特殊的平行四边形中考复习
中考数学复习四边形时特殊平行四边形教案
中考数学复习四边形时特殊平行四边形教案教学目标：1.了解特殊平行四边形的概念和性质。
2.掌握特殊平行四边形的判定方法。
3.运用特殊平行四边形的性质解决实际问题。
教学准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、练习题、学生练习本。
教学过程：Step 1：引入新知1.通过展示图片向学生介绍特殊平行四边形的概念：特殊平行四边形是指具有特别性质的平行四边形。
2.让学生观察图片，思考有哪些特殊平行四边形。
3.与学生一起总结，将特殊平行四边形分为矩形、正方形、菱形和长方形。
Step 2：矩形1.通过展示图片向学生介绍矩形的性质：矩形是两对相邻边相等且都平行的四边形。
2.通过黑板上的示意图向学生讲解矩形的判断方法：如果一个四边形的对角线相等，那么它就是矩形。
3.让学生通过默写练习判断一些图形是否是矩形，并与同桌讨论答案。
Step 3：正方形1.通过展示图片向学生介绍正方形的性质：正方形是两对相邻边相等且都平行的四边形，且四个角都是直角。
2.通过黑板上的示意图向学生讲解正方形的判断方法：如果一个四边形的对角线相等且呈直角，那么它就是正方形。
3.让学生通过默写练习判断一些图形是否是正方形，并与同桌讨论答案。
Step 4：菱形1.通过展示图片向学生介绍菱形的性质：菱形是两对相邻边相等的四边形。
2.通过黑板上的示意图向学生讲解菱形的判断方法：如果一个四边形的两对相邻边相等，那么它就是菱形。
3.让学生通过默写练习判断一些图形是否是菱形，并与同桌讨论答案。
Step 5：长方形1.通过展示图片向学生介绍长方形的性质：长方形是两对相邻边相等且都平行的四边形，且四个角都是直角。
2.通过黑板上的示意图向学生讲解长方形的判断方法：如果一个四边形的两对相邻边相等且呈直角，那么它就是长方形。
3.让学生通过默写练习判断一些图形是否是长方形，并与同桌讨论答案。
Step 6：综合练习1.让学生完成练习题，运用所学的方法判断给出的图形属于哪种特殊平行四边形。
中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)
三、解答题
31. (2018·湘西州)如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的周长.
32. (2018连云港)如图，在矩形 中， 是 的中点，延长 交于点 ，连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
A. B. C. D.
二、填空题
13. (2018·株洲)如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， 分别为 的中点，则 的长度为.
14.(2018·成都)如图，在矩形 中，按以下步骤作图:①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ;②作直线 交 于点 .若 ，则矩形的对角线 的长为.
38. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形 中， ， 是 的中点， ， ， 于点 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ，求 的长.
39. (2018·广安)如图，四边形 是正方形， 为 上一点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，求证: .
40. (2018·盐城)如图，在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 满足 ，连接 .
(2)在(1)的条件下，连接 ，求 的度数.
36.(2018·娄底)如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且
，过点 作 ，分别交 于点 .
(1)求证: ;
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
37. (2018·南京)如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证:
(1) ;
(2)四边形 是菱形.
9. (2018·宿迁)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 为边 的中点.若菱
2024年中考福建专用数学一轮知识点训练复习5.2 特殊的平行四边形
11.（2023·大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至
E，使CE＝2，连接AE.CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA
上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结
∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，
F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝
OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对
称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次
是（ A ）
A
A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
图3
∴，∴2y＝x＋n，∴2＋n，∴2at＝t2＋n2，在Rt△CDE中，n2＝t2＋a2，∴2at＝2t2＋a2，∴a＝t，∵AF∥CD，∴，∴，∴AF＝＝a－＝a－t，∵AE＝a－t，∴AE＝AF.
∴∠ADF＝∠H；
【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE
＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长.
（3）如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；
【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，
AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF
＝∠H.
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，
沪科版九年级数学中考复习特殊的平行四边形
沪科版九年级数学中考复习特殊的平行四边形一、 选择题1. (·兰州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB ＝30°，AB ＝4，则OC 的长为( )A. 5B. 4C. 3.5D. 3第1题第2题2. (·山西)如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 相交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 55° 3. (·绵阳)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC ＝23，∠AEO ＝120°，则FC 的长为( )A. 1B. 2C. 2D. 3第3题第4题4. (·宜宾)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6.将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上点F 处，则DE 的长是( )A. 3B. 245C. 5D. 89165. (导学号11744095)(·常州)如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，连接AC.若EF ＝2，FG ＝GC ＝5，则AC 的长是( )A. 12B. 13C. 6 5D. 8 3第5题第7题6. (·益阳)下列性质菱形不一定具有的是( ) A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形7. (·海南)如图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，则△ABC 的周长是( )A. 14B. 16C. 18D. 208. (·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O.求证：AC ⊥BD.以下是排乱的证明过程：① 又BO ＝DO ；② ∴ AO ⊥BD ，即AC ⊥BD ；③ ∵ 四边形ABCD 是菱形；④ ∴ AB ＝AD.证明步骤正确的顺序是( )A. ③→②→①→④B. ③→④→①→②C. ①→②→④→③D. ①→④→③→②第8题第11题9. (·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A. 2B. 5C. 3D. 410. (·上海)已知平行四边形ABCD ，AC ，BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是( )A. ∠BAC ＝∠DCAB. ∠BAC ＝∠DACC. ∠BAC ＝∠ABDD. ∠BAC ＝∠ADB11. (·河南)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( )A. AC ⊥BDB. AB ＝BCC. AC ＝BDD. ∠1＝∠212. (·临沂)如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是( )A. 若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形第12题第13题13. (·黔南州)如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E 在CD边上，且DE＝2CE，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PD的最小值是( )A. 310B. 10 3C. 9D. 9 214. (·黔东南州)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为( )A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°第14题第15题15. (·广东)如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF.下列结论：① S△ABF＝S△ADF；② S△CDF＝4S△CEF；③ S△ADF＝2S△CEF；④ S△ADF＝2S△CDF.其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④16.(·南通)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )A. 5 5B. 10 5C. 10 3D. 15 3第16题第17题17.(·宁波)如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为( )A. 3B. 2 3C. 13D. 4二、填空题18. (·辽阳)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝________．第18题第19题19. (·绍兴)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图中，四边形ABCD 是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA. 若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是________．20. (·衢州)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC ＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长为________．第20题第22题21. (·营口)在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E 是边BC上的点．将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为__________．22. (·哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为________．23. (·宜宾)如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是________．第23题第25题24. (·菏泽)在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为 24 cm，则菱形的面积为________cm2.25. (·十堰)如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为________．