中考数学总复习第四章三角形第4课时特殊三角形备考演练
云南省中考数学总复习第四章三角形第三节特殊三角形好题随堂演练(2021年整理)
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第四章三角形好题随堂演练1．三角形三边长分别为3，4,5，那么最长边上的中线长等于__________．2．在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F，则DE＋DF＝______．3．(2017·福建A卷)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AB＝6，D是AB的中点，则CD＝______．4．如图,△ABC中,AB＝AC＝5，BC＝6,点D在BC上，且AD平分∠BAC,则AD的长为（ )A．6 B．5 C．4 D．35．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°,∠ECD＝40°，则∠ABE＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD,垂足为点D，DE∥AC。
求证:△BDE是等腰三角形．7．(2018·嘉兴）已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF.求证:△ABC是等边三角形．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F。
常德市中考数学复习难题突破专题四：特殊三角形存在性问题
难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．类型1 等腰三角形存在性问题1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．(1)求点A，B的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．图Z4－1(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题图Z4－22 如图Z4－2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．例题分层分析(1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2)△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．解题方法点析本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．专题训练1．如图Z4－3，点O(0，0)，A(2，2)，若存在点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P的个数为________．图Z4－32．[2019·湖州] 如图Z4－4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．图Z4－43．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－54．[2019·张家界] 如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．(1)求C1的解析式；(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．图Z4－65.[2019·攀枝花] 如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE ＋EF的最大值．(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图Z4－76．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－8参考答案类型1 等腰三角形存在性问题例1 【例题分层分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．(3)①x＝1 (1，a)②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 解：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，设Q(1，a)．①当AQ ＝BQ 时，如图①，设抛物线的对称轴交x 轴于点D ，过点B 作BF⊥DQ 于点F. 由勾股定理，得BQ ＝BF 2＋QF 2＝（1－0）2＋（3－a ）2， AQ ＝AD 2＋QD 2＝22＋a 2，得（1－0）2＋（3－a ）2＝22＋a 2，解得a ＝1， ∴点Q 的坐标为(1，1)． ②当AB ＝BQ 时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a －3）2＝10， 解得a ＝0或6，当点Q 的坐标为(1，6)时，其在直线AB 上，A ，B ，Q 三点共线，舍去，∴点Q 的坐标是(1，0)．③当AQ ＝AB 时，如图③，由勾股定理，得22＋a 2＝10，解得a ＝±6，此时点Q 的坐标是(1，6)或(1，－6)． 综上所述，存在符合条件的点Q ，点Q 的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)． 类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题 例2 【例题分层分析】(1)顶点 点B 待定系数 (2)点A ，B ，Q 解：(1)把(1，－4)代入y ＝kx －6，得k ＝2， ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝2x －6. 令y ＝0，解得x ＝3，∴点B 的坐标是(3，0)． ∵点A 为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)2－4， 把(3，0)代入，得4a －4＝0， 解得a ＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3. (2)存在．∵OB＝OC ＝3，OP ＝OP ， ∴当∠POB＝∠POC 时，△POB ≌△POC ， 此时OP 平分第二象限，即直线PO 对应的函数表达式为y ＝－x. 设P(m ，－m)，则－m ＝m 2－2m －3， 解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝1＋132＞0，舍去， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132，13－12.(3)如图，①当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ 1DB ，即56＝DQ 13 5， ∴DQ 1＝52，∴OQ 1＝72，即点Q 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－72；②当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴OB OD ＝OQ 2OB ，即36＝OQ 23， ∴OQ 2＝32，即点Q 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；③当∠AQ 3B ＝90°时，过点A 作A E⊥y 轴于点E ， 则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴OB Q 3E ＝OQ 3AE ，即34－OQ 3＝OQ 31， ∴OQ 32－4OQ 3＋3＝0，∴OQ 3＝1或3， 即点Q 3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)．专题训练 1．6 2.3 77或155[解析] 考查反比例函数中系数k 的几何意义及等腰三角形的性质． 用B ，A 两点的坐标来表示C 点坐标，得到BC 的长度，然后分三种情况讨论k 值．设B(a ，9a )，A(b ，1b )，∴C(a ，1a )，ka ＝9a ，kb ＝1b ，∴a 2＝9k ，b 2＝1k .又∵BD⊥x 轴，∴BC ＝8a .①当AB ＝BC 时，AB ＝（a －b ）2＋（ka －kb ）2，∴1＋k 2(a －b)＝8a ，∴1＋k 2(3k －1k)＝83k ，∴k ＝3 77.②当AC ＝BC 时，AC ＝（b －a ）2＋（1b －1a）2，∴(1＋k 29)(3k －1k)2＝64k 9，∴k ＝155.③当AB ＝AC 时，∴1＋k 29＝1＋k 2，∴k ＝0(舍去)．综上所述，k ＝3 77或155.3．解：①若∠BAP＝90°，易得P 1(0，2)． ②若∠ABP＝90°，易得P 2(0，－3)．③若∠BPA＝90°，如图，以AB 为直径画⊙O′与x 轴、y 轴分别交于点P 3，P 4，P 5，P 6，AB 与x 轴交于点C ，过点O′作O′D⊥y 轴于D 点．在Rt △DO ′P 5中易知O′D＝2，O ′P 5＝52，则P 5D ＝254－4＝32， OP 5＝P 5D －OD ＝32－12＝1，则P 5(0，1)．易知P 5D ＝P 6D ，则P 6(0，－2)．连结O′P 3，O ′P 4，易求出P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)．综上所述，存在点P ，使得△ABP 为直角三角形，坐标为P 1(0，2)，P 2(0，－3)，P 3(2－6，0)， P 4(2＋6，0)，P 5(0，1)，P 6(0，－2)．4．解：(1)∵抛物线C 1的顶点坐标为A(－1，4)， ∴设C 1的解析式为y ＝a(x ＋1)2＋4，把D(0，3)代入得3＝a(0＋1)2＋4，解得a ＝－1， ∴C 1的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝x ＋m ，得x 2＋3x ＋m －3＝0，Δ＝32－4×1×(m－3)＝－4m ＋21＝0，∴m ＝214. (3)抛物线C 2的顶点坐标为(1，4)，l 2与C 1和C 2共有：①两个交点，这时l 2过抛物线的顶点，∴n ＝4；②三个交点，这时l 2过两条抛物线的交点D ，∴n ＝3；③四个交点，这时l 2在抛物线的顶点与点D 之间或在点D 的下方，∴3<n<4或n<3.(4)根据抛物线的对称性可知，C 2的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3，与x 轴正半轴的交点B 的坐标为(3，0)，又A(－1，4)，∴AB ＝42＋42＝4 2.①若AP ＝AB ，则PO ＝4＋1＝5，这时点P 的坐标为(－5，0)；②若BA ＝BP ，若点P 在点B 的左侧，则OP ＝BP －BO ＝4 2－3，这时点P 的坐标为(3－4 2，0)，若点P 在点B 的右侧，则OP ＝BP ＋BO ＝4 2＋3，这时点P 的坐标为(3＋4 2，0)；③若PA ＝PB ，这时点P 是线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，显然PA ＝PB ＝4，∴P(－1，0)． 综上所述，点P 的坐标为(－5，0)或(3－4 2，0)或(3＋4 2，0)或(－1，0)．5．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)由题易知OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°.同理可知∠OFE＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形．以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H 点，如图①，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取得最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2.(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝2，设D(2，n)，如图②.