迪杰斯特拉算法的基本思想
迪杰斯特拉算法贪心数学模型 -回复
迪杰斯特拉算法贪心数学模型-回复迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。
它通过逐步选择当前最短路径的顶点来构建最短路径树，从而找到从源点到所有其他顶点的最短路径。
贪心算法的核心思想是每一步选择局部最优解，以希望最终达到全局最优解。
在迪杰斯特拉算法中，我们需要定义一些数学模型，将问题转化为可计算的形式。
首先，我们需要定义一个有向加权图，其中顶点表示路径的起点和终点，边表示路径的连接关系，并附带一个权重用于表示边的距离或代价。
我们可以将这个图表示为一个邻接矩阵或邻接表的形式。
接下来，我们需要定义一组变量来表示顶点到源点的最短距离。
我们可以使用一个一维数组来存储这些距离，并将所有距离初始化为一个很大的值，除了源点的最短距离初始化为0。
在算法的开始阶段，我们需要选择一个起始顶点作为源点，并将其加入到已访问的顶点集合中。
然后，我们可以遍历源点的所有邻居顶点，并更新它们的最短距离。
具体来说，对于源点的每个邻居顶点v，如果通过源点到达v 的路径比当前记录的最短路径更短，我们就将最短路径更新为新的更短路径。
这个更新过程是迪杰斯特拉算法的核心步骤。
我们可以使用一个循环来遍历所有的顶点，并反复执行这个更新操作，直到所有顶点都被访问过为止。
在每一次循环中，我们选择当前最短路径的顶点u，并将其加入到已访问的顶点集合中。
然后，我们遍历u 的所有邻居顶点v，并更新它们的最短路径。
在更新最短路径的过程中，我们需要使用一些数学运算和比较操作。
具体来说，对于每个邻居顶点v，我们需要计算通过u 到达v 的路径长度，并与当前记录的最短路径进行比较。
如果新计算的路径长度更短，我们就更新最短路径，并将v 加入到顶点集合中。
迪杰斯特拉算法的核心思想是通过不断选择当前最短路径的顶点，从而构建最短路径树。
在算法的最后，我们可以得到从源点到所有其他顶点的最短路径长度，以及对应的路径。
通过上述的数学模型和贪心策略，我们能够有效地解决单源最短路径问题。
迪杰斯特拉算法解析
迪杰斯特拉算法解析⼀.理论基础迪杰斯特拉算法（下⽂简称DJ算法）是理论基础是⼀条简单的定理：下⼀条最短路径或者是弧(V0, Vx)，或者是中间经过S中的某些顶点，⽽后到达Vx的路径。
（S是最短路径已知的顶点集合）（为了准确的描述定理，这⾥就直接摘抄了。
⾄于它对不对，嗯，据说反证法可证之）很明显这是⼀个递推算法：反复求下⼀条，直⾄没有下⼀条为⽌。
⼆.问题分析现有加权有向图如下：求从V0出发，到达其它各个顶点的最短路径。
⾸先为了把它转换成便于描述的数学形式，得写出对应的邻接矩阵（x表⽰不可达）：05010x45xx015x10x20x015x xx20x035xx x x300xx x x3x0分析定理可以得出：⽬前S集合中只有1个顶点：V0（V0到⾃⾝的肯定是最短路径），除了S集合这个辅助空间外，我们还需要：V集合：最短路径未知的顶点组成的集合，即S集合的补集path[]：记录最短路径，⽤来显⽰结果dist[]：记录路径长度，作⽤同上Vx：记录下⼀个顶点准备⼯作结束，可以开始求解了三.求解过程0.初始状态dist[]初始化为V0到各个顶点的直接距离（x表⽰不可直达），path[]初始化为对应的路径，不可直达的记作NULL，选取V集合中dist值最⼩的顶点V2作为下⼀个顶点（定理中的Vx）1.第1步把V2加⼊S集合，我们多了⼀个中转站V2，接下来更新dist[]，看借助V2中转的话是不是更短，根据计算结果更新dist[]和path[]，把更短的路径长度和对应路径放进去，V集合中dist值最⼩的V3作为下⼀个顶点2.第2-5步继续选取下⼀个顶点，直⾄V集合中没有可选顶点为⽌四.总结DJ算法过程⾮常简单：1. 确定S中的第⼀个点（也就是源点V0）；2. 根据定理递推（⼀直找最短，并试图借助最短中转）算法思路本⾝不难，当初看不明⽩是因为被具体的伪代码实现绕进去了，所以学习算法应该关注思路⽽不是具体实现，尤其是伪代码算法，通常会随意声明⼀些奇怪的数据结构，却不解释为什么需要这些辅助空间，⽐如本例中，S集合和V集合只需要有⼀个即可，path[]和dist[]也可以⽤结构体清晰的表⽰出来，但伪代码中零零散散的全都⽤到了，过多的辅助空间反⽽妨碍了理解算法本⾝。
Dijkstra算法
Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。
（单源最短路径）2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S 中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤： a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
迪杰斯特拉算法和距离向量算法
迪杰斯特拉算法和距离向量算法迪杰斯特拉算法和距离向量算法1. 概述迪杰斯特拉算法和距离向量算法是图论中常见的两种最短路径算法。
它们在解决网络路由、路径规划等问题时有着广泛的应用。
本文将对这两种算法进行深入研究和比较，以便更好地理解它们的原理和应用。
2. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法，又称单源最短路径算法，是用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径的算法。
它采用贪心策略，逐步确定从起点到各个顶点的最短路径，直到找到到达终点的最短路径。