26. (·孝感)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD ＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．第26题第27题27. (·东营)如图，菱形ABCD的周长为16，面积为 83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为________．28. (·哈尔滨)已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE ＝3，则CE的长为__．29. (·兰州)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：① AB⊥AD，且AB＝AD；② AB ＝BD，且AB⊥BD；③ OB＝OC，且OB⊥OC；④ AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是________(填序号)．30. (·黄冈)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．第30题第31题31. (·六盘水)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝________°.32. (·绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD ＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为________m.第32题第33题33. (·安顺)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．34.(·陕西)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD ＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．第34题三、解答题35. (·百色)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．求证：(1) 四边形AFCE是平行四边形；(2) EG＝FH.第35题36. (·鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F.(1) 求证：△AEF≌△CDF；(2) 若AB＝4，BC＝8，求图中涂色部分的面积．第36题37. (·徐州)如图，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1) 求证：四边形BECD是平行四边形；(2) 若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形，请说明理由．第37题38. (·沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1) △ADE≌△CDF；(2) ∠BEF＝∠BFE.第38题39. (·广东)如图，四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1) 求证：AD⊥BF；(2) 若BF＝BC，求∠ADC的度数．第39题40. (·酒泉)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1) 求证：四边形DEBF是平行四边形；(2) 当四边形DEBF是菱形时，求EF的长．第40题41. (·张家界)如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1) 求证：△AGE≌△BGF；(2) 试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．第41题42. (·云南)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1) 求证：四边形AEDF是菱形；(2) 如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.第42题43. (·吉林)如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD ＝30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD的中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图②.(1) 求证：四边形AB′C′D是菱形；(2) 四边形ABC′D′的周长为________；(3) 将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形的周长．第43题44. (·陕西)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.第44题45. (·泰州)如图，在正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，连接DE.(1) 求证：△ABE≌△DAF；(2) 若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．第45题46. (·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1) 求证：四边形ABCD是菱形；(2) 如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．第46题47. (·玉林)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC 上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1) 求证：四边形EDFG是正方形．(2) 当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．第47题答案一、 1. B 2. A 3. A 4. C 5. B 6. C 7. C 8. B 9. D 10. C 11. C 12. D 13. A 14. A 15. C 16. B 17. C二、 18. 5 19. 23° 20.53 21. 3或 6 22.25523. 24 24. 18 3 25. 20° 26.501327. 2 3 28. 43或2 3 29. ①③④ 30. 45° 31. 75 32. 4 600 33. 6 34. 18 点拨：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，作AN ⊥CD 交CD 的延长线于点N.证△ABM ≌△ADN ，得AM ＝AN 和S △ABM ＝S △ADN ，从而S 四边形ABCD ＝S 正方形AMCN ＝12AC 2＝18.三、 35. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ，AD ∥BC ，即AE ∥CF.∵ E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴ AE ＝12AD ，CF ＝12BC.∴ AE ＝CF.∴ 四边形AFCE 是平行四边形(2) ∵ 四边形AFCE 是平行四边形，∴ CE ∥AF.∴ ∠DGE ＝∠AHD.∵ ∠AHD ＝∠BHF ，∴ ∠DGE ＝∠BHF.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC.∴ ∠EDG ＝∠FBH.在△DEG 和△BFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGE ＝∠BHF ，∠EDG ＝∠FBH ，DE ＝BF ，∴ △DEG ≌△BFH.∴ EG ＝FH36. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵ 将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，∴ ∠E ＝∠B ，AB ＝AE.∴ AE ＝CD ，∠E ＝∠D.在△AEF与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠D ，∠AFE ＝∠CFD ，AE ＝CD ，∴ △AEF ≌△CDF(2) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ＝8，AB ＝CD ＝4.由折叠的特征，得CE ＝BC ＝8，AE ＝CD ＝AB ＝4.∵ △AEF ≌△CDF ，∴ AF ＝CF ，EF ＝DF.在 Rt △CDF 中，由DF 2＋CD 2＝CF 2，得DF 2＋42＝(8－DF)2，∴ DF ＝3.∴ AF ＝AD －DF ＝5.∴ S涂色部分＝12AF ×CD ＝12×5×4＝10 37. (1) ∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝CD ，AB ∥DC ，即AE ∥DC.∴ ∠OEB ＝∠ODC.又∵ O 为BC 的中点，∴ BO ＝CO.在△BOE 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴ △BOE≌△COD.∴ OE ＝OD.∴ 四边形BECD 是平行四边形 (2) 100 理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠BCD ＝∠A＝50°.∵ ∠BOD ＝∠BCD ＋∠ODC ，∴ ∠ODC ＝100°－50°＝50°＝∠BCD.∴ OC ＝OD.∵ 四边形BECD 是平行四边形，∴ BC ＝2OC ，DE ＝2OD.∴ DE ＝BC.∴ ▱BECD 是矩形38. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ＝CD ，∠A ＝∠C.∵ DE ⊥BA ，DF ⊥CB ，∴ ∠AED ＝∠CFD ＝90°.在△ADE和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CFD ，∠A ＝∠C ，AD ＝CD ，∴ △ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB ＝CB.∵ △ADE ≌△CDF ，∴ AE ＝CF.∴ BE ＝BF.∴ ∠BEF ＝∠BFE39. (1) ∵ 四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∴ AB ＝AD ，AF ＝AD.∴ AB ＝AF ，即△ABF 是等腰三角形．∵ ∠BAD ＝∠FAD ，∴ AD ⊥BF(三线合一) (2) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ∥CD ，AB ＝BC.∵ BF ＝BC ，∴ AB ＝BF.由(1)得AB ＝AF ，∴ AB ＝BF ＝AF.∴ △ABF 是等边三角形．∴ ∠BAF ＝60°.∴ ∠BAD ＝12∠BAF ＝30°.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∴ ∠ADC ＝180°－∠BAD ＝150°40. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CD.∴ ∠FDO ＝∠EBO.∵ O 是BD 的中点，∴ OB ＝OD.在△DOF 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠DOF ＝∠BOE ，∴ △DOF ≌△BOE.∴ OF ＝OE.∴ 四边形DEBF 是平行四边形 (2) 设AE ＝x ，则BE ＝6－x.∵ 四边形DEBF 是菱形，∴ DE ＝BE ＝6－x ，BD ⊥EF ，OB ＝12BD ，EF ＝2OE.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4.在Rt △DAB 中，BD ＝AD 2＋AB 2＝42＋62＝213.∴ OB＝13.在 Rt △DAE 中，由勾股定理，得AD 2＋AE 2＝DE 2，即42＋x 2＝(6－x)2，解得x ＝53.∴ BE ＝6－x ＝133.∴ 在 Rt △EOB 中，OE ＝BE 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫1332－（13）2＝2313.∴ EF ＝2OE ＝431341. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，即AD ∥CF.∴ ∠AEG ＝∠BFG.∵ EF 垂直平分AB ，∴ AG ＝BG.在△AGE 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEG ＝∠BFG ，∠AGE ＝∠BGF ，AG ＝BG ，∴ △AGE ≌△BGF(2) 四边形AFBE 是菱形 理由：∵ △AGE ≌△BGF ，∴ AE ＝BF.∵ AD ∥BC ，即AE ∥BF ，∴ 四边形AFBE 是平行四边形．又∵ EF ⊥AB ，∴ ▱AFBE 是菱形42. (1) ∵ AD 是△ABC 的边BC 上的高，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴ 在Rt △ABD 中，DE ＝12AB ＝AE ，在 Rt △ACD 中，DF ＝12AC ＝AF.又∵ AB ＝AC ，E ，F 分别是AB ，AC的中点，∴ AE ＝AF.