上海交通大学2016计算方法期末复习提纲
计算方法复习提纲
数值计算方法复习提纲第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字绝对误差 E （x ）=x-x *绝对误差限ε εε+≤≤-**x x x相对误差 ***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=有效数字m n a a a x 10.....021*⨯±=若n m x x -⨯≤-1021*，称*x 有n 位有效数字。
有效数字与误差关系（1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （2）*x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(11021)(--⨯≤n r a x E 。
选择算法应遵循的原则1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 ⎰=101dx e x eI xn neI nI I n n 11101-=-=- △!n x n=△x 02、 简化计算步骤，减少运算次数；3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免第二章 线性方程组的数值解法1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。
本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。
数理方法讲课提纲-上海交通大学数学系
第六章保形映射一、保形映射的定义1. 复变函数导数的性质|f′(z0)|为伸缩率Arg f′z0为旋转角（多值）2. 解析函数如果满足f′(z0)≠0，则必有伸缩率不变性和保角性（定理1.1.1），即为保角性；单叶的保角映射即为保形映射；a. 单叶解析函数满足f′(z0)≠0为保形映射；b.将区域D保形映射为G的函数一定是解析、单叶且f′(z0)≠0c.将区域D保形映射为G的保形映射是存在的；（黎曼定理）d. 要找到这样的函数，只需要找到让边界映射为边界的保形映射，并保持方向（边界对应原理）3. 分式线性映射w=f z=az+bcz+d (ad−bc≠0), 反函数z=−dw+bcw−aa. c≠0:−dc →∞,∞→acb. 由三类简单映射复合而成，所以有保圆性，（6.7）c. 保对称点性质（6.8）保交比性质(6.9)d.两个圆弧围成区域在分式线性映射下的像P156-157二、典型的分式线性映射通过边界对应原理有：1.上半平面映射为上半平面的分式线性映射w=az+bcz+d,a,b,c,d为实数且ad−bc>02. 上半平面映为单位圆内部（必有上半平面上的点z0到圆心，ഥz0映为∞),w=k z−z0z−z0,k=e iθ,Imz0>0 3.单位圆映为单位圆内部（必有上半平面上的点z0到圆心，1z0映为∞),w=k z−z01−z0z,k=e iθ,z0<1三、初等函数（区域不包含边界）1.幂函数w=z n: （P164）将角形域映射为角形域，在原点处的张角变为原来的n倍，特别的：将πn的角形域映射为上半平面；其反函数w=n z将角形域映射为角形域，在原点的张角变为原来的1/n,2. 指数函数与对数函数w=e z: （P166）将带形域0<Imz<α(α<2π)映射为角形域0<argw<α，特别：α=π，带形域映为上半平面，α=2π，带形域映为不含正实数轴的复平面，w=lnz将角形域0<argw<α映射成带形域0<Imz<α四、与半平面相关的映射将半平面映为上半平面的分式线性映射 将上半平面映成单位圆的分式线性映射 幂函数将角形域映射为上半平面，根式映射将角形域映射成上半平面， 指数函数将带形域映成上半平面，第11周作业P170 1 (1)(3) 2 3 4(1)(3) 5 (2) 6 8P171 B 套 3 （2）4 （1）（3）5第12周作业P171 A 套1 011 12 （1）（4）。
计算方法第7章／《数值分析》／清华大学／上海交通大学／西安交通大学
Euler-Maclaurin 公式
å ò Tn - I =
k
c2 j [ f (2 j-1) (b) - f (2 j-1) (a)]h2 j +
b a
P2k ( x) f (2k ) (x)dx
j =1
8
å c2 j
=
(-1)
j +1
1
(2p )2
j
¥ k =1
1 k2j
，|
P2k (x) |£ c2k h2k
同上
ò RS =
b f (4) (x ) (x - a)(x - c)2 (x - b)dx a 4!
