一类用单调有界定理求解的数列的极限
一类递推数列极限的多种证法
［ 稿 日期 ］０ ７ １ ８ 收 ２ ０ —１ —０
［ 作者简介］邓乐斌 （９ ３ ） 男， １ ６ － ， 湖北房县人 ， 阳师范高等 专科 学校 数学 系主任、 郧 教授 ， 主要 从事 函数论教学研 究．
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邓 乐斌 ， 贾卫 红 ：一 类递 推 数 列极 限的 多种证 法
心 呵 护 的美 丽 花 园 的话 ， 么 求 递 推 数 列 的 极 限 无 疑 是 这 那
既以 ｘ 一ｘ ２ －的 符 号 由 ｃ 一 的 符 号 所 决 定 ， 而 从 ｘ 一 － 的 符 号 就 由 Ｘ－的取 值 情 况 而 决 定 了 ． 具体说来有 ：
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推 数 列 极 限 的 １ 证 明 方 法． Ｏ种
［ 关键 词］ 推 数 列 ； 西 准则 ； 缩数 列 ； 调 有 界 定 理 递 柯 压 单 ［ 围分 类 号 ］ ７ 中 Ｏ１ １ ［ 献标识码１ 文 Ａ ［ 文章 编 号 ］ ０ ８ ６ ７ （０ ７ Ｏ一 Ｏ ２ 一 Ｏ １０ － ０ ２ ２ ０ ）６ Ｏ ３ ３
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数列极限的几种求解方法
数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。
高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。
本文主要研究了求极限问题的若干种方法。
在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。
文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。
还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。
在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。
关键词：数列，极限，槪念，泄理。
Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。
数列nnn的单调有界性及其极限
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一、 预备定理
设 $ +# ， 则
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证明 由 $%’ （ $ 1 $ " …） ， &$’’ ’$ % , (0’% ’ % ’% 1 " $&’
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! !（ （’ ） （’ " $） " # ’ #’ " # ’ "$ #" ! !" " # ’ #’ "’） !" ! 将上式中的 ’ 换成正整数! 即得到不等式 （ ） ， 这就证明了 （ ） 中右边的不等式成立。 0 !
! ! !！ !！ 是严格单调递减的， 且$ ! " 。 因此， 数列 " $$ % ! !
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求数列极限的若干方法
求数列极限的若干方法摘要：本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法，迫敛性，单调有界定理，定积分的定义，施笃茨定理，以及利用函数极限求数列极限的方法，并对每一类方法进行了总结，这将有利于我们更好的学习后续课程。
关键词：极限；迫敛性；定积分数列极限是数学分析中最重要的概念之一，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。
许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。
论文总结出了求数列极限的一些常用方法，为并结合实例进行了说明。
1. 数列极限概述对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，{}n a 能无限地接近某一个常数a ，就称此数列为收敛数列，a 是此数列的极限。
例如，对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，当∞→n 时，n 1能无限地接近于0，则称数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为收敛数列。
就是说，当n 充分大时，数列的通项n a 与常数a 之差的绝对值可以任意小。
因此有下列数列极限的精确定义。
1.1数列极限的N -ε定义定义1 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ,使得当n >N 时有ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限。
定理1 （唯一性） 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。
一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只有一个数。
定理 2 （有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n 有M a n <.定理3 （保号性）若)0(0lim <>=∞→a a n n ，则对任何)0,)(,0(''）（或a a a a ∈∈，存在正数N ,使得当N n >时有)(''a a a a n n <>或。
定理 4 （保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛数列.若存在正数0N ,使得当0N n >时有n n b a ≤，则n n n n b a ∞→∞→≤lim lim 。
关于数列极限概念5
1.关于数列极限概念，单调有界定理，数列子列知识1.1数列极限概念定义1 设{}n a 为数列，α为定数。
若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n >N 时， |α-n a |<ε则称数列{}n a 收敛于α，定数α称为数列{}n a 的极限，并记作lim n ∞→α=n a 或()∞→→n a n α读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于α或n a 趋于α”例1 证明limn ∞→0n 1=α，这里α为正数。
证 由于 ︱0n 1-α︱=αn1<ε, 可得αε11n >，故对任给的ε>0,只要取111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=αεN ，则当N n >时，便有： εαα<<N n 11， 即 ︱01-αn ︱<ε，即 ︱01-αn︱<ε,这就证明了limn ∞→0n1=α 例2：证明,0lim =∞→n n q 这里.1<q证：若,0=q 则结果是显然的。
