4上海交通大学2010年矩阵理论试题
上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分
上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置.一、 单项选择题（每题3分，共15分）1. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001001001A ，则=-199200A A ( )（A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的通常乘法；（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；（C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算0x x k =⋅，k 是实数，0x 是某一取定向量；（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞=-=∑A E A k k .5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+；（C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21.二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0201,1201B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛B B A 0的Jordan 标准型为 .三、计算题（12分）向量空间22⨯R 中的内积通常定义为.))(,)((,),(22222121⨯⨯=====∑∑ij ij i j ij ij b B a A b a B A选取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1110,001121A A ，构造子空间],[21A A W =.1、求⊥W 的一组基；2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基.四、计算题（18分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110130002A .1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ；2、计算矩阵A e ；3、求下列微分方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,0x x Ax dt dx ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110x .五、计算题（10分）设n m C A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*UDV A =，nm O O O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=，),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆.六、计算题（18分） 设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为3032322110)()()()()(t a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；3、求线性变换T 的值域的基与维数；4、求线性变换T 的核的基与维数.七、证明题（6分）设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得2B A =.八、证明题（6分）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。
上交大矩阵试卷
(
3. 4 ) A A−B 0 B (A) (x−1)2 (x−2)
(
) (C) (x−1)2 (x−2)2 (D) (x−1)3 (x−2)3 ( ) (D) || A|| ≥ ρ(A∗ A) ( )
(B) (x−1)(x−2)2
i=1 n ∑ i,j =1
(B) (D) 15 )
λ1 , · · · , λ n s1 , · · · , sn , n ∑ |λi |2 = |si |2 |si |2 =
i=1 n ∑ i,j =1
|aij |2 ,
i=1 n ∑ i=1
|aij |2
3
8.
9. 10.
(x, y, z )T ∈ R3 , σ ((x, y, z )T ) = (2x−y, 2x)T , σ )( ) ( ) ( x1 b1 1 1 = x2 b2 0 0 2 −1 2 1 2 2 −1 , x → Ax A= 3 −1 2 2 t e tet tet λE − A A 3 , eAt = 0 et 0 , t 0 0 e A r≥1 n , B = E − cos A, 1 B
1
二. 填 空 题 (每空 3 分, 共 15 分) 设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1 , α2 下的矩阵分别为 ( A= ) 1 0 , 2 1 ( B= ) 1 0 . 2 0 .
1、T1 , T2 的乘积T1 T2 : V → V 在基α1 , α2 下的矩阵为 2、dim R(T1 )= . .
V = R2 V , σ V
, (x, y )T ∈ V , e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T . (•, •) e1 , e1 + e2 ; e2 e1 − e2 ; , σ (e1 ) = e1 + e2 . σ ((x, y )T )?
矩阵理论答案(上海交大版)
0 2 2 2 ， 3 1 2 1 3
即
T
e1, e2 , e3 e1, e2 , e3 A,
作
基
变
换
e1,
e2 , e3 '
'
,e1
'
,e 则 2
e3 .