=- b - a (b - a )4 f (4) (h) 180 2
5
复化公式及误差分析
由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：
将积分区间
n
等分，节点是
xi
=
a
+ ih, h
=
值公式
pn (xk ) = f (xk ) = yk
利用 Lagrange 插
1
å Õ pn (x) =
nn
(
k=0 j=0 j¹k
x xk
- xj - xj
)yk
¬ 做代换 x = a + th,t
=
x-a
å Õ n n t - j
=
(
k =0
j=0
k
-
j )yk
h
j¹k
以 pn (x) 代 f (x) 得
k -1
<e
停止
输出 Tk(k )
»
I
。否则 h
Ü
h 2
上海交通大学高等数学复习提纲
上海交通大学高等数学复习提纲第一章函数1.会证明一般难度的不等式，并运用一些证明不等式的方法2.函数的界与数列的界的联系和区别（联系第二章）3.复合函数的函数值计算、单调性等4.单射和满射的定义与性质5.奇函数、偶函数的图像与性质，周期函数的定义与性质6.反三角函数的图像与性质7.双纽线、心脏线等的画法，图像性质，为积分应用求面积体积打好基础第二章极限与连续（这一章最为琐碎，多耐心）1.数列的有界无界的定义，怎么证数列的单调性，怎么证明数列的有界无界2.数列极限的定义（这同样也是证明一个数是数列的极限的根据；注意数列极限的几何意义）3.证明一个数是数列的极限的方法4.无穷大与无穷小的含义5.会求以下类型数列的极限1）分子、分母为多项式2）分子、分母含根式（很重要）3）分子、分母含指数式4）能够转化为（1+1/n）n的极限5）会用夹逼定理求极限（很重要）6）单调有界数列求极限的方法甚至是综合题，可参考习题集（较重要，有难度）7）用定积分的定义来求极限的方法（考得比较多，方法比较死，但不容易想到）6.为了达到会求极限的目标，要注意以下求和公式并且掌握常见的求数列前n项和的方法7.函数在一点和无穷远处极限的定义和相应的证明方法8.了解一下Heine定理，如果有问题请回看子数列与数列的关系与性质9.函数极限的几个常见性质，尤其是定性性质要有个感觉10.重要函数极限及其转化应用lim(sinx/x)=1; lim(1+1/x)x=e;11.无穷小、三类无穷小、正反求阶数、标准无穷小等概念和方法（重要）12.等价无穷小，会用它求函数极限（很重要，包括简单变形、平移和本质相同的式子的等价无穷小），等价无穷小的替换原则和规律要认真体会，要耐心13.函数极限的运算法则，会求函数极限（这一句话意味着要做大量的题和总结，类型要全）14.函数连续性的定义，函数连续与函数极限的关系，几类间断点及特征，罕见的类型记住典型案例15.连续函数求某点极限与该函数在该点函数值的关系，极限号可穿函数号等性质16.从定义和几何特征上体会一下有界性定理、最值定理、介值定理，看一下典型应用方法，适当操练操练，注意构造辅助函数的方法的出现第二章的内容一定要耐心，细节比较多，理解比较多第三章导数与微分1.导数的定义，可导的条件，可导与连续的关系2.微分、线性主部的定义（不妨从几何上看看，以直代曲P108），可导与可微的关系3.理解增量公式，会用增量公式求近似值，会用它估计误差(二者考得少，但是要会）4.背住导数表和微分表5.会求导数、会求微分（这两者比较简单），会准确地求复合函数的导数与微分；理解复合函数求导法则的来源；掌握一些求导类型与方法；反函数求导方法的推导与理解，会求反函数的导数。
上海交大《计算方法》教学大纲
上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程《计算方法》教学大纲(2007修改讨论稿)一．概况1.开课学院（系）和学科：理学院数学系计算数学教研室2.课程编码：3.课程名称：计算方法4.学时/学分：54学时/3学分5.预修课程：线性代数，高等数学，程序设计语言6.课程主干内容: 数值代数，数值逼近，非线性方程数值解，常微分方程数值解。
7.适应专业学科：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科需要的专业。
8.教材/教学参考书：(1)李庆扬、王能超、易大义，数值分析（第4版），华中理工大学出版社， 2003(2)孙志忠，袁慰平，闻震初，数值分析，东南大学出版社，2002(3)J.Stoer and R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis (secondedition), Springer-Verlag, Berlin-New York, 1993.(4)Atkinson K E，An Introduction to Numerical Analysis，John Wiley & Sons. 1989.二．课程的性质和任务本课程属于数值计算课程的基础部分。
数值计算课程是非数学类研究生数学公共基础课程，该组课程列入计算数学系列，目前按照“分级”的原则，设置《计算方法》（基础部分）、《微分方程数值方法》(扩展部分) 和《高等计算方法》（提高部分）三门课程。
本课程讨论用计算机求解数学问题的几类基本的数值方法及其相关的数学理论。
计算机是对近代科学研究、工程技术和人类社会生活影响最深远的高新技术之一，它对科学技术最深刻的改变，莫过于使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知和进行大型工程设计的第三种方法和手段。
计算机的飞速发展正把计算的方法的创新、改进、提高推向人类科技活动的前沿。
人类现代计算能力的巨大更取决于计算方法的效率。
上海交大高起专-计算机-期未总复习大纲-第一次第二次第三次作业
[1] 将文档中所提供的表格设置成文字对齐方式为垂直居中，段落对齐方式为水平居中。
1.全选表格中文字→设置距中。
右击全表 →表格属性→水平对齐方式：居中上机操作-第2次（windows操作）打开word ,新建空白文档，复制"表单全部。
" [3] 将正文第二段(“中国出现宽带接入热潮，……一个难得的历史机会。
”)分为等宽的两栏，栏宽为19字符。
3.选定正文第二段(“中国出现宽带接入热潮，……一个难得的历史机会。
”)→“页面布局”→“分栏” 下拉菜单→“更多分栏 ”打开对话框设置→“档数”为2，宽度为19字符[4] 第一段首字下沉，下沉行数为2，距正文0.2厘米。
