构造新的内积空间；掌握求矛盾方程组的最小二乘解的理论根据和方法；理解等距变换的定义及与酉矩阵之间的关系。
第四章特征值与特征向量（4）
1．特征值与特征向量、特征多项式、Hamilton-Cayley定理（2）
2．最小多项式、圆盘定理（2）
要求：理解特征值与特征向量、特征多项式、最小多项式等的定义及基本性质；熟练掌握Hamilton-Cayley定理并利用该定理解决基本的计算问题；熟练掌握圆盘定理及其在特征值估计方面的应用。
第五章矩阵与Jordan标准形（5）
1．λ－矩阵与Smith标准形、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件（3）
2．幂零矩阵的Jordan标准形、一般矩阵的Jordan标准形（2）
要求：理解λ－矩阵、Smith标准形、不变因子、初等因子的定义，并能够熟练计算
矩阵的Smith标准形、不变因子、初等因子；理解矩阵相似的条件；熟练掌握求幂零矩
阵和一般矩阵的Jordan标准形的方法和步骤。
第六章特殊矩阵（4）
1．Schur定理、矩阵的正交三角化、Schur不等式、正规矩阵（2）
2．实对称矩阵与Hermite阵、正交阵与酉阵（2）
要求：理解Schur定理的内容及意义；理解正规矩阵的定义及基本结论；理解实对称矩
阵与Hermite阵、正交阵与酉阵的基本理论，并能熟练计算相关的问题。
第七章矩阵分析（6）
1．向量和矩阵的范数、范数的等价与相容、范数与谱半径（2）
2．阵序列与级数、矩阵的微分与积分、矩阵函数（2）
3．e At的性质、矩阵函数的计算（2）
要求：理解向量和矩阵范数的概念；掌握几种基本的向量和矩阵范数；理解矩阵序列与
级数、矩阵的微分与积分、矩阵函数的定义；理解e At的基本性质，掌握矩阵函数的基本
计算方法。
第八章矩阵函数的应用（2）
1．求解线性微分方程组、系统的可观测性与可控性（2）
要求：能够利用矩阵函数求线性常系数微分方程组、线性常系数非齐次微分方程组、n
阶常系数微分方程的解；能够利用矩阵函数解决定常线性系统的能控性与可观测性问
题。
第九章矩阵分解（4）
1．矩阵的满秩分解、矩阵的QR分解（2）
2．矩阵的奇异值分解、矩阵的谱分解（2）
要求：掌握求矩阵的满秩分解、QR分解、奇异值分解、谱分解的基本方法。
第十章广义逆矩阵（4）
1．投影矩阵、Moore-Penrose广义逆A+、A+的计算（2）
2．广义逆A-及广义逆矩阵在线性方程组中的应用（2）
要求：理解Moore-Penrose广义逆A+的定义及性质，能够用奇异值分解、满秩分解、迭
代方法等求A+；理解广义逆A-的定义、性质及计算方法；理解A+，A-与线性方程组的关系。
四．实验（上机）内容和基本要求
本课程无实验和上机的教学安排，但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题，选择部分
算法自己上机实现。
要求学生熟悉至少一门数学软件平台（Mathematica/ matleb/Maple）和至少一种编程语言。
五．对学生能力培养的要求
本课程属于数学基础课程，含有较多的数学推导和证明，希望在教师引导下，学生逐步学会自己从前人研究问题、分析问题的过程、演绎推导的结果中，体会和领悟这些人类高级心智文明的成果，使学生自己真正学懂数学，而不是被“教会”数学；同时希望学生通过研究式的钻研、探索乃至犯错误的过程中，培养从错纵复杂的现象事理和繁杂无序的结果数据中，寻找与总结内在关系和规律的能力，并且体会科学研究的艰辛和乐趣，培养在科学研究和事理处理上百折不挠、持之以恒的毅力和意志。
提高他们的数学素质和数学修养，提高他们开展科技活动和社会实践的能力以及开展科研工作的能力。
六．其他
最终成绩的评定含期末考试成绩与平时成绩两部分，分别占70%与30% 。
起草者：张跃辉，姜翠波
《矩阵理论》选课指南
对于绝大多数非数学专业的硕士研究生而言，如果需要掌握一门数学理论或方法，《矩阵理论》无疑是最好的选择。
首先，从数学课程的进展来看，《矩阵理论》相当于研究生的《线性代数》+《高等数学》，是后续数学课程和专业课程的基础，比如对工程计算具有重要意义的《数值分析》(又称《计算方法》)课程就要求相当多的《矩阵理论》知识。
其次，对于相当多的准备快速进入实践环节的研究生(比如工程硕士)，《矩阵理论》在相当程度上可以提供解决大量实际问题的理论框架和思想方法。
再次，实践中的困难问题几乎都涉及多个因素，因此其数学模型必然是高维的，其最终解决依赖于线性化，而矩阵理论与方法迄今为止仍是解决高维线性问题的不二选择。
最后，从科学技术发展的实践来看，矩阵理论在现代通信、电子信息、图像处理、模式识别、建筑工程、系统控制、航空航天乃至现代经济等众多领域具有高度创造性和灵活性，是不可替代的数学工具。
《矩阵理论》需要的预备知识除了高等数学的基本理论外，对线性代数的基础知识有较多要求，读者可参考上海交通大学数学系编写的《线性代数》。
《矩阵理论》的基本思想是，一个m n矩阵的本质是一个n维线性空间到另一个m维线性空间的线性变换（因此矩阵这个表面上完全是代数的对象实际上有丰富而深刻的几何内涵），所以研究矩阵的最佳途径是研究线性空间及线性变换的结构和性质。
而线性空间不过是我们熟悉的实数直线、平面和普通立体空间的一般化，线性变换则是最简单的（多元）线性函数的推广而已。
这样就可以利用高等数学中的有力工具--微积分—来研究矩阵，从而得到更为深刻、应用价值更大的理论了。
《矩阵理论》的基本内容如下（不含复习内容）：
1.线性空间、线性变换与矩阵
2.内积空间、等距变换与U矩阵
3.矩阵的Jordan标准型、特征值估计
4.特殊矩阵与矩阵分解（含谱分解与奇异值分解）
5.矩阵函数及其微积分、线性微分方程组
6.广义逆矩阵、线性方程组（解的统一表达）。