单调有界原理及函数极限的定义
函数的极限知识点总结
函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。
2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。
3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。
即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。
2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。
即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。
3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。
即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。
4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。
大一高数上册期末知识点
大一高数上册期末知识点大一高数上册期末考试即将到来，为了帮助同学们复习和掌握重要的知识点，本文将对本学期教学内容进行总结和归纳。
以下是大一高数上册期末考试的重点知识。
一、极限与连续性1. 数列的极限数列极限的定义、极限存在准则、常数列的极限、有界性原理、夹逼定理、单调有界原理2. 函数的极限函数极限的定义、极限性质、函数极限的四则运算、复函去极限3. 连续性与间断点函数连续性的定义、函数连续性的运算、间断点的分类二、导数与微分1. 导数的概念导数的定义、导数与函数的图象、可导与连续的关系2. 基本导数公式幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数3. 导数的四则运算和差法则、常数倍法则、乘积法则、商法则、复合函数求导4. 高阶导数高阶导数的定义、求高阶导数的方法5. 隐函数与参数方程的导数隐函数求导、参数方程求导6. 微分与线性近似微分的定义、微分近似计算、一阶微分的应用三、微分中值定理与最值问题1. 罗尔定理罗尔定理的条件、罗尔定理的结论2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的条件、拉格朗日中值定理的结论、洛必达法则3. 函数的最值函数最值的定义、求函数最值的方法、闭区间上连续函数的最值四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质原函数与不定积分、不定积分的性质、换元积分法2. 定积分的概念与性质定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算法3. 牛顿－莱布尼兹公式牛顿－莱布尼兹公式的内容与应用五、定积分的应用1. 参数方程的弧长参数方程的弧长公式、求参数方程的弧长2. 平面图形的面积直角坐标系下的平面图形面积、极坐标系下的平面图形面积3. 物理应用质量、质心、力矩、功、液体压力六、微分方程1. 微分方程的基本概念微分方程的定义、微分方程的解及解的存在唯一性2. 一阶微分方程可分离变量型、线性型、齐次型、一阶非线性方程的解法3. 高阶线性微分方程二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程以上是大一高数上册期末考试的重要知识点概述，希望同学们能够认真复习，牢固掌握这些知识点，取得好成绩。
单调有界原理及函数极限的定义
单调有界原理及函数极限的定义在数学中，我们定义一个数列是单调递增的（monotone increasing）当且仅当对于任意的正整数$n$，都有$a_n \leq a_{n+1}$，反之，数列被称为单调递减（monotone decreasing）当且仅当对于任意的正整数$n$，都有$a_n \geq a_{n+1}$。
而数列若同时满足单调递增和单调递减的性质，我们称其为单调的（monotone）。
一方面，我们定义一个数列是有上界的（bounded above）当且仅当存在一个实数$M$，使得对于所有的正整数$n$，都有$a_n \leq M$。
另一方面，我们定义一个数列是有下界的（bounded below）当且仅当存在一个实数$m$，使得对于所有的正整数$n$，都有$a_n \geq m$。
若数列既有上界又有下界，我们称其为有界的（bounded）。
数学上，单调有界原理可以表示为以下两个定理：定理1：如果一个数列是单调递增且有上界的，那么该数列必定存在极限，并且极限等于其上界。
具体表达式为：若数列$\{a_n\}$是一个单调递增数列，且存在一个上界$M$，则该数列存在极限，且极限$\lim_{n→∞}a_n=M$。
定理2：如果一个数列是单调递减且有下界的，那么该数列必定存在极限，并且极限等于其下界。
具体表达式为：若数列$\{a_n\}$是一个单调递减数列，且存在一个下界$m$，则该数列存在极限$\lim_{n→∞}a_n=m$。
函数极限的定义：在数学中，函数极限是描述函数行为的概念，它使我们能够研究函数在不同点的趋势与特性。
函数极限可以帮助我们描述函数的连续性、收敛性以及数值的稳定性等。
设$f(x)$是定义在一些区间上的函数，$x_0$是这个区间上的一个聚点，那么当$x$无限接近于$x_0$时，函数$f(x)$的极限为$L$，即表示为$\lim_{x→x_0}f(x)=L$，如果对于任意给定的逼近区间长度$\varepsilon>0$，总存在对应的$\delta>0$，使得当$0<，x-x_0，<\delta$时，就有$，f(x)-L，<\varepsilon$。
高数-极限求解方法与技巧总结
第一章 极限论极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。
因为有关函数的可积、连续。
可导等性质都是用极限来定义的。
毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。
衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。
重点是求极限。
⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩极限的定义数列极限极限的性质函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法1.利用单调有界原理单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。
可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。
利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。
2、求极限。
说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。
例1 设0110,0,()0,1,2n n naa x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。
分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。
解：由基本不等式，11()2n n nax x x +=+≥，所以可知数列n x 有下界；下面证单调性，可知当2n ≥时，有2111()()22n n n n n n nx a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。
综合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞存在；令lim n n x A →∞=，带入等式解得A =评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性的过程中并没有用传统的作差或作商的方法，而是用了1n x +≥这一代换（原因鉴，掌握这一套路。
例2设21ln ln ln nn k x n k k==-∑，证明{}n x 的极限存在。
函数极限单侧极限的单调有界定理(老黄学高数第99讲)
第99讲 函数单侧极限的
单调有界定理
设f为定义在U⁰+(x0)上的单调有界函数，
则右极限
f(x)存在.