∴ AE ＝AF ＝DE ＝DF.∴ 四边形AEDF 是菱形 (2) 连接EF 交AD 于点O.∵ 菱形AEDF 的周长为12，∴ AE ＝14×12＝3，AD ⊥EF ，AO ＝12AD ，EO ＝12EF.设EF＝x ，AD ＝y ，则x ＋y ＝7，∴ x 2＋2xy ＋y 2＝49 ①.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得AO 2＋EO 2＝AE 2，即⎝⎛⎭⎫12y 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2＝32，即 x 2＋y 2＝36 ②.把②代入①，得2xy ＝13，∴ xy ＝132.∴ 菱形AEDF 的面积S ＝12xy ＝13443. (1) ∵ BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD ＝30°，∴ ∠ADB ＝60°.由平移可得，B ′C ′＝BC ＝AD ，∠D ′B ′C ′＝∠DBC ＝∠ADB ＝60°，∴ AD ∥B ′C ′.∴ 四边形AB ′C ′D 是平行四边形．∵ B ′为BD 的中点，∴ 在Rt △ABD 中，AB ′＝12BD ＝DB ′.又∵ ∠ADB ＝60°，∴ △ADB ′是等边三角形．∴ AD ＝AB ′.∴ 四边形AB ′C ′D 是菱形 (2) 4 3点拨：四边形ABC ′D ′是菱形． (3) 6＋3或23＋344. ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ADF ＝∠CDE ＝90°，AD ＝CD.∵ AE ＝CF ，∴ DE ＝DF.在△ADF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADF ＝∠CDE ，DF ＝DE ，∴ △ADF ≌△CDE.∴ ∠DAF ＝∠DCE.在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ， ∴ △AGE ≌△CGF.∴AG ＝CG45. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴ ∠BAE ＋∠DAF ＝90°.∵ DF ⊥AG ，BE ⊥AG ，∴ ∠BAE ＋∠ABE ＝90°，∠AEB ＝∠DFA ＝90°.∴ ∠ABE ＝∠DAF.在△ABE 和△DAF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠DFA ，∠ABE ＝∠DAF ，AB ＝DA ，∴ △ABE ≌△DAF(2) ∵ △ABE ≌△DAF ，∴ AE ＝DF ，BE ＝AF ＝1.设EF ＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1.∵ 四边形ABED 的面积为6，∴ S △AEB ＋S △DAE＝6.∴ 12(x ＋1)×1＋12(x ＋1)2＝6，即x 2＋3x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝－5(不合题意，舍去)．∴ EF ＝246. (1) 在△ADE 和△CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴ △ADE ≌△CDE.∴ ∠ADE ＝∠CDE.∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADE ＝∠CBD.∴ ∠CDE ＝∠CBD.∴ BC ＝CD.∵ AD ＝CD ，∴ BC ＝AD.∴ 四边形ABCD 为平行四边形．又∵ AD ＝CD ，∴ 平行四边形ABCD 是菱形 (2) ∵ BE ＝BC ，∴ ∠BCE ＝∠BEC.∵ ∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴ 在△BCE 中，∠CBE ＝180°×22＋3＋3＝45°.由(1)得∠CDE ＝∠CBD ，∴ ∠CDE ＝45°.∴ 在△BCD 中，∠BCD ＝180°－2×45°＝90°.∴ 菱形ABCD 是正方形47. (1) 如图①，连接CD.∵ O 是EF 的中点，GO ＝OD ，∴ 四边形EDFG 是平行四边形．∵ △ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴ ∠A ＝∠DCF ＝45°，AD ＝CD.在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，∠A ＝∠DCF ，AD ＝CD ，∴ △ADE ≌△CDF.∴ DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF.∴ ▱EDFG 是菱形．∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴ ∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°.∴ 菱形EDFG 是正方形 (2) 如图②，过点D 作DE ′⊥AC 于点E ′.∵ △ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴ DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，E ′为AC 的中点．∴ 2≤DE<22(点E 与点E ′重合时取等号)．∵ S 四边形EDFG＝DE 2，∴ 4≤S四边形EDFG<8.∴ 当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，最小为4第47题。
中考数学复习专题特殊平行四边形
中考(Kao)数学复习专题特殊平行四边形小(Xiao)题）1．下列性质中，菱形具有(You)而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平(Ping)行且相等B．对角线互(Hu)相平分C．对角线互相(Xiang)垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．138．如(Ru)图，E，G，F，H分(Fen)别是矩形(Xing)ABCD四条边上的(De)点，EF⊥GH，若(Ruo)AB=2，BC=3，则(Ze)EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确(Que)定9．如(Ru)图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°12．如(Ru)图，矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，O为(Wei)AC中点(Dian)，过点(Dian)O的(De)直线分别与(Yu)AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中(Zhong)，菱形(Xing)ABCD在第一象(Xiang)限内，边(Bian)BC与(Yu)x轴(Zhou)平行，A，B两点(Dian)的纵坐标分别为(Wei)3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE 垂直AC交AD于点E，则DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=．18．如图所示(Shi)，在矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，AB=6，AD=8，P是(Shi)AD上(Shang)的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于(Yu)F，则(Ze)PE+PF的值(Zhi)为．评卷人得分三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE 交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图(Tu)：在△ABC中(Zhong)，CE、CF分(Fen)别平分∠ACB与它的(De)邻补角∠ACD，AE⊥CE于(Yu)E，AF⊥CF于(Yu)F，直(Zhi)线(Xian)EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中(Zhong)考数学复习专题(Ti)--《特殊平行(Xing)四边形》参考答案与试题解(Jie)析一．选择(Ze)题（共(Gong)12小(Xiao)题）1．下列性质(Zhi)中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱(Ling)形的性质有：①菱形的四条(Tiao)边都相等，且对边平行，②菱(Ling)形的对角相等，③菱形的对角(Jiao)线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质(Zhi)是对角线相等，故(Gu)选(Xuan)D．4．以下条件不(Bu)能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．5．顺(Shun)次连接四边形(Xing)ABCD各边(Bian)中点所成的四边形为菱形，那么四边形(Xing)ABCD的(De)对角线(Xian)AC和(He)BD只需满足的条件(Jian)是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．7．如图，在(Zai)平行四边形(Xing)ABCD中，用直尺(Chi)和圆规作∠BAD的(De)平分线(Xian)AG交(Jiao)BC于(Yu)点(Dian)E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．故选：A．8．如(Ru)图，E，G，F，H分别(Bie)是矩形(Xing)ABCD四(Si)条边上的点，EF⊥GH，若(Ruo)AB=2，BC=3，则(Ze)EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法(Fa)确定【解(Jie)答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，则∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．故(Gu)选(Xuan)B．9．如(Ru)图：点(Dian)P是(Shi)Rt△ABC斜(Xie)边(Bian)AB上的一(Yi)点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CP，此时，S△ABC即(Ji) ×20×15=×25•CP，解(Jie)得(De)CP=12．故(Gu)选(Xuan)A．10．如图(Tu)，在菱形(Xing)ABCD中(Zhong)，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故(Gu)选(Xuan)D．11．如图(Tu)，在菱形(Xing)ABCD中(Zhong)，∠A=110°，E，F分别(Bie)是边(Bian)AB和(He)BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即(Ji)∠BEF=∠FPC，∵四(Si)边形(Xing)ABCD为(Wei)菱形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分(Fen)别为(Wei)AB，BC的中(Zhong)点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°；故(Gu)选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平(Ping)分，∵O为(Wei)AC中(Zhong)点，∴BD也(Ye)过(Guo)O点(Dian)，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三(San)角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在(Zai)△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错(Cuo)误．∴②错(Cuo)误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正(Zheng)确；故(Gu)选：C．二(Er)．填空题（共(Gong)6小(Xiao)题）13．如图(Tu)，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C 落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在(Zai)△DEC中(Zhong)，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案(An)为：75．14．如图，在平面直角坐标系中(Zhong)，菱形(Xing)ABCD在第一象(Xiang)限内，边(Bian)BC与(Yu)x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱(Ling)形(Xing)ABCD=底(Di)×高(Gao)=2×2=4，故(Gu)答案为(Wei)4．15．