2.1.1算法的基本思想(2)
非线性方程的不动点迭代方法研究
重庆文理学院2011-2012下学期《数值方法》课程论文题目：非线性方程的不动点迭代方法研究中国﹒重庆2012 年 06 月通过从现实的一个球体的实际问题引出对非线性方程的不动点迭代研究，在理解迭代规则1()k k p g p +=的基础上通过对迭代法和不动点迭代法的基本思想即找()0f x =的同解变形()x g x =，然后运用初值0x 迭代，求出误差范围内的近似解1k x p +≈。
运用函数连续性证明不动点的存在性和运用中值定理和均值定理证明不动点唯一性，进而推导出不动点迭代法的推导步骤。
然后又用均值定理和数学归纳法证明出收敛性，并在此基础上引出误差边界。
再通过对开题提出的球体问题案例的求解，进一步来加深非线性方程对不动点迭代法实证说明，由此联系到不动点迭代法在其他一些领域如物理和工程等的运用。
不动点迭代式（2.2）通常只有线性收敛，有时甚至不收敛，进而在原有的基础上拓展到加速迭代法的收敛性的讨论通常，从而对Steffensen 加速迭代和Aitken （埃特金）加速迭代的讨论。
关键字 不动点迭代； 收敛性； Steffensen 加速迭代； Aitken 加速迭代1 问题的提出--------------------------------------------------------12 算法的思想--------------------------------------------------------1 2.1迭代法的基本思想----------------------------------------------12.2 不动点迭代法的基本思想----------------------------------------23 算法的推导及步骤--------------------------------------------------2 3.1 算法的推导----------------------------------------------------23.2 算法的步骤----------------------------------------------------34 算法的分析--------------------------------------------------------4 4.1 收敛性分析----------------------------------------------------4 4.2 误差性分析----------------------------------------------------64.3 稳定性分析----------------------------------------------------75 算法的实现--------------------------------------------------------7 5.1 案例----------------------------------------------------------7 5.2 求解过程------------------------------------------------------75.3 不动点迭代法代码及输出结果------------------------------------86 运用举例---------------------------------------------------------107 知识拓展---------------------------------------------------------10 7.1 Steffensen加速迭代-------------------------------------------10 7.2 Aitken（埃特金）加速迭代法-------------------------------------111 问题的提出在现实生活当中我们会遇到很多关于诸如像球体的物理和工程问题，例如：球体的半径为r ，并浸入水中，深度为d ，假设这个球由由一种密度为ρ=0.638的长叶松构成，且它的半径r =10cm 。
第2章解线性代数方程组的迭代法
第二章解线性代数方程组的迭代法2. 1 引言在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它乂不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。
迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。
山于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。
那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。
因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。
本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中儿种方法的收敛法。
2. 2 基本迭代法考虑线性方程组如坷+如勺+…+气兀”二勺a2t x i+a22x2 + - + a2…x n =b2■•••••••••••(2. 1)采用矩阵和向量记号，我们可以把(2.1)式写成Ax = h(2.2)其中，为非奇异矩阵，设下面我们介绍雅可比(Jacobi)迭代，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代与S0R迭代以及SS0R迭代的基本思想和算法。