现设.10<<q 记,11-=qh 则.0>h 我们有,)1(10nn h q q +==-并由nh h n+≥+1)1(，得到.111nh nh q n <+≤对任给的,0>ε只要取,1hN ε=则当N n >时，由上式得.0ε<-n q 这就证明了0lim =∞→n n q1.2单调有界定理及其证明定义2 若数列{}n a 的各项满足关系式:)(11n ++≥≤n n n a a a a ,则称{}n a 为递增（递减）数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。
如⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为递减数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 为递增数列，而⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n 1n）（则不是单调数列。
定理1：（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{}n a 为有上界的递增数列。
由确界原理，数列{}n a 有上确界，记}n a sup =α，下面证明α就是{}n a 的极限。
数列极限的几种求法
数列极限的几种求法摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处．关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列中图分类号Ｏ171Several Methods of Sequence limitAbstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying．Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence１引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形．朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”．公元３世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接6*2n 边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割．则与圆和体，面无所失矣”……，其中包括了深刻的极限思想． ２ 基本概念定义１ 若函数f 的定义域为全体正正数集合N +，则称:f N R +→ 或 (),f n n N +∈为数列．因正整数集N +的元素可由小到大的顺序排列，故数列()f n 也可写作12,,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅或简单地记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项．定义２ 设{}n a 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N <时，不等式n a a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于a ，记为lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞．若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列．３ 数列极限的几种求法极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧．在这里，主要总结了以下几种方法：（１）四则运算法；（２）变量替换法；（３）初等变形法；（４）利用重要极限求数列极限；（５）单调有界数列法；（６）利用定积分求数列极限；（７）利用两边夹定理法；（８）级数法．下面通过实例讲述数列极限的若干种求法．（１）用四则运算法则求极限定理 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅ 也都是收敛数列，且有 ()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±，()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅．例１求n ．解==()111,n n +→→∞．得12n n ==． （２）用变量替换求极限有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程．例２ 设11n a -<<，)1,2,n a n ==⋅⋅⋅ 求(i) ()lim 41n n n a →∞-；(ii) ()12lim n n a a a →∞⋅⋅⋅⋅．解 可令()0cos ,0,a ααπ=∈，则1cos 2a α===． ()cos,1,2,2n na n α==⋅⋅⋅．于是（i ） ()22011lim 41cos lim 24arccos 222n nnn n a αα→∞→∞⎛⎫-=⋅== ⎪⎝⎭． （ii ） ()122lim lim cos cos cos 222n n n n a a a ααα→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭2cos cos cos sin 2222lim sin 2n n n n ααααα→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭01sin sin 2lim sin 2n n nαααα→∞===． （３）运用初等变形求极限对于某些较繁的数列{}n a ，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限．例３ 求极限222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 因为22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1325112233n n n n -+⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ ⎪⎝⎭． ∴ 222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111lim 22n n n →∞+=⨯=．（４）利用重要极限求数列极限两个重要极限分别为（i ）0sin lim 1x xx→=；（ii ）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例４ 求()20lim 1xx x →+．解 ()()()21120lim 1lim 11xx x x x x x x e →→⎡⎤+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦． （５）利用单调有界数列法求极限这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为：①判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A ；②建立数列相邻两项之间的关系式；③在关系式两端取极限，得到一个关于A 的方程，若能解出A ，问题得解．例５ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中()0a >的极限．