上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分
同济大学2010-11线性代数B期末考试试卷_A卷_
同济大学课程考核试卷(A 卷)2010—2011学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷年级 专业 学号 姓名 任课教师题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(均为单选题)(27分)1、 已知4阶方阵123456789054a b A c d ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，函数()||f x xE A =−,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________.2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式1231,,,m αααβ=，又1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m −_______________.3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=−=−=，其伴随矩阵为*A ，则行列式*A =_____36_________.4、 已知α是3维实列向量，且111111111Tαα−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则α=5、设α是3R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,Tx x x ，则α在基1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx −________________.6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________.1(). ).(). ().n A A A A B C n cE c D −若矩阵可逆，则与可交换(可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______.()222(). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E==−==8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____(). 0 (). 0(). 0().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======⇔=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________.()()()()()()()()()()()()()()(). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D −−,, (二、(10分) 已知n 阶行列式12312001030100n n D n="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.三、(10分)参数,a b 满足什么条件的时侯，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪+++−=⎪⎨+++=⎪⎪+++−=⎩有解？并在有解的情况下，求出它的通解.四、(15分)已知3阶方阵3221423A k k −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，问参数k 满足什么条件的时候A 可以对角化？并求出可逆阵P 及对角阵Λ，使得1P AP −=Λ.五、(12分)设向量组12341111,,1,4115k k k αααα−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠，问： (1) 参数k 为何值时，123,,ααα为向量组的一个最大线性无关组？(2) 参数k 为何值时，12,αα为向量组的一个最大线性无关组？并在此时，求出34,αα由最大线性无关组表出的线性表达式.六、(12分)设V 为实数域R 上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在V中定义映射:()a b T T X X c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，(1) 证明T 是V 中的线性变换，(2) 求线性变换T 在自然基11122122,,,E E E E 下的矩阵，(3) 若1,2,3,4a b c d ====，试求线性变换T 的核ker T 与像空间Im T .七、(1)(7分)已知A 为3阶方阵，123,,λλλ为A 的三个不同的特征值，123,,ααα分别为相应的特征向量，又123βααα=++，试证：2,,A A βββ线性无关.(2) (7分)设A 为3阶实对称阵，且220A A +=，又()2R A =，试求出A 的全体特征值，并问参数k 为何值时，矩阵A kE +为正定阵?。
矩阵分析考试及答案
矩阵分析考试及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，矩阵A的列数与矩阵B的行数相等，那么矩阵A的列数是（）。
A. 矩阵B的行数B. 矩阵B的列数C. 矩阵A的行数D. 矩阵A的列数答案：A2. 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量（或列向量）的最大数量，那么矩阵的秩与矩阵的行数和列数之间的关系是（）。
A. 秩小于等于行数和列数的最小值B. 秩等于行数和列数的最小值C. 秩大于行数和列数的最小值D. 秩等于行数和列数的最大值答案：A3. 矩阵A是可逆的，那么矩阵A的行列式值是（）。
A. 0B. 1C. 不为0D. 无法确定答案：C4. 矩阵A的特征值是指满足方程（）的值λ。
A. Ax = λxB. Ax = 0C. Ax = xD. Ax = λIx5. 矩阵A的迹是指矩阵A的对角线元素之和，那么矩阵A的迹与矩阵A的转置AT之间的关系是（）。
A. 矩阵A的迹等于矩阵AT的迹B. 矩阵A的迹不等于矩阵AT的迹C. 矩阵A的迹是矩阵AT的迹的两倍D. 矩阵A的迹与矩阵AT的迹无关答案：A6. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，那么矩阵AB的行数是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵B的行数D. 矩阵B的列数7. 矩阵A是对称矩阵，那么矩阵A的特征值是（）。
A. 全部为正B. 全部为负C. 全部为实数D. 全部为复数答案：C8. 矩阵A是正定矩阵，那么矩阵A的特征值是（）。
A. 全部为正B. 全部为负C. 全部为零D. 部分为正，部分为负答案：A9. 矩阵A和矩阵B是同阶方阵，那么矩阵A和矩阵B的乘积AB与矩阵B和矩阵A的乘积BA之间的关系是（）。
A. AB等于BAB. AB不等于BAC. AB和BA的秩相等D. AB和BA的行列式相等答案：B10. 矩阵A是奇异矩阵，那么矩阵A的行列式值是（）。
A. 0B. 1C. 不为0D. 无法确定答案：A二、填空题（每题4分，共40分）11. 矩阵A的转置记作______，即矩阵A的行变为列，列变为行。
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
2011-2012学年第一学期 矩阵分析 试卷(A)
北京交通大学2011-2012学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一、（共12分，每小题3分）试对下列概念给出定义： （1）线性映射的值域和核； （2）线性变换的特征值和特征向量； （3）矩阵的最小多项式； （4）矩阵的诱导范数.二、（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量110212α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，201221α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312012α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，413233α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，512013α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，623445α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα， （1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基； （3）求21V V 的维数及基.2三、（10分）求矩阵20000224402A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的正交三角分解UR A =，其中U 是次酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.四、（10分）设13021i i A i i ⎛⎫= ⎪---⎝⎭24C ⨯∈，计算12, , , F A A A A ∞.（这里12-=i ）.五、（共28分，每题7分）证明题：（1）设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明：AB 的特征值的实部为0.（2）设A 为正规矩阵，证明：)(2A A ρ=. 这里)(A ρ为A 的谱半径. （3）设nn CB ⨯∈且1<B ，证明：B E +可逆（其中E 为单位矩阵）.（4）设n m C A ⨯∈，U 是任意m 阶酉矩阵，证明 FUA=F A .六、（共16分每小题4分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A ，（1） 求A E -λ的Smith 标准形（写出具体步骤）； （2） 写出A 的初等因子和A 的Jordan 标准形J. （3） 求函数x x f 2sin)(π=在矩阵A 的影谱上的值；（4） 求行列式 tA cos .。
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
5. 设
112
A = 0 1 1 ,
134
求 A 的四个相关子空间. 解：
R(A) = [(1, 0, 1)T , (1, 1, 3)T ], R(AT ) = [(1, 0, 1)T , (0, 1, 1)T ], N (A) = [(−1, −1, 1)T ], N (AT ) = [(−1, −2, 1)T ]
南京工业大学矩阵论试卷(2010—2011)
南京工业大学 矩阵论 试卷2010--2011 学年第 2 学期 使用班级 研10班级 学号 姓名一填空（03'）.1. 设V 是实数域上全体22⨯阶对称矩阵组成的线性空间，则它是 维的，一组基是 ，任一实对称矩阵a c A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭在此组基下的坐标是 。