为了方便地给出矩阵表示式，我们引进下列矩阵分裂：4SD-U,(2.3)其中-a2\-a n\(1)雅可比迭代的基本思想从式(2.1)的第i个方程中解出X t=(/ = 1,2,•••,«)我们把迭代前面的值代入上式右边，山计算得到等式左边的值作为一次迭代的新值，然后再把这个新值代入右边，再从左边得到一个新值，如此反复，就得到了雅可比迭代公式。
五种版本教材比较
关于五种版本必修教材章节设置的比较研究──使用人教B版教材后的思考北京人大附中吴中才人教B版教材是人民教育出版社根据课程标准编写的一套教科书，与人教A版、北师大版、苏教版、湘教版一样，属于“一纲多本”。
这些不同版本的教材有什么不同呢？它们难道就是呈现知识的背景材料不同、习题设置不同吗？或者说简单的就是难易程度不一样吗？或者说是体例不同？栏目设置不同？本文将研究其核心的东西——课程内容，就目前五套教材必修教材的章节设置作一比较与分析。
特别说明之一，由于笔者使用的教材有的是电子版，教材具体版本不详，故可能会有一些章节目录设置存在一些出入；之二，各套教材表示章节的符号有所不同，为了便于对比，本文统一了表示符号；之三，本文仅比较到二级目录，不比较到更细致的目录。
一、各版本必修教材的目录设置几何点、线、面关何和解方角第一章三角函数[1]1.1 弧度制与任意角1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的图象与性质1.4 函数的图象与性质第二章向量2.1 什么是向量2.2 向量的加法2.3 向量与实数相乘2.4 向量的分解与坐标表示2.5 向量的数量积2.6 向量的应用第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.2 二倍角的三角函数3.3 简单的三角恒等变换2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体2.3 变量间的相关关系第三章概率3.1 随机事件的概率3.2 古典概型3.3 几何概型案例第二章统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体2.3 变量的相关性第三章概率3.1 事件与概率3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.4 概率的应用字特征1.5 用样本估计总体1.6 统计活动：结婚年龄的变化1.7 相关性1.8 最小二乘估计第二章算法初步2.1 算法的基本思想2.2 算法的基本结构及设计2.3 排序问题2.4 几种基本语句第三章概率3.1 随机事件的概率3.2 古典概型3.3 模拟方法――概率的应用1.4 算法案例第二章统计2.1 抽样方法2.2 总体分布的估计2.3 总体特征数的估计2.4 线性回归方程第三章概率3.1 随机事件及其概率3.2 古典概型3.3 几何概型3.4 互斥事件2.1 点的坐标2.2 直线的方程2.3 圆与方程2.4 几何问题的代数解法2.5 空间直角坐标系必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数的图象1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示第一章基本初等函数(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.3 平面向量的数量积2.4 向量的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与第一章三角函数1.1 周期现象与周期函数1.2 角的概念的推广1.3 弧度制1.4 正弦函数1.5 余弦函数1.6 正切函数1.7 函数的图象1.8 同角三角函数的基本关系第二章平面向量2.1 从位移、速度、力到向量2.2 从位移的合成到向量的加法2.3 从速度的倍数到数乘向量2.4 平面向量第一章三角函数1.1 任意角、弧度1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的图象和性质第二章平面向量2.1 向量的概念及表示2.2 向量的线性运算2.3 向量的坐标表示2.4 向量的数量积2.5 向量的应用第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.2 二倍角的三角函数第一章解三角形1.1 正弦定理1.2 余弦定理1.3 解三角形的应用举例第二章数列2.1 数列的概念2.2 等差数列2.3 等比数列2.4 分期付款问题中的有关计算第三章不等式3.1 不等式的基本性质3.2 一元二次不等式3.3 基本不等式及其应用3.4 简单线性规划第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4 基本不等式：第形1.1和余弦定理1.2第二章数列2.12.22.3第三章不等式3.1与不等式3.2式3.3不法3.4应用3.5不等式简划问题日中角理中形举次等性第一章解三角形1.1 正弦定理1.2 余弦定理1.3 正弦定理、余弦定理的应用第二章数列2.1 数列2.2 等差数列2.3 等比数列第三章不等式3.1 不等关系3.2 一元二次不等式3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.4 基本不等式第步1.1念1.2与程序框图1.3语句1.4第初步2.1体2.2方法2.3布布2.4关性第三章概率3.1件3.2计算3.3率二、差异性比较1. 必修次序的调整人教A版、人教B版、北师大版、苏教版的必修次序设置与课程标准完全一致，湘教版将必修五个模块的次序作了一些调整：它的第一册内容是课程标准的必修1，第二册是必修4，第三册是必修2，第四册是必修5，第五册是必修3。
五大算法设计思想（转载）
五⼤算法设计思想（转载）⼀分治法1.1 概念： 将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便各个击破，分⽽治之。