P
' ' e1' , e2 , e3 e1, e2 , e3 PAP 1. 故使为对角形的基 e1, e2 , e3 P1 即可。
u1 ； w1 ； 故 U W 的基为 3w1 w2 ， U 的基为 3w1 w2 ， W 的基为 3w1 w2 ， U W
的基为 3w1 w2 ， u1 ， w1 。 6． U W ( x, y, z, w)
1 1 1 1 x y z w 0 ， r 2， 1 1 1 1 x y z w 0
数非 0 且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 5． 记 U= u1, u2 , u3 ， W w1, w2 ，把 U,W 放在一起成 4 行 5 列的矩阵，其 Hermite 标 准形为
1 0 0 0
4 5 1 2 1 5 1 1 3 9 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
5． | Em AB |
mn
， En BA 知除 0 外 AB 与 BA 的特征值全相同（包括代数重数）
而迹为矩阵特征值之和。
2 6． （1）特征多项式 x 8 x 7 为最小多项式，可能角化
（2） | E A | 1 2 3 为最小多项式，可对角化 （ 3 ）特征多项式为 1
上海交大研究生矩阵理论答案
nk rnn12习题 一1．（ 1）因cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x =cosxcos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x，故由归纳法知cosnx sin nx A。
sin nx cosnx（ 2）直接计算得A4E ，故设 n4 k r (r 0,1,2,3) ，则 AnA 4 k Ar( 1) A ， 即只需算出 A 2, A 3即可。
0 1 0 1（ 3 ）记 J=，则，1 0n1 n 12 n 2na C n aC n a C nanC 1 a n 1C n 1aAn(aE J )nnC i a i Jn ii 0n n an 。
C 1a n 1 an2. 设 AP1a2P 1(a 1,0),则由A 2E 得a 1时,11110 12 12 1 02不可能。
1而由 a10时,2 1知1 所以所求矩阵为 PB P 1 ，其中 P 为任意满秩矩阵，而ii2221 0 1 0 1 0 B 1, B 2, B 3。
0 10 11注： A2E 无实解， AnE 的讨论雷同。
3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2个未知数时线性方程 AXXA=0 有 n 2个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，1*1a w通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。
a na n 1 a 1 04. 分别对（ A B ）和A 作行（列）初等变换即可。
C5. 先证 A 或 B 是初等到阵时有AB*B *A *，从而当 A 或 B 为可逆阵时有AB*B * A *。
考虑到初等变换 A 对 B 的 n1阶子行列式的影响及 A A 即可得前面提到的结果。
E r 0 下设 PAQ，（这里 P ， Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：0 0**E r 0 *E r 0 B B，0 00 0（ 1） r<n-1 时，因秩小于 n-1 的 n 阶方阵的 n-1 阶子式全为 0，结论显然；B n1*E r 0 0 0 **E r 0 0B n2（ 2） r=n-1 时，0 0， B，但0 10 0E r 0b 11b 12b 21b 22b 1 nb 2nb 11b 12b 21b 22b 1n b 2n ，故0 B nn0 0b n1b n2b nn0 0E r 0 B n1 *B n 2**E r 0 BB。
上海交通大学线性代数第一、二章复习题附答案
代数第一、二章复习 2005-10-316A 2B = 54、填空题1、设，则A 中元素a i2的代数余子式等于-11;Q A 121)12、设3A3、设 3n A333阶方阵At ，且 AB 0， 3-7a 1 4 •设 A = a ? a 3b 1 b 2 b s C1a 1 C2C3a 2 a 3b 1 b 2 b 3d 1d 2 d 3，且 A =4， B =1，则3a 1 3D C 1 2d 1a 1 bi C 1 2d 13a 2 3b 2 2d 2 32 a 2 b 2 C 2 2d2 3a 33b 3 C 3 2d 3a 3b 3 C 3 2d 3A 2B =a 1b 2d 1 a ? b 2 C 29 a 2 b 2 2d 2 a 3 ba 3b 3 2d 3 9 9[4 2 1] 54 ；a 1b 1 a 1b 2ab_ azd a 2b 2 a 2b n 0 , b )i 0, i 1, 2, ,n ,6.设A，其中a ianb a n b 2a nb n则r(A) = 15已知A 是秩为2的4阶矩阵，则A j7 、设A , B , C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式r(A )= oBD 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( -A) 1;3 B 3A 1 B ( 3)- A 1278、已知A 为三阶方阵，且 A 4 , A 2E 8 ,则A A 1 = __2__ ；o阶方阵，且行列式|A| a ，则|2A| _|2A| 25a、选择题*11 *12 *134*11 2*11 3*12 *13 1、如果D*21 *22 *23 1 ,则 D 14*21 2*213*22 *23*31*32*334*312*313*32*3311 1 11 10 39、设 A，则第1 1 1 0121 110、设A 为n 阶可逆矩阵 5B 是将矩阵，则AB1Pii。