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2，即(2－0)2＋(n －3)2＋(3 2)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2，即(2－3)2＋(n －0)2＋(3 2)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.综上所述，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图③，以BC 的中点T(32，32)为圆心，12BC 为半径作⊙T，与抛物线的对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°， 设D(2，m)为⊙T 上一点，由DT ＝12BC ＝3 22，得(32－2)2＋(32－m)2＝(3 22)2， 解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)，又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，则D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜y D ＜32－172或32＋172＜y D ＜5.6．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝8a ＋c ，4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝4，∴所求抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)如图①，设点Q 的坐标为(m ，0)，过点E 作EG⊥x 轴于点G.由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)， ∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2. ∵QE ∥AC ， ∴△BQE ∽△BAC ， ∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26， ∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO －12BQ·EG ＝12(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m ＋43＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m －1)2＋3.∵－2≤m≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时点Q 的坐标为(1，0)． (3)存在．在△ODF 中， ①若DO ＝DF ， ∵A(4，0)，D(2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2.又在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)．由－12x2＋x＋4＝2，得x1＝1＋5，x2＝1－5，∴点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)．②若FO＝FD，如图②，过点F作FM⊥x轴于点M，由等腰三角形的性质得OM＝12OD＝1，∴AM＝3，∴在等腰直角三角形AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)．由－12x2＋x＋4＝3，得x1＝1＋3，x2＝1－3，∴点P的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)．③若OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，∴AC＝4 2，∴点O到AC的距离为2 2，而OF＝OD＝2，与OF≥2 2相矛盾，∴AC上不存在点F，使得OF＝OD＝2，∴不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1+1的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间2．若直线y ＝bx+b ﹣1经过点（m ，n+2）和（m+1，2n+1），且0＜b ＜2，则n 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．不等式组51132x x x ->-⎧⎪⎨-≥⎪⎩的所有整数解的和为（ ） A ．13B ．15C ．16D ．21 4．如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为（ ）A. B. C. D.5．如图，ABC ∆内接于⊙O ,25OAC ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°6．学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9,利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ）A ．200只；B ．1400只；C ．9800只；D ．14000只．7．如图，在平面直角坐标系中，一个含有45〫角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A （﹣3，﹣3）处，将其绕点A 旋转，这个45〫角的两边所在的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于点B ，C ，连结BC ，函数y ＝k x（x ＞0）的图象经过BC 的中点D ，则（ ）A.9942k ≤≤B.94k =C.994k ≤≤ D.92k = 8．下列运算正确的是（ ） A ．5210()a a -=B ．6262144a a a a -÷⋅=-C ．32264()a b a b -=D ．23a a a -+=-9．在正方形、矩形、菱形、平行四边形中，其中是中心对称图形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．16的平方根为（ ）A ．±4B ．±2C ．+4D ．211．若a =b 6=-，c =则下列关系正确的为( )A.a b c >>B.c b a >>C.b a c >>D.b c a >>12．已知过点（1，2）的直线y ＝ax+b （a≠0）不经过第四象限，设S ＝a+2b ，则S 的取值范围为（ ）A ．2＜S ＜4B ．2≤S ＜4C ．2＜S≤4D ．2≤S≤4二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，7BC = ，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.14．在实数范围内分解因式：24x -=______________________.15．如图，在ABC △中，，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF .若四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为____.16．因式分解：ab+ac=_____．17．已知一次函数y=x+4的图象经过点（m ，6），则m=_____．18．计算：=________．三、解答题19．如图，已知抛物线y ＝x 2+ax ﹣3交x 轴于点A ，D 两点，交y 轴于点C ，过点A 的直线与x 轴下方的抛物线交于点B ，已知点A 的坐标是（﹣1，0）．（1）求a 的值；（2）连结BD ，求△ADB 面积的最大值；（3）当△ADB 面积最大时，求点C 到直线AB 的距离．20．如图，为了测量建筑物AC 的高度，从距离建筑物底部C 处50米的点D （点D 与建筑物底部C 在同一水平面上）出发，沿坡度i ＝1：2的斜坡DB 前进B ，在点B 处测得建筑物顶部A 的仰角为53°，求建筑物AC 的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin53°≈0.798，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327．）21．如图，在△ABC 中，BC ＝12，tanA ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．22．先化简再求值()222+211121a a a a a a -÷++--+,其中+1. 23．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8．(1)在BC 上求作一点P ，使PA+PB ＝BC ；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)求BP 的长．24．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，DE ⊥BC 于E ，连接BD ，设AD ＝m ，DC ＝n ，BE ＝p ，DE ＝q ．（1）若tanC ＝2，BE ＝3，CE ＝2，求点B 到CD 的距离；（2）若m ＝n ， B D ＝，求四边形ABCD 的面积．25．在如图所示的5×5的方格中，我们把各顶点都在方格格点上的三角形称为格点三角形．如图1是内部只含有1个格点的格点三角形．设每个小正方形的边长为1，完成下列问题：（1）在图甲中画一个格点三角形，使它内部只含有2个格点，并写出它的面积．（2）在图乙中画一个面积最大的格点三角形，使它的内部只含有A ，B ，C 这3个格点（图乙中已标出），并写出它的面积．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．10314．()()22x x +-15．1016．a （b+c ）17．218．-2三、解答题19．（1）－2；（2）8；（3）CE =【解析】【分析】（1）点A （-1，0），代入二次函数表达式即可；（2）当点B 在抛物线顶点上时，△ABD 的面积最大；（3）求出直线AB 的解析式为：y=-2x-2，过点C 作CE ⊥AB 于E ，证明△AOF ∽△CEF ，即可求解. 【详解】（1）∵点A （﹣1，0），∴1﹣a ﹣3＝0，∴a ＝﹣2；（2）当点B 在抛物线顶点上时，△ABD 的面积最大，∴B （1，﹣4），∴S ＝12×4×4＝8；（3）∵设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，将点A （﹣1，0），B （1，﹣4）代入，得04k bk b =-=⎧⎨-=+⎩，k 2b 2=-⎧∴⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2，∴AO ＝1，OF ＝2，CF ＝1，过点C 作CE ⊥AB 于E ，∴∠AOF ＝∠CEF ＝90°，∠AFO ＝∠CFE∴△AOF ∽△CEFAOAFCE CF ∴=，∴AF∴CE ；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，三角形相似；掌握代入系数法求解析式，利用三角形相似求边是解题的关键．20．建筑物AC的高度49.8米【解析】【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．解直角三角形分别求出AM，CM即可解决问题．【详解】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在Rt△BDN中，∵tan∠D＝1：2，BD＝∴BN＝10，DN＝20，∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM＝BM＝10，BM＝CN＝30，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝tan53°＝AMBM≈1.327，∴AM≈39.81，∴AC＝AM+CM＝39.81+10＝49.81≈49.8 （米）．答：建筑物AC的高度49.8米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．21．【解析】【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△BHC求出CH、BH，在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【详解】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°，∴CH ＝12BC ＝6，BH ， 在Rt △ACH 中，tanA ＝34＝CH AH ， ∴AH ＝8，∴AC 10，【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．