1.2 思想策略： 对于⼀个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（⽐如说规模n较⼩）则直接解决，否则将其分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题形式相同，递归地解这些⼦问题，然后将各⼦问题的解合并得到原问题的解。
1.3 特征：1) 该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质。
3) 利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；4) 该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦⼦问题。
1.4 对特征的解析：第⼀条特征是绝⼤多数问题都可以满⾜的，因为问题的计算复杂性⼀般是随着问题规模的增加⽽增加；第⼆条特征是应⽤分治法的前提它也是⼤多数问题可以满⾜的，此特征反映了递归思想的应⽤；第三条特征是关键，能否利⽤分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第⼀条和第⼆条特征，⽽不具备第三条特征，则可以考虑⽤贪⼼法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各⼦问题是不独⽴的则分治法要做许多不必要的⼯作，重复地解公共的⼦问题，此时虽然可⽤分治法，但⼀般⽤动态规划法较好。
1.5 基本步骤：1 分解：将原问题分解为若⼲个规模较⼩，相互独⽴，与原问题形式相同的⼦问题；2 解决：若⼦问题规模较⼩⽽容易被解决则直接解，否则递归地解各个⼦问题3 合并：将各个⼦问题的解合并为原问题的解。
1.6 适⽤分治法求解的经典问题：1）⼆分搜索2）⼤整数乘法3）Strassen矩阵乘法4）棋盘覆盖5）合并排序6）快速排序7）线性时间选择8）最接近点对问题9）循环赛⽇程表10）汉诺塔⼆动态规划2.1 概念 每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
最短路径问题教案
最短路径问题教案一、前置知识在学习最短路径问题之前，需要掌握以下基础知识：1.图的基本概念：顶点、边、度、路径、连通性等。
2.图的存储方式：邻接矩阵、邻接表等。
3.图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。
4.基本的算法思想：贪心、分治、动态规划等。
二、最短路径问题最短路径问题是指在一个加权图中，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
其中，加权图是指每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础。
例如，在计算机网络中，路由器需要找到从源节点到目标节点的最短路径，以便将数据包传输到目标节点。
最短路径问题可以分为两类：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径单源最短路径是指从一个固定的源节点出发，到达图中其他所有节点的最短路径。
常见的算法有：•Dijkstra算法•Bellman-Ford算法•SPFA算法1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法的具体步骤如下：1.初始化：将源节点到所有节点的距离初始化为无穷大，源节点到自身的距离为0。
2.选择：从未确定最短路径的节点中，选择距离源节点最近的节点。
3.更新：对于该节点的所有邻居节点，更新它们到源节点的距离。
4.标记：将该节点标记为已确定最短路径。
5.重复：重复步骤2~4，直到所有节点都被标记为已确定最短路径，或者无法到达终点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。
如果使用堆优化，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。
1.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次对所有边进行松弛操作，即尝试通过当前节点更新其他节点的距离，直到所有节点的距离都不再更新。
基于最小正切值的约束Delaunay三角剖分
基于最小正切值的约束Delaunay三角剖分卢扣;李明峰;管莉莉;陈春晖【摘要】以TIN生长算法和分治算法的思想为基础,提出一种改进的构建约束Delaunay三角网(CDT)的算法.该算法在生长算法和分治算法思想的基础上,以约束边为基边分别向两侧重新构网.以基边与离散点形成的三角形的最小正切值为判断条件确定基点,实现对约束边影响域的三角剖分.实验对比表明该算法减少了搜索基点的时间,提高了构网速度.因此得到最小正切算法优于传统算法的结论.【期刊名称】《南京工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(032)005【总页数】4页(P96-99)【关键词】约束Delaunay三角网;基边;基点;最小正切值【作者】卢扣;李明峰;管莉莉;陈春晖【作者单位】南京工业大学,土木工程学院,江苏,南京,210009;南京工业大学,土木工程学院,江苏,南京,210009;南京工业大学,土木工程学院,江苏,南京,210009;南京工业大学,土木工程学院,江苏,南京,210009【正文语种】中文【中图分类】TP317不规则三角网 (TI N)具有数据精度高、可局部加密等特点,是数字高程模型的基本形式,在三维可视化、地形分析等领域中有着广泛的应用.在建立TI N的过程中,利用离散点构建 TI N时,不仅对三角形的形状有要求,而且对离散数据自身也有特殊的要求[1].例如,某些点的连线 (跨河大桥、地理边界、断裂线、结构线、河流等)对TI N网的局部合理性有决定性的影响.