该算法的时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数，适用于稠密图。
在实际应用中，迪杰斯特拉算法常用于路由算法、网络规划等场景。
其核心思想是通过逐步确定从起点到各个顶点的最短路径，不断更新最短路径值，直到找到到达终点的最短路径。
3. 距离向量算法距离向量算法，又称分布式最短路径算法，是一种在计算机网络中常用的路由算法。
它通过不断交换节点之间的距离向量信息，从而更新各个节点的最短路径值。
该算法的收敛速度取决于网络拓扑结构和距离向量信息的交换频率。
在实际应用中，距离向量算法常用于动态路由协议中，如RIP （Routing Information Protocol）。
其核心思想是通过不断交换距离向量信息，从而更新节点之间的最短路径值，以实现网络路由的动态调整和优化。
4. 深度和广度的比较从深度和广度的角度来比较迪杰斯特拉算法和距离向量算法，可以发现它们各有特点。
迪杰斯特拉算法更注重于单源最短路径的计算，适用于静态网络中的最短路径计算；而距离向量算法更侧重于动态网络路由的调整，适用于动态网络中的路由优化。
从算法原理和应用场景来看，迪杰斯特拉算法更适用于静态网络中的最短路径计算，如在地图导航、网络规划等领域有着广泛的应用；而距离向量算法更适用于动态网络中的路由调整，如在云计算、物联网等领域有着重要的作用。
5. 个人观点和总结从个人观点来看，迪杰斯特拉算法和距离向量算法各有其独特的优势和局限性。
迪杰斯特拉算法模板
Dijkstra算法模板介绍Dijkstra算法是一种用于在加权有向图中找到最短路径的经典算法。
它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出的。
该算法的核心思想是从起点开始，逐步扩展最短路径集合，直到到达终点或者无法再扩展为止。
它使用了贪心策略，每次选择当前路径中权重最小的边进行扩展。
Dijkstra算法常用于解决单源最短路径问题，即从一个顶点出发，找到到达其他所有顶点的最短路径。
算法步骤1.创建一个距离数组dist，用于存储起点到各个顶点的最短距离。
初始时，将起点到自身的距离设为0，其他顶点设为无穷大（表示不可达）。
2.创建一个集合visited，用于存储已经确定最短路径的顶点。
初始时，集合为空。
3.当集合visited中还有未确定最短路径的顶点时：–选取距离起点最近且不在集合visited中的顶点u。
–将顶点u加入集合visited。
–更新起点到顶点u相邻顶点的距离：•遍历顶点u的所有相邻顶点v，计算起点到顶点v的距离：–若起点经过顶点u到达顶点v的距离小于当前记录的最短距离，则更新最短距离。
4.最终，距离数组dist中存储的即为起点到各个顶点的最短距离。
算法实现import heapqdef dijkstra(graph, start):# 创建一个优先队列用于存储待扩展的节点queue = [(0, start)]# 创建一个字典用于存储起点到各个节点的最短距离dist = {start: 0}while queue:# 弹出优先队列中权重最小的节点weight, node = heapq.heappop(queue)# 若当前节点已经在dist中，则说明已经确定了最短路径，无需再处理if node in dist and weight > dist[node]:continue# 遍历当前节点的相邻节点for neighbor, neighbor_weight in graph[node].items():# 计算从起点经过当前节点到达相邻节点的权重new_weight = weight + neighbor_weight# 若从起点到相邻节点的距离更短，则更新最短距离if neighbor not in dist or new_weight < dist[neighbor]:dist[neighbor] = new_weight# 将相邻节点添加到优先队列中heapq.heappush(queue, (new_weight, neighbor))return dist使用示例# 创建一个加权有向图表示城市间的距离graph = {'A': {'B': 5, 'C': 2},'B': {'D': 4},'C': {'B': 8, 'D': 7},'D': {'E': 2},'E': {}}start = 'A'distances = dijkstra(graph, start)# 输出起点到各个顶点的最短距离for node, distance in distances.items():print(f"Distance from {start} to {node}: {distance}")算法分析Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是顶点数，E是边数。
最短路线练习题
最短路线练习题在我们日常的生活中，经常会面临着需要找到最短路线的情况。
无论是出行、送货还是旅游，找到最短路线可以节省时间和精力。
为了提升解决这类问题的能力，下面我们来做一些最短路线的练习题。
练习题一：假如你正在一个陌生的城市旅游，你想从你所在的地方（点A）前往一个景点（点B）。
给定地图上的道路信息，以及各点之间的直线距离，请你找出从点A到点B的最短路线。
这道题目需要我们运用最短路算法来解决。
最常见的算法之一是迪杰斯特拉算法。
迪杰斯特拉算法的基本思想是：从起点开始，不断扩展已经找到的最短路线，直到找到终点为止。
具体步骤如下：1. 初始化：将起点到所有其他点的距离设置为无穷大，将起点到自身的距离设置为0。