31a a +-，13+ 【解析】【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再进行二次根式的运算即可.【详解】原式=()()()()221111111a a a a a a ++-⨯+-+- =213111a a a a a +++=---当1a =时，原式13=+ 【点睛】掌握分式和二次根式化简方法.23．(1)见解析；(2)3.【解析】【分析】（1）作AC 的垂直平分线与BC 相交于P ；（2）根据勾股定理求解.【详解】(1)如图所示，点P 即为所求．(2)设BP＝x，则CP＝8﹣x，由(1)中作图知AP＝CP＝8﹣x，在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(8﹣x)2，解得：x＝3，所以BP＝3．【点睛】考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.24．（1）（2）9．【解析】【分析】（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC=2，BE=3，CE=2，可以得到BF=2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解；（2）m=n，即AD=DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．【详解】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，∴DE＝4，在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，设BF＝x，则FC＝12x，∵BF2+FC2＝BC2，∴x2+（12x）2＝（3+2）2，解得：x＝BF＝答：点B到CD的距离是（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠BAD＝180°，又∵∠BAD+∠GAD＝180°，∴∠C＝∠GAD，∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD∴△DEC≌△DGA，（AAS）∴DE＝DG，∴四边形BEDG是正方形，∴S四边形ABCD＝S正方形BEDG＝12BD2＝9．答：四边形ABCD的面积是9．【点睛】考查解直角三角形，勾股定理、和全等三角形等知识，作垂线构造直角三角形是常用的辅助线作法，通过作辅助线将问题转化求正方形的面积．25．（1）见解析，S△ABC＝3；（2）见解析，最大面积为8【解析】【分析】（1）根据要求画出三角形即可（大不唯一）．（2）根据要求画出图形即可解决问题．【详解】解：（1）如图（甲）中，△ABC即为所求．S△ABC＝×2×3＝3．（2）如图（乙）中，△DEF即为所求，最大面积为8【点睛】此题考查了作图-位似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．负数没有倒数B ．﹣1的倒数是﹣1C ．任何有理数都有倒数D ．正数的倒数比自身小2．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（ ）A.平均数是15B.众数是10C.中位数是17D.方差是4433．如图，不等式组315215x x --⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（ ）A.B.C. D.4．有这样一道题：如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上，连接DH ，如果12BC =，3BF =.则tan HDG ∠的值为（ ）A.12B.14C.25D.135．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列结论错误的是（ ）A.4a+2b+c ＞0B.abc ＜0C.b ＜a ﹣cD.3b ＞2c6．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直x 轴，顶点A 在函数y 1＝1k x（x ＞0）的图象上，顶点B 在函数y 2＝2k x （x ＞0）的图象上，∠ABO ＝30°，则12k k ＝（ ）A．﹣12B．﹣13C．﹣14D．﹣157．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为( )A．10 B．8 C．7.5 D．8．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（）A.0B.C.2+D.2﹣9．二元一次方程组225x yx y-=-⎧⎨+=⎩的解为( )A．16xy=-⎧⎨=⎩B．7383xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C．32xy=⎧⎨=⎩D．14xy=⎧⎨=⎩10．如图，菱形ABCD的边长为1，点M、N分别是AB、BC边上的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则MP PN+的最小值是（）A．12B．1 CD．211．如图，在矩形ABCD中，，点M在边AD上，连接BM，BD平分∠MBC，则AMMD的值为（）A.12B.2C.53D.3512．不等式组1211133x x x -≤⎧⎪⎨-<+⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．B． C ． D ．二、填空题13．如图，点A B C ，，在⊙O 上，若40CBO =∠°，则∠A 的度数为_____.14．将抛物线y ＝－2(x ＋1)2－3先向左平移2个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式为 _________．15．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，则有下列选项：①∠ACD=60°；②CB=6；③阴影部分的周长为12+3π；④阴影部分的面积为9π﹣12．其中正确的是_______.（填写编号）16．如图，在▱ABCD 中按以下步骤作图：①以点B 为圆心，BA 长为半径作弧，交BC 于点E ；②分别以A ，E 为圆心，大于AE 的长为半径作弧两弧交于点F ；③连接BF ，延长线交AD 于点G ．若∠AGB=30°，则∠C=____°．17．如图是利用平面直角坐标系画出的老北京一些地点的分别示意图，这个坐标系分别以正东和正北方向为x轴和y轴的正方向，如果表示右安门的点的坐标为（-2，-3），表示朝阳门的点的坐标为（3，2），那么表示西便门的点的坐标为______．18．在平面直角坐标系中，把过原点，平分第一、三象限的直线向右平移3个单位后，其函数解析式为________.三、解答题19．如图，△ABC是⊙O的内接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若34,sin5BD DBF=∠=，求DE的长．20．解分式方程：7422xx x=---．21．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．22．113532 3(5)(1)(3)(10)10 464675 +----++-23．如图，AC⊥BD，DE交AC于E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．24．如图所示，将矩形纸片OABC 放置在直角坐标系中，点A(3，0)，点C(0).(I).如图，经过点O 、B 折叠纸片，得折痕OB ，点A 的对应点为1A ,求1A OC 的度数；(Ⅱ)如图，点M 、N 分别为边OA 、BC 上的动点，经过点M 、N 折叠纸片，得折痕MN ，点B 的对应点为1B ①当点B 的坐标为(-1，0)时，请你判断四边形1MBNB 的形状，并求出它的周长；②若点N 与点C 重合，当点1B 落在坐标轴上时，直接写出点M 的坐标.25．某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行一次测试（满分50分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m （单位：分）分类：A 类（45＜m≤50），B 类（40＜m≤45），C 类（35＜m≤40），D 类（m≤35）绘制出如图所示的不完整条形统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（2）补全条形统计图； （3）若该校九年级男生有600名，D 类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．50.14．y ＝－2(x ＋3)2＋215．①③④16．12017．（-3，1）18．3y x =-三、解答题19．(1)见解析（2）94 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据角平分线的定义得到∠ABD ＝∠DBF ，由等腰三角形的性质得到∠ABD ＝∠ODB ，等量代换得到∠DBF ＝∠ODB ，推出∠ODF ＝90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADE ＝90°，根据角平分线的定义得到∠DBF ＝∠ABD ，解直角三角形得到AD ＝3，求得DE ＝94． 【详解】解：（1）连接OD ，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点E ，∴∠ABD ＝∠DBF ，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠DBF＝∠ODB，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠ODB+∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴FD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF＝∠ABD，在Rt△ABD中，BD＝4，∵sin∠ABD＝sin∠DBF＝35，∴AD＝3，∵∠DAC＝∠DBC，∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝35，在Rt△ADE中，sin∠DAC＝35，∴DE＝94．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．20．x＝3【解析】【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：﹣x＝4x﹣8﹣7，移项合并得：5x＝15，解得：x＝3，经检验x ＝3是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（1）见解析；（2）BE ＝285. 【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BD ，由余角的性质可得∠CBE=∠DAC ，由“ASA”可证△BDF ≌△ADC ；（2）由全等三角形的性质可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC ，由三角形的面积公式可求BE 的长度.【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，∠ABC ＝45°∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ，∵DA ⊥BC ，BE ⊥AC∴∠C+∠DAC ＝90°，∠C+∠CBE ＝90°∴∠CBE ＝∠DAC ，且AD ＝BD ，∠ADC ＝∠ADB ＝90°∴△BDF ≌△ADC （ASA ）（2）∵△BDF ≌△ADC∴AD ＝BD ＝4，CD ＝DF ＝3，BF ＝AC∴BF ＝5∴AC ＝5，∵S △ABC ＝12×BC×AD＝12×AC×BE ∴7×4＝5×BE∴BE ＝285. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用三角形面积公式可求BE 的长度. 22．