2014年矩阵论试题A
长 春 理 工 大 学 研 究 生 期 末 考 试 试 题 科目名称： 矩 阵 论 命题人：姜志侠 适用专业： 理 工 科 审核人： 开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期 □开卷 √闭卷 一、(10分)F 为数域，对于线性空间22?F 中任意矩阵??? ? ??=d c b a A ，规则σ，τ分别为??? ? ??=???? ??=c a A c b a A )(,0)(τσ，问σ，τ是否为22?F 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基???? ??=000111E ，???? ??=001012E ，???? ??=010021E ，??? ? ??=100022E 下的矩阵． 二、(10分) 已知正规矩阵??? ? ??-=1111A ，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角形矩阵。三、(10分) 用Schmidt 正交化方法求矩阵???? ? ??=101011110A 的QR 分解. 四、(10分) 设矩阵?????? ? ? ?-=2000120010201012A ,求A 的行列式因子,不变因子,初等因子组， Jordan 标准形。 五、(10分) 求可对角化矩阵460350361A ?? ?=-- ? ?--?? 的谱分解式. 六、(10分) 在线性空间n m C ?中，对任意矩阵n m ij a A ?=)(，定义函数ij j i a mn A ,max ?=，证明此函数是矩阵范数。
七、(10分) 已知函数矩阵 ???? ??????=32010cos sin )(x x e x x x x A x ， 其中0≠x ，试求)(lim 0x A x →，dx x dA )(，2 2)(dx x A d ，dx x dA )(. 八、(10分)已知矩阵?? ????--=1244916A ，写出矩阵函数)(A f 的Lagrange-Sylvester 内插多项式表示，并计算A πcos . .
研究生矩阵论试题与答案
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?
矩阵论2015年试题
2015年矩阵论 一、判断题（2 X 6=12分） （1） 线性空间R 3中的正交投影是正交变换。 （2） 如果g (λ)=(λ?2)(λ?5)2是矩阵A 的化零多项式，即g(A)=0，则2和5是矩阵A 的特征值。 （3） 设A 为n 阶方阵，矩阵函数f(A)有意义，如果A 相似于对角矩阵，则f(A)也相似于 对角矩阵。 （4） 如果矩阵运算A ?B =0，则矩阵A=0或者B=0。 （5） 如果矩阵A 既有左逆又有右逆，则矩阵A 一定是方阵，且为可逆矩阵。 （6） 对于矩阵A 和矩阵A +的秩，有rank(A) = rank(A +) 二、填空题（每个空3分，共27分） （1） 设矩阵A =[11+2i 3 23?i ?21?22?3i ]，其中 i =√?1，则‖A ‖∞=___________________ （2） 线性空间W =*A ∈R 4x4| A T =A +的维，dimW=____________________________ （3） 设A =[130?2 ]，矩阵B 的特征值为2,3,4，则矩阵A ?B 的特征值为 （4） 设线性空间R 3中的线性变换T 被定义为绕向量e 2=,010-T ，逆时针旋转一个θ 角的旋转变换，则变换T 的一个二维不变子空间是 （5） 设矩阵A 的UV 分解为A =[50 033064?1][1270250 02]，则矩阵A 的LDV 分解为 （6） 设函数矩阵A(t)=[10t 3t ]，则d(A ?1(t))dt = _____________________________ 三、 （12分）设P 为R 3中的正交投影，P 将空间R 3中的向量投影到平面π上， π=*(x y z )T |x +y ?z =0+，求P 在线性空间R 3的自然基*e 1 e 2 e 3+下的变换矩阵A 。 四、 （15分）设矩阵A =[3 1?112?1210 ]， （1） 求可逆矩阵P 和矩阵A 的Jordan 矩阵J A ，使得P -1AP = J A （2） 设参数t ≠0，求矩阵函数e At 和矩阵e At 的Jordan 矩阵J e At 五、 （15分）设矩阵A =[1 1111 ?1]，（1）求矩阵A 的奇异值分解 （2）求A + 六、 （15分）设矩阵A =[?120t ]，B =[1?2?10]，D =[132?3 ]，矩阵方程为AX+XB=D ， （1） 讨论t 为何值，矩阵方程有唯一解 （2） 在矩阵方程有唯一解时，求解其中的未知矩阵X 七、证明题（6分+7分=13分） （1） 如果矩阵A 是正规矩阵，且矩阵函数f(A)有意义，证明f(A)也是正规矩阵。（6分） （2）（7分）假设A ∈C n×n 是可逆的，证明： ‖A ‖2‖A ?1‖2=σmax σmin 其中σmax ，σmin 分别为A 的最大和最小的奇异值
矩阵论考试试题(含答案)
矩阵论试题 、（10 分）设函数矩阵 sin t cost At cost sin t 求： A t dt 和( 0 t 0 A t dt )'。 解： A t dt = 0 tt sin t dt 00 t costdt cost dt t sin tdt = 1 cost sint sint 1 cost t2 ( A t dt )' 2 = A t 2 2t sint2 2t cost 2 cost cost2 sint2 、（15分）在R3中线性变换将基 1 0 1 1 1 ， 2 2 ，30 1 1 1 1 0 0 变为基 1 1 ， 2 1 ，33 0 1 2 (1 )求在基 1, 2, 3 下的矩阵表示A； (2 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标； (3 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标。解：（1）不难求得： 1 1 1 2
因此 在 1, 2, 3 下矩阵表示为 1 1 1 A 1 1 2 011 k 1 (2) 设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3 0 1 k 1 解之得： k 1 10, k 2 4, k 3 9 解：容易算得 在 1, 2 , 3下坐标可得 y 1 1 1 1 10 23 y 2 1 1 2 4 32 y 3 0 1 1 9 13 (3) 在基 1, 2 , 3下坐标为 10 10 1 10 1 A 1 4 11 14 15 9 11 09 6 在基 1, 2 , 3 下坐标为 23 10 1 23 10 A 1 32 11 1 32 4 13 11 0 13 9 0 02 三、（20 分）设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 03 2 , 3下坐标为 10, 4, 9 T 。 所以 在 1,