解 设)011,0,1,2,n x x x n +===⋅⋅⋅==⋅⋅⋅． 则{}n x 是单调有界数列，它要有极限，设其极限为A ．在1n x +=A =，即20A A a --=．所以12A ±=． 因为0A >，所以12A +=，即1lim 2n n x →∞+=．（６）利用定积分求数列极限若一个数列{}n a 是一个和式的形式，且每一项可提出一个1n或其他形式的代数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求解．例６求1lim n n →∞⋅⋅⋅+． 解原式1101lim n n i n →∞===112xdx π===．（７）利用两边夹定理求数列极限当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值．例７ 求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭． 解 因为()()2222112121222n n n nn n n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥=+++++++++，()()222221121212121n n n nn n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤=++++++++++． 又因为 ()()()()2111limlim 22221n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++．所以 222121lim 122n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪++++++⎝⎭． （８）用级数展开式求数列极限级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列．有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限．例８ 计算21lim 1sin n n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解 由泰勒公式知：()()33sin ,3!x x x o x x =-+→∞．令1x n =得，()()2111sin 1,3!n n O n n ⎛⎫-=+→∞ ⎪⎝⎭．则211lim 1sin 6n n n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭为所求． 总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率．参 考 文 献[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2006． [2]黄丹妹．试论极限的计算方法数列篇［Ｊ］．福建：福建省侨兴轻工学．2005(07)：18-20． [3]魏立明．一类数列极限求法的研究［Ｊ］．广西贺洲．梧州师范高等专科学校．2004(11)：75-77．[4]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1993． [5]孙 涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2004． [6]陈文灯．数学复习指南［Ｍ］．北京：世界图书出版社，2005． [7]蔡子华．考研复习大全［Ｍ］．北京：现代出版社，2004．。
用单调有界准则求数列极限
用单调有界准则求数列极限
单调有界准则求数列极限：
1、定义：单调有界准则（Monotonic Bounded Criterion）是利用一系列
上升或下降的有界数列作为依据来求解数列极限的一种准则。
2、假设：假定(a_n)是在区间[M,N]上有界的单调递增数列，其成长速
度越来越接近，则有a_n的极限存在，其极限值介于M与N之间；假
定(a_n)是在区间[M,N]上有界的单调递减数列，其成长速度越来越接近，则有a_n的极限存在，其极限值介于M与N之间；
3、性质：
（1）当a_n为上升数列时，极限值不会小于M，也不会大于N；
（2）当a_n为下降数列时，极限值不会小于M，也不会大于N；
（3）当a_n在M处取得局部最大值，或者在N处取得局部最小值时，可得出结论：极限值为M或N；
（4）当a_n在区间[M,N]内趋近于某一固定值L，则可以得到极限L；
4、应用：
（1）由定义可以看出，单调有界准则求数列极限与有界性紧密相关，只有满足有界条件的数列，才能满足单调有界准则的条件，从而求出其序列极限；
（2）对于上升或者下降的数列非常有用，而且单调有界准则具有计算量小、容易理解等优点；
（3）它还可以结合起始数列限定范围内所有可能的极限，具有很强的证明性。
5、示例：
令a_n={1+1/n， n=1，2，3，…}，M=1，N=2，那么由单调性及上下界可知此序列的极限落在[1,2]闭区间上，而整数M在该闭区间中，故有极限等于1。
极限的多种求法
(b≠0) （2）几个基本极限。
， (|q|<1)，
=b(b为常数)。
1.2.5 利用级数展开式求数列极限
级数是一个无穷序列的和的形式，其部分和就是一个
数 列。有时 为了方便 可 将 数 列 极限 看 作是 某 个 级 数 的 部
分和，这样能更方便、更简捷地求出数列的极限。
例3：求
极限lim n→∞
创新教育
科技创新导报 2018 NO.22
Science and Technology Innovation Herald
则称函数 f当x 趋于+∞时以T 为极限，记作 f(x)→T(x→+∞)。
=T 或
例4：证明:
=-
证 明：任 给ε> 0 , 由于
arctanx
-
-
π 2
ε ，等 价 于 -ε=--
义，T为定数，若对任给的ε＞0，存在正整数δ(＜δ'),使得
当0<|x-x0|<时有|f(x)-T|＜ε，则称函数f当x趋于x0时以T为
极限，记作
=T或f(x)→T(x→+∞)。
2.1.2 利用极限的四则运算求函数极限
如果
=M,
=N,那么
=M±N，
=M·N
(b≠0) =c·M(c为常数)
2.1.3 利用两个重要极限求函数极限
存在正整数N，使得当n﹥N时有|an|收敛于a,定数a称为数列
{an}的极限，并记作
lim
n→∞
an
,或a∞n→a(n→∞),读作“当n趋于无
穷大时，{an}的极限等于a或an趋于a”。
1.2 求数列极限的基本方法
1.2.1 利用定义求数列
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。
本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。
关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。
主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。
下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。
1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a 。
数列极限存在的条件
1 2
n
2
n
2
2n 2n
1
n1
n 1 n2
1
n2
1
n1
2n
n 1 1 n 2
n1 n2 2n
n3 4n2 4n 1 1, n3 4n 2 4n
yn ↘.