11 •设A 为5阶方阵， 且A< =-4 4行各元素的代数余子式之和为A 中的第i 行与第j 行元素对调后的则行列式|AA 46a 11 a 12a 135*113*12 *1312如果D821 *22 *233，则 D 15*21 3*22 *23*31*32*335*313*32*33a 21 a 2214 .已知行列式A 12元素（2,321X 1 *22 X 2 b 1b 2的解必素(1,2)的 代数余子式1）的代数余子式A 21的值15 .已知A 为5 =-45 a 12811X1a 12X 213.如果线性方程组a 11(A) 8 (B) 12 (C) 24 (D) 242 •设A为4阶方阵，已知A 3，且，则A A 1= ____________ ；3、设A, B, C是n阶方阵，且ABC E, E为n阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是()(A) BCA E (B) ACB E (C) BAC E (D) CBA E14、当ad be时，a b=() e d(A)1 d e (B) 1 d e ad be b a ad be b a(C)1 d b (D) 1 d bbe ad e a ad be e a5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是()1 0 0 1 0 0 1 0 0(A) 0 0 1 (B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 1 0 1 0 1 0 0 40 0 10 1 01 0 1a11 a12 a13 a 11 3a31 a12 3a32 a13 3a 336 、若P a21 a22 a23 = a21 a 22 a23 则Pa31 a32 a33 a31 a32 a33( )1 0 0 1 0 3 0 0 3(A) 0 1 0 (B) 0 1 0 (C) 0 1 03 0 1 0 0 1 1 0 11 0 0(D) 0 1 00 3 10 07、设A a 10 b 4 a 2 b s 0 b 2 a 3 0 bia 4 ，则 A =() (A) (C) 3i 323334b 2b 3)(a i a 4 bb 4)(B) a 1a 2a 3a 4 ①匕鸟①匕厶(a 2a 3 (@a 2 db 2)(a 3a 4 b 3b 4)8、设n 阶方阵A 满足A 2 2E ,其中E 是n 阶单位阵，则必有( 1 1 (C) A -A2 (D) (A) A 2A 1 (B) A 2E (D) 9、设 A 、 (A) (C) B 都是n 阶非零矩阵，且 必有一个等于零 一个小于n ，—个等于n 10 •设n 阶矩阵 ) AA 满足 A 2 AB 0, (B) (D) E 0，其中 则A 和B 的秩(都小于n 都等于0 E 为n 阶单位矩阵, 则必有 ( (A) (B) E (C) A A 1(D) 11 •设 ，且 1 a , b , c 均不为零，则A (A) (B) (C)12 .设(A)r(B) 2二、计算题1、 已知(D)12B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B)AB 0,r(B) r(A) 21 42, (C)则(r(B)(D)3 求(AB)T 。
上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉
八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使 得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
A
与
B
的最小多项式分别为
(x
−
1)2(x
−
2)
与
(x
−
1)(x
−
2)2,
则矩
阵
A A−B 0B
的最小多项式为 (
)
(A)(x−1)2(x−2)
(B)(x−1)(x−2)2
(C)(x−1)2(x−2)2
(D)(x−1)3(x−2)3
4. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ρ(A) 是其谱半径, || • || 是一种矩阵范数, 则必有 ( )
(3) 设 σ 是 V 的一个等距变换, σ(e1) = e1 + e2. 求 σ((x, y)T )? 这样的等距变换唯一吗?
100
13. 设 A = 1 0 1 .
010
(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J(不必计算变换矩阵 P ); (2) 设 n ≥ 3, 计算 An − An−2 与 A2 − E; (3) 求 ∫0t(E − A−2)eAsds.
1
二. 填空题(每空 3 分, 共 15 分)
设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵分别为
()
A=
1 2
矩阵理论试卷集锦
2. 设 n阶方阵 A的最小多项式为 λ λ 2, λ , λ , … , λ 3. 设A 4. 矩阵 A 1 0 0
全不为 0, 则 dim R A
= ; . LL ，下三角矩阵
1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2
∞ ∑ n=1
).
).
B n , 则 eCt 的 Jordan 标 准 形
1
三 . 计算 题 与证 明题 (11-14 题每 题 15 分 , 15 题 10 分, 共 70 分 ) 11. 设 U = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x + y + z + w = 0}, W = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x − y + z − w = 0} 是 通常 欧氏 空 间 R4 的两 个 子空 间 . 设 I 是 R4 上的 恒 等变 换. ∩ ∩ (1) 求 U 与 U W 的正 交 补 (U W )⊥ 的各 一 组标 准 正交 基; (2) 试求 出 R4 上 的所 有 正交 变换 σ 使 得线 性变 换 I − σ 的 核 Ker(I − σ ) = U .