10-11(1)-10级-矩阵论试题与答案
参考答案 ‘1 0 0、 一(15 分〉、设 A= 0 3 1 , - b (1)求可逆矩阵P使得P'AP=J ,其中丿为A的Jordan标准形； (2)计算0； (3)求微分方程组斗卩=Ax(t), x(0) = 的解。 解：(1) |27-4| = (2-1)(2-2)2 ‘1 0(P 21 — A= 0 —1 -1 , rank(2/ — A) = 2, dim N(2/ — A) = 3 — 2 = 1 w 1 1 > 故A的Jordan标准形为 <1 、 J= 2 1 <1 、 记P = [a^a2,a3],由P~l AP = J = 2 1 得 1 2 丿 Aa x = a x T r 0、了 Aa2 = 2a2=> ?)=0 ,0 = J 1 ,巾= 0 Aa, =G2+ 2a30 、一 1丿 1 ‘1 0 0、 p =0 1 0 (不唯一)9P-}AP = J = 2 1 1 ° -1 b < J （2）根据
te 严=p e J,p-1 0 (T 2 、0 0、'e!0 0 0 1 0 e" te210 1 0 = 0 e"(l+f) te21 -1 1 / X e21 z 1 b 0 -te2'戶(1-?(3) x(t) = e At x(0) = e2t 二（15分人设 5 1 0、0 A = 1 2 1 ,b = 1 <0 1 1> kb （1）求A的满秩分解A = FG, （2）求A的广义逆矩阵?r： （3）求Ax=b的最小2—范数最小二乘解X”。 (2) fl 2 (3) x Ls. = A'b = — 2 9b r (1 o -n 1 2 '0 1 0 , <0 1> \ / FG（不唯一） 解：(1) A = 5
2016北京邮电大学《矩阵分析与应用》期末试题
北京邮电大学 《矩阵分析与应用》期末考试试题（A 卷） 2015／2016学年第一学期（2016年1月17日） 注意：每题十分，按中间过程给分，只有最终结果无过程的不给分。 一、 已知22 R ?的两组基： 111000E ??=? ??? ，120100E ??=????，210010E ??=????，220001E ??=????； 11100 0F ??=? ???，121100F ??=????，211110F ??=????，221111F ??=????。 求由基1112212,,,E E E E 到11122122,,,F F F F 的过渡矩阵，并求矩阵 3542A -?? =?? ?? 在基11122122,,,F F F F 下的坐标。 二、 假定123x x x ，，是3 R 的一组基，试求由112323y x x x =-+， 2123232y x x x =++，312413y x x =+；生成的子空间()123,,L y y y 的基。 三、 求下列矩阵的Jordan 标准型 （1）1 0002 10013202 31 1A ???? ? ?=??????（2）310 0-4-1007121-7-6-10B ?? ????=?????? 四、 设()()123123,,,,,x y ξξξηηη==是3 R 的任意两个向量, 矩阵 210=120001A ?? ???????? ，定义(),T x y xAy = (1) 证明在该定义下n R 构成欧氏空间; (2) 求3 R 中由基向量()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1x x x ===的度量矩阵; 五、 设y 是欧氏空间V 中的单位向量，x V ∈，定义变换 2(,)Tx x y x y =- 证明：T 是正交变换。
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题 2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷 一、（20分）设矩阵 ?? ??? ??-----=111322211 A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子； （3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236 -+； （4）写出A 的Jordan 标准形。 二、（20分）设2 2?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。 （1）求2 2?R 的维数，并写出其一组基； （2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合， 证明：W 是2 2?R 的子空间，并写出W 的维数和一组基； （3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基； （4）给出22?R 上的线性变换T ： 22,)(?∈?+=R A A A A T T 写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。 三、（20分） （1）设 ? ??? ??-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设n n ij C a A ?∈=)(，令 ij j i a n A ,*max ?=， 证明： *是 n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性； （3）证明：*2*1 A A A n ≤≤。 四、（20分）已知矩阵 ?????? ? ??-=10010001111 1A ，向量 ??? ??? ? ??=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；
矩阵论考试试题(含答案)
矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()?t dt t A 0和(()?2 0t dt t A )'。 解：()?t dt t A 0=()???? ? ??-????t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =??? ? ??---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()?2 t dt t A )'=()??? ? ? ?-=?22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ????? ??-=1111α，????? ??-=1202α，??? ?? ??-=1013α 变为基 ????? ??-=0111β，????? ??-=1102β，??? ? ? ??-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ； (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解：(1)不难求得： ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==