证：若f在U⁰+(x0)上递增且有界， 由确界原理，可设inf f(x)=A, x∈U⁰+(x0). ∀ε>0,由下确界定义知有x’∈U⁰+(x0)，使得f(x’)<A+ε. 取δ=x’-x0>0，由f递增知对一切x∈(x0,x’)=U⁰+(x0;δ)， 有f(x)≤f(x’)<A+ε. 又A≤f(x)，∴A-ε<f(x)<A+ε，
1、设f为定义在[a,+∞)上的递增(减)函数，证明： f(x)存在的充要条件是f在[a, +∞)上有上(下)界.
当f递减时，若f在[a, +∞)上有下界，则
f在[a, +∞)上有下确界，设B=inf f(x)，(x∈[a, +∞))， 对∀ε>0，有x0∈[a, +∞)，使 当x>x0时，有B-ε<f(x)≤f(x0)<B+ε ， ∴ f(x)=B.
2、证明： 证：记f(x)= ,取x1,x2∈(0, +∞)且x1<x2，则
f(x)递减，
又当x>0时， >0，所以f(x)有下界， ∀ε>0, ∃x0= ∈(0, +∞)，使得 ∴inf f(x)=0 (x∈(0, +∞)). 由单调有界定理知，
2、证明：
已证
取x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2，则
∴ f(x)=B.得证！
设f为定义在U⁰+(x0)上的单调有界函数，
则右极限
极限的定义与基本性质
极限的定义与基本性质极限在数学中是一个十分重要的概念，被广泛应用于微积分、数学分析等领域。
极限主要是描述函数在某一点上的特定性质，这个特定的性质可以用一些简单的公式来表示。
定义对于实数序列或函数序列来说，如果它的极限值存在，我们就称这个序列或函数序列是有极限的。
在函数中，极限的定义表述如下：对于一个函数f(x)，如果x从c点的左侧或者右侧越来越接近于c值时，f(x)也相应地越来越接近于一个数L，那么我们称L 为f(x)当x趋向于c时的极限，记作：lim x->c f(x) = L.其中 L 可以是实数、负无穷大或正无穷大。
基本性质极限有以下几个基本的性质：(1) 有限性原理：如果极限的值存在，那么它一定是唯一的。
这是因为如果有两个极限值，那么函数在这两个极限值处的取值是不同的。
(2) 局部有界性原理：如果函数f(x)在某一点c的极限存在，那么必定存在一个邻域，使得除了c点外这个邻域内的所有函数值都是有界的。
(3) 存在性原理：如果函数f(x)在某一点c的左侧和右侧的极限都存在，并且这两个极限值相等，那么f(x)在这个点的极限也存在。
(4) 夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，它们在某个点c的左侧和右侧都满足：g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x) 和 h(x)的极限都等于L，那么f(x)的极限也将是L。
(5) 算术性原理：如果存在函数f(x)和g(x)，它们在某一点c的极限都存在，并且L和M是它们的极限值，那么：① f(x) ± g(x) 的极限存在且等于 L ± M。
② f(x)×g(x) 的极限存在且等于 L × M。
③ k×f(x) 的极限存在且等于 k×L，其中 k 是任意的实数。
④如果 M 不等于0，而且 f(x) 与 g(x) 的极限也都存在且等于L 和 M ，则 f(x)/g(x) 的极限L/M 也存在。
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。
本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。
关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。
主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。
下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。
1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a 。
函数的极限初步定义性质与计算方法
函数的极限初步定义性质与计算方法函数的极限是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点逐渐趋于的值。
在本文中，我们将初步介绍函数的极限的定义性质以及常用的计算方法。
一、函数的极限初步定义性质1. 极限的定义对于函数$f(x)$，当$x$无限接近于$a$时，如果存在一个实数$L$使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0 < |x-a| < \delta$时，$|f(x)-L| < \varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
2. 左极限和右极限对于函数$f(x)$在$x=a$处的极限，如果函数在$a$的左侧存在且有限，那么称其为左极限，记作$\lim_{x \to a^-} f(x)$。
类似地，如果函数在$a$的右侧存在且有限，那么称其为右极限，记作$\lim_{x \to a^+} f(x)$。
3. 极限的唯一性函数的极限如果存在，则极限唯一。
也就是说，如果$\lim_{x \to a} f(x)$和$\lim_{x \to a} g(x)$都存在，且它们的值不相等，那么函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处的定义不相同。
4. 无穷极限当$x$逼近某个数$a$时，如果函数$f(x)$的值趋于正无穷或负无穷，那么称$\lim_{x \to a} f(x)$为无穷极限。
二、函数极限的计算方法1. 代入法对于简单的多项式函数或分式函数，可以直接代入给定的$x$值计算极限。