2. 将起点标记为已访问。
3. 从起点开始，找到与起点直接相连且未被访问过的点中，距离最短的一个点。
4. 更新与该点相连的所有点的距离，如果通过该点到某个点的距离更短，则更新该点的距离。
5. 标记该点为已访问。
6. 重复步骤3到步骤5，直到找到终点或者所有点都被标记为已访问。
7. 如果找到终点，则回溯路径，即可得到最短路线。
练习题二：现在来做一个稍微复杂一些的练习题。
假设你是一名送货员，需要驾驶卡车从仓库（点A）出发，依次前往多个客户的位置（点B、点C、点D...）。
你希望按照最短距离完成任务。
为了解决这个问题，我们可以运用另一种常见的最短路算法，即弗洛伊德算法。
弗洛伊德算法的基本思想是：逐一考虑所有点作为中转点，计算出任意两点之间的最短距离。
具体步骤如下：1. 初始化：将各个点之间的距离初始化为无穷大。
2. 设置直接相连的两个点之间的距离为实际距离。
3. 逐一考虑每个点作为中转点，计算出通过该点的路径是否更短，若更短，则更新距离。
4. 重复步骤3，直到所有点都作为中转点计算过。
通过弗洛伊德算法，我们可以得到任意两点之间的最短距离。
然后，我们可以利用这些距离信息，进行路径规划，找出从仓库出发，依次前往各个客户位置的最短路线。
c语言实现迪杰斯特拉算法实例
c语言实现迪杰斯特拉算法实例========迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法，它使用Dijkstra 算法的思想，通过不断更新最短路径值，最终找到源节点到所有其他节点的最短路径。
下面是一个使用C语言实现迪杰斯特拉算法的实例。
一、算法概述------迪杰斯特拉算法的基本思想是：从源节点开始，不断更新与源节点相邻的节点之间的最短路径值，直到所有节点都被处理完毕。
算法的核心是使用一个最小堆来存储待处理的节点及其对应的距离值，每次从最小堆中取出距离值最小的节点，并更新与其相邻节点的距离值。
二、代码实现------以下是一个使用C语言实现迪杰斯特拉算法的示例代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <limits.h>#define MAX_NODES 100 // 最大节点数#define INF 0x3f3f3f3f // 无穷大值typedef struct Node {int id; // 节点编号int distance; // 到源节点的距离struct Node* nxt; // 指向下一个节点的指针（用于广度优先搜索）} Node;// 创建新节点Node* create_node(int id) {Node* node = (Node*)malloc(sizeof(Node));node->id = id;node->distance = INF;node->nxt = NULL;return node;}// 将节点添加到最小堆中（假设堆为head）void add_node_to_heap(Node** head, int* size, int distance) {Node* node = create_node(distance); // 创建新节点(*size)++; // 节点数加一(*head)->distance = distance; // 将新节点距离设置为最小值(*head)->nxt = node; // 将新节点添加到堆中while (*head->nxt != NULL && (*head->nxt)->distance < (*head)->distance) { // 调整堆中距离值最小节点的位置Node* temp = *head->nxt; // 保存当前距离最小的节点(*head)->nxt = (*head->nxt)->nxt; // 将当前节点的下一个节点向前移动一位（退出循环）free(temp); // 释放当前节点的内存空间（释放内存）}}// 从最小堆中取出距离值最小的节点（返回值为距离值）int extract_min(Node** head, int* size) {Node* temp = *head; // 保存当前距离最小的节点（用于后续更新）int min_distance = temp->distance; // 当前最小距离值（用于后续更新）Node** p = *head; // 指向当前距离最小的节点的指针（用于后续更新）while (p->nxt != NULL && p->distance > min_distance) { // 从堆中取出距离值最小的节点，并更新指针和距离值Node* next_node = p->nxt; // 保存下一个节点指针（用于广度优先搜索）*p = p->nxt->nxt; // 将当前节点的下一个节点向前移动一位（退出循环）p->distance = min_distance; // 将当前节点的距离值更新为当前最小值free(next_node); // 释放下一个节点的内存空间（释放内存）}*head = p->nxt; // 将当前节点的下一个节点设置为堆头指针（进入下一轮循环）*size--; // 删除已处理节点数减一（返回最小距离值）return min_distance; // 返回最小距离值（作为结果返回）}// 迪杰斯特拉算法主函数（源代码）void dijkstra(int nodes, int start_node, Node** nodes_list) {int size = nodes; // 初始化节点数和距离数组大小为0（初始化）Node* heap = (Node*)malloc(sizeof(Node) * size); // 创建最小堆（初始化）for (int i = 0; i < size; i++) { // 将所有节点添加到堆中，并设置其距离值为无穷大（进入主循环）add_。
