对函数极限相关性质的理解及应用1111
函数极限的定义性质及作用
函数极限的定义性质及作用在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在∆的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。
限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的应用.数列极限标准定义：对数列{}n x ，若存在常数a ，对于任意0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，n x a ε-<成立，那么称a 是数列{}n x 的极限。
函数极限标准定义：设函数(),f x x 大于某一正数时有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正整数X ，使得当x X >时，n x A ε-<成立，那么称A 是函数()f x 在无穷大处的极限。
设函数()f x 在0x 处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正数δ，使得当0x x δ-<时，0x x ε-<成立，那么称A 是函数()f x 在0x 处的极限。
函数极限具有的性质：性质 1（唯一性） 如果()lim x af x →存在，则必定唯一性质 2（局部有界性） 若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界性质 3（保序性） 设()()lim ,lim x ax af x b f x c →→==性质4（迫敛性）设00lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，且在某00(;)U x δ'内有()()()f x g x h x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。
数学中的函数极限与连续性知识点
数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。
在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。
设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)f(x)=A。
函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。
2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。
3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。
二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。
一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。
函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。
在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。
2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。
3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。
函数与函数的极限性质
函数与函数的极限性质函数是数学中的重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
函数的极限性质则涉及到函数在某个点或者某个范围内的趋势和极限值。
本文将逐步探讨函数与函数的极限性质，并引入一些相关的定义、理论以及应用。
一、函数的定义和性质先来回顾一下函数的定义：函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用多种形式表示，如显式函数、隐式函数、参数方程等。
函数有一些重要的性质：可定义性、唯一性和连续性。
可定义性指函数在定义域内有确定的输出值。
唯一性表示函数的输出值在定义域内是唯一的。
连续性是指函数图像没有突变或跳跃的情况，即没有间断点。
二、函数的极限和极限性质函数的极限是研究函数趋势的重要工具。
我们来了解一下函数极限的定义和性质：1. 函数极限的定义设函数f(x)在x趋于某个数a时，无论a是否属于定义域，对于任意给定的ε > 0，总存在对应的δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。
其中L是常数，表示函数f(x)在x趋于a时的极限值。
2. 极限存在的充要条件函数极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限，并且二者都等于极限值L。
即lim[x→a⁻] f(x) = lim[x→a⁺] f(x) = L。
3. 函数极限的性质(1) 唯一性：函数极限值L唯一确定。
(2) 有界性：如果函数在某点处的极限存在，则函数在该点的某个邻域内是有界的。
(3) 四则运算法则：函数的加减乘除运算，取极限后仍然成立。
(4) 复合函数：复合函数的极限可以通过分步取极限求得。
三、函数的极限应用函数的极限在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 连续性判断：通过研究函数在某点的极限，可以判断函数在该点的连续性。
若极限存在且与函数值相等，则函数在该点连续。
2. 曲线绘制：通过计算函数的极限和绘制函数图像，可以描绘出函数的特征和曲线的变化趋势。
函数极限与连续性：函数极限概念
函数极限与连续性：函数极限概念函数极限与连续性是微积分中的基本概念，它们对于理解和应用数学领域中的各种问题是至关重要的。
本文将从函数极限和连续性的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行探讨。
一、函数极限的定义与性质函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数取得的极限值。
用数学语言来描述，函数f(x)在x趋于x0时的极限记作：lim(x→x0) f(x) = L其中，x0为自变量的趋近点，L为函数f(x)的极限值。
根据这一定义，我们可以得出函数极限的一些基本性质。