34335- 【解析】【分析】根据有理数的加减法法则计算即可.【详解】原式=11353235131010464675-+-+- 13153231531010446675⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭15935=-+ 34335=- 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减法的运算法则是关键.23．见解析.【解析】【分析】由“SAS”可证△ABC ≌△DEC ，可得BC ＝CE ，即可得结论．【详解】证明：∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴BC ＝CE ，∵AC ＝AE+CE∴AC ＝AE+BC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．24．(Ⅰ)30°；(Ⅱ)①四边形1B MBN 为菱形，周长为192；②，0)或，0). 【解析】【分析】（Ⅰ）由点A 、C 的坐标可得出OA 、AB 的长，即可求出tan ∠BOA 的值，根据特殊角的三角函数值可得∠BOA 的度数，根据折叠的性质利用角的和差关系即可得答案；（Ⅱ）①连接1BB ，交MN 与点E ．点B ，1B 关于MN 对称可得MN 是BB 1的垂直平分线，即可得出1BE B E =，190BEN B EM ∠∠==，BN=B 1N ，BM=B 1M ，根据矩形的性质可得1BNE B ME ∠∠=．即可证明1BNE B ME ∆∆≌，进而可得1BN B M =，即可证明四边形B 1MBN 是菱形，过N 作NF OA ⊥，垂足为F ，设NB x =，在Rt △NFB 1中，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得出答案；②分别讨论B 1在y 轴和x 轴两种情况，根据折叠的性质即可得答案.【详解】（Ⅰ）∵矩形OABC ，∴90OAB ∠=．BA tan BOA OA ∠==， ∴30BOA ∠=．∵点A 的对应点为A 1，∴130A OB AOB ∠∠==．∴190303030A OC ∠=--=． （Ⅱ）①连接1BB ，交MN 与点E ． ∵点B ，1B 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分1BB ，∴BN=B 1N ，BM=B 1M ，1BE B E =，190BEN B EM ∠∠==． ∵//BC OA ，∴1BNE B ME ∠∠=． ∴1BNE B ME ∆∆≌．∴1BN B M =．∴BN=B 1N=B 1M=BM ，∴四边形1B MBN 为菱形．过N 作NF OA ⊥，垂足为F ． 设NB x =，则3OF CN x ==-，14B F x =-．在1Rt NFB ∆中，22211NF B F B N +=，∴()2224x x +-=， 解得198x =． ∴菱形1B MBN 的周长为192．②如图，当B 1在y 轴上时，CM 是BB 1的垂直平分线， ∴BC=B 1C ，∵∠BCB1=90°，∴∠B1CM=45°，∴∴点M0）.如图，当B1在x轴上时，CM是BB1的垂直平分线，∴B1C=BC=3，∴OB1，∵∠BCD=∠B1MD，∠B1DM=∠BDC=90°，BD=B1D，∴△BCD≌△B1MD，∴B1M=BC=3，∴OM=OB1+B1，∴点M的坐标为（，0）综上所述：点M的坐标为（，0，0）.【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定及全等三角形的判定与性质，折叠前后的两个图形对应边相等，对应角相等，熟练掌握相关定理及性质是解题关键.25．（1）15，30%，6%；（2）见解析；（3）该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多564名．【解析】【分析】（1）根据A类学生的人数÷所占的百分比求得共抽取的学生数﹣A类﹣B类﹣D类的学生数即可得到a，a÷共抽取的学生数求得b，1﹣A类﹣B类﹣C类人数所占的百分比即可得到c；（2）由C类人数，补全条形统计图即可；（3）该校九年级男生人数×(1-D类所占的百分比)即可得到结论．【详解】（1）a＝10÷20%﹣10﹣22﹣3＝15，b＝1550×100%＝30%，c＝1﹣20%﹣44%﹣30%＝6%；故答案为：15，30%，6%；（2）补全条形统计图如图所示；（3）600×(1-6%)＝564名，答：该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多564名．【点睛】此题考查条形统计图，看懂图中数据是解题关键。
2022年中考数学总复习微专题 第四章 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型模型一平移模型典例1(2021·湖南衡阳)如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.【答案】∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE,∵BC∥EF,∴∠ABC=∠DEF,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA).平移模型的本质是两个全等的三角形,其中一个可以通过另一个平移得到,所以这种模型往往与平行相联系.常见的平移模型的图形有:模型二对称模型典例2(2021·云南)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.【答案】在△ACD和△BCD中,∴△ACD≌△BDC(SSS),∴∠DAC=∠CBD.对称模型的本质是两个全等的三角形能关于某条直线对称.常见的对称模型的图形有:模型三旋转模型类型1不共顶点的旋转模型典例3如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求证:BC∥EF.【答案】∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,∴AC=DF.在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.类型2共顶点的旋转模型(手拉手模型)典例4(2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB=CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA=∠BCD,连接DE与AC交于点F,且∠B=70°,∠A=10°.(1)求证:AB=ED;(2)求∠AFE的度数.【答案】(1)∵∠ECA=∠BCD,∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD,即∠DCE=∠ACB.由旋转可得AC=EC,在△BCA和△DCE中,∴△BCA≌△DCE(SAS),∴AB=ED.(2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°,又∵BC=CD,∴∠B=∠BDC=70°,∴∠ADE=180°－∠BDE=180°－70°×2=40°,∴∠AFE=∠ADE+∠A=40°+10°=50°.无论哪种类型,图中两个全等三角形都满足其中一个可以通过另一个旋转得到.其常见图形有:典例5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.【答案】如图所示,将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△ACF,连接DF.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°.由旋转可知∠FCE=90°,CF=CE,AF=BE,∠FAC=∠B=45°,∴∠FAD=90°.∵∠DCE=45°,∴∠DCF=45°,∴∠DCF=∠DCE,∴△CDF≌△CDE(SAS),∴DF=DE.∵AD2+AF2=DF2,∴AD2+BE2=DE2.半角模型也是旋转模型的特殊情况.等边三角形含半角(∠BDC=120°)等腰直角三角形含半角正方形含半角模型四一线三等角模型典例6如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=3,BE=1,求DE的长.【答案】∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠ACB=∠BCE+∠DCA=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,∴△CEB≌△ADC(AAS),∴DC=BE=1,CE=AD=3,∴DE=CE－DC=3－1=2.一线三等角模型是以一条直线构造三个相等的角构造全等三角形.常见图形有:提分训练1.如图,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长.解:连接BE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.∵AC=BC=6,∴AB =6.∵∠BAC=∠CAE=45°,∴∠BAE=90°.在Rt△BAE中,BE ==9,∴AD=9.2.(2021·陕西改编)如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,求线段CE的长度.解:过点B作BM⊥AC于点M,过点D作DN⊥CE于点N.∵BA=BC,DC=DE,∴AM=CM=3,CN=EN.∵CD⊥BC,∴∠BCD=90°,∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90°,∴∠CBM=∠DCN.在△BCM和△CDN中,∴△BCM≌△CDN(AAS),∴BM=CN.在Rt△BCM中,∵BC=5,CM=3,∴CN=BM==4,∴CE=2CN=2×4=8(cm).3.(2021·贵州黔东南州)在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.【探究发现】(1)如图1,若∠BAD=120°,∠ABC=∠ADC=90°.求证:AD+AB=AC; 【拓展迁移】(2)如图2,若∠BAD=120°,∠ABC+∠ADC=180°.猜想AB,AD,AC三条线段的数量关系,并说明理由.解:(1)∵AC平分∠BAD,∠BAD=120°,∴∠DAC=∠BAC=60°.∵∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ACD=∠ACB=30°,∴AD=AC,∴AD+AB=AC.(2)AD+AB=AC.理由:过点C分别作CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.∵AC平分∠BAD,∴CF=CE.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠EDC+∠ADC=180°,∴∠FBC=∠EDC.在△CED和△CFB中,∴△CED≌△CFB(AAS),∴FB=DE,∴AD+AB=AD+DE+AF=AE+AF.在四边形AFCE中,由(1)知AE+AF=AC,∴AD+AB=AC.。
2020年中考数学总复习专题演练《三角形综合》(含解析)
