矩阵理论资料期末考试试题整理版
北航矩阵理论2019-2020学年第一学期期末试卷及解答
1
2
1
2
Байду номын сангаас
，b
=
0
.（1）求
A
的满秩分解，并用满秩
1 0 -1 0
2
0
1
1
1
-1
分解求 A+ .（2）判断方程组 Ax = b 是否有解. （3）求 Ax = b 的极小范数解或极小 最小二乘解.
1 1 0 1
1 0 -1 0
解：（1）
A
⎯行⎯→
0 0
1 -1
1 -1
1
⎯行⎯→
0
-1
n −1 1 j =1 3j
1 ,p 2
= 1,
,n .每个圆都是孤立
的，所以 A 有 n 个互异的特征值，即 A 相似于对角阵。 (2)因为 A 是实矩阵，圆心都在实轴上，所以特征值如果是复数只能共轭成对出现， 这与圆内只有一个特征值矛盾，所以只能是实数。.
1 1 0 1
1
4．（18 分）已知 A =
0
1 0
1 0
1 0
0
1
1
1
0 0 0 0
1 1
A = 1 1
2 0
1 0
0 1
−1 1
0 1 =FG
0 1
（2）
3
3 1 5 -2
A+
= G（H GGH）−（1 FHF）−1FH =
1
1
2
0
1
15 -2 1 -5 3
1
2
0
1
（3） AA+b=b,故Ax = b有解.
（4）极小范数解 A+b = (1，0,-1,0)T ,
西安邮电大学矩阵论期末真题试题4
西安邮电大学研究生课程考试试题（ — 学年第一学期）一、计算题1 设4维线性空间V 的两组基4321,,,:)(e e e e I 和)3,1,6,6(),1,2,3,5(),0,1,3,0(),1,1,1,2(:)(4321===-=∏ββββ求（1）由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵C（2）元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标 （10分）2 已知3R 的线性变换),,0(),,(21321x x x x x T =，求2T 的值域与核的基与维数 （10分）3 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01101i i i i A ，求 ∞∞A A A A A A F m m ,,,,,211 （12分）4 已知031042212A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解．(12分)5 应用n Gerschgori 定理隔离⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011131110A 的特征值，并根据实矩阵特征值的性质改进所得出的结果． (12分)6 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211211111221A ，求+A （12分）二、证明题1 已知m •是n n C ⨯上的矩阵范数，S 是n 阶可逆矩阵，对于任意n n C A ⨯∈，规定mAS S A 1-=，证明•是n n C ⨯上的一种矩阵范数。
（12分）2 设BA,都是正定矩阵，证明AB的特征值都大于零．（12分）3设n mA H==．（8分）O⇔∈，证明OCA⨯AA西安邮电大学研究生课程考试试题标准答案及评分标准（ — 学年第一学期）一、计算题1（1）432144321332243211366,235,3,2e e e e e e e e e e e e e e +++=+++=+=+-+=ββββ（3分）于是由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502C （2分）（2） 元素),,,(4321x x x x =α在基)(I 下的坐标为 T x x x x y ),,,(4321= （2分） 元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标为 y P 1- （3分） 2解：由 ),0,0(),,0()),,((),,(1213213212x x x T x x x T T x x x T === （2分） 可得 {}R x x T R ∈=),0,0()(2 {}R x x x x T N ∈=32322,),,0()(（4分） 因此，1)(dim 2=T R , )(2T R 的一个基为 )1,0,0( （2分）2)(dim 2=T N ，)(2T N 的一个基为 )1,0,0(),0,1,0( （2分）3解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=212122223i i i i AA H)16)(1(2+--=-λλλλH AA E （4分）71=m A 3=∞m A 7=FA（4分）31=A 3=∞A 2232+=A (4分) 4解： 取 110,1c s == ， （2分）则 130********T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 132********T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（3分）取 2243,55c s -==， （2分）则 231004305534055T ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2313212051002T T A R ⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ （3分） 故13233404521243()005155002100T T A QR T T R -⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭（2分） 5 解： A 的3个盖尔圆为：2:1≤λG , 23:2≤-λG , 210:3≤-λG (3分)选取)25,1,1(diag D =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-102525523152101DAD B ， (2分) B 的3个盖尔圆为：57:1≤'λG , 573:2≤-'λG , 510:3≤-'λG (3分) 而1G ',2G ',3G '都是孤立盖尔圆，因此在盖尔圆1G ',2G '，3G 中各有A 的一个特征值(1分) 因为A 为实矩阵，若A 有复特征值则必共轭出现，因此A 的三个特征值都为实数，分别在区间：[]4.1,4.1-，[]4.4,6.1-，[]12,8 中各有A 的一个特征值 (3分)6解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==01101001121121FG