如图(Tu)：在矩形(Xing)ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，∴DE的(De)长是(Shi)3．故(Gu)答案为：3．16．平(Ping)行四边形(Xing)ABCD中，对(Dui)角线(Xian)AC、BD相交(Jiao)于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点(Dian)O为平行四边形对角线交(Jiao)点，∴BO=BD=BC，∵E为(Wei)OC中(Zhong)点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为(Wei)AB中(Zhong)点，∴P为(Wei)AE中(Zhong)点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在(Zai)△GPE和(He)△FPE中(Zhong)，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平(Ping)分∠GEF，即(Ji)④成(Cheng)立．故(Gu)答案为：①②④．17．如(Ru)图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是(Shi)等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故(Gu)答案为：30°．18．如图所示(Shi)，在矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，AB=6，AD=8，P是(Shi)AD上(Shang)的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于(Yu)F，则PE+PF的值为．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∴S △AOD =S △DOC =S △AOB =S △BOC =S 矩(Ju)形(Xing)ABCD =×6×8=12，在(Zai)Rt △BAD 中，由勾股(Gu)定理得：BD===10，∴AO=OD=5，∵S △APO +S △DPO =S △AOD ， ∴×AO ×PE +×DO ×PF=12，∴5PE +5PF=24， PE +PF=，故答(Da)案为：．三．解(Jie)答题（共(Gong)6小(Xiao)题） 19．如(Ru)图，在(Zai)Rt △ABC 中(Zhong)，∠ACB=90°，D 为(Wei)AB 的中(Zhong)点，AE ∥CD ，CE ∥AB ，连(Lian)接(Jie)DE 交(Jiao)AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，===24．∴S菱(Ling)形(Xing)ADCE20．已知(Zhi)，如图，BD为平(Ping)行四边形(Xing)ABCD的对(Dui)角线，O为(Wei)BD的(De)中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解(Jie)答】证(Zheng)明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四(Si)边形(Xing)DEFG是平行四边(Bian)形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在(Zai)△DGB和(He)△DEC中(Zhong)，，∴△DGB≌△DEC（AAS），∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解(Jie)答】（1）证(Zheng)明：∵AE⊥CE于(Yu)E，AF⊥CF于(Yu)F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又(You)∵CE、CF分别(Bie)平分∠ACB与它的(De)邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，∴三个角为直角的(De)四边形AECF为矩形．（2）结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），∴N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则(Ze)M1N是(Shi)△ABC的中位(Wei)线，MN∥BC，而(Er)MN∥BC，M1即(Ji)为点(Dian)M，。
中考数学专题复习：特殊平行四边形
中考数学专题复习：特殊平行四边形1．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．2．如图，四边形PNQM为菱形，延长MP使得PB＝MP，延长NQ使得QD＝NQ，延长BN 使得NC＝BN，延长DM使得DM＝MA，连接AB，CD．（1）求证：四边形BNDM是平行四边形．（2）猜想：四边形ABCD是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．3．如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的动点．（1）当AD＝AE时，OE＝1，OD＝5，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，当OE＝OD时，过点A作CD的垂线，垂足为F，交ED延长线于点G，求证：GE＝AO．4．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．（1）求证：PD＝PE；（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．5．如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，F，E分别为AD，BD边上的点，且DE＝AF，CF 交BD于点G，AD＝2．（1）求证：CE＝BF；（2）当E点和G点重合时，求DF的长；（3）如图2，延长CE交BF于点H，连接HG，当F为AD的中点时，求证：GH⊥BF．6．在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．（1）如图（1），求证：BE＝DF；（2）如图（2），设BE，DF交于点G，连接AC，EF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰三角形．7．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM ＝CN．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）若AB⊥AC，求证：四边形EMFN是菱形．8．点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，作FG∥AE，交AC的延长线于点G，连接AF、EG．（1）如图1，求证：四边形AEGF是菱形；（2）如图2，当AF平分∠CAD时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括腰长等于AB的等腰三角形）．9．如图1，已知平行四边形ABCD中，BD平分∠CBA．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，E为边AB上一动点，连接CE，作CE的垂直平分线交CE于F，交DB于G，连接AG、EG，①求证：△AGE为等腰三角形；②若∠CBA＝60°，求的值．10．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF 是等腰直角三角形．11．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是边BC上一点，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．（1）如图1，当点F在CD边上时，求BE的长；（2）如图2，若EF⊥DF，求BE的长．12．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．13．矩形ABCD，点E在直线CD上，CF⊥AE垂足为F，连接BF、DF．（1）如图1，点E在线段CD上，写出线段BF与DF的位置关系并证明；（2）如图2，点E不在线段CD上，请补全图形，写出线段BF与DF的位置关系并证明．14．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；（2）若BD＝12cm，AC＝16cm，当四边形DEBF是矩形，求运动时间t为何值？15．如图，四边形ABCD是矩形，∠ACP＝90°，∠APC＝∠P AD+∠PCD．（1）求∠ACD的度数；（2）过点D作DE⊥AP，垂足为点E，延长DE交AC于点F．请补全图形，探究线段AF，CF，PC的数量关系，并证明．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）（1）当t＝2时，PQ的长为________；（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．17．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点，连接CE，过点E作EF⊥CE交AD于点F，作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图2，当点H在线段FD上时，用等式表示线段BE与DN之间的数量关系（其中2＜BE≤3），并证明．18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°．（1）如图1，求证：△AOB为等边三角形．（2）如图2，若AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形．19．如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．20．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：当∠F AD＝90°时，四边形AFHD为矩形．21．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．22．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN 是矩形，请补全他的证明思路．小明的证明思路：连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．故只要证∠FEN＝∠MNE．由已知条件________，故只要证MN∥AD，即证四边形AMND为平行四边形，易证________，故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证________，易证△BMF≌△DNE，即可得证．23．在▱ABCD中，点E、F均在AD边上，AE＝FD．连接BE、CF并延长，它们交于点G，且GB＝GC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图2，连接BF、CE，若EF＝AE，在不添加任何字母和辅助线的前提下，请直接写出所有面积是△GEF面积8倍的四边形．24．如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．（1）求证：△ABM≌△BCN．（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），当AK＝时，求△OMN的面积．25．如图1，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．（1）如图1，连AO、MO，求证：∠AOM＝90°；（2）如图2，若M在对角线DB的延长线上，连接AM，使得∠MAN＝135°，AN与DB的反向延长线相交于点N，求证：2AM 2﹣MB 2＝MN 2﹣BN 2．26．如图，已知正方形ABCD，AB＝2，E是对角线BD上一点，且不与B、D两点重合，F 是射线CB上一点，且EF＝EC．（1）求证：AE＝EF；（2）若BE＝AB，请在图2中补全图形，判断AF与EC的数量关系并加以证明．27．[问题呈现]如图①，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．[拓展探究]如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，CD⊥AB，垂足为点D，点E是边AC上的动点，点F是边CB上的一点，且ED⊥DF．（1）直接写出四边形EDFC的面积．（2）若∠CDE＝15°，则四边形EDFC的周长为________．28．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时，求此时t的值；（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．29．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．30．在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且CF＝CD．（1）如图1，求证：∠AEF＝90°；（2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作BH⊥AF交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．