显然有 xn yn . n, 有 xn yn y1 4. 即数列{ yn }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.
1 ↘.
1
1
n
xn
1
1
1
2
n
n
2
证法四 ( 仍利用均值不等式 )
n个
1
1
n
1
1
1
1
1
1
n n n n
n1
1
n1
1 n
1
n
2 n1
1
1
n1
.
n 1 n 1 n 1
xn xn1 ,
即 xn ↗.
“均值不等式妙用两则”.
证法五 先证明：对 0 a b 和正整数 n ，有不等式
a1
a2
a n1
1
1, n 1
an 1,
可仿上证得 n 3 时
1
1 n
n
↗。
( n 1时无意义, n 2 时诸 ai = 0 , 不能用均值不等式. ) 当 n 2 时, 由
1
1 1 n
1 1 n
1 n2
1,
1
1 n
1 1
1
.
n
1
1n
n
1
1
1
n
.
由
1
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一 万１方０８数～据
一类用单调有界定理求解的数列的极限
作者பைடு நூலகம் 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
吴亚伟 常州工程职业技术学院基础部
科技信息（学术版） SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2007，""(29) 0次
参考文献(2条)
1.贺冬冬.程伟健 算术-几何平均不等式在解极限问题中的应用[期刊论文]-大学数学 2004(03) 2.叶慧芬 递推式数列的极限及应用[期刊论文]-台州学院学报 2004(06)
抒己见，集思广议，有利于培养学生的学习主动性和创造性，让 学生体会到他们不仅仅是知识的旁观者，而是实实在在的融入 到了所学的内容中．
４、结语 应用型本科院校的教育方式不同于培养学术性、研究型人 才的本科教育。身为这类院校中《房屋建筑学＞的任课教师，针对 教学中凸现的问题提出了一些建议。但在实际教学中，不同的学 校会存在着学时安排、教学对象不同等问题，在不同的教学阶 段，随着培养计划、专业增减等调整，也还会有新问题不断出现， 这就需要任课教师及时地调整教育教学的理念，改进教学方法 和手段，根据社会对毕业生的需求，夯实专业基础、拓宽专业范 围，重视学生工程技术应用能力的培养，为社会输出合格的专门 人才．
上
当且仅当ｘ．＝口”时取等号。
设ｘ女≥口”，则
粕２等ｐ ”ｐ ≯ｋｐ水一ｎ剥ｘ；
一 旦∥
１ ≥一。ｐ
土 ＝口”．
当且仅当坼＝臼’时取等号。
由数学归纳法知，对任意自然数玎都有：ｘ。≥以ｊ。故数列扛。｝有界。又当胛＞１时，
‰ｒ轳等ｐ 吒＋ｐ≯一＝寿ｐｘ；一ｊ 知ｐ ＝努ｐｘｉ，。
因为ｘ，，≥口；，所以口一ｘ？≤ｏ。又因为肼譬一１＞ｏ，所以ｘ。＋ｌ—ｘ。≤ｏ’，即吒＋ｌ≤ｘ。．所以数列扛。｝是单调递增的。
6.期刊论文 霍东华 数列的非正常上、下极限的一点应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,""(2)
对文献[1]中的一个问题进行了详细的讨论,相应地得到一个完美的结果.
7.期刊论文 张之红 数列的极限与函数的不动点 -科教导刊2010,""(15)
在常见数学分析的教科书中,关于求数列的极限方法介绍了不少,如单调有界定理、柯西收敛准则、两边夹法则等,另外还有将数列的极限转化为函数 的极限,再用洛比达法则来求取的方法.但对于求上、下极限,各种教材均把它作为一种新的概念介绍,虽对其定义及性质有较详细的论述,但对如何运用上 、下极限来判断数列的敛散性及如何求极限值这些方面则介绍甚少.本文将求迭代数列的极限与求某函数的不动点联系在一起,给出几个定理,将求迭代数 列的极限问题转化为求某一函数的不动点问题,并举例介绍了这种在求(证)数列极限方面的应用,使证明迭代数列的敛散性的过程得到简化.