中考数学复习专题训练：《三角形综合》1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；（3）在点E的运动过程中，若，求的值．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足．（1）求点A，C的坐标；（2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S△PAB ＝S△POC，若存在，请求出t的值，并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．一副三角板直角顶点重合于点B，∠A＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°．（1）如图（1），若∠AFE＝75°，求证：AB∥DE；（2）如图（2），若∠AFE＝α，∠BGD＝β，则α+β＝度．（3）如图（3），在（1）的条件下，DE与AC相交于点H，连接CE，BH，若DG＝2CG＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．5．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，PC ＝PA ，设∠APB ＝α，∠BPC ＝β．（1）如图1，当点P 在△ABC 内， ①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且PC ＝PA ，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A 作∠DAP ＝120°，且AD ＝AP ，连接DP ，DB ，发现两个不同的三角形全等： ≌ 再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数．请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．6．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG 交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上7．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE ＝α，且点A、D、E在同一直线上，连结BE（1）求证：AD＝BE．（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE 的值（用a，b的代数式表示）．8．已知，点A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．（1）如图1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；（2）如图2，当t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值；（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．9．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若PA＝BO，∠BPC＝30°，求点P的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON+CN的最小值（结果用含t的式子表示）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B 停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．11．如图，平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上，以AB 为斜边向上作等腰直角△ABC ，BC 交y 轴于点D ，C （﹣2，4）． （1）如图1，求点B 的坐标；（2）如图2，动点E 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正半轴运动，设运动时间为t 秒，连接CE ，设△ECD 的面积为S ，请用含t 的式子来表示S ；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E 在OD 的延长线上时，点F 在直线CE 的下方，且CF ⊥CE ，CF ＝CE ．连接AD ，取AD 的中点M ，连接FM 并延长交AO 于点N ，连接FO ，当S △NFO ＝10S △AMN 时，求S 的值．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°（1）求点B的坐标；（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；（3）在（2）的条件下，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE＝PB，∠APB﹣∠OEB＝30°，求PQ的长．13．在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．（1）若m，n满足．①直接写出m＝，n＝；②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．14．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别为x、y轴正半轴上一点，其中a、b满足：b﹣8＝+，C为AB的中点．（1）求A、B两点坐标；（2）E为OB上一点，连CE交x轴于D，若BE＝AD，如图1，求D点坐标；（3）F为x轴上的点，连FC，在（2）的条件下，若∠ACF＝45°，求F点坐标．15．如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB ＝6cm，DM＝3cm，DC＝3﹣cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S．（1）当点P在线段AM上运动时，PM＝．（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式．16．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．17．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE 与CD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”…老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”（1）求证：∠ABE＝∠DBC；（2）求证：线段BC平分∠ACD；（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．18．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．20．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD 于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．参考答案1．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵AD＝1，CD＝2，BD＝4，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1中，作EH⊥AB于H．∵AD⊥AB，EH⊥AB，∴DG∥HE，∵AG＝GE，∵AD＝DH＝1，∵DB＝4，∴BH＝DB﹣DH＝3，∵EH∥CD，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴tan∠EAF＝＝＝．（3）如图2中，作EH⊥AB于H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∴＝＝＝，∵CD＝2，BD＝4，∴EH＝，BH＝，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣＝，DH＝AH﹣AD＝，在Rt△AEH中，AE＝＝＝，∵DG∥EH，∴＝，∴＝，∴EG＝，∵AE⊥EF，EH⊥AF，∴△AEH∽△EFH，∴＝，∴＝，∴EF＝∴＝＝．3．解：（1）由，解得，∴A（0，4），C（3，0）．（2）如图1中，当0＜t＜4时，S＝•BC•OP＝×5×（4﹣t）＝﹣t+10．如图2中，当t＞4时，S＝•BC•OP＝×5×（t﹣4）＝t﹣10．综上所述，S＝．（3）当0＜t＜4时，由题意，×t×4＝××（4﹣t）×3，解得t＝．此时，OP＝4﹣＝，∴P（0，），∵B（﹣4，0），∴BQ的中点Q的坐标为（﹣2，）当t＞4时，由题意，×t×4＝××（t﹣4）×3，解得t＝36，此时OP ＝36﹣4＝32，∴P （0，﹣32），∵B （﹣4，0），∴BP 的中点Q 的坐标为（﹣2，﹣16）．综上所述，满足条件的t 的值为或36．点Q 的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣16）． 4．（1）证明：如图（1），∵∠AFE ＝75°，∠A ＝45°，∴∠ABE ＝75°﹣45°＝30°，∵∠E ＝30°，∴∠E ＝∠ABE ，∴AB ∥DE ；（2）解：如图（2），△ABF 中，∠AFE ＝∠A +∠ABE ＝α①，△BGE 中，∠BGD ＝∠E +∠CBF ＝β②，①+②得：α+β＝∠A +∠E +∠CBF +∠ABE ＝45°+30°+90°＝165°；故答案为：165；（3）解：∵DE ∥AB ，∴∠CGH ＝∠ABC ＝90°，∵S △CEH ＝S △BEH ，∴，∴CG＝BG，∵BC＝10，∴CG＝2，BG＝8，∵DG＝2CG＝2GH，∴DG＝4，GH＝2，∴△BDH的面积＝＝＝24．5．解：（1）①如图1，过点A作AH⊥DP于H，∵∠DAP＝∠BAC＝120°，∴∠DAB＝∠PAC，且AD＝AP，AB＝AC，∴△ADB≌△APC（SAS）∴BD＝PC＝PA，∠ADB＝∠APC，∵∠DAP＝120°，AD＝AP，AH⊥DP，∴∠ADP＝∠APD＝30°，DH＝PH，∴AP＝2AH，HP＝AH，∴DP＝AP，∴DB＝DP，∴∠DBP＝∠DPB＝∠APB﹣∠APD＝α﹣30°，∴∠BDP＝180°﹣2（α﹣30°）＝240°﹣2α，∴∠ADB＝∠BDP+∠ADP＝270°﹣2α＝∠APC，∵∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，∴270°﹣2α+α+β＝360°，∴β﹣α＝90°，当β＝153°时，α＝63°，故答案为：△ADB，△APC，63°；②β﹣α＝90°，理由如上；（2）α+β＝90°，理由如下：如图2，作∠PAN＝120°，且PA＝NA，连接PN，BN，∵∠PAN＝∠BAC＝120°，∴∠BAN＝∠PAC，且AB＝AC，AP＝AN，∴△ABN≌△ACP（SAS）∴∠BNA＝∠APC，PC＝BN＝AP，∵∠PAN＝120°，PA＝NA，∴∠APN＝∠ANP＝30°，∴PN＝AP＝BN，∴∠BPN＝∠PBN＝α+30°，∵∠BPN+∠PBN+∠BNP＝180°，∴2（α+30°）+β﹣α+30°＝180°，∴α+β＝90°．6．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．7．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，∵∠AHC＝∠BHE，∴∠AEB＝∠ACH＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM＝DM＝ME＝7，∴DE＝2CM＝14，∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝26；（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝＝a．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝a+2b．8．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，如图1所示：∵点A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵A，B，C在同一条直线上，∴∠OCB＝∠DCA，∵tan∠OCB＝＝＝，∴tan∠OCB＝tan∠DCA＝＝，即＝，解得：CD＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图2所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴点A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝2；（3）作HG⊥OC于G，如图3所示：∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45°，∵∠OHA＝90°，∴OH⊥AB，∴△OCH是等腰直角三角形，∵HG⊥OC，∴△OGH是等腰直角三角形，∴OG＝GH，即m＝﹣n，∴m+n＝0．9．解：（1）∵a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝b．b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，故答案为4，4．（2）如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E．