将正文第三段(“尽管前景良好，……都难以获益”)分为等宽的两栏，栏宽为18字符。
并以“宽带新闻.docx”保存文档。
4.选定第一段全文→“插入”→“首字下沉” 下拉菜单“首字下沉选项”→设定上：“下沉行数”为2，距正文0.2厘米→ 确定→ 选定正文第三段(“尽管前景良好，……都难以获益”)→“页面布局”→“分栏” 下拉菜单→“更多分栏 ”打开对话框设置→“档数”为2，宽度为18字符 .另存文档“文件名：宽带新闻”到《实验结果》打开word ,新建空白文档，复制"款待发展面临路径选择……运营商和提供商都难以获益。
"[1] 将文中所有错词“款待”替换为“宽带”；将标题段文字(“宽带发展面临路径选择”)设置为三号黑体、红色、加粗、居中并添加文字蓝色底纹，段后间距设置为16磅。
1.单击工具栏“查找”，在搜索栏中输入“款待”→“Enter回车键.”。
单击工具栏“替换” →“Enter回车键.”选定标题段文字(“宽带发展面临路径选择”)设置：“三号黑体、红色、加粗，蓝底”右键 →段落→[2] 将正文各段文字(“近来，……设备商、运营商和提供商都难以获益。
”)设置为五号仿宋，各段落左右各缩进2厘米，首行缩进0.8厘米，行距为2倍行距，段前间距9磅。
计算方法复习提纲PPT课件
（3）SOR迭代法收敛的充分必要条件是
(S ) 1,其中S (D L%)1[(1 )D U%]
14
定理3.12 设 Ax = b，如果A为严格对角占优阵，则
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛。
6 常微分方程的数值解法
2
1、 绪论
绝对误差和绝对误差限 相对误差和相对误差限
有效数字
定义1.5 设近似数 x 0.a1a2 an 10m ,
其中 ai {0,1, 2,3,L ,9}(i 1, 2,L n), a1 0,
m为整数，如果
e
x*x
1 2
10mn
,
则称近似值x有n位有效数字，其中a1, a2 , … , an都 是x的有效数字，也称x为有n位有效数字的近似值。
x(k 1
)
0
x(k 2
)
..........
a2n
x(k n
)
]
22
x ( k 1) n
1 ann
[bn
a x(k) n1 1
an
2
x(k 2
)
..........
0
x(k n
)
]
(k=0,1,2,…)
11
Gauss-Seidel 迭 代 公 式
n i0
li (x) yi
n i0
9
线性代数方程组的迭代解法
熟练掌握求解线性代数方程组的雅可比迭代法、赛德尔 迭代法及SOR迭代法的迭代格式和收敛条件。
计算方法总复习
数值分析复习一、期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。
解答题共7个题，分数约占70％。
期末考试主要考核：●基本概念；●基本原理；●基本运算。
必须带简易计算器。
总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%二、考核知识点、复习要求第1章误差(一) 考核知识点●误差的来源类型；●绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；●绝对误差的传播。
(二) 复习要求1. 产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
第2章方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间 (a,b)有根的充分条件。
2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法迭代次数公式;掌握迭代法，知道其收敛性。
3. 熟练掌握牛顿法。
掌握初始值的选择条件。
4. 收敛阶和收敛速度第3章线性方程组的数值解法(一) 考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法，超松弛迭代法；迭代解数列收敛的条件。
(二) 复习要求1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。
2. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，迭代解收敛性的充分条件。
4. Cond(A)的概念和性质第4章函数插值与最小二乘法(一) 考核知识点●插值函数，插值多项式；●拉格朗日插值多项式;插值基函数；●牛顿插值多项式；差商表;●分段线性插值、线性插值基函数●最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。
(二) 复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
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• 基本原理
• 误差估计
•
简单迭代法
• • •
迭代原理 迭代格式的收敛性判断 收敛速度的度量
•
Newton迭代法
• • • • •
原理 算法步骤（★） 收敛的阶 手工计算（★） newton迭代法的改进
• •
重根时的改进 避免求一阶导数的改进：弦截法
第3章 线性方程组求解
•
线性方程组的求解方法： （★）
•
多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm
（1）
( 3)
• 一般曲线拟合
• 利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解
（会计算） （★） • Ax=b的最小二乘解为：ATAx=ATb
• 基本概念：
• 数值积分（机械求积公式）的一般形式
• 求积公式的代数精度（计算、证明）
A
• 插值型求积公式：
1 • 若矩阵 A 对某个算子范数满足 I A
1
• 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
• 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1 • 充要条件： x=Bx+f，B的谱半径 ( B ) <1
• Jacobi迭代：