2. 四则运算法则对于函数$f(x)$和$g(x)$，如果$\lim_{x \to a} f(x)=A$且$\lim_{x \to a} g(x)=B$存在，那么以下结果成立：- $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$- $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$- $\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}$ (其中$B\neq 0$)3. 复合函数法则如果存在函数$g(x)$在$x=a$处的极限为$b$，且函数$f(x)$在$x=b$处的极限为$L$，那么复合函数$f(g(x))$在$x=a$处的极限为$L$。
数列极限和函数极限
数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义1．1 数列极限定义设有数列{}n a 与常数A ，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n a A ε-< 都成立，那么就称常数A 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=.读作“当趋n 于无穷大时，n a 的极限等于A 或n a 趋于A ”.数列极限存在，称数列{}n a 为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的N ε-定义，着重注意以下几点：（1）ε的任意性: 定义中正数的ε作用在于衡量数列通项n a 与定数的a 接近程度越ε小，表示接近的越好.而正数可ε以任意的小,说明n a 与可a 以接近到任何程度，然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N .（2）N 的相应性: 一般说，N 随的ε变小而变大，由此常把N 写作()N ε，来强调N 是依赖与的ε，但这并不意味着N 是由ε所唯一决定的，重要的是N 的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中n N >的也可以改写成n N ≥.（3）几何意义:对于任何一个以A 为中心，ε为半径的开区间(),A A εε-+，总可以在数列{}n a 中找到某一项N a ，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{}n a 的有限项（N 项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为()n a f n =;我们把数列中的n 用x 来替换后就得到了一个函数()f x ,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 1．2 函数极限定义1.2.1 x →+∞时函数的极限：设函数()f x 为[),a +∞上的函数，A 为定数，若对任给的0ε>，总存在着正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞=.即有()lim 0,0,,x f x A M x M ε→+∞=⇔∀>∃>∀>有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()lim ,lim x x f x A f x A →∞→-∞==的相应的M ε语言成立.对于函数极限的M ε定义着重注意以下几点:（1）在定义中正数M 的作用与数列极限定义中的N 类似,表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比M 大的所有实数x ,而不仅仅是正整数n .（2）当x →+∞时,函数()f x 以A 为极限意味着: A 的任意小邻域内必含有()f x 在+∞的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给0ε>的,在坐标平面上,平行于x 轴的两条直线y A ε=+与y A ε=-,围成以直线y A =为中心线,宽2ε为的带形区域；定义中的“当x M >时,有()f x A ε-<”表示:在直线x M =的右方,曲线()y f x =全部落在这个带形区域之内.1.2.2 0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域()'0;Ux δ︒内有定义，A 为定数，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，则常数A 为函数()f x 在0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=.即()000lim 0,0,:,x x f x A x x x x εδδδ→=⇔∀>∃>∀-<<+有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()0lim ,lim x x x x f x A f x A +-→→==的相应的εδ语言成立.对于函数极限的εδ定义着重注意以下几点:（1）定义中的正数δ,相当于数列极限N ε定义中的N ,它依赖于ε,但也不是由ε所唯一确定的,一般来说, ε愈小, δ也相应地要小一些,而且把δ取得更小些也无妨. （2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式00x x δ<-<等价于()0;x U x δ∈，而不等式()f x A ε-<等价于()();f x U A ε∈.于是，εδ定义又可写成：任给0ε>,存在0δ>,使得一切()0;x U x δ∈有()();f x U A ε∈.或更简单的表为:任给0ε>,存在0δ>,使得()()()0;;f Ux U A δε⊂.（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给0ε>的,在坐标平面上画一条以直线y A =为中心线,宽2ε为的横带,则必存在以直线0x x =为中心线、宽为2δ的数带，使函数()y f x =的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点()()0,x f x 可能例外（或无意义）.2.