∵∠BEO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵BO＝AO，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴OD＝BE，∵∠BPC＝30°，∴PB＝2BE＝2OD，∵AP＝BO＝AO，AD⊥OP，∴OD＝DP，∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．（3）如图2中，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接GN．∵∠MON＝∠AOG＝60°，∴∠MOA＝∠NOG，∵OM＝ON，OA＝OG，∴△OMA≌△ONG（SAS），∴∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作OH⊥OC交CA的延长线于H，连接NH．GH．由（2）可知∠ACO＝60°，在四边形ACOG中，∠COG＝360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°＝135°，∴OC∥NG，∵OC⊥OH，∴OH⊥NG，∵∠OHC＝30°＝∠AGO，∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上，∴GO＝GA，∴NH垂直平分线段OH，∴O，H关于GN对称，∴ON+NC＝NH+NC≥CH，∵CH＝2OC＝2t，∴ON+NC≥2t，∴ON+CN的最小值为2t．10．解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝＝＝20，∵PQ∥AC，∴∠A＝∠QPM，∵∠C＝∠PMQ＝90°，∴△ACB∽△PMQ，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝4t，MQ＝3t，当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝•PK•BK＝×（20﹣5t）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，∴PG＝PK＝t，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝＝＝，AG＝＝＝，∵∠CMG＝∠GCM＝45°，∴CG＝GM＝，∴AM＝9t＝+，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM ＝AM ，∴S △DMF ＝S △AMF∵△DMF ≌△AMN ，∴S △DMF ＝S △AMN ，∴S △NFA ＝2S △AMN∵S △NFO ＝10S △AMN∴S △NFO ＝5S △NFA ，∴5AN ＝ON ，∵OA ＝6，∴AN ＝1，∴AN ＝6﹣t ＝1，∴t ＝5，∴S ＝t ﹣2＝5﹣2＝3．12．解：（1）在Rt △AOC 中，A （﹣2，0），∠A ＝60°，∴OA ＝2，∠ACO ＝∠ABC ＝30°∴AC ＝2OA ＝4，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝8，即OB ＝AB ﹣OA ＝8﹣2＝6，则B （6，0）；（2）如图1所示，在Rt △MCP 中，MP ＝t ，∠MCP ＝30°，∴CP ＝2MP ＝2t ，在Rt △CQP 中，∠CQP ＝30°，CP ＝2t ，∴PQ ＝4t ，即d ＝4t ；（3）如图2所示，过P 作PM ∥y 轴，交BC 于M ，∴∠APM＝∠DCP＝∠ACO＝30°，∵∠APB﹣∠OEB＝30°，∴∠APB﹣30°＝∠OEB＝∠BPM，∵∠BMP＝180°﹣60°＝120°＝∠OCE，∵OE＝PB，∴△OCE≌△BMP（AAS），∴OC＝BM＝2，∵BC＝4，∴CM＝4﹣2＝2，Rt△PCM中，∠CPM＝30°，CP＝2t，∴PM＝4，∴PC2+CM2＝PM2，∴，4t2+12＝48，t＝3或﹣3（舍），∴PQ＝4t＝12．13．解：（1）①由，解得，故答案为4，4．②如图1中，∵A（0，4），C（4，0），∴OA＝OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC＝OC，∠ACO＝45°，∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝CD，∠DCB＝45°，∴∠OCD＝∠ACB，＝＝，∴∠OCD∽△ACB，∴∠BAC＝∠DOC＝90°，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∴AE＝AC，∵AO⊥EC，∴EO＝OC＝AO＝4，＝•EC•AO＝×8×4＝16．∴S△ACE（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．∵PC∥OA，∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，∵∠ADH＝∠ODC，∴∠P＝∠PCD，∴DP＝DC，∴△DPC是等腰三角形，∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，∴四边形ODKC是矩形，∴OD＝CK，∵DK⊥PC，∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，∴CG＝OC﹣OG＝x+3，∵GH⊥DC，∴∠CFG＝∠COD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，∴∠ODC＝∠CGF，∴∠CGH＝∠P，∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，∴△HCG≌△HCP（AAS），∴CG＝CP，∴x+3＝2x，∴x＝3，∴D（0，3）14．解：（1）根据题意得：，解得：a＝4，∴b＝8，∴A（4，0），B（0，8）；（2）∵C为AB的中点，∴C（2，4），设OE＝b，∵BE＝AD，∴AD＝8﹣b，∵OA＝4，∴OD＝4﹣b，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把C（2，4）代入得：2k+b＝4，∴k＝，∴直线CD的解析式为：y＝x+b，∵D（b﹣4，0），则﹣+b＝0，解得：b＝2或8（舍），∴D（﹣2，0）；（3）由（2）知：直线CD的解析式为：y＝x+2分两种情况：①当F在点A的左侧时，如图2，过F作FG⊥AB于G，∵∠BAO＝∠FAG，∴tan∠BAO＝tan∠FAG＝＝＝2，设AG＝x，则FG＝2x，∵∠ACF＝45°，∠CGF＝90°，∴CG＝FG＝2x，∵AC＝AB＝＝2，∴AG＝2﹣2x＝x，x＝，∴AF＝x＝，∴OF＝4﹣＝，∴F（，0）；②当点F在点A的右侧时，如图3，过C作CP⊥CF，交x轴于点P，CH⊥x轴于H，过A作AG⊥CF于G，∵∠ACF＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CG＝AG＝，由（2）知：AP＝，∵AH＝2，∴PH＝﹣2＝，∵CH＝OB＝4，∴PC＝＝，∵AG∥PC，∴，即＝，∴AF＝10，∴F（14，0），综上，点F的坐标为（，0）或（14，0）．15．解：（1）如图1中，PM＝3﹣t．故答案为3﹣t．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图2，∵DA＝DB，AM＝BM，∴DM⊥AB．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠DMB＝90°．∴CE∥DM．∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，∴四边形DCEM是矩形．∴CE＝DM＝3，ME＝DC＝．∵AM＝BM，AB＝6，∴AM＝BM＝3．∴BE＝BM﹣ME＝．∵∠CEB＝90°，CE＝3，BE＝，∴CB＝＝＝2．（3）①当3＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB＝∠CEB＝90°．∴QF∥CE．∵BQ＝t，∴QF＝∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）•＝；②当＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF＝DM＝3．∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）×3＝．综上所述：当3＜t≤时，S＝；当＜t≤时，S＝．16．解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．17．（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，∴∠ABE＝∠CBD．（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，∴CB平分∠ACD．（3）解：结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，∴EC+BE＝BC．18．（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．19．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．20．（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．。
【北师大版2020中考数学专项复习】：特殊三角形
【2020中考数学专项复习】：特殊三角形【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】类型一、等腰三角形1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长．【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．【答案与解析】延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．∵∠EDC=∠DCB=120°∴∠DCM=∠CDM=60°，∴△MDC为等边三角形∠M=60°，同理△BAP，△EFN均为等边三角形．∠M=∠N=60°∴△MNP为等边三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周长为1+9+6+8+2+13=39．【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.举一反三：【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．【答案】.2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．(1)求证:AE=AF．(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D ，又∵BE=DF，∴≌．∴AE=AF．(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA ,∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴, ．∴．又∵AE=AF ∴是等边三角形．【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形例4】【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.求证：CE=DE.【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，∵等边△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等边△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．类型二、直角三角形3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．求证：(1)△ACE≌△BCD； (2)．【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.【答案与解析】(1) ∵，∴，即．∵，∴△BCD≌△ACE．(2) ∵，∴．∵△BCD≌△ACE，∴，∴．∴．