因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ??? ? ? ??---=110211111A (2)设()??? ?? ??=321321,,k k k αααξ，即 ??? ? ? ??????? ??---=????? ??321111021101 321k k k 解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ???? ? ??--=????? ??--????? ??---=????? ??1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ??? ? ? ??-=????? ??--????? ??--=????? ??---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ????? ??--=????? ??--????? ??--=????? ??---94101332230111111011332231A 三、(20分)设??? ? ? ??-=301010200A ，求At e 。 解：容易算得 ()()()()212--=-=λλλλ?A I
矩阵理论试题
矩阵理论2007年考试 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ， 如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323121000a a A a a a a -?? ?=- ? ?-?? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵. ( ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ) 7、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 8、0010140110620 118A ??????=?????? 至少有2个实特征值. ( ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ?∈可逆, 矩阵范数||||?是n C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||1 1||||1max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==, 1 1100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,
吉大矩阵论2011试题
矩阵论2011试题 一、 计算 1. 设025021i i i ????=????-?? A ，20i ????=??????x ，其中i =，求1,,∞∞1及A A Ax Ax 2. 设1211 2222 1,,3x x x x x e d x d x x +??+??==????????求A A x x 二、 设线性空间22?R 的变换为：2212(),,34x τ???==∈? ???x BxB B R ， （1） 证明：τ是线性变换 （2） 求τ在基123410010000,,,00001001????????====? ??????????????? E E E E 的矩阵 三、 设1212301011,101032 1211????????????==????????????A b （1） 求A 的满秩分解 （2） 求+A （3） 若方程组=Ax b 是相容的，求出最小范数解；若方程组=Ax b 是不相容的，求出 极小范数最小二乘解。 四、 已知矩阵311121210-????=-?????? A ，求A 的若当标准型，并求sin A 五、 求矩阵530640631--????=????--?? A 的异根谱分解式 六、 设V 是一个3维欧氏空间，123,,ααα是V 的一组基，内积在这组积下的度量矩阵
为110121013????=-????-?? A （1） 设112123123,,,==+=++βαβααβααα证明：123,,βββ也是V 的一组基，并求 向量123=+αα-αα在基123,,βββ下的坐标 （2） 将123,,βββ正交化，由此求出V 的一组正交基 七、设A 为n 阶非零矩阵，证明：A 相似于对角矩阵的充分必要条件是对于任意常数k ，2()()k k -=-秩秩E A E A ，其中E 为单位矩阵。
矩阵理论试题参考答案
矩阵理论2007年考试参考答案 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥ ≥>，'' ' 120n σσσ≥≥ ≥>， 如果'(1,2, ,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ? ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323 12 1 00a a A a a a a -?? ?=- ? ?-?? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ? ) 7、如果12(,, ,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ? ) 8、00101 40110620 1 1 8A ????? ?=?????? 至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ∨ ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵， 则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( ∨ ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ?∈可逆, 矩阵范数||||?是n C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||11||||1 max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1 max ||()||||||x L x A ==, 1 11 00||||1||||1 0||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min |||| y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠===== ,
矩阵理论期末试题2016-2017第一学期A卷
