单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中的应用

nң ɕ nң ɕ nң ɕ
, 证 xn ＋６( n ＝ １, ２, ３������)
������)可以定义 数 列 { , 如 果 函 数 y ＝ f( １, ２, ３, xn } x)为 增 函 ( ) , : 数, 是方程 的根 则下列命题成立 x０ x ＝f x ( )若 x１ ＞ x０ , ������) ; 则 xn ＞ x０ ( １ n ＝ １, ２, ３, ( )若 x１ ＜ x０ , ������) ; 则 xn ＜ x０ ( ２ n ＝ １, ２, ３, ( )若 x１ ＝ x０ , ������) ; 则 xn ＝ x０ ( ３ n ＝ １, ２, ３, ( )若 x２ ＞ x１ , 则{ ４ xn }为增数列 ;
; 若 x１ ＞ x０ , 则 xn ＞ x０ ( 若 x１ 和 x０ 的大小 , n ＝ １, ２, ３������) ; 则xn ＜x０ ( 其次看 { 是单调增数 x１ ＜x０ , n ＝１, ２, ３������) xn } 列还是单调减数列 , 若 x２ ＞ x１ , 则{ 若 x２ ＜ xn }为 增 数 列 , , { } . 则 为减 数 列 这x１ xn } . 此得到了 { 为单调有界数列 xn 第 三步 , 设l 对 xn＋１ ＝ f( 两边取极限 , 得 i m xn ＝ x, xn ) , 到 x ＝ f( 解方程求 x. x) 总结完做题步骤后 , 我们讲一个例子 . 例 １㊀ 设 x１ ＝ １ ０, xn＋１ ＝ 明l 并求l i m xn 存在 , i m xn .
周刊
单调有界定理和压缩映射定理在求解 递推数列极限中的应用
摘㊀要: 本文总结了求解递推数列极限的两个方法 的优劣 . 关键词 : 递推数列 : 单调有界定理 ; 压缩映射定理
吴㊀楠
单调有界定理和压缩映射定 理 , 并比较了这两个方法在解题过程中
在 高 ㊀㊀ 单调有界定理是 判 断 极 限 存 在 的 一 个 重 要 方 法 , 等数学 的教学过程中用单调有界定理证 明 数 列 极 限 存 在 是 ( 一 个重点和难点 . 设x１ 给定 , 通过递推公式xn＋１ ＝f( xn ) n ������)定义的数列 { ２, ３, xn }称为递推数列 . 证明 { xn }收 ＝ １, 敛, 并求它的极限是高等数学课上的一 个 重 要 内 容 . 在 教 学 过程中我们发现有相 当 一 部 分 学 生 对 于 这 个 掌 握 起 来 有 困 难.解 决 这 类 问 题 的 方 法 是 单 调 有 界 定 理 和 压 缩 映 射 定理 . 个结论的前两点 是 数 列 { 后两点是单调 xn }的 有 界 性 结 论 , 性结论 . 这个结论 很 有 意 思 , 递推数列{ xn }的 首 项 取 值 决 在课堂 教 学 中 , 我 们 首 先 给 学 生 总 结 下 面 这 个 结 论, 这
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. 根据数学归 由y ＝f( 为增函数 ) xk ) x０ ) x) ＞f( ＝x０ ( f( 纳法可得 xn ＞ x０ ( n ＝ １, ２, ３������ ) ( )首先 x１ ＜ x０ . 其 次 , 假 设 xk ＜ x０ , 则 xk＋１ ＝ ２ . 根据数学归 由y ＝f( 为增函数 ) xk ) x０ ) x) ＜f( ＝x０ ( f( ������ ) 纳法可得 xn ＜ x０ ( n ＝ １, ２, ３, ( )首先 x２ ＞ x１ . 其 次 , 假 设 xk＋１ ＞ xk , 则 xk＋２ ＝ ３ . 根据数 由y ＝ f( 为增函数 ) xk＋１ )＞ f( xk ) x) ＝ xk＋１ ( f( ������ ) , 学归纳 法 可 得 xn＋１ ＞ xn ( 从而{ n ＝ １, ２, ３, xn }为 增 数列 . ( )首先 x２ ＜ x１ . 其 次 , 假 设 xk＋１ ＜ xk , 则 xk＋２ ＝ ４ . 根据数 由y ＝ f( 为增函数 ) xk＋１ )＜ f( xk ) x) ＝ xk＋１ ( f( ������ ) , 学归纳 法 可 得 xn＋１ ＜ xn ( 从而{ n ＝ １, ２, ３, xn }为 减 数列 . 总结完上述结论后 , 我们给学生如下做题步骤 . ( ������)的极限存 证明递推数列 xn＋１ ＝ f( xn ) n ＝ １, ２, ３, 在, 其中 y ＝ f( x)为增函数 . 第一步 , 求出方程 x ＝ f( x)的根 x０ .
x ＋６ 为增函数 . 首先求 方
xn ＋６ －xn 大 于 零 还 是 小 于 零 即 可 判 断 { xn }递 增 还 是 递减 . 解: 首先 x１ ＝ １ 假 设 xk ＞ ３, 则 xk＋１ ＝ ０ ＞ ３. 其 次 , xk ＋６ ＞ ３＋６ ＝ ３. ( ������ ) . 根据数学归纳法 , xn ＞３ n ＝ １, ２, xn＋１ － xn ＝ xn ＋６ － xn ＝ xn ＋６－xn ２
首项比 x０ 小 , 后面所有项都比 x０ 小 ; 首项等于 x０ , 所 x０ 大 ; 有 项都等于 x０ ; 数列 { 增还是减由前两项取值 xn }一定单调 , 决定 . ( 定理 １㊀ 设 x１ 给定 , 通过递推公式 xn＋１ ＝ f( xn ) n＝
定了后面所有项的取值 , 如果首项比 x０ 大 , 后面所 有 项 都 比
程x ＝ x ＋６ 的根 , 根为x０ ＝３. 通过比较x１ ＝１ ０＞x０ ( ������ ) , 根据结论可得xn ＞３ 但是这个需要用 n ＝１, ２, ３, ＝ ３, 数学归 纳 法 证 明 . 我 们 通 过 xn ＞ ３ 来 判 断 xn＋１ － xn ＝
分析 : 通过观察发现 y ＝