【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB．∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三：【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.【答案】.类型三、综合运用5 .（2019•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键． 【答案与解析】（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △，∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH， ∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10． 故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC ，，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC 一般就要证三角形全等.【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．延长交于点G，由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．∴DG∥CB．∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且．∴DG为的中位线．∴．∵AC=BC，∴DC=DG．∴DC- DE =DG- DF．即EC =FG．∵∠EDF =90°，，∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．∴∠1 =∠2．∵与都是等腰直角三角形，∴∠DEF =∠DGA = 45°．∴∠CEF =∠FGH = 135°．∴△CEF ≌△FGH．∴ FH=FC．（2）FH 与FC 仍然相等．【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】【变式】如图， △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=; ②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≥S ⊿ACE ; ③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D.中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1． 已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）A ．a 2B ．a 2C ．a 2D ．a 2CDBC M E DC B AA ．（1）和（2）B ．（2）和（3）C ．（3）和（4）D ．（1）和（4）3.如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC=90°，在底边BC 上截取BD=AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.如图，三角形纸片ABC 中，∠B=2∠C ，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B 落在AC 边上的E 处，那么下列等式成立的是（ ）A ．AC=AD+BD B ．AC=AB+BD C ．AC=AD+CD D ．AC=AB+ CD5．（2019•镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）A.511()32a ⨯ B ．511()23a ⨯ C ．611()32a ⨯ D. 611()23a ⨯ 6. 用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③二、填空题7．如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：① AD=BE ；② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).8．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_____（只需写出～的角度）．9.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为，则斜边的长为 .510.如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD 的面积是_________.11．如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点P与点P′之间的距离为_________，∠APB=_________.12．.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.三、解答题13. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.图1(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.图2(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).图3图415．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你做出猜想：当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）16.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C= 45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．4.【答案】B.【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．选B二、填空题7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：证△ACD ≌△BCE, △ACP ≌△BCQ.8．【答案】50°.9【解析】设直角边为a,b,斜边为c ，则a +b =3，222a b c +=，1122ab c =⨯，代入即可. 10．【答案】1，.【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠PCD=30°做PE ⊥CD,得PE=1，即△CDP 的面积是=12×2×1=1； 根据即可推得BCD BPD BPC PCDSS S S +=+. 11．【答案】6 ，150°.12．【答案】. 三、解答题13.【答案与解析】 （1）结论：BM=DM ，∠BMD=2∠BCD ．理由：∵BM 、DM 分别是Rt △DEC 、Rt △EBC 的斜边上的中线，∴BM=DM=12 CE；又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；同理可得∠DME=2∠DCM；∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD 证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=12EC=MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴DM=12EC=MC，∴BM=DM；∵BM=MC，DM=MC，∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=12EC=ME；又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM=12EC=MC，∴BM=DM；∵BM=ME，DM=MC，∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．（3）所画图形如图所示：图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．解法同（2）．14.【答案与解析】(1) 证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF＝90°,∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN,GH=AM，∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴GH=EF=4．(3) ①8．②4n．15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°,∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（2）仍然成立．在边AB上截取AE=MC，连接ME∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°∴∠AEM=120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（3）16.【答案与解析】⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝. 解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.。
2020-2021年中考数学一轮复习 第4章 第15讲 特殊三角形
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等腰三角形的存在性：以AB为边的等腰三角形的第三个顶点在线段AB的垂直平分 线上；或分别以A，B为圆心，AB为半径的圆上(不与线段AB共线)．
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中考状元 ·生物 重难点 直角三角形存在性问题
【例4】 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三 点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为( D )
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2. 直角三角形的判定 (1)有一个角是90°或两个锐角互余的三角形是直角三角形． (2)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2＋b2＝c2 ，则这个 三角形是直角三角形．
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3．直角三角形的性质 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝ 13 ； (2)若c＝41，a＝40，则b＝ 9 ； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝ 2 ，b＝ 3； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝ 1 ，c＝ 2．
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等腰三角形
1. 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角 相等 ．(等边对等角) (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．(三线合一) (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴． 2. 等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．(等角对等边)
(优)中考一轮复习专题数学人教版第四章三角形的有关概念及性质
A)
(2020·烟台)如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交
_____∥BC且DE
离相等，可过角平分线上的点
2
D.