31．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，DG⊥AE于G，∠DGE 的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH．（1）求证：∠DHG＝∠DF A；（2）求证：FH∥BC；（3）求：的值．32．正方形ABCD，点E在射线CD上，连接AE，以AE为斜边，作Rt△AEF，FE＝F A（点F，B在直线AE的两侧），连接DF．（1）如图，点E在线段CD上．①求∠ADF的度数．②求证：CE＝DF．（2）若DE＝2，以A，E，D，F为顶点的四边形的面积为6时，请直接写出DF的长．33．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG 为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．34．如图，点O为正方形ABCD的中心．DE＝AG，连接EG，过点O作OF⊥EG交AD于点F．（1）连接EF，△EDF的周长与AD的长有怎样的数量关系，并证明；（2）连接OE，求∠EOF的度数；（3）若AF：CE＝m，OF：OE＝n，求证：m＝n2．35．正方形ABCD，点E在AB上，过点E作AD的平行线交CD于点F点G在EF上，CG 平分∠BCD，点H在CG上，HE＝HD．（1）如图（1），求证：HG＝HC；（2）如图（2），连接DE，FH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图（2）中的所有的等腰直角三角形．36．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．37．点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．（1）如图1，求证：DH⊥CE；（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．38．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．39．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，FC⊥EC 于点C，且EC＝FC，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG ＝BE．40．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．41．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，求BE的长．42．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE 交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系：________；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．43．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．44．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF（1）求证：AE＝AF；（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．45．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．46．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．47．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G．过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）求证：△ABC≌△BAD；（2）若AB＝BC，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由．48．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．参考答案1．（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．设BM＝BN＝MN＝x，则，故，∴当BM⊥AD时，x最小，此时，，．∴△BMN面积的最小值为．2．（1）证明：∵四边形PNQM为菱形，∴MP＝NQ，MP∥NQ，∵PB＝MP，QD＝NQ，∴MB＝DN，∵MP∥NQ，∴四边形BNDM是平行四边形；（2）四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形BNDM是平行四边形．∴DM＝BN，∵NC＝BN，∴DM＝NC，∵DM∥NC，∴四边形DMNC是平行四边形．∴MN＝DC，MN∥DC，∵DM＝MA，∴MA＝BN，∴四边形AMNB是平行四边形．∴AB∥MN，AB＝MN，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵四边形PNQM为菱形，∴MQ＝NQ，∵QD＝NQ，∴QD＝NQ＝MQ，∴∠NMD＝90°，∴∠CDM＝90°，∴四边形ABCD是矩形．3．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，∵AD2＝OD2+AO2，∴（1+OA）2＝25+AO2，∴AO＝12，∴AC＝24，∴菱形ABCD的面积＝＝120；（2）如图，过点G作GH⊥AC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，AD＝CD，∠DAC＝∠DCA，∵OE＝OD，∴∠DEO＝∠EDO＝45°，∵GH⊥AC，∴∠HED＝∠HGE＝45°，∴GH＝HE，GE＝GH，设∠DAC＝∠DCA＝x，∴∠EDC＝45°﹣x＝∠GDF，∵AF⊥CF，∴∠FGD＝90°﹣∠GDF＝45°+x，∵∠DAF＝90°﹣2x，∴∠ADC＝180°﹣∠GAD﹣∠AGD＝45°+x，∴∠ADC＝∠AGD，∴AG＝AD，在△AHG和△DOA中，，∴△AHG≌△DOA（AAS），∴GH＝AO，∴GE＝GH＝AO．4．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；（2），理由如下：∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∵∠CFE＝∠DFP（对顶角相等），∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC＝90°，又∵PD＝PE，∴DE＝PE，∴．5．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴CE＝BF．（2）DF的长是﹣1．（3）证明：∵F为AD的中点，∴BF⊥AD，AF＝DF，∠DBF＝30°，由（1）知：AF＝DE，∴AF＝DF＝DE＝BE，∴CE⊥BD，∴∠BFD＝∠BEH＝90°，∴∠EBH＝∠FBD，∴BH＝，HG＝，由（2）知DF：BC＝DG：BG＝1：2，∴，∴BH2+HG2＝BG2，∴△BHG为直角三角形，∴∠BHG＝90°，∴GH⊥BF．6．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∵E、F分别是AD和AB的中点，∴AF＝AE＝BF＝DE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF；（2）∵AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形，∵AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ADC是等腰三角形，∵AE＝AF，∠BAC＝∠DAC，∴AG垂直平分EF，∴FG＝EG，∴△GEF是等腰三角形．7．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝DE＝BF＝CF，在△AEM和△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（SAS），∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，∴∠EMN＝∠FNM，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形；（2）连接EF交AC于O，如图所示：由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，∴四边形AEFB是平行四边形，∴AB∥EF，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠COF＝∠BAC＝90°，∴EF⊥MN，∴四边形EMFN是菱形．8．（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS）,∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∴∠EAG＝∠F AG，∵FG∥AE，∴∠EAG＝∠FGA，∴∠F AG＝∠FGA，∴FG＝AF＝AE，∵FG∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．理由如下：由（1）及菱形的性质可得△AEG、△AFG是等腰三角形，∴∠F AC＝∠FGA，∵∠DAC＝2∠F AC，∴∠DAC＝2∠FGA，∵AD＝DC,∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA＝∠FGA+∠CFG，∴2∠FGA＝∠FGA+∠CFG，∴∠FGA＝∠CFG，∴△CFG是等腰三角形，同理可得△CEG是等腰三角形，∴符合要求的等腰三角形为△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．9．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴DC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）①∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝DA，∠CDG＝∠ADG，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG，∵GF是EC的垂直平分线，∴CG＝EG，∴AG＝EG，即△AGE是等腰三角形；②连接AC交BD于O，∵GC＝GE，∴∠GCE＝∠GEC，∵AG＝CG＝GE，∴∠GCA＝∠GAC，∠GAE＝∠GEA，∵∠CBA＝60°，BC＝AB，∴∠CAB＝∠ACB＝60°，∴∠GAC+∠GAE＝60°，∴∠GAC+∠GCA+∠GAE+∠GEA＝120°，∴∠AGC+∠AGE＝240°，∴∠CGE＝120°，∴∠GCE＝30°，∴CG＝2GF，∴AG＝2GF，∴＝．10．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形；（2）∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AB＝FE，∴FE＝AD，在△EGF和△AGD中，，∴△EGF≌△AGD（SAS），∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，∴△DGF是等腰直角三角形．11．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC，∵EF⊥AE，∠AEF＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∵△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴CE＝AB，∵AB＝6，∴CE＝6，∵AD＝8，∴BC＝8，∴BE＝BC﹣CE＝2．（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BN于点M，同理可证△ABE≌△EMF，∴AB＝EM，BE＝FM，设BE＝x，则EM＝AB＝6，FM＝BE＝x，EC＝8﹣x，∵EF⊥DF，∴∠NFE＝∠DCB＝90°，∴∠CDF+∠N＝90°，∠FEC+∠N＝90°，∴∠FEC＝∠CDF，在矩形ABCD中，AB＝DC，∴CD＝AB＝EM，在△EFM和△DNC中，，∴△EFM≌△DNC（AAS），∴NC＝FM＝x，EN＝EC+NC＝8，NM＝EN﹣EM＝2，即在Rt△FMN中，FN2＝FM2+NM2＝x2+22，在Rt△EFM中，EF2＝FM2+EM2＝x2+62，在Rt△EFN中，FN2+EF2＝EN2，即x2+22+x2+62＝82，解得x＝2或﹣2舍弃），即BE＝2．12．解：连接DE，如图：∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD＝45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴∠GDE＝∠CDE，∵DG为折痕，∴∠DGE＝90°＝∠C，而DE＝DE，∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），∴DC＝DG，∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，∴△AGD为等腰直角三角形，∴AD＝DG＝CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为，故答案为．