Dijkstra算法描述
Dijkstra算法描述目录一、算法概述1二、算法原理及计算12.1算法原理12.2计算过程22.3改良的算法〔Dijkstra-like〕分析5三、源码分析6四、接口调用7一、算法概述Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法是典型的单源最短路径计算算法，用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题，它采用了分治和贪心〔动态规划的特殊形式〕的思想搜索全局最优解。
本系统采用了主流、开源的JAVA图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题，它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法，由经典的Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法演化和改良而来。
二、算法原理及计算2.1算法原理Dijkstra算法思想为：设(,)= 是带权有向图，V代表图中顶点集合，E代G V E表图中含权重的边集合。
将全部顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，用S表示〔初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将该路径的终点参加到集合S中〕；第二组为其余待确定最短路径的顶点集合，用U表示。
按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个参加到S集合中，约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
算法的终止条件是集合U为空集，即集合U的顶点全部参加到集合S中。
2.2计算过程以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程，即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径，设源点为①，逐步搜索，每次找出一个结点到源点①的最短路径，直至完成所有结点的计算。
图1 带权有向图记()D v为源点①到某终点v的距离，是源点①到终点v某条路径的所有链路长度之和。
记(,)l w v 是源点w到终点v的距离。
Dijkstra算法归纳如下：S=，U是其余未确〔1〕初始化，令S是已求出最短路径的顶点集合，{}U=，可写出：定最短路径的顶点集合，{}(1,)()l v D v ⎧=⎨∞⎩(1-1) 公式1-1中，(1,)l v 是源点①与终点v 的直连路径长度，而∞代表源点①与终点v 不相连,初始化结果如表1所示；〔2〕遍历集合U 中的所有结点v 并计算[]min (),()(,)D v D w l w v + 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
迪杰斯特拉算法的基本思想
算法的基本思想是：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S，其中V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个以V-S中的顶点加到S中．直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
具体做法是：设源点为vl，则S中只包含顶点vl，令W＝V-S，则W中包含除v1外图中所有顶点，vl对应的距离值为0，W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧<vi,vj>，则vj顶点的距离为此弧权值，否则为 (一个很大的数)，然后每次从W中的顶点中选—个其距离值为最小的顶点vm加入到S中，每往S中加入一个顶点vm，就要对W中的各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vm做中间顶点，使<vi,vm>+<vm,vj>的值小于<vi,vj>值，则用<vi,vm>+<vm,vj>代替原来vj的距离，修改后再在W中选距离值最小的顶点加入到S 中，如此进行下去，直到S中包含了图中所有顶点为止。
下面以邻接矩阵存储来讨论迪杰斯特拉算法的具体实现。
为了找到从源点到其他顶点的最短路径，引入两个辅助数组dist[n],s[n],数组dist记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为dist[i]=cost[v0][i], i=2,...,n.其中v0表示源点。
从S之外的顶点集合V-S中选出一个顶点w,使dist[w]的值最小。
于是从源点到达w只通过S中的顶点，把w加入集合S中调整dist中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的dist[v]和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为新的dist[v],重复上述过程，直到S中包含V中其余各顶点的最短路径。