2
D.
5，7，2
D.
(2019·浙江杭州)在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，
必有一个内角等于30° B.
AB，BC于点E，F，连接EF.
第2课时 三角形的有关概念及性质
三角形的外角通常和三角形的内角、平行线一起考查，在解题时要注意一个外角与它不相邻的两个内角之和的关系.
8
C.
则该三角形的周长为(
)
边长可以是 ________________________________(写出一个即可).
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，
80°
1
＝__2 _BC
结论
高线不一定在三角形内，遇到 高线问题应注意分类讨论
见到中点则常寻找同一三角形 中的另一边的中点并连接(常 作辅助线之一)
三角形的重要线段是常考的知识点，单独考查的频次不高，常在几何图形 综合题中进行考查
注意，“三条角平分线”的交点、“三条中线”的交点一定在三角形内， 但“三条高线”的交点可能在三角形内，也可能是三角形的顶点，也可能 在三角形外.
必有一个内角等于60° D.
(2)三角形任意两边之差小于第三边
“两边的和”“两边的差”中的“两边”可以是三角形中的任意两条边，不能用指定的或特殊的两边作和或差来判断.
按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E.
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，
2019年陕西中考数学复习课时练-第四章第三节 特殊三角形
2019年陕西中考数学复习课时练 第四章 三角形 第三节 特殊三角形
（建议时间：________分钟） 基础达标训练 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 1. （2017长沙）一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.等腰直角三角形 2. （2018柳州）如图，图中直角三角形共有（ ）
第2题图 A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 3. （2018湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
第3题图 A. 20° B.35° C.40° D.70° 4. （2018黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（ ） A. 2 B.3 C. 4 D.23
第4题图 第5题图 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交于AC于点D，则∠CBD的度数为（ ） A. 30° B.45° C. 50° D.75° 6. （2018扬州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ） 2019年陕西中考数学复习课时练 第6题图 A. BC＝EC B. EC＝BE C. BC＝BE D. AE＝EC 7. （2018南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（ ）
第7题图 A. 12 B.1 C. 32 D.3 8. （2018宜宾）在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（ ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.不能确定 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形（ ） A. 2个 B.3个 C. 4个 D.5个
福建地区中考数学复习第四章三角形第三节特殊三角形好题随堂演练
第三节 特殊三角形 好题随堂演练 1. 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3 2. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 3. 三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________． 4. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________． 5. (2017·包头改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F. (1)求证：CE＝CF； (2)若AC＝3，AB＝5，求CE的长． 参考答案 1．C 2.C 3.2.5 4.23 5．(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC， ∵∠AFC是△AFB的外角， ∴∠AFC＝∠FAB＋∠B， 同理，∠CEF＝∠CAE＋∠ACE， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠FAB， ∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF. (2)解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°， ∴由勾股定理得BC＝4. 设CE＝x，则BF＝BC－CF＝4－x， ∵∠CAE＝∠FAB，∠ACE＝∠ABF， ∴△AEC∽△AFB，∴ACAB＝CEFB，即35＝x4－x， 解得x＝32.即CE的长为32.
中考数学总复习第四章三角形第三节特殊三角形全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
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考点一 等腰三角形判定与性质
例1(·泸州)如图，等腰△ABC底边BC＝20，面积为120，点F
在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC垂直平分线，若点D在EG上
运动，则△CDF周长最小值为
．
2/13
【分析】 依据两点之间，线段最短确定最小值点，再利用 等腰三角形性质进行求解．
例2(·安徽)如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，
∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC中点D重合，折
痕为MN，则线段BN长为( )
A. 513
【分析】 设BN＝x，则由折叠性质可得DN＝AN＝9－x，依据
中点定义可得BD＝3，在Rt△BDN中，依据勾股定理可得关于
3/13
【自主解答】∵BC＝20，BF＝3FC，∴BF＝
3 ×20＝15，FC＝ 1×20＝5.∵△CDF周长
4
4
为CD＋DF＋FC＝CD＋DF＋5，∴当CD＋DF最
小时，△CDF周长有最小值．如解图，连接AD.∵EG是AC
垂直平分线，∴AD＝CD，∴CD＋DF＝AD＋DF.依据“两点之
间，线段最短”可知当点A，D，F在同一条直线上时，AD＋
DF最小值为AF.过点A作AH⊥BC于点H，∵BC＝20，△ABC
4/13
面积为120，∴AH＝ 2120 ＝12.∵AB＝AC，∴BH＝CH＝ 1 BC
20
2
＝10，∴HF＝15－10＝5.在Rt△AHF中，依据勾股定理，得
AF＝ 52 122 ＝13，即CD＋DF最小值为13，∴△CDF周长 最小值为13＋5＝18.
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1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD
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第四章 三角形
第 4特殊三角形
备考演练
一、选择题
1．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是()
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若
BM＋＝9，则线段MN的长为()
A．6 B．7 C．8 D．9
3．一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为 ()
A．5 B.7
C.5 D．5或7
4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点
间的距离为()
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
5．如图，△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD＝DB＝DE，AE＝1，则AC的长为()
A.5 B．2
C.3 D.2
6．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()
A．48 B．60
C．76 D．80
二、填空题
1．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为__________．
2．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足a2－6a＋9＋||b－4＝0，则该直角三角形的斜边长为
__________．
3．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B
两地的距离是__________km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的__________方向．
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3cm，CD⊥
AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝4cm，则AB＝
__________cm.
5．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到
△A′B′C′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D＝ __________．
6. 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝
5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车
的外围周长是__________．
图1 图2
三、解答题
1．如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB＝90°，AB＝5km，BC＝4km，若每天凿隧道0.2km，问几
天才能把隧道AC凿通？
2．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于
点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
3. 在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
四、能力提升
如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
1．求DB的长；
2．在△ABC中，求BC边上高的长．
备考演练
一、1.B2.D3.D4.D5.D6.C
二、1. 6和4或5和52. 53. 5正北
4. 55. 2.56. 76
三、1.解：∵∠ACB＝90°，AB＝5km，BC＝4km，
∴AC＝AB2－BC2＝52－42＝3(km)，3÷0.2＝15(天)．答：15天才能把隧道AC凿通．
2．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°；
(2) ∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
3．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE，∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝12AB＝2.5.
四、解：1.∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；
2．延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E，
∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，
∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，
∴AE＝6，即BC边上高的长为6.