A (6分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==--+714417417714221)()(11HH H H F F F GG G A (6分)二、证明题1 证：（1）10mO S OS -== 当 A O ≠ 时，1S AS O -≠ 得10mA S AS-=> （3分）（2）11()m mkA S kA Sk S ASk A --=== （3分）（3）111()mmmA B S A B S S ASS BSA B ---+=+≤+=+ （3分）（4）11111()()()mmmmAB S AB SS AS S BS S AS S BSA B -----==≤= （3分）故A 是n n C ⨯上的矩阵范数2 证：A 是正定矩阵则存在酉矩阵U 使得),,,(21n H diag AU U λλλΛ=,0>i λ 即 H n U Udiag A ),,,(21λλλΛ=),,,(21n Udiag λλλΛ=),,,(21n diag λλλΛH U P P H =这里=P ),,,(21n diag λλλΛH U (3分) 同理，H n V Vdiag B ),,,(21μμμΛ==),,,(21n Vdiag μμμΛ),,,(21n diag μμμΛH V Q Q H =，这里=Q ),,,(21n diag μμμΛH V (3分) 因此Q PQ PQ Q Q PQ P AB H H H H H )()(1-==，表明AB 与)()(H H H PQ PQ 相似 (3分)而)()(H H H PQ PQ 为正定矩阵，故AB 的特征值都大于零 (3分) 3 证： :⇒ 显然 (2分):⇐设n m ij a A ⨯=)(，则m n ji H a A ⨯=)(，那么由O A A H =可得 (2分) 02212222121211=+++++++++mnm n n a a a a a a ΛΛΛΛ， (2分)因此0=ij a ,n j m i ΛΛ,2,1;,,2,1==，故O A = (2分)。
矩阵理论 (A-B卷)及答案
矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。
矩阵引论试题及答案
矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。
答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。
答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。
答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。
答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。
2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。
3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。
答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。
矩阵论考试题
T
任课教师
0 c c 5. 设 A c 0 c ,当 c c c 0
时,A 为收敛矩阵.
二、试用 Househoulder 变换将向量 x (1 , 2 , 2) 化为与 e1 (1 , 0 , 0) 同方向的 向量。 （8 分）
1 8 0 0
2 1 4 0
1 1 至少有两个实特征值。(10 分) 0 1
0 1 2 3 八、求矩阵 A 0 2 1 1 的满秩分解(10 分) 2 4 2 4
九、求矩阵 A 的 Jordan 标准形及相应的相似变换矩阵。其中 1 1 A 5 21 10、设 A H A , B H B ，证明： （1） e iA 为酉矩阵； （2） e B 为酉矩阵 (10 分) （10 分）
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中国民航大学 2010－2011 学年第一学期 研究生《 矩阵论 》期末考试试卷
姓名
线――――――――――――――――――――――――――――――－
专业
学号
考试形式：闭卷
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． det e A 2. 已知 e
At
2 e t e 2 t e 2t e t e 2t e t
姓名：
2 3 0 五、已知 A 1 3 0 ，求 A 的 Doolittle 分解。 1 3 6
(8 分)
1 0 0 六、矩阵 A ，求 A (8 分) 2 0 0
班级：
第 2 页 共 2 页
9 0 七、应用盖尔圆定理证明 1 1
矩阵期末练习题及答案
矩阵期末练习题及答案例1若A 是对称矩阵，则A T -A=______。
答案：0例2若矩阵A 可逆，则（A T ）-1=____.答案：（A -1）T例3设A ，B 均为方阵，若AB =I ，则A -1=_____,B -1=______.答案：B ，A例2 矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020100，则A -1=（ ）。
答案：⎢⎢⎢⎣⎡001 0210 ⎥⎥⎥⎦⎤-100 例3、 设A 、B 均为方阵，则下列结论正确的是（ ）。
A ．（AB ）T =A T B TB ．AA T =A T AC ．若A T =A ，则（A 2）T =A 2D ．若A T =A ，B T =B ，则（AB ）T =AB 。
答案：（C ）。
例4、 设A 是三角形矩阵，若主对角线上元素（ ），则A 可逆。
A ．全部为0B ．可以有零元素C ．不全为0D ．全不为0答案：（D ）例5、设A=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101，B=⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109，求A.B 。
解：A.B=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109=⎢⎢⎢⎣⎡-132822 ⎥⎥⎥⎦⎤--173628例6、设A=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 ⎥⎥⎥⎦⎤313，求A -1。