2. 在欧氏空间4R 中，内积按通常定义，则向量)0,4,1,1(-=α与)2,2,1,3(-=β之间的夹角>=<βα, ；向量α的长度为 。
3. 设1324A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 1A ＝ ，∞A ＝ 。
4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=553311A ，则A 的满秩分解为A ＝ 。
5. 设111100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的二个奇异值为1λ＝ ，2λ＝ 。
二(14).设22⨯R 中向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0011,00014321αααα 1 （1）证明4321,,,αααα是22⨯R 的一个基；（2）求从基22211211,,,E E E E 到基4321,,,αααα的过渡矩阵；（3）求矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2011P 在基4321,,,αααα下的坐标。
三)01('.在3R 中，对任意 3321),,(R a a a ∈=α, 定义：A 13213()(,2,)a a a a a α=+-， （1）证明：A 是3R 上的线性变换；（2）求A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵。
四)01('.在},,{][21022123R a a a x a x a a x R ∈++=中定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f ， 证明：21(),()(31)2f x x g x x ==-是正交的，并求它们的长度。
五)01('.设V 为3维的线性空间，321,,ααα为V 的一组基，A 是V 上的线性变换，且A 11αα=，A 2122ααα+=，A 3233ααα+=，求：（1）A 在基321,,ααα下的矩阵； （2）A 的特征值和特征向量；（3）在V 中能否选择适当的一组基，使得A 在这组基下的矩阵是对角阵？如果能，写出这组基及对角阵。
高数必不挂-高等数学A(一)2010-2011(A)解答
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根 有 有三个不同的实根 有唯一实根 无实根 ）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++< 为正常数 恒为零 为负常数 不为常数 ）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装 订线第 2 页 共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令 ，541452-==-x t x t () 1分 原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知 0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴= 在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页 共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求： 斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim()sin lim ()sin cos x xx f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。
2010—2011学年第二学期《线性代数B1》期末考试试卷及答案
五、（本题8分）
(1) 因为b1, b2, · · · , bn两两正交, 所以 bi, bj = δij · |bi|2 =
|bi|2 = 0, i = j,
0,
i = j.
设λ1b1 + λ2b2 + · · · + λnbn = 0, 用bi作内积得：λi bi, bi = 0 ⇒ λi = 0, i = 1, 2, · · · , n.
因为βj = n akjbk ⇒ βj = (b1, b2, · · · , bn) a1... j (j > r).
k=1
anj
所以βj (j > r)是β1, β2, · · · , βr的线性组合. 下面只要说明β1, β2, · · · , βr线性无关即可.
设λ1β1 + λ2β2 + · · · + λrβr = (β1, β2, · · · , βr) λ...1 = 0,
第 4 页 共 10 页
—————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————–
得分 评卷人
五、（本题15分）
已知二次型Q(x1, x2, x3) = 3x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3。 (1) 写出二次型Q(x1, x2, x3)对应的矩阵A，和Q(x1, x2, x3)的矩阵式。 (2) 求正交变换P ，使x = P y把Q(x1, x2, x3)化为标准形。 (3) 二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4) 指出Q(x1, x2, x3) = 1的几何意义。
=
。
(8) 设P3[x]为 次 数 小 于 等 于3的 实 系 数 多 项 式 全 体 构 成 的 线 性 空 间 。 定
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷
本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置.
一、 单项选择题（每题3分，共15分）
1. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=001001001A ，则=-199200A A ( )
（A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .
2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )
（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与
多项式的通常乘法；
（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；
（C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算
0x x k =⋅，k 是实数，0x 是某一取定向量；
（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.
3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )
（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；
（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.
4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )
（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；
（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞
=-=∑A E A k k .
5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )
（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+；
（C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21.
二、填空题（每空3分，共15分）
设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0201,1201B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .
3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .
4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .
5、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛B B A 0
的Jordan 标准型为 .
三、计算题（12分）
向量空间22⨯R 中的内积通常定义为
.))(,)((,),(2222212
1
⨯⨯=====∑∑ij ij i j ij ij b B a A b a B A
选取⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=1110,001121A A ，构造子空间],[21A A W =.
1、求⊥W 的一组基；
2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基.
四、计算题（18分）
已知
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
-=110130002A .
1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ；
2、计算矩阵A e ；
3、求下列微分方程组的解
⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,0x x Ax dt dx ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
=11
10x .
五、计算题（10分）
设n m C A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*UDV A =，n
m O O O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ
=，
),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆.
六、计算题（18分） 设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为
3032322110)()()()()(t a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.
1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；
2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；
3、求线性变换T 的值域的基与维数；
4、求线性变换T 的核的基与维数.
七、证明题（6分）
设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得2B A =.
八、证明题（6分）
设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。