此时需要考虑对这些离散点加以某种强制约束,使得构成的 TI N符合实际情况,并提高TI N的质量.因此如何在无约束数据的三角网中嵌入约束线段成为研究热点[2].目前,构建约束 Delaunay三角网的方法大致可分为约束图法、分割 -合并算法、加密算法、Shell三角化算法和两步法[3].其中,最具代表性的为两步法.两步法的实质是:首先对约束数据集建立非约束(初始三角网)D-TI N,然后在其中嵌入约束线段并调整初始D-TI N,使得约束线段可见并满足Delaunay三角网的性质[4].Bernal算法是典型的两步法,该算法的基本原理为:先不考虑约束条件构建初始 D-TI N;然后检测约束边所经过的所有三角形,从约束边的起点开始,按照一定规则逐步交换对角线,最终使起始点与目标点相连.该算法的关键是从起始点出发,对遇到的每条对角线进行可交换性判断.可交换则交换,不可交换则判断下一条.第一轮交换结束后,开始下一轮,直到所有约束边均作为三角形边加入到 TI N网中[1].但该算法存在不能动态扩充点集,并且执行效率较低等缺点.因此,笔者在使用生长算法和分治算法的基础上,在建网开始阶段选择以约束边为起始边,基于最小正切值的比较选择三角形的第三点,分别向约束边两侧重新构网,减少三角形第三点的查询时间,以提高算法效率.在向标准的Delaunay三角网中加入约束边后,新的三角网则不再严格满足Delaunay三角网的空外接圆和最小内角和最大这两个性质,只有在网内那些不含约束边的三角形中这两个性质才得到保留.嵌入约束边后的三角网 (约束 Delaunay三角网,简写为 CDT),具有以下性质.设约束Delaunay三角网T(V∶L),V为离散点的集,L为约束边的集合.1)可见性设 Pi、Pj∈V,如果 Pi、Pj的连线不与约束Delaunay三角网中任何三角形边(顶点除外)及L中的任何一条约束边相交,则可称 Pi、Pj是可见的.2)空外接圆性质若三角形 t的三条边不为约束边,则 t为Delaunay三角形,当且仅当 t的外接圆中不含其他 T中三角形的顶点且 t的三顶点是相互可见时,则可称三角形 t满足空外接圆性质.3)最大最小角性质如果两相邻的三角形 t1、t2具有相同的公共边 d且 d∉L,当由t1、t2组成的四边形交换对角线后,其最小内角变成最大时,则称这两个三角形满足最大最小角性质.4)局部优化性质对于三角网 T中的任意三角形 t,如果其三边都不是约束边,则它一定满足空外接圆性质和最大最小角性质,则此三角形满足局部优化性质[5].2.1 算法的基本思想设需要嵌入的约束线段为P1P2P3…Pn(n>2).首先,将约束线段的端点P1P2P3…Pn 加入到离散点集中,构建初始Delaunay三角网.然后,将约束边 PiPj嵌入初始Delaunay三角网中,对初始 Delaunay三角网进行局部调整使之满足约束边 PiPj的均可见性以及三角网的最小角度之和最大,如图 1所示.1)设约束边为 PiPj,删除初始三角网中与约束边 PiPj相交的边,得到一多边形W={Pi、A、B、…、Pj、…、Pi}为空腔多边形[6],约束边 PiPj将多边形W分成了WL和WR两个部分,且WL和WR也是简单多变形,如图 2所示.2)运用最小正切法对WL和WR分别进行三角剖分.3)若Pn∈W,且 Pn与约束边 PiPj所形成的三角形的正数最小正切值和约束边 PiPj 与其他离散点所形成三角形的正数最小正切值相比最大,则该三角形一定满足可见性及最小角之和最大的性质.综上所述,分别对约束线段两侧的空腔多边形WL和WR进行三角剖分,就可实现将约束线段 PiPj嵌入到初始三角网中.2.2 算法步骤1)构建初始Delaunay三角网.初始三角剖分网可利用现存的任一 Delaunay三角剖分算法进行实现,如图 3所示.2)嵌入约束线段 PiPj并删除与约束线段相交的边,形成空腔多边形.连接点 Pi、Pj 并删除与 PiPj相交的线段 BD、CD、AD、AE形便成空腔多边形PiCBAPjEDPi,如图 2所示.3)存储,将空腔多边形在约束线段 PiPj两侧的点分别存入WL和WR两个点集合之中.4)确定起始边,令约束边 PiPj为起始边,连接起始边与相邻的点形成三角形如图 4所示.若连接成的三角形中包含有其他离散点,则该三角形不满足空外接圆性质[7],则不用考虑.5)计算△PiEPj和△PiDPj各角度的正切值,并取出每个三角形的正数最小正切值,即∠DPjPi和∠EPiPj的正切值 (正切值为负数的角度为钝角不可能为最小角).根据正切函数的单调性可知,当-90°<x<90°时,正切值越大,角度越大.因为三角形的最小角小于90°,故正切值最大的角度也应该最大.根据三角网的最大最小角原则[8],可知该三角形即为满足条件的 Delaunay三角形.在本例中∠DPjPi>∠EPiPj,因此ΔPjDPi为满足条件的Delaunay三角形,D为基点,如图 5所示.6)以生成的三角形的边 DPj为起始边通过最小正切算法进行三角剖分.7)约束边右侧的多边形剖分完后,通过最小正切算法对约束边 PiPj左侧多边形进行三角剖分.可得约束Delaunay三角网,如图 6所示.2.3 实例分析在执行效率方面,在最不利的情况下,对角线交换法的边交换次数为 O(n2)[9-10].其中,n为约束边影响域中离散点的个数.基于最小正切值的约束Delaunay三角剖分算法判断次数为 n2-1/4(离散点以约束边为边界均匀分布),n2-3n+2/2(离散点位于约束边的同一侧).由此可见,在建网过程中,此算法减少了搜索基点的时间和三角网局部重建的时间.为验证算法的执行效率和效果,笔者在Visual Studio 2005中实现了最小正切算法和对角线交换法,利用4组不同的数据对最小正切算法和交换对角线算法在相同的计算机环境下进行实验对比.表 1为几组不同点数及约束边数构建三角网所需时间的比较.由表 1可见该算法逻辑清晰、思维严谨、思路简易,且具有较高的执行效率.图7和图 8为本算法的执行效果图.