13．解：（1）BF⊥DF，如图1，连接AC，BD交于点O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵CF⊥AE垂足为F，∴∠AFC＝90°，∵在Rt△ACF中，OA＝OC，∴OF＝AC＝OA＝OB＝OD，∴OF＝OB＝OD，∴∠DBF＝∠OFB，∠BDF＝∠OFD，∵∠BFD+∠BDF+∠DBF＝180°，∴∠OFB+∠OFD+∠OFB+∠OFD＝180°，∴∠OFB+∠OFD＝90°，∴∠BFD＝∠OFB+∠OFD＝90°，即BF⊥DF．（2）补全图形如图2或图3，BF⊥DF，连接AC，BD交于点O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵CF⊥AE垂足为F，∴∠AFC＝90°，∵在Rt△ACF，OA＝OC，∴OF＝AC＝OA＝OB＝OD，∴OF＝OB＝OD，∴∠DBF＝∠OFB，∠BDF＝∠OFD，∵∠BFD+∠BDF+∠OFB+∠OFD＝180°，∴∠OFB+∠OFD＝90°，∴∠BFD＝∠OFB+∠OFD＝90°，即BF⊥DF．14．解：（1）是．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵E、F两点移动的速度相同，即AE＝CF，∴OE＝OF，∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形．（2）因为矩形对角线相等，所以EF＝12时，其为矩形，即AE＝CF＝（16﹣12）＝2，或者AE＝CF＝（16+12）＝14，所以当t＝2或14时，四边形DEBF是矩形．15．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，即∠DAP+∠P AC+∠DCA＝90°，∵∠ACP＝90°，∴∠APC+∠CAP＝90°，∵∠APC＝∠P AD+∠PCD．∴∠CAP+∠P AD+∠PCD＝90°，∴∠PCD＝∠ACD，∵∠ACP＝90°，∴∠PCD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝45°；（2）AF＝CF+PC．连接BD，交AC于点O，过点C作CN∥AP交BD于点N，如图．证明：由（1）知，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠DAO＝∠CDO＝45°，∠AOD＝90°，∵∠ACP＝∠AOD＝90°，∴MN∥PC，∵AP∥CN，∴∠1＝∠2，四边形PCNM为平行四边形，∴PC＝MN，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，∴∠3＝∠4，在△ADF和△DCN中，，∴△ADF≌△DCN（AAS），∴AF＝DN，∵∠7+∠ADE＝90°，∠8+∠ADE＝90°，∴∠7＝∠8，在△ADM和△DCF中，，∴△ADM≌△DCF（ASA），∴DM＝CF，∵AF＝DN，PC＝MN，∴AF＝DN＝DM+MN＝CF+PC．16．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，由题意得，DP＝4，AQ＝2，则QH＝2，又PH＝AD＝6，由勾股定理的，PQ＝＝＝2，故答案为：2；（2）当PQ＝PB时，如图，QH＝BH，则t+2t＝8，解得，t＝；（3）当PQ＝BQ时，（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，解得，t＝．17．解：（1）如图，∵EF⊥EC，∴∠NEC＝90°，∴∠AEF+∠BEC＝90°，∵∠AEF＝∠BEC，∴∠BEC＝45°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴BE＝BC，∵BC＝3，∴BE＝3；（2）线段BE与DN之间的数量关系为DN＝2BE﹣4．证明：如图，过点E作EG⊥CN，垂足为点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CN，∴∠B＝∠BCG＝90°＝∠EGC，∴四边形BEGC是矩形，∴BE＝CG，∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN，∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC，∴CN＝2CG＝2BE，∵CD＝AB＝4，∴CN＝2CG＝2BE＝DN+4，∴DN＝2BE﹣4．18．（1）证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形．（2）解∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴BE＝OB，所以△ABE是等腰三角形，△OAD，△OBC，△BEO是等腰三角形．19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′＞EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．20．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形，∵∠F AD＝90°，∴四边形AFHD为矩形．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠FED＝∠EFB，∵EN，FM分别平分∠FED，∠EFB，∴∠FEN＝∠DEN＝FED，∠EFM＝∠BFM＝EFB，∴∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，∴FM∥EN，在△BFM与△DEN中，，∴△BFM≌△DEN（ASA），∴FM＝EN，∴四边形EMFN是平行四边形；（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．故只要证∠FEN＝∠MNE．由已知条件EN平分∠FED，故只要证MN∥AD，即证四边形AMND为平行四边形，易证AM∥DN，故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证BM＝DN，易证△BMF≌△DNE，即可得证．故答案为：EN平分∠FED；AM∥DN；BM＝DN．23．（1）证明：∵▱ABCD，∴AD∥BC，∠A+∠D＝180°，∴∠GBC＝∠GEF，∠GCB＝∠GFE，∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∠AEB＝∠DFC，∴GB﹣GE＝GC﹣GF，即EB＝FC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，又∠A+∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵▱ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GBC＝∠GEF，∠GCB＝∠GFE，∴S四边形EBCF＝8S△GEF，∵AE＝FD＝EF，∴S△AEB＝S△EFB＝S△EFC＝S△FDC，∴S△AEB+S△BCE＝S△EFC+S△BCE，S△EFB+S△BCF＝S△FDC+S△BCF，即S四边形ABCE＝S四边形EBCF，S四边形EBCF＝S四边形DCBF，∴S四边形ABCE＝S四边形EBCF＝S四边形DCBF＝8S△GEF．面积是△GEF面积8倍的四边形有：四边形ABCE，四边形EBCF，四边形DCBF．24．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，在△ABM和△BCN中，,∴△ABM≌△BCN（AAS）；(2)△OMN是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接OB，∵点O是正方形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，∴∠MAO＝∠NBO，又∵AM＝BN，OA＝OB，∴△AOM≌△BON（SAS），∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，∵∠AON+∠BON＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形；解：（3）设AK＝x（0＜x＜1），在Rt△ABK中，BK＝＝, ∵S△ABK＝×AK×AB＝×BK×AM，∴AM＝＝，∴BN＝AM＝,∴BM＝＝,∴MN＝BM﹣BN＝,∵S△OMN＝MN2＝＝（0＜x＜1），将x＝代入得：S△OMN＝＝＝,∴当AK＝时，S△OMN＝．25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵ME⊥BD，∴∠BME＝90°，∵O是BE的中点，∴AO＝MO＝BE＝BO＝EO，∴∠ABO＝∠BAO，∠OBM＝∠OMB，∴∠AOE＝2∠ABO,∠MOE＝2∠MBO,∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2∠ABO+2∠MBO＝2∠ABD＝90°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，即∠N+∠DAN＝45°，∵∠MAN＝135°，∴∠MAB+∠DAN＝135°﹣∠BAD＝45°，∴∠MAB＝∠N,又∠M＝∠M,∴MA2＝MN•MB∴2AM2＝MN•2BM＝MN•(BM+BM)＝MN•(MN﹣BN+BM)＝MN2﹣MN((BN﹣BM)＝MN2﹣(BN+BM)•(BN﹣BM)＝MN2﹣BN2+BM2，∴2AM2﹣MB2＝MN2﹣BN2．26．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∵EF＝EC，∴AE＝EF；（2）AF＝CE，理由如下：∵AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠BAE＝∠AEB＝∠BEC＝∠BCE＝67.5°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF＝67.5°，∴∠FEC＝45°，∠BFE＝112.5°，∵∠BAE+∠AEF+∠BFE+∠ABF＝360°，∴∠AEF＝90°，且AE＝EF，∴∠AFE＝45°，∴∠AFE＝∠FEC＝45°，∴AF＝EF,∴AF＝CE．27．证明：[问题呈现]∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABF＝90°．∵EA⊥AF，∴∠F AE＝90°．∴∠DAE+∠BAE＝∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠BAF＝∠DAE．在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（ASA），∴DE＝BF．[拓展探究]（1）∵∠ACB＝90°，ED⊥DF，∴∠CED+∠CFD＝180°，∵∠BFD＝∠CFD＝180°，∴∠CED＝∠BFD，又∵AC＝CB＝2，CD⊥AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∴CD＝BD＝AD，∠B＝∠DCE＝45°，∴△DCE≌DBF（AAS）．∴S四边形CEDF＝S△CDB＝S△ABC＝AC•BC＝3．（2）作DM⊥AC于点M，则CM＝AM＝DM＝AC＝，∵∠CDE＝15°，∠ACD＝45°，∴∠MED＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴ED＝2．∵△DCE≌DBF，∴ED＝FD，EC＝BF，∴四边形EDFC的周长＝ED+FD+EC+BF＝2ED+BC＝4+2．故答案为：4+2．28．解：（1）连接AM，如图，∵正方形AEFG，矩形ABCD，∴∠AEM＝∠ADM＝∠ABE＝90°，AD＝BC＝4，在Rt△AEM和Rt△ADM中，，∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），∴AE＝AD＝4，在Rt△ABE中，BE＝＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；（2）分四种情况，1°当点F在CD上时，如图，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝∠ECF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∠AEB＝∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB＝EC＝3，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝1；2°当点F落在AD上时，如图，∵AF时正方形AEFG的对角线，∴∠EAF＝45°，∵矩形ABCD，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°＝∠AEB，∴BE＝AB＝3，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝3；3°当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设FM＝BE＝x，则MC＝4﹣3﹣x＝1﹣x，∵∠FCM＝∠ACM，∠FMC＝∠ABC，∴△FMC～△ABC，∴x＝，即FM＝BE＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；4°当点F落在BD上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设CE＝a，，则FM＝BE＝4+a，BM＝7+a，∵∠DBC＝∠FBM，∠FMB＝∠BCD＝90°，∴a＝5，∴BE＝4+a＝9，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝9；故所有符合条件的t的值t＝1或t＝3或t＝9或．