首先，函数的极限值唯一。
也就是说，当x趋于x0时，函数f(x)的极限只有一个确定的数值。
其次，函数的极限与函数在极限点的取值无关。
即使函数在x0点的取值与极限值不同，函数的极限仍然存在。
第三，函数极限的存在与否与函数在极限点的左右极限有关。
如果函数f(x)在x0点的左右极限存在且相等，则函数在x0点存在极限。
二、连续性的定义与性质连续性是指函数在定义域内的各点之间没有间断或跳跃的状态。
具体而言，函数f(x)在x0点连续可以表示为：lim(x→x0) f(x) = f(x0)也就是说，当自变量x趋于x0时，函数f(x)的极限值等于f(x0)。
连续性的定义表明函数在x0点处不会出现突变或跳跃。
连续性具有以下性质：首先，如果函数在定义域内的所有点都连续，那么这个函数就是一个连续函数。
其次，两个连续函数的和、差、乘积、商（分母不为零情况下）仍然是连续函数。
第三，复合函数在其定义域内连续的条件是，外函数和内函数都在各自的定义域内连续。
三、函数极限与连续性的应用函数极限与连续性的概念在数学和科学领域中具有广泛的应用。
以下列举几个具体的例子：1. 物理学中的运动问题：利用函数极限和连续性的概念，可以描述和解决物体在运动中的速度、加速度等问题。
2. 经济学中的边际效益：通过对函数极限的研究，经济学家可以确定某一经济活动的边际效益是否递增或递减。
3. 工程学中的信号处理：函数极限和连续性的概念可以应用于信号处理和滤波等工程问题中，实现对信号的精确控制。
高考数学中的函数与极限的概念及应用
高考数学中的函数与极限的概念及应用作为高中数学的重要组成部分，函数与极限是每位学生都需要认真学习掌握的内容。
在高考中，函数与极限相关的考点占据了相当大的比重。
同时，函数与极限在生活中也有着广泛的应用。
因此，深入了解函数与极限的概念及应用至关重要。
1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，通常用y=f(x)表示。
其中，y称为函数值，x 称为自变量，f表示函数的具体规则。
函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有函数值的可能取值范围。
函数的图像是一条曲线，它反映了函数关系的特征和规律。
不同类型的函数图像也不同，如线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线等等。
函数可以用于描述各种现象和问题，如人口增长、温度变化、物理过程等。
同时，在计算中也有广泛的应用，如积分、微分、统计等。
因此，学好函数是数学学习的基础。
2. 极限的基本概念极限是函数中的一个重要概念，它可以描述函数在某个点附近的趋势和变化。
通常用lim f(x)=L表示。
其中，x→a表示x无限靠近a，L表示函数在该点的极限值。
极限可以分为左极限和右极限，分别表示x在a点左侧和右侧时的极限值。
如果左右极限相等，则称函数在该点连续。
否则，函数在该点不连续。
函数的极限可以用于求导、积分等计算中。
同时，在物理、工程、金融等领域中也有广泛的应用，如电路设计、结构分析、投资决策等。
3. 函数与极限的常见应用函数与极限在生活中也有很多应用。
以下是其中几个常见的例子：（1）电路设计电路是由各种电器元件组成的，它们之间的关系可以用函数表示。
例如，电流与电阻的关系可以表达为I=V/R，其中I表示电流，V表示电压，R表示电阻。
此外，电路的稳定性和效率等方面也与函数和极限有关。
（2）结构分析建筑、桥梁、机器等结构体的稳定性和安全性需要进行分析。
如果结构体在某个位置的压力过大，就会发生破坏。
此时，可以用函数和极限分析结构体的应力分布，找出破坏点，并改进结构以提高稳定性。
极限的定义和相关定理
极限的定义和相关定理极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在趋近某一点时的行为。
通过研究极限，我们可以深入理解函数的变化规律和性质。
本文将从极限的定义开始，逐步介绍相关定理和应用。
一、极限的定义在介绍极限之前，我们先定义一下数列的收敛性。
给定一个数列{an}，如果存在实数 a，使得对于任意正数ε，都存在正整数 N，当n>N 时，不等式 |an-a|<ε 成立，那么数列 {an} 收敛于 a。
现在，我们来定义函数f(x) 在x=a 处的极限。
如果对于任意正数ε，存在正数δ，使得当 0<|x-a|<δ 时，都有 |f(x)-L|<ε 成立，那么函数 f(x)在 x=a 处的极限为 L，记作：lim(x->a) f(x) = L其中，x 表示自变量，a 表示趋近的点，L 表示极限的值。
二、极限的性质在我们研究极限的过程中，有许多有用的定理可以帮助我们求解极限。
以下是一些常用的极限性质：1. 极限的唯一性：如果函数 f(x) 在 x=a 处有极限，那么它的极限值是唯一确定的。
2. 四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，且有以下运算法则：lim(x->a) [f(x) ± g(x)] = lim(x->a) f(x) ± lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) · g(x)] = lim(x->a) f(x) · lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) / g(x)] = [lim(x->a) f(x)] / [lim(x->a) g(x)] (若 lim(x->a) g(x)≠0)3. 夹逼定理：如果函数 f(x)、g(x) 和 h(x) 在 x=a 处满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且 lim(x->a) f(x) = lim(x->a) h(x) = L，则 lim(x->a) g(x) 也存在，并且 lim(x->a) g(x) = L。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。
函数极限的性质及应用
函数极限的性质及应用函数极限的性质及应用是微积分中的重要概念，对于理解和应用微积分的原理和方法具有重要意义。
本文将从定义、性质以及应用几个方面来详细阐述函数极限的性质及应用，并且将针对每个性质和应用给出具体的例子来加深理解。
首先，我们来看一下函数极限的定义。