• 公式：x=Jx+f（其中： J=I-D-1A，f=D-1b） • 收敛的条件： （★）
利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、高斯-塞德尔 迭代法求解
• 第四章
• 习题：16题、20题
• 第五章：
• 习题：4题、7题、8题
• 第六章：
• 习题：1、2、12题
• 算法考查：Guass顺序消元法解线性方程组的解
• •
直接法 迭代法
•
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
•
Guass顺序消元法
•
n
适用条件：
•
系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
|| aii | | aij |, A的每行主对角元的绝对值 同行其余元素的绝对值之和
j i i 1
•
顺序阶主子式为正
•
算法步骤（★ ★ ★ ）
• 列主元Gauss消元法（★） • 选主元的必要性 • 算法的改进 • Gauss-Jordan 消元法 • 思想、方法 • Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵 • 三角分解法 • Doolittle分解（★） • Crout分解（★） • 追赶法 • 适用于：三对角方程组 • 实质：作Crout分解 • 改进平方根法 • 适用条件：对称正定矩阵 • 计算量减半
第6章 数值积分
k
ba
• 插值求积公式的构造方法（★） • n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度
• n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有n+1
次代数精度
• Newton-cotes公式的构造 • 重点掌握： • 梯形公式 • Simpson公式
• 步骤
f ( n ) ( ) f [ x0 ,, xn ] (n)!
• 估算某点的近似值：
•
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
• Hermit插值
• 基本思想 • 插值多项式的构造方法
• Lagrange型构造法（基函数构造法） • Newton型构造法（重节点的差商）
• 充要条件： ( J ) <1 • 充分条件：||J||<1 • Ax=b的系数矩阵A （非迭代矩阵 J ） ：严格对角占优
• 会手工计算（★）
• 插值的基本概念：
• 插值多项式
• 插值条件、插值点
第4章 插值法
• 插值多项式的存在、唯一性：
• 故Ln(x)与Nn(x)等价
• Lagrang插值多项式（★）
复习
第一章 绪论及误差估计
• 误差的来源、分类（★） • 误差的估计（★）
• 绝对误差、绝对误差限
• 相对误差、相对误差限 • 有效数字
• 和、差、积、商的误差
• 数值计算（近似计算）的基本原则（★）
第2章 非线性方程求根
• 非线性方程求根的基本步骤（★） • 判断根存在性
• 有根区间的隔离
• 根的精确化 • 二分法求根
• 对称性 •
f [ x0 , , xk ] f [ xi0 , , xik ]
n
f ( xi ) f [ x0 , , xn ] i 0 ( x i x0 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
a n , k n 推论：若f ( x ) Pn ( x ), f [ x0 , , x k ] 0,k n • Newton插值公式的构造（★）
•
迭代法： • 向量与矩阵的范数： （★） ( A) max ∞ | - • 向量范数： 1-范数、 2-范数、 范数 i |
• •
矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数 矩阵的谱半径： • ρ( A) ≤||A||
1 i n
||A|| < 1，则必有: I±A 可逆、 1 || A || • 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
• 构造 • 余项
n k 0
f ( x ) l k ( x ) yk (
k 0 k 0 i 0 ik
n
n
n
( x xi ) yk ( xk xi )
• 线性插值、抛物插值公式及其截断误差 lk ( x ) 1
• Newton插值
• 差商及其性质： （★）
• 了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分
段低次插值（★）
• 了解三次样条插值的基本原理
第5章 最小二乘法与曲线拟 合
•Байду номын сангаас最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
n y i n n i 0 n xi .... x im Ty • 对应的正规方程组： CTCa=C n i 0 i 0 xi yi a0 n n n 2 m 1 i 0 .... x i xi xi a1 n i 0 i 0 i 0 T T 2 n n C C n , a a 2 , C y x i yi 2 3 m2 i 0 xi .... x i xi ... i 0 i 0 i 0 ..... .... .... .... n .... am n n n m m m 1 2m x y xi .... xi i i xi i 0 i 0 i 0 i 0 • 解之即得(1）的最小二乘解
• 复化积分
• 原理 • 复化梯形积分、复化Simpson积分（计算）
• Romberg积分公式
• 是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（★）
• Gauss积分：
• n个积分结点的Gauss求积公式可达 2n-1次代数精度（★）
重点例题、习题
• 第一章：
• 例：1-1、1-2、1-14、 • 习题：2、8、17 • 第二章： • 例：2-3、2-5、2-15、 • 第三章： • 例：3-29 • 习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元法、杜