(3)设b
(4) 设 σ 是 线 性 空 间 R 上 的 正 交 投 影 变 换 , 且 满 足 σ 的 像 空 间 Im σ 五. 设矩阵A 1 1 1 2 2 1 2 1 . 2 R A ,试求σ在标准基e , e , e , e 下的矩阵.
(1)求矩阵A的 Jordan 标准形J; (2) 试求一个可对角化矩阵 D和一个幂零矩阵 N ,且DN A D N. ND, 使得
随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定
2. 设 是 n 维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不 同的是( A. σ是单映射 C. σ是一一对应 ) B. dim Im σ D. σ适合条件σ n 0
上海交通大学研究生(非数学专业)数学基础课程《矩阵理论》教学大纲.doc
2018年度中等职业教育质量年度报告黑龙江东亚学团职业高级中学2019年3月目录一、学校情况11.1学校概况 11.2学生情况 11.3教师队伍 21.4设施设备 2二、学生发展32.1学生素质 32.2在校体验 42.3资助情况 52.4就业质量 52.5职业发展 6三、质量保障措施63.1专业动态调整 63.2教育教学改革 73.3教师培养培训 83.4规范管理 83.5德育工作情况 133.6党建情况 16四、校企合作164.1校企合作开展情况和效果184.2学生实习情况 184.3集团化办学情况18五、社会贡献195.1技术技能人才培养 195.2社会服务 205.3对口支援 20六、举办者履责206.1经费保障 206.2政策措施 21七、特色创新221.加强心理健康教育22八、主要问题和改进措施222018年度黑龙江东亚学团职业高级中学质量报告1.学校情况1.1学校概况黑龙江东亚学团职业高级中学系原第一机床厂职业高级中学，成立于1980年, 学校的主要任务是为工厂培养技术工人。
1995年，齐齐哈尔第一机床厂经济效益开始滑坡，出现拖欠职工工资的情况。
1998年2月学校加入了齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）为龙头的民办教育集团——黑龙江东亚学团，学校易名为黑龙江东亚学团职业高级中学。
2008年8月20日，由齐齐哈尔市国有资产监督管理委员会、齐齐哈尔职业学院、齐齐哈尔市龙沙区人民政府和齐齐哈尔第一机床厂四家单位共同签署的文件《关于对东亚学团资产清查界定和处置的协议书》中，黑龙江东亚学团职业高中办学性质被界定为“国有公办，执行托管协议。
委托齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）进行管理”。
校园占地面积5864.64平方米，建筑面积（校舍面积）22841.32平方米，校园总面积39040.32平方米。
学校资产总额13718916.91元，固定资产7554957.64元。
1.2学生情况目前学校在籍学生257人，其中职高学籍为37人；开设计算机平面设计、计算机网络技术、航空服务、铁路客运服务、汽车运用与维修、数控技术应用、机械制造技术等专业，2018年招生人数比上一年有所减少。
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上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷
本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置. 一、单项选择题（每题3分，共15分）
1. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=00
1001
001A ，则=-199200A A ( ) （A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .
2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )
（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与
多项式的通常乘法；
（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； （C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算
0x x k =⋅，k
是实数，0x 是某一取定向量；
（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )
（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；
（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.
4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )
（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；
（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10
)(-∞
=-=∑A E A k k .
5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )
（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim(V V V V +=+； （C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21. 二、填空题（每空3分，共15分）
设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02
01
,12
01B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .
3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .
4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .
5、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛B B
A 0的Jordan 标准型为 .
三、计算题（12分）
向量空间22⨯R 中的内积通常定义为
.))(,)((,
),(22222
1
2
1
⨯⨯=====
∑∑ij ij i j ij ij
b B a A b a
B A
选取⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=1110,00
11
21A A ，构造子空间],[21A A W =. 1、求⊥W 的一组基；
2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基. 四、计算题（18分） 已知
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=11
0130
002
A . 1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ； 2、计算矩阵A e ； 3、求下列微分方程组的解
⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,
0x x Ax dt
dx ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1110x . 五、计算题（10分） 设n
m C
A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*
UDV A =，
n
m O O
O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ
=，
),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广
义逆.
六、计算题（18分）
设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为
3
032
322110)()()()()(t
a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.
1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；
2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；
3、求线性变换T 的值域的基与维数；
4、求线性变换T 的核的基与维数. 七、证明题（6分）
设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得
2
B A =.
八、证明题（6分）
设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。