解：（AE ）=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 313 001 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 222-- 653-- 321-- 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022- 153-- 121-- 110- ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 153 121 110-⎥⎥⎥⎦⎤-100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 100 132-- 163-- ⎥⎥⎥⎦⎤-153→⎢⎢⎢⎣⎡001 020 100 131- 163- ⎥⎥⎥⎦⎤--152→⎢⎢⎢⎣⎡001 010 100 1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252 ∴A -1=⎢⎢⎢⎣⎡1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252例7．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA -T . 解 C BA -T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210例8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321221211A ，求1-A ． ．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110011010001211100321010221001211)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110100011010001211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********001 所以，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1100112121A ． 例9．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ，求1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103210012110001011100243010112001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I 例10、解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X . 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321 所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12例8、证明：若A 2=I ，且AA T =I ，则A 为对称矩阵。
矩阵理论试题答案最终版
阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
研究生期末试题矩阵论a及答案
验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 。
长 春 理Leabharlann 工 大 学研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
计算
，
则得谱分解式
+2 （10分）
六、
．
由于 ，
于是有 ，故
（10分）
七、当 时， ；当 不恒等于零时，由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零，从而有
，
对于 ，有
，
对于 ，有
，
故 是 中的向量范数.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ， ，于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基，试求由 ，
， 生成的子空间 的基．
二、(10分)在 中，设 ，定义实数 为 ，判断是否为 中 与 的内积。
．
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ，由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
．（10分）
四、首先求出A的Jordan标准形
，
所以行列式因子 ；
不变因子 ；（6分）
那么A的初等因子为 ，故A的Jordan标准形为
．(10分)
五、解：求出 的特征根 （二重），计算对角化相似因子 及其逆 为
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第一章
线性空间的证明
例8.1
1｝在三维空间用 中求下列各线性变换f在指定的基下的矩阵:已知f&「巧23)=(2眄一忑2卫2+乌，巧)’
求f在基Q=(1,0,0)„62=(0,1,0),£3=(0,0,1)下的距阵;
2)已知线桂变换f在基0-(一1」，1),血-(1,(),-1),773-((J,1,1)下的輕阵10 1'
入2_入0 0 0
化为Smith标准形*
［解］对矩阵人（州进行初等变换，得到
其中心(入)二1地(A)二心(A)二入(A-1) d (A) - A" (A-1)".
定理3.2重点讲的
定理
A-矩阵A（A）的Smith标准形是唯一的.
rd,(A)
价*
并且它们有相同的秩和相同的各阶行列式因子，所以4（入）的秩就是标准 形主肘角线上非零元素的个数r; A （A）的k阶行列式因子就是
■
■
J
2 1 0
［解］由前例有…4与Jordan标准形J= 0 2 1相似.
令P二（Pl、P2,pd则有Aj9i-2卫丄厂切2-P1+ 功2「切3-P2+ 2旳. 即：
■-G2 10'
'O'
■-62W
-6 2 10'
一4 1 7
Pi=
C
1
-4 1 7
P2 = Pi ,
-4 1 7
一3 1 5
0
-3 1 5
A（入）=山（A）心（入）…心（入）伙=12…“）
所以rfi （A）二6（A）//o（入）二器%…，rf,（入）二趙令知 即 心（入）a=12…，r）由丄（入）的行列式因子唯一确定，函以…4（入）的Smith标准形是唯一的・□
厂例3.3
-0
1
0…
0 -
0
0
1…
0
求矩阵貝(入)—
* r ♦
■ VI
i PVr#*
Di(入)=f)2(A)= ■■-=Dn-i(A)=1,
因此」(A)的不变因子为小(A)=丛(入)=…=f/„_i(A)=1,心(人)=(入一“)33(入)的初等因子为(入一“厂*
定理3.5重点讲的
例4.1考试题型
「例4,1
在复数域上求矩阵丄=
■3 0 8 '
3-16—20 —5
■■
的Jordan标准形J.