极限性质2．1 数列极限的性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性:若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. （2）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列.（3）若数列{}n a 有极限，则其任一子列{}n a 也有极限.（4）保号性，即若()lim 00n n a a →∞=><，则对任何()()()''0,,0a a a a ∈∈,存在正整数1N ，n 1N 时,()''n n a a a a ><.（5）保不等式性:即若{}n a 与{}n b 均为收敛数列, 若存在正整数1N ，使得当n1N 时有n n a b ，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.（6）数列极限的基本公式（四则运算） 设lim ,lim n n n n x y →∞→∞存在,则()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim lim lim n n n nn n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n x y x y x y x y x x y y y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅=≠≤≤2．2函数极限性质（1）极限唯一性；若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的.（2）局部有界性若()0lim x x f x →存在，则()f x 在0x 的某空心邻域()U x ︒内是有界的，当0x 趋于无穷大时，亦成立. （3）局部保号性若()()0lim 00x x f x A →=><，则对任何正数()r A A <<-,存在()0U x ︒使得对一切()0x U x ︒∈有()()()00f x r f x r >><<，当趋于无穷大时，亦成立.（4）保不等式性若()0lim x x f x A →=，()0lim x x g x B →=，且在某邻域()'0;Ux δ内有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤.（5）函数极限的基本公式（四则运算）设()()lim ,lim x ax af xg x →→存在,则()()()()()()()()()()()()()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim x a x ax ax ax ax ax a x a x ax af xg x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x →→→→→→→→→→±=±⋅=⋅=≠通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.证明:不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}sup n a a =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0ε>,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性，当n N >时有N n a a a ε-<≤。
考研高数：函数与极限部分定理定义汇总
考研高数：函数与极限部分定理定义汇总[摘要]下面是凯程考研对高等数学中函数与极限部分定理定义的整理总结，分享给各位考生，希望对考生们的复习有所帮助。
进入秋季强化阶段已经有一段时间了，考研的小伙伴们，加油啊！1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
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xn
a xn
．
证：
lim
n
xn
存在，并求
lim
n
xn
．
例用S1t单e2p调1设 有. 说界a 明原0极理, 限x求1存极 在0限, ；，xn应1st完ep12成2.x求n 出xa极n 限．值
求
lim
n
xn
．
EXE
设 x1 1,
xn
1
xn1 1 xn1
(n
2,
3,L
)
，求
lim
n
xn
．
例 思用考1单3 S调设te设有px1n界.M原说0，理，明使求极且对极限lnim限存n，x在xnn应；1 完 ， srt成e有 p12，. 求则出lnim极 x限n 值 0 ．
An a2 a1 a3 a2 L an an1 M ．
证 (1) An收敛； (2) an收敛．
§3 函数的极限
数列
1 n
，
lim 1 0, n n
f (x) 1 , x
y
f (x) 1 x
ox
x 无限增大时，函数 f ( x) 的值无限地接近于 0 ．
x 记作 x ．
0 x 2且 x 1．于是要使
x1 1 x2 1 2
x1
2(1 x)
x1 ，
2
Proof. 对 0 ，限制 0 x 1 1 ，则
0 x 2且 x 1．于是要使
x1 1 x2 1 2
x1
2(1 x)
x1 2
，
只要 x 1 2 . 因此取 min1, 2 ，
则对 0 ，当 0 x 1 时，恒有
例9
设
an
1
1 22
1 32 L
1 n2
，证：
an
收敛．
例 10lim证：(1lnim11)n1en 存在．例
lnaimn
1
n
1
n
k 1
snikn2ke
．
推广：若数列(n) 满足：当 n 时，(n) ，则
lim
n
liimm
n(n)
1
1 (n)
(n)
e．
e 2.718281828459045 ．
例4
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0,
证 lim f ( x) 0.