29．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．30．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD．∵E是BC中点，∴，EC＝BC＝CD．∴∠BAE＝∠CEF．∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CEF＝90°．∴∠AEF＝90°．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBE＝∠C＝90°，AB∥CD．∴∠G＝∠CFE．在△BEG和△CEF中，．∴△BEG≌△CEF（AAS）．∵∠AEF＝90°，∴AE是GF的垂直平分线．∴AG＝AF．∴△AGF为等腰三角形．∴∠GAE＝∠F AE．∵BH⊥AF，∴∠MAH+∠AHM＝90°．∵AD∥BC，∴∠AHM＝∠HBC．∵∠ABC＝90°，∴∠HBC+∠ABH＝90°．∴∠ABH＝∠MAH．∵∠ANH＝∠ABH+∠GAE，∴∠ANH＝∠MAH+∠EAF＝∠NAH．∴HA＝HN．∴△HAN为等腰三角形．∵AD∥BC，∴∠HAN＝∠BEN．∵∠ANH＝∠BNE，∴∠BEN＝∠BNE．∴△BEN为等腰三角形．在△ABE和△DCE中，．∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴EA＝ED．∴△AED为等腰三角形．综上，等腰三角形有：△AED，△BEN，△AHN，△AGF．31．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∵DG⊥AE，∴∠DGE＝90°，∵GH平分∠DGE，∴∠DGH＝∠EGH＝45°，∴∠BDC＝∠EGH＝45°，∵∠DPH＝∠GPF，∴∠DHG＝∠DF A．（2）由（1）可知：∠BDC＝∠EGH＝45°，∠DPH＝∠GPF，∴∠DGP＝∠HFP＝45°，又∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠HFP＝45°，∴FH∥BC．（3）连接P A，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DG于N，QP⊥GP交GD于Q，如图所示．由（2）证法，易证∠P AG＝∠PDG，∵PM⊥AE，PN⊥DG，GH平分∠DGE，∴PM＝PN，∴Rt△PMA≌Rt△PND（AAS），∴P A＝PD，∵四边形ABCD是正方形，∠ADB＝45°，∴∠APD＝90°＝∠GPQ，∴∠APG＝∠DPQ，∴△APG≌△DPQ（ASA），∴QD＝AG，∵∠PGQ＝45°，∴△PGQ是等腰直角三角形，∴GQ＝PG，∴DG﹣AG＝DG﹣DQ＝GQ＝PG，∴．32．解：（1）①连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD＝45°，Rt△AEF中，FE＝F A，∴∠EAF＝45°，即∠CAE＝∠DAF，∴∠ADF＝∠ACE＝45°．∴CE＝DF；（2）①当点E在线段CD上时，则S△ADE+S△ADF＝6，过点F作FH⊥AD，∵∠ADF＝45°，∴HF＝DF，设方形ABCD的边长为a，则CE＝a﹣2，DF＝CE＝（a﹣2），∴2a+a×（a﹣2）×＝6，解得：a＝4，∴CE＝4﹣2＝2，∴DF＝CE＝×2＝，②当点E在CD的延长线上时，则S△ADE+S△AEF＝6，过点F作FM⊥AE，FN⊥AD，连接AC，设正方形ABCD的边长为a，则AE＝＝，MF＝，∴×2a+×＝6，解得a＝2﹣2或a＝﹣2﹣2（舍去），∴CE＝2﹣2+2＝2，∴DF＝CE＝×2＝2，综上所述：DF＝或2．33．（1）证明：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，同理：CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE＝90°，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，。
新人教版初中数学——特殊的平行四边形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——特殊的平行四边形知识点归纳及中考题型解析一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例1 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=O B．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．典例2 如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴190,2B AE AC ∠==，∴13AC=，∴AE=6.5，∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.1．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是A ．AB =BC B ．AC 垂直BD C ．∠A =∠C D ．AC =BD2．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，并且6015DAC ADB ∠=︒∠=︒，，点E 是AD 边上一动点，延长EO 交于BC 点F ，当点E 从点D 向点A 移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是A ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形考向二 菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等 C ．一组邻边相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD 互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向三正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例5面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A．18㎝2B．20㎝2C．24㎝2D．28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长cm，∴以=2=18cm2.故选A．典例6如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是A．8 B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AG，∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD﹣4，∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，∴∠GCD =45°，且∠GDC =90°，∴∠GCD =∠CGD =45°，∴CD =GD ﹣4，∵AF =AD ，AG =AG ，∴Rt △AGF ≌Rt △AGD （HL ），∴FG =GD ﹣4，∴四边形ADGF 的周长=AF +AD +FG +GD ﹣﹣，故选D ．5．如图，在正方形ABCD 内一点E 连接BE 、CE ，过C 作CF ⊥CE 与BE 延长线交于点F ，连接DF 、DE ．CE =CF =1，DE ，下列结论中：①△CBE ≌△CDF ；②BF ⊥DF ；③点D 到CF 的距离为2；④S 四边形DECF +1．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在正方形ABCD 中，,2BE FC CF FD ==，AE 、BF 交于点G ，下列结论中错误的是A ．AE BF ⊥B ．AE BF =C ．43BG GE =D ．ABGCEGF S S=四边形考向四 中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例7如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH 为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH 为菱形，故D错误，故选D．7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．32．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有A．2条B．4条C．5条D．6条3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为A．158B．154C．152D．154．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是A．108°B．72°C．90°D．100°6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF 交于点G．下列结论错误的是A．AE=BF B．∠DAE=∠BFCC．∠AEB+∠BFC=90°D．AE⊥BF7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.8．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．10．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．1．下列命题正确的是A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于AB．C．D．203．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A．0 B．4 C．6 D．84．如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．1655．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE ，则GE的长为__________．6．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 点，D点的对称点为D点，若FPG，A EP90△的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.△的面积为4，D PH7．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．8．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．9．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为A D．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．11．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．12．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．1．【答案】D【解析】结合选项可知，添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．2．【答案】A【解析】点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD<15°时，四边形AFCE为平行四边形，当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，当15°<∠EOD <75°时，四边形AFCE 为平行四边形， 当∠EOD =75°时，∠AEF =90°，四边形AFCE 为矩形， 当75°<∠EOD <105°时，四边形AFCE 为平行四边形，故选A ． 3．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．4．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 5．