-3 15
”3 =P2
第四章
定理2.2考了很多次了（老师说的）
定理2.2
任意给崔非零列向量J GRH3 > !）及单位列向量Z匸则存住Househoider飪阵比使得Hjr =胡M
证：当乂=1=］Z时"取单位列向量也满足"0=0,则
Eh=（/—丁）=雷一2u（la丁頂）=邀=|^|*：
J —
JT
住一
即(A) -/(A),將5(入)的第一列.第n行去扌轧余下的71-1阶子式 为
所以，Di(A)二6(入)二…二几―1(入)=1,
di (A)=向2(Q=…=fAi-i(人)=1-d"(入)=/(人)，
rl1
因此1A(A)的Smith标准形为:
2—1为非零常数.
［解］因为A(X)为n阶方阵，所以n, (A)=(A-q)\去掉第了乙行与第1列后，余下的"一1阶子式为C1C2…所以(入)=1,所以
J
-1
当X/|j|时I取?!=
（此绘应用 了等式|j?—|t|才=2（T—\t\）
证明；2（工一|工|JT）=（眄工）（J-,丈）二（4工）一臥近）+ I打=
|卫|益工一I工卜）=I工一I远I屮
例2.1
试求矩阵月=（04—21的QR分解.
［解］我们分别应用Homdioldcr变换，Givens变换和Schmidt正交化方法 求矩阵A的QR分解，
1 1 0,求f在基
-12 1
耳己知/(//I)二(-5,0,3)J(也)二(0,-1,6)二(-5,-1,9),其中切-
(—13),2)=(0,1,1) ,%=(3,-1,0)是一个基，求/在£1=(1,0,G),£2=(0,1,0),^3- (0,0,1)下的矩阵以及在基W二(一12,2),"二(0丄1),脚二(3,-1,0)下的矩阵.
A—3tJ—8
■1-
-3 A+1 -6
T
入41
2 0入+5
■ ■
.(入+1匚
［解］因为\I-A =
因此『初等因子为入+1,入+1冗 所a,A的Jordan标准形"「例48
■-4
2
10'
在复数域上求矩阵A=
-4
3
7
的Jordan标准形J,并求出可逆矩阵P,
—3
1
了
使得P-L4P=J.
的特征矩阵的不变因子，并将
0
0
G…
1
_ —伦徒
—5-1
—5-2…
一创.
其化为Smith标准形.
J
经初等变换得到
-0
-1
(.)
…0-
()
A
-1
…0
■ ■■
0
■ I■
0
I I■
0
■■ ■ III
-1
L/(A)
On—1
2
…A + rtj _
其中：/ (入)—入"+口1入"丄+…+A+(7n,并且，
血t」(A)=detD(A)=(-眾+」；(A) (-1)(入),
［解］1)因为/(叼卫2十』=(2工1一孔，^2 +衍卫J所以/(^1) = /(1.0,0)=(2,0,1),/(eJ = /(OJ4)=(—1J2),/(叼)=/(0小1) = (0丄0).
由于三维向莹在标准正楚基61,£2,^3下的坐标就是其分量，
又（巾「乃Jb）=（6^20」
■ ■
-110
■ ■
1 01
'"11-1'
"-11-2'
10 1
1 1 0
01-1
2 2 0
1-11
■ ■
一121
■ IS
1 0 1
3 0 2
H- ■
由此可得/（…勿如二
（G
因此f在基“T“疋3下的矩阵为
线性变换的矩阵表示是重点
第二章
例2.2
例2.2
在欧氏空间用 中对于基曲=（1」.1）・02=念=（1.0,0）行正交化
（方法一）应用Householder变换求QR分解.
因为fii=（0,0⑵'，取6=Ik^lL=2,作单位向量
方法”求出/?"的一个标准正交基.
73=他一常帶bl一錚Ibii=；所以｛九他斶是Q的一
个正交基；
2）再令C1=閔=（；^，為.雳）'厲2=盘|=（為，吉•-搓）；。3=希=（为，-爲4）;
则｛创：血‘伽｝却为欧氏空间R"的一个标准正交基.
第三章(最重要的是第三章 重中之重就是Jordan)
引理2.1重点讲的
如農入一矩阵月(入)中的元素创1(入)黑a并且A a)中至少有一个元素不能 被其整除,则必存在一个与卫(泊等价的入一矩阵5(入)，并且B(X)中的元素6n (A)丰0.同时多项式fell (A)的次数小于ax(A)的次数.
［例2.2
将A-矩阵A［入）二
■0 0 0丹
() 0入2—A0
0(入-1)200