因此对任意自然数胛都有下式成立
万方数据
一１０７一
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高校理科研究
臼＝ｘＩ＜ｘ２≤ｘ３≤…≤ｘ月≤石月＋ｌ≤∥』Ｉ＋ｌ≤ｙ＂≤…≤ｙ３≤ｙ２＜ｙｌ＝６，
所以数列扛。｝、涉，，｝均为单调有界数列。
０—１ｈ，＋此
故由数列的单调有界定理知ｌｉｍｘ，，、ｌｉｍｙ。存在，分别设为，、聊，对此＋ｌ＝
两边同时取极限得
故ｘ。≤ｘ川ｂ１），即数地：｝单丑调Ｘ＂递：增正。由匠Ｘ” 数丑列觯：调√、有『 界吒譬定理２知～挣！鳃％ｘ㈨。一存” －在，设为口，对矗＋１＝嗣两边同
时取极附口＝凰习，可解得。＝詈或日＝ｏ（㈨。故嬲铲詈。 注 由命题－得例·的极限存在且为三。
例２【‘】慷门大学，２００２年研究生入学试题）证明数列扛。）收敛，其中而＝１，
揭示了若干个数列之间的联系,找到了形成这些数列的背景,求出了这些数列的极限;而后又提供两个例子作为所获得的结论的应用,且其中的一个例 子是对一道典型题的错误解法的再讨论.
10.期刊论文 吴亚敏 m次平均数列的极限 -高等数学研究2007,10(5)
讨论m次算术平均数列(1)、m次几何平均数列(2)、m次调和平均数列(3)的极限计算方法,得到三个极限的计算公式(4)、(5)、(6).
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一类用单调青界定理求觎昀数列的相限
常州工程职业技术学院基础部 吴亚伟
［摘要］文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广，应用单调有界定理证明其极限的存在． ［关键词］数列 极限 单调有界定理
１引吾
求数列极限是数学中的一类基本问题，在考研中常见。求极限的方法很多，如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、 柯西准则等。就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广，并加以证明。
参考文献 【１】贺冬冬，程伟健．算术一几何平均不等式在解极限问题中的应用【Ｊ】．大学数学，２００４，２０（３）：１２５—１２６． 【２】叶慧芬．递推式数列的极限及应用［Ｊ】．台州学院学报，２００４，２６（６）：８—９．
（上接第１０９页）将我国目前颁布的节能建筑的标准以及建筑节 能的实施和应用介绍给学生，就可以大大培养他们对建筑节能 的认识以及节约意识。
相似文献(10条)
1.期刊论文 王占京.米香云.WANG Zhan-jing.MI Xiang-yun 关于数列与其子列敛散性的讨论 -河北经贸大学学报
（综合版）2005,5(4)
本文对数列极限的常规结论进行了进一步的研究,得出了关于数列与其子列间更为深入的结论,其构成了数列收敛的新的充分必要条件.
矗＋．＝圭（矗＋妻），门＝，，２，…，并求极限！臻％．
万方数据
一１０５一
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命题２若日＞ｏ．ｘｌ＞ｏ，ｐ∈Ⅳ，定义ｊｃ。ｌ：竺兰ｘ ＋旦ｘ，Ｐ，所：１，２，…，则数列ｂ。｝存在极限且为“ｊ。
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ＸＮ＋ｌ
％＋ｌ ２
则仍有ｌｉｍｘ。＝ｌｉｍ儿成立。
月—÷∞
”—’∞
证明 由已知０＜ｘｌ＝臼＜６＝Ｊ，ｌ可得ｘｌ＞Ｏ，少Ｉ＞０
假设当刀≤七时均有矗＞ｏ，ｙｔ＞ｏ，＠２１，后∈Ⅳ），则当玎＝七＋１时有
０—１ｋ々＋少。
儿＋ｌ ２
＞Ｏ。
由数学归纳法知，对任意自然数胛都有ｘ。＞０，ｙ。＞０成立。由算术——几何平均不等式知
2.期刊论文 沈林.谢芳 数列积和数列和的极限的求解方法 -科教文汇2008,""(8)
本文就数列的积和极限总结出了四种实用且有效的求解方法,并举出了相应的例子给予说明.