其中,图 7为初始Delaunay三角网,图 8为加入 5条约束边并使用本算法进行剖分后的约束Delaunay三角网.以 TI N生长算法和分治算法的思想为基础,提出基于最小正切值的约束 Delaunay 三角剖分算法.该算法以基边与离散点形成的三角形的最小角的正切值为判断条件来确定基点,实现对约束边的影响域进行三角剖分.在嵌入约束线段的过程中,首先将约束线段影响域中的离散点的数据进行分块存储,在进行三角剖分的过程中只需要在约束边所在的空腔多边形的端点中选择起始点,缩短了搜索基点和三角网局部重新构建的时间,从而快速准确地将初始Delaunay三角网转换成约束 Delaunay三角网.【相关文献】[1] 史文中,吴立新,李清泉,等.三维空间信息系统模型与算法[M].北京:电子工业出版社,2007.[2] 刘学军,龚健雅.约束数据域的Delaunay三角剖分与修改算法[J].测绘学报,2001,30(1):82-88. Liu Xuejun,Gong Jianya.Delaunay triangulation of constrained Data Se[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2001,30 (1):82-88.[3] 邓曙光,刘刚,邹帆.约束数据域 Delaunay算法详述及进展[J].沈阳航空工业学院学报,2005,22(5):79-80. Deng Shuguang,Liu Gang,Zhou Fan.Dilation and evolution of constrained data region Delaunay algorithm[J].Journal of Shenyang Institute of Aeronautcal Engineering,2005,22(5):79 -80.[4] 任振娜,李斌兵,周浩,等.一次性生成约束 Delaunay三角网算法的编程与实现[J].测绘工程,2006,15(1):54-58. Ren Zhenna,Li Binbing,Zhou Hao,et al.The program and achievement of the constrained Delaunay triangulation using once for all generation[J].Engineering ofSurveying and Mapping, 2006,15(1):54-58.[5] 宋占峰,詹振炎,蒲浩.Delaunay三角剖分中嵌入约束边的局部调整算法[J].西南交通大学学报,2002,37(4):399-403. Song Zhanfeng,Zhan Zhenyan,Pu Hao.A local adjustment algorithm for inserting constrained segments in Delaunay triangulation[J]. Journal of Southwest JiaotongUniversity,2002,37(4):399-403.[6] 刘少华.约束数据域Delaunay三角剖分算法研究与应用[J].计算机应用研究,2004,26(3):26-28. 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2 最小二乘残差法 raim 算法原理
2 最小二乘残差法 raim 算法原理最小二乘残差法（Least Squares Residual Method）是一种常用的线性回归分析方法。
它的主要思想是通过寻找最小化数据点与拟合直线之间距离平方和的方法来确定最佳拟合直线的系数。
在实际应用中，该方法被广泛应用于数据分析、信号处理、机器学习等领域。
一、基本原理1.1 模型假设在进行最小二乘残差法分析时，我们通常假设数据点服从一个线性模型，即：y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1, x2, …, xn表示自变量，β0, β1, …, βn表示系数，ε表示误差项。
我们希望通过最小化误差项的平方和来确定系数。
1.2 求解过程对于给定的数据点集合{(xi,yi)}i=1,n，我们需要求解出系数β0, β1, …,βn使得误差项ε的平方和最小。
具体地说，我们需要构造一个目标函数J(β)来描述误差项ε与系数β之间的关系，并通过求解该目标函数的极值来得到最佳拟合直线的系数。
目标函数J(β)的定义如下：J(β) = Σ(yi - β0 - β1xi1 - β2xi2 - … - βn xin)^2其中，Σ表示对所有数据点求和。
我们需要通过对目标函数J(β)进行求导来得到其极值点。
为了简化计算，我们可以将目标函数J(β)写成矩阵形式：J(β) = (Y - Xβ)^T(Y - Xβ)其中，Y是n维列向量，表示所有数据点的因变量；X是n×(k+1)维矩阵，表示所有数据点的自变量及其系数；β是(k+1)维列向量，表示所有系数。
将目标函数J(β)对系数β求导并令其等于0，得到如下方程组：X^T(Xβ - Y) = 0该方程组可以通过矩阵运算来求解。
具体地说，我们可以先计算出X^TX和X^TY两个矩阵，并用它们来解出系数向量β。
二、RAIM算法原理RAIM（Receiver Autonomous Integrity Monitoring）算法是一种用于GPS接收机自主监测其位置解算的方法。
求解TSP问题的几种算法比较