1
x 0,
x 0
Note: lim f ( x) 0 f (0) . x0
例5
x1 1
lim
x1
x2
1
2
.
Note:
f (x)
x1 在 x2 1
x
1处无定义，
但 lim f ( x) 存在． x1
Proof. 对 0 ，限制 0 x 1 1 ，则
例 1 证 lim x2 a2 x 0 (a 0). x
思考
证 (1)
lim 6 x 5 6 ; x x
x2 5
(2)
lim
x
x2
11Βιβλιοθήκη .例 2 lim arctan x 是否存在？ x
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A ．
x
x
EXE 设 x1 1,
xn
1 xn1 1 xn1
(n 2, 3,L ) ，求
lim
n
xn
．
EXE
设
xn
0 ，且 lim n
xn1 xn
r
1 ，则
lim
n
xn
0．
EXE 设 M ，使对 n ，有
An a2 a1 a3 a2 L an an1 M ．
证 (1) An收敛； (2) an收敛．
以及极限值为多少都与 f ( x) 在点 xo 有无定义无关．
(2) 对同一个 ， 不唯一．
怎样找 ：由 f ( x) A 解不等式
适当放缩 f ( x) A g(| x xo |)
例 3 lim（2x 1) 1. x 1
Note: f (x) 2x 1, lim f (x) f (1). x1
四、单增单有调上有界界（原单理减有下界）的数列必收敛．
单增有上界： a1 a2 L an L M1 ； 单减有下界： a1 a2 L an L M2 ．
Note: (1) Thm 3 中的数列可以从某一项开始满足单调性条件； (2) 有界与收敛 单调与收敛 收敛与单调有界．
单调有界原理: 单增有上界（单减有下界）的数列必收敛．
x1 1 x2 1 2
x
x 时函数 f (x)的极限 x x0 时函数 f ( x) 的极限
y
f (x) 1 x
ox
2．当 x x0 时函数 f ( x) 的极限
设 f ( x) 在 N ( x0 , * ) 有定义， A 是一定常数．
若对 0, 0 *, 使 0 x x0 时，恒有
f (x) A .
Thm 2（Cauchy 收敛准则）
数列 an 收敛
例
an
n k 1
sin k k2
对 0, N ，使 m, n N 时，总有
am an ．
对 0, N ，使 n N 以及 p ，恒有
| an p an | ．
Note: 数列an发散
0 0, 使 N ，总存在 n N 及 p ，使
an p an 0 ．
数列 an 收敛 对 0, N ，使 n N 以及 p ，
恒有
an p an ．
例9
设
an
1
1 22
1 32
L
1 n2
，证： an 收敛．
例 11
设
an
1
1 2
1L 3
1 n
，证：an
发散．
例 12
设 a 0,
x1 0,
xn1
1 2
则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x x0 时的极限，记作
lim f ( x) A
x x0
或 f (x) A
( x x0 时) ．
－ 定义
几何
y
A
A
A o
y f (x)
x x x
y A
y A
x
Note:
0 x xo
(1)“ 0 x x ”说明，当 x xo 时， f ( x) 有无极限
例T单9hm增设有3（a上n单界 调1（有单212界减原有312理下L）界）n12的，数证列：必a收n 敛收．敛．
a1 a2a3 an an1
aM
x
单增有上界： a1 a2 L an L M1 ； 单减有下界： a1 a2 L an L M2 ．
Thm 3（单调有界原理）
1． x 时函数 f (x) 的极限
Def.1 设 f ( x) 在 x a (a 0) 时有定义，A 是常数．
lim f ( x) A0, X 0, x X ,恒有 f ( x) A .
x
可以证明： lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A ．
x
x
x