3.期刊论文 王振福.张建军.Wang Zhenfu.Zhang Jianjun 数列的上极限与下极限探析 -包头职业技术学院学报
8.期刊论文 朱杏华.ZHU Xing-hua 数列{n-n√n!}的单调有界性及极限的证明 -高师理科学刊2009,29(2)
讨论数列的单调有界性与极限的方法很多.利用基本极限与比式方法直接证明数列是严格单调递增的且以为极限,而不必借助导数、级数、积分及 Stirling公式等工具.
9.期刊论文 张国铭 若干个数列之间的联系及其极限 -高等数学研究2009,12(5)
≥≯瓯＝甑％ｐ。， ｙ『７＋ｌ ２ （Ｐ一１ｈ。＋ｙ，，
当且仅当ｘ。＝少。时取等号。
而当＂＞１时。
孥 痒 立“
正业嘿：延坐必 ｙ月＋ｌ—ｙ＂２
Ｈ
即ｚＨ≤石月＋ｌ，
：丝Ｇ。一¨≤ｏ，
ｐ
即儿≥儿＋Ｉ·故有
ｘ。≤ｘ。＋ｌ≤ｙ。＋ｌ≤ｙ。
而当”＝１时，由于０＜一＝口＜６＝ｙ１，所以就有
少２ ２ ◇一１ｈ。＋ｙ ＜ｙ
由数列的单调有界定眇蛳钝跏，帆Ｉ＝等“＋≯懒同时
取极限得：ｆ：旦二！ｆ＋旦ｆｌ～，可解得ｆ：ａ÷。所以说数列极限存在且为日÷。
ｐ
ｐ
注 由以上命题２易得例２中的数列｛石。）极限存在且为√ｉ．
推论【２】当五＞ｏ，矗＋。＝丢［（七一１ｈ。＋ｘ，‘】，刀≥１时，数列｛“）极限存在且为·。
利用这爪推论很容易便可知对于数列㈧：ｈ，＝；（２Ｌ＋割（口＞吣。＞。）的乏
证明 由０＜一＜ｐ知ｘｌ＞Ｏ且ｐ一五＞Ｏ．由算术——几何平均不等式知
ｏ＜工ｚ＝√ｊ１翮≤圭（ｘ－＋ｐ—ｚ·）＝詈，
假设ｏ＜砟≤罢＠＞１），再次用算术——几何平均不等式知
．ｏ＜ｘ。＝√；＿踊≤兰Ｇ。＋ｐ—ｘ。）＝詈，
由数学归纳法知，对任意正整数胛＞１均有ｏ＜ｘ。≤晏。因而数列扛。）有界。又当玎＞１时，
３．２教学手段和方法的改革 首先，应运用现代化的教学手段。多媒体教学是教学现代化 的一项重要内容和手段，运用多媒体辅助教学，可以将大量的图 片和短片作为教学内容的补充，既可以使学生对抽象的知识进 行直观的理解，又大大增加了学生的学习兴趣。 其次，‘房屋建筑学》这门应用性很强的学科，对于应用型本 科院校的学生来说，培养他们的实际动手能力是主要的教学目 的．因此，通过现场教学可以使学生更加直观和深刻的理解所学 的知识。在教学中应当推行。形象化教学”既以周围众多看得见、 摸得着的建筑构件为实例，还可以根据教学内容的需要适当组 织学生阅读施工图纸、标准图集，参观有代表性的建筑，加深学 生对建筑平、立、剖面设计原则和方法以及建筑构件构造做法的 了解，将理论与实践结合起来。最好能在课堂教学结束后安排一 周左右的认识实习，集中全面的强化教学内容，使知识融会贯 通，并为后续课程的开设打下基础． ‘房屋建筑学＞课程内容繁杂，单凭课堂上老师讲，学生听， 势必使学生产生惰性，影响学习效果．在教学中，应反对。填鸭 式”的讲授方法，取而代之的是启发式教学．重点内容深入讲，难 点内容详细讲，简单内容少讲甚至可以不讲以此来培养学生的 自学能力．此外，充分调动课堂气氛，面对出现的问题，让学生各