1 电子科学与工程学院 硕士研究生 《 矩阵论 》期末考试试卷 闭 卷 任课教师姓名:____ ___ 考试日期： 2016.12.29 上午10：00-12：00 考试时长： 120 分钟 考生年级 考生专业 考生学号 考生姓名 一 .（10分） 设n s ?∈C A ，证明： )()()( +++-==AA I K A A R A R 二.（10 分） 设 ，求500 A -549A 。 三.（10分） 四.（15分） 设求 的特征值、最小多项式和Jordan 标准形。 ?? ??? ??---=502613803A ??? ?? ??----=411301221A 假设3[]V R x =中的内积定义为 1 1(),()()()f x g x f x g x dx -<>=? 求2x η=在(1,)W L x =中的正投影。
2 五.（15分） () 2222??∈C C Hom f ，，定义为：22C X ?∈?， X 1122(X)??? ? ??∈f 1. 求 f 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵； 2. 求f 的特征值及其相应的特征子空间的基； 3. 问是否存在22C ?的基，使得f 的矩阵为对角阵，给出理由。 六.（10分） 七.（15分） 设 ， 求A e e At A cos ,,。 八.（15分） 设矩阵 ， 求A +。 ??? ?? ??=421101104321A 。3求行列式,)2(并且，,103满足,已知2I A p I A r I A A C A n n -=++=∈?? ???? ??---=10142681330A
级研矩阵论试题与答案
中国矿业大学 08级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间2008年12月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 中国矿业大学研究生培养管理科印制
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 336 44421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A L L L M M M M L （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
2015年矩阵论试题
第 1 页 共 5 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2015级硕士研究生 考试日期：2016.1.18 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ?? ??-=5221001i i A ，1-=i ，则___||||1=A ，___||||2=A ，___||||=F A 。 2. 若矩阵?? ? ? ? ? ? ? ?=03211032 21033210A ，则矩阵A 的谱半径____)(=A ρ 3．已知矩阵函数??? ? ??+-+---=--------t t t t t t t t At e e e e e e e e e 22222222，则______=A 4. 设矩阵??? ? ??=1101A ，则______=A 5．若矩阵n m C A ?∈，且列向量组是两两正交的单位向量，则____=+A 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分 得 分
第 2 页 共 5 页 （A 卷） (C) 若E AA H =，则 1=A （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数 7．设A 是幂等矩阵（即A A =2），则下列命题不正确的是 （ ） （A ）A 与对角矩阵相似 （B ）A 的特征值只可能是1或0 （C ）A A )1(sin sin = （D ）幂级数10)(-∞ =-=∑A E A k k 8．设V 为酉空间，,,,,C V z y x ∈∈?λ则有 （ ） (A) ),(),(x y y x = (B) ),(),(y x y x λλ= (C) 0≠x 但0),(=x x (D) ),(),(),(z x y x z y x +=+ 9. 设T 是线性空间V 上的一个线性变换，则下列命题正确的是 （ ） （A ）V T T R =+)ker()( （B ）V T T R dim ))dim(ker())(dim(=+ （C ）}0{)ker()(=T T R （D ）)ker()()ker()(T T R T T R ⊕=+. 10. 与命题“n 阶矩阵B A ,相似”不等价的命题是 （ ） (A) B A ,具有相同的特征多项式 (B) B A ,具有相同的初级因子 (C) B A ,具有相同的不变因子 (D) B A ,的特征矩阵B E A E --λλ,等价 二、解答题（10分） 11. 设??? ? ??-=02212A ，判断∑+∞ =02m m m A 是否收敛，若收敛求其和. 三、证明题（每小题10分， 共20分） 12. 设21,e e 是线性空间2V 的基，21,T T 是2V 上的两个线性变换：221111)(,)(εε==e T e T ，且2121221212)(,)(εεεε-=-+=+e e T e e T . （1）证明：21T T =. 得 分 得 分
博士试题2011-矩阵论_最终版_
矩阵论考试试题 一 ( 20 分)已知23012012[]{()|,,}F t f t a a t a t a a a R ==++∈为所有次数小于3的实系数多项式所成的线性空间，对于任意的3[]F t 中的元素2012()f t a a t a t =++，定义3[]F t 上的线性变换T ： 2122001[()]()()()T f t a a a a t a a t =+++++ 1.求T 在基21,,t t 下的矩阵A ； 2.求象子空间3([])T F t 和核1(0)T ?的维数； 3.是否可以求出3[]F t 的一组基，使得线性变换T 在这组基下的矩阵为对角阵？如果不可以，请说明原因。 二（20分） 已知1010011,11011A b ???? ????==???? ???????? ， 1.求矩阵A 的满秩分解; 2.求 ; 3.用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解; 4.求方程组Ax b =的最小二乘解，并求其极小最小二乘解。 三 (15分)已知矩阵308316205A ????=????????? 。 1.求A 的行列式因子，不变因子，初级因子； 2.求A 的Jordan 标准形； 3.求A 的最小多项式。
四 (15分)已知126103114A ?????? =????????? 。 1.求sin At ； 2.计算sin d At dt 。 五 (10分)求矩阵121001121A ????=?????? 的QR 分解。 六（10分）设T 是n 维线性空间V 上的线性变换，证明： 1()(0)T V T ?? 的充要条件是20T =。 七 (10分) 设?是n n C ×上的F-范数。证明：若1A <, E 为n 阶单位 阵，则矩阵E A ?可逆，且 1 11()1E A E A A ?≤?≤??。