给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一常数a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数b，则称函数f(x)在x趋近于a的过程中极限是b，记为lim[x→a]f(x)=b。
这个定义的核心思想是通过自变量趋近于某个常数来确定函数的极限，也就是自变量x的取值越靠近a，函数值f(x)越靠近b。
接下来我们来看一下函数极限的性质。
函数极限具有以下几个性质：1. 唯一性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限，那么这个极限是唯一的。
也就是说，当x趋近于a时，函数值只会无限接近于一个确定的常数。
2. 有界性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限，那么这个极限函数值将是有界的。
也就是说，当x趋近于a时，函数值的取值范围将在一个有限的区间内。
3. 保号性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限且极限值不为零，那么函数值在x趋近于a的某一侧将保持与极限值的符号一致。
也就是说，当x趋近于a 时，函数值的符号将与极限值的符号一致。
4. 代数运算性质：函数极限具有一系列的代数运算性质，包括四则运算、复合运算以及连续运算。
这些性质使得我们在计算函数极限时可以借助各种代数运算的规则来简化计算过程。
接下来我们来看一下函数极限的应用。
函数极限的应用非常广泛，下面主要列举几个常见的应用：1. 确定函数收敛性：通过求解函数极限来判断函数是否收敛，也就是函数是否在某个点处存在有限的极限。
这在研究函数的行为和性质时非常重要。
2. 求解无穷大和无穷小：通过求解函数在某个点处的极限来确定函数的无穷大和无穷小行为。
这在研究函数的渐近线和渐近行为时非常有用。
3. 求解导数：通过函数极限的定义和性质，可以推导出求解导数的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对函数极限相关性质的理解及应用定西师范高等专科学校 数学系 数学教育专业 09级3班 程艳君摘 要：函数极限的概念和存在条件是我们理解函数极限和判断函数极限是否存在的主要依据，函数的极限在数学分析中占有十分重要的地位，因此，较为复杂函数极限的计算也是我们学者应该掌握的。
本文浅略地介绍了函数极限的概念和存在条件，函数极限的性质以及两个重要极限在计算比较复杂的函数极限中的应用。
关键词：函数极限；重要极限；四则运算；迫敛法。
引 言：函数极限是数学分析的重要概念，它贯彻于整个数学分析中，函数极限理论是研究函数连续、导数、积分、级数等的基本工具，而一些较为复杂的函数极限计算又在解决实际问题中是必不可少的。
本文最主要介绍函数极限的概念和函数极限存在的条件，还有两个重要函数极限、迫敛法和四则运算法在解较复杂函数极限中的应用。
1 . 函数的极限和极限存在的条件1.1 函数的极限1.1.1 x 趋于∞+时函数的极限设函数f 定义在 ),[∞a 上，类似于数列的情形，我们研究当自变量x 趋于∞+时，对应的函数值能否无限的接近于某个正数A 。
例如，对于函数x x f 1)(=，从图像上可见，当x 无限的增大时，函数值无限的接近于0；而对于函数x crc x g tan )(=，则当x 趋于∞+时函数值无限的接近于2π。
我们称这两个函数当x 趋于∞+时有极限。
一般地，当x 趋于∞+ 时函数的极限饿精确定义如下： 设f 为定义在),[∞a 上的函数，A 为定数。
若对任给的0>ε，存在正数M(a ≥)，使得当M x >时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f1.1.2 x 趋于0x 时函数的极限设f 为定义在点0x 的某个空心领域)(00x U 内的函数。
再讨论当x 趋于)(00x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A 。
这类函数极限的定义如下： 设函数f 在点0x 的某个空心领域);('00δx U 内有定义，A 为定数。
若对任给的0>ε，存在正数)('δδ< 使的当时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 或)()(0x x A x f →→这个定理也是（函数极限的δε-定义）举例说明如何运用δε-定义来验证这种类型的函数极限，特别注意δ的值时怎么样确定的。
例：设24)(2--=x x x f ，证明4)(lim 2=→x f x 证明：由于2≠x 时2424244)(2-=-+=---=-x x x x x f 故对给定的0>ε，只要取δε=，则当δ<-<20x 时有ε<-4)(x f 。
这就证明了4)(lim 2=→x f x1.2函数极限存在的条件函数极限存在的条件：(1)归结原理(Heine 定理)设函数f 在),(00ηx u 内有定义，)(lim x f ox x →存在的充分必要条件是：对于在),(00ηx u 内以0x 为极限的任何数列{n x },极限)(lim n n x f ∞→都存在并且相等；(2)单调有界定理设f 为定义在)(00x u +上的单调有界函数，则右极限)(lim 0x f x x =→存在；(3)柯西(Cauchy)收敛准则设函数)(x f 在);(00δx u 内有定义，),;(,,0,000"'δδεx u x x ∈∀∍>∃>∀ε<-)()("'x f x f 。
这三个条件是判断函数极限是否存在的最基本的方法，归结原理建立了函数极限与数列界限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性，其中归结原理和柯西准则通常用来证明函数极限的不存在性，在这里我们看一下归结原理有关的例题。
例：证明极限xx 1sinlim 0→不存在。
证明：设πn x n 1'=，() ,2,1221"=+=n n x n ππ，则显然有)(0,0"'∞→→→n x x n n， ).(111sin ,001sin "'∞→→=→=n x x nn 故由归结原则即得结论。
2.两个常用的极限和在计算极限中的应用2.1.两个重要极限的推广形式和衍生公式第一个重要的极限1sin lim 0=→x x x ，我们来看一下它的推广形式1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ， 0)(→x ϕ表示在某极限过程中)(x ϕ的极限为零。