求解TSP问题的几种算法比较侯淑静【摘要】The traveling salesman problem (TSP) is an important problem for the classical discrete optimization, which is very important to study the solving algorithm. After the introduction of the greedy algorithm, taboo search algorithm, simulated annealing algorithm, genetic algorithm, the author put forward the corresponding algorithm. Aiming at the four typical examples in the test base, we realized implementation of these algorithms with procedures, and the running time and the results of these algorithms are compared. The results show that the greedy algorithm can draw the solution in a short time, the taboo search algorithm and genetic algorithm have the same effect, and the results of simulated annealing algorithm is better than those of genetic algorithm.%旅行售货商问题(简称TSP )是离散优化的一个经典的重要问题，对求解算法的研究非常重要。
计算机算法设计五大常用算法的分析及实例
计算机算法设计五⼤常⽤算法的分析及实例摘要算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
也就是说，能够对⼀定规范的输⼊，在有限时间内获得所要求的输出。
如果⼀个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执⾏这个算法将不会解决这个问题。
不同的算法可能⽤不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。
其中最常见的五中基本算法是递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法。
本⽂通过这种算法的分析以及实例的讲解，让读者对算法有更深刻的认识，同时对这五种算法有更清楚认识关键词：算法，递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法AbstractAlgorithm is the description to the problem solving scheme ,a set of clear instructions to solve the problem and represents the describe the strategy to solve the problem using the method of system mechanism . That is to say, given some confirm import，the Algorithm will find result In a limited time。
If an algorithm is defective or is not suitable for a certain job, it is invalid to execute it. Different algorithms have different need of time or space, and it's efficiency are different.There are most common algorithms: the recursive and divide and conquer、dynamic programming method、greedy algorithm、backtracking、branch and bound method.According to analyze the five algorithms and explain examples, make readers know more about algorithm , and understand the five algorithms more deeply.Keywords: Algorithm, the recursive and divide and conquer, dynamic programming method, greedy algorithm、backtracking, branch and bound method⽬录1. 前⾔ (4)1.1 论⽂背景 (4)2. 算法详解 (5)2.1 算法与程序 (5)2.2 表达算法的抽象机制 (5)2.3 算法复杂性分析 (5)3．五中常⽤算法的详解及实例 (6)3.1 递归与分治策略 (6)3.1.1 递归与分治策略基本思想 (6)3.1.2 实例——棋盘覆盖 (7)3.2 动态规划 (8)3.2.1 动态规划基本思想 (8)3.2.2 动态规划算法的基本步骤 (9)3.2.3 实例——矩阵连乘 (9)3.3 贪⼼算法 (11)3.3.1 贪⼼算法基本思想 (11)3.3.2 贪⼼算法和动态规划的区别 (12)3.3.3 ⽤贪⼼算法解背包问题的基本步骤： (12)3.4 回溯发 (13)3.4.1 回溯法基本思想 (13)3.3.2 回溯发解题基本步骤 (13)3.3.3 实例——0-1背包问题 (14)3.5 分⽀限界法 (15)3.5.1 分⽀限界法思想 (15)3.5.2 实例——装载问题 (16)总结 (18)参考⽂献 (18)1. 前⾔1.1 论⽂背景算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