1sin lim 0=→x x x 的三种衍生公式：（1）[]1)()(sin lim 0)(=→x f x f x f ；（2）1tan lim 0=→x x x （3）21cos 120lim =-→x x x 第二个重要的极限e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ，或者，我们也来看一下它的推广形式，当∞=→)(lim 0x x x ϕ时，e x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→)()(11lim 0ϕϕ e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的三个衍生公式：(1)e x x x =+→10)1(lim ；（2）1)1ln(lim 0=+→x x x ；（3）11lim 0=-→x e x x e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 有两个特征：（1）底数是1加上无穷小；(2)指数是底中无穷小的倒数。
2.2两个重要极限在计算极限中的应用第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限， 若分子分母分别求极限便得到这一不确定的结果.因此称这一类型的极限为（0）型不定极限. 第二个极限属于（∞1）型不定型极限.综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的（00 ）型极限和（∞1）型极限，我们都可不妨分别应用两个重要极限来试试，看能否得出他的结果，以下举一些例子来说明是如何应用这两个重要极限于极限计算中的。
例1：求xx x sin sin sin lim 0→ 解：这显然是含三角函数的(00）型极限.因为x x x x x x x x s i n *s i n )s i n (*s i n s i n )s i n s i n (s i n s i n s i n s i n = 当0→x ，0sin sin →x 由第一个重要极限及其一般形式立刻得到：)sin *sin sin sin *sin sin sin sin sin (sin sin sin lim lim 0x x x x x x x x ox x →→==1*1*1=1 例2：计算xx x x sin 3sin lim 0-→ 解：xx x x sin 3sin lim 0-→ =xx x x sin 2cos 2lim 0→ =x x x x x sin 2cos 2lim lim 00→→⋅ =2例3：计算x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→32lim 解：x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→32lim=x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→311lim =33311lim +-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x =33311311lim lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→-∞→x x x x x =1⋅e=1例4：计算()xx x +→1ln lim 0 解：()xx x +→1ln lim 0 =()x xx +⋅→1ln 1lim 0=()xx x 11ln lim +∞→=()xx x 11ln lim +∞→=e ln=13函数极限的性质和在计算函数极限中的应用3.1函数极限的六种性质及证明3.1.1唯一性，若极限)(lim 0x f x x →的极限存在，则极限是唯一的。
3.1.2局部有界性，若)(lim 0x f x x →存在，则f 在0x 的某个空心领域)(00x U 内有界。
3.1.3局部保号型，若0)(lim 0>=→A x f x x 或（<0），则对任何正数A r <(或A r -<)，存在)(00x U ，使得对一切)(00x U x ∈有0)(>>r x f （或0)(<-<r x f ）3.1.4包不等号性，设)(lim 0x f x x →与A x g x x =→)(lim 0，且在某);('00δx U 内有)()(x g x f ≤则)()(lim lim 00x g x f x x x x →→≤。
3.1.5迫敛性，设Ax g x f x x x x ==→→)()(lim lim 00,且在某);('00δx U 内有)()()(x g x h x f ≤≤,则A x h x x =→)(lim 0。
3.1.6函数的四则运算法则若A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0（1）[]B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)()()()(lim lim lim 000（2）[])()()()(lim lim lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅=B A ⋅（3）若0≠B 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)()()()(lim lim lim 0（4）A c x f c x f c x x x x ⋅=⋅=⋅→→)()(lim lim 0这些性质对于∞→x ，-∞→x ，+∞→x 时也同样成立。
3.2函数极限的性质在计算函数极限中的应用3.2.1四则运算法则在计算极限中的应用利用函数极限的四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限。
法则难理解我们要注意一下两点：1、函数的个数有限，且每个函数的极限要存在；2、作为除数的函数极限不为零。
例1：求45322lim +++→x x x x 的极限 解：45322lim +++→x x x x =4252322++⋅+=25 例2：求61032332lim ----→x x x x x 解：61032332lim ----→x x x x x =)32)(2()542)(2(222lim ++-++-→x x x x x x x =32542222lim ++++→x x x x x =32225242222+⋅++⋅+⋅ =1121 3.2.2迫敛性在计算函数极限中的应用利用函数极限的迫敛性，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限。