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2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
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2.1.2 算法的渐近分析
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每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
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2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
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2.1.1算法案例
教学目标
（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；
（2）用三种方法熟练的表示一个算法；
（3）让学生感受算法的意义和价值．
教学重点、难点:不定方程解法的算法．
教学过程
一、判断是否是素数
例1 在给定素数表的条件下，请你设计一个算法，将936分成素因数的乘积.
解：算法步骤如下：
1.判断936是否为素数：否。
2.确定936的最小素因数：2。 936=2468
3.判断468是否为素数：否。
4.确定468的最小素因数：2。 936=22234。
5.判断234是否为素数：否。
6.确定234的最小素因数：2。 936=222117。
7.判断117是否为素数：否。
8.确定117的最小素因数：3。 936=222339。
9.判断39是否为素数：否。
10.确定39的最小素因数：3。 936=2223313。
11.判断13 是否为素数：13是素数，所以分解结束。
12.分解结果是：936=2223313。
二、
求最大公因数问题
例2设计一个算法求228和285的最大公因数及最小公倍数。
解：（1）求最大公因数，步骤如下：
1.先将228进行素因数分解：228=22×3×19.
2.将285进行素因数分解：285=3×5×19.
3.确定它们的公共素因数：3，19.
4.确定公共素因数3，19的指数分别为：1，1.
5. 228和285的最大公因数为：57.
（2）求最小公倍数，步骤如下：
1.先将228进行素因数分解：228=22×3×19.
2.将285进行素因数分解：285=3×5×19.
3.确定它们所有素因数：2，3，5，7，19.
4.确定他们所有素因数的最高指数：2，1，1，1.
5. 228和285的最小公倍数为：1140.
三、“韩信点兵”问题：
（1）案例：韩信是秦末汉初的著名军事家。据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来
到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。
韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，
这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。
在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告
共有士兵2333人。众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。
同学们，你知道吗？
背景说明:
1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，
不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十
三」”
2．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之
後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及
其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象
代数学中占有一席非常重要的地位；
3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫
做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆月正半，
除百零五便得知。
它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数
乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小
于105为止。 所得结果就是某数的最小正整数值。
用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：
2×70+3×21+2×15=233，
233－105×2=23，
即所求物品最少是23件。
（2）.算法设计思想:
“孙子问题”相当于求关于,,xyz的不定方程组的325372mxmymz的正整数解；
设所求的数为m，根据题意m应该同时满足下列三个条件：
①m被3除后余2，即mod(,3)2m；
②m被5除后余3，即mod(,5)3m；
③m被7除后余2，即mod(,7)2m；
用自然语言可以将算法写为：
1S 1m
2S 1mm
3S 如果mod(,3)2m且mod(,5)3m且mod(,7)2m则执行4S,否则执行2S
;
4S
输出m
三、回顾小结：
1．中国数学在世界数学史上的巨大贡献；
2．实际问题的分析和解决问题过程；
3．算法的表示及语句的运用；
四、课外作业：