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°， ∵CF ⊥CE ，∴∠ECF =∠BCD =90°，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 与△DCF 中，BC CDBCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），故①正确；∵△BCE ≌△DCF ，∴∠CBE =∠CDF ，∴∠DFB =∠BCD =90°，∴BF ⊥ED ， 故②正确，过点D 作DM ⊥CF ，交CF 的延长线于点M ，∵∠ECF =90°，FC =EC =1，∴∠CFE =45°，∵∠DFM +∠CFB =90°，∴∠DFM =∠FDM =45°，∴FM =DM ，∴由勾股定理可求得：EF ，∵DE ，∴由勾股定理可得：DF =2，∵EF 2+BE 2=2BE 2=BF 2，∴DM =FM ∵△BCE ≌△DCF ，∴S △BCE =S △DCF ，∴S 四边形DECF =S △DCF +S △DCE =S △ECF +S △DEF =S △AFP +S △PFB =12B ． 6．【答案】C【解析】在正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABE =∠C =90，又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE =BF ，∠BAE =∠CBF ，∴∠FBC +∠BEG =∠BAE +∠BEG =90°，∴∠BGE =90°，∴AE ⊥BF ．故A 、B 正确； ∵CF =2FD ，∴CF :CD =2:3，∵BE =CF ，AB =CD ，32AB BE ∴=， ∵∠EBG +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°，∴∠EBG =∠BAG ， ∵∠EGB =∠ABE =90°，∴△BGE ∽△ABE ，32BG AB GE BE ∴==，故C 不正确, ∵△ABE ≌△BCF ，∴S △ABE =S △BFC ，∴S △ABE –S △BEG =S △BFC –S △BEG ，∴S 四边形CEGF =S △ABG ， 故D 正确．故选C ．7．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 8．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，1．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OA =OC ，∠BAD =90°， ∵∠ADB =30°，∴AC =BD =2AB =8，∴OC =AC =4．故选B ． 2．【答案】D【解析】∵AC =16，四边形ABCD 是矩形， ∴DC =AB ，BO =DO =12BD ，AO =OC =12AC =8，BD =AC ， ∴BO =OD =AO =OC =8，∵∠AOD =120°，∴∠AOB =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =AO =8，∴DC =8，即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接AF ．根据折叠的性质，得EF 垂直平分AC ，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得． 在中，根据勾股定理，得AC =5，则AO =2.5．12．AF CF =AF x =4BF x =-Rt △ABF 229(4)x x =+-258x =Rt △ABC在中，根据勾股定理，得 根据全等三角形的性质，可以证明则故选B ．4．【答案】B【解析】∵菱形ABCD 的对角线∴AC ⊥BD ，OA =AC =4 cm ，OB =BD =3 cm ，根据勾股定理，（cm ）．设菱形的高为h ，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm ．故选B ． 5．【答案】B【解析】如图，连接AP ，∵在菱形ABCD 中，∠ADC =72°，BD 为菱形ABCD 的对角线，∴∠ADP =∠CDP =12∠ADC =36°. ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，∴PA =P D. ∴∠DAP =∠ADP =36°.∴∠APB =∠DAP +∠ADP =72°. 又∵菱形ABCD 是关于对角线BD 对称的，∴∠CPB =∠APB =72°.故选B.6．【答案】CRt △AOF 158，OF =，OE OF =154．EF=8cm 6cm AC BD ==，，12125AB ===12AB h AC BD =⋅=⋅15862h =⨯⨯245h =245【解析】∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+AEB=90°，∴AE ⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C.7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°．故答案为：50°．8．【答案】1【解析】∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，∵BP=2，∴PP，∵PC=3，∴CP，∴AP=CP′=1，故答案为1．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ABE，∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BEBD=BE﹣DE1．11．【解析】（1）OE=OF，理由如下：因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4=11802⨯︒=90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．1．【答案】A【解析】A．有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；故选A．【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2．【答案】C【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），∴AO=2，OB=1，AC⊥BD，∴由勾股定理知：AB==，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=DC=BC=AD∴菱形ABCD的周长为：C．【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．3．【答案】D【解析】如图，过E点作关于AB的对称点E′，则当E′，P，F三点共线时PE+PF取最小值，∵∠EAP=45°，∴∠EAE′=90°，又∵AE=EF=AE′=4，∴PE+PF的最小值为E′F=，∵满足PE+PF∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，∴满足PE+PF=9的点P的个数是8，故选D．【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4．【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC =4， ∴BC =CD =AD =4，∠BCE =∠CDF =90°， ∵AF =DE =1，∴DF =CE =3，∴BE =CF =5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE =∠DCF ， ∵∠CBE +∠CEB =∠ECG +∠CEB =90°=∠CGE ， cos ∠CBE =cos ∠ECG =BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG =125，∴GF =CF ﹣CG =5﹣125=135， 故选A ．【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE ≌△CDF 是解本题的关键． 5．【答案】4913【解析】如图，令AE 与BF 的交点为M . 在正方形ABCD 中，∠BAD =∠D =90︒，∴∠BAM +∠FAM =90︒， 在Rt ADE △中，13==A E ，∵由折叠的性质可得ABF GBF △≌△， ∴AB =BG ，∠FBA =∠FBG ， ∴BF 垂直平分AG ， ∴AM =MG ，∠AMB =90︒， ∴∠BAM +∠ABM =90︒， ∴∠ABM =∠FAM ，∴ABM EAD △∽△，∴AM AB DE AE = ，∴12513AM =，∴AM =6013，∴AG =12013，∴GE =13–120491313=. 【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6．【答案】【解析】∵A 'E ∥PF ，∴∠A 'EP =∠D 'PH ，又∵∠A =∠A '=90°，∠D =∠D '=90°，∴∠A '=∠D '，∴△A 'EP ～△D 'PH ， 又∵AB =CD ，AB =A 'P ，CD =D 'P ，∴A 'P = D 'P ， 设A 'P =D 'P =x ，∵S △A 'EP ：S △D 'PH =4：1，∴A 'E =2D 'P =2x ，∴S △A 'EP =2112422A E A P x x x ''⨯⨯=⨯⨯==， ∵0x >，∴2x =，∴A 'P =D 'P =2，∴A 'E =2D 'P =4，∴EP ==∴1=2PH EP =112DH D H A P ''===，∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+ ∴2AB A P '==，∴25)10ABCD S AB AD =⨯=⨯=矩形，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7．【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =AD ，BO =DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD =2OE =2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．8．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=435⨯=125．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．10．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，在△ADF和△CBE中，AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．12．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能由题中已知信息推出四边形ABCD是平行四边形是关键．13．【解析】（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．【名师点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．。
特殊的平行四边形专题（题型详细分类）要点
特殊的平⾏四边形专题（题型详细分类）要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰：四边形分类专题汇总专题⼀：特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏，四边相等对边平⾏，四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形；·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等；·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。
·是矩形，且有⼀组邻边相等； ·是菱形，且有⼀个⾓是直⾓。
对称性既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正⽅形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练⼀练】⼀．选择题1．能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平⾏四边形的为（）．A．相邻的⾓互补 B．两组对⾓分别相等C．⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等 D．对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中，能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏，⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏，⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等，⼀组邻⾓相等4．如下左图所⽰，四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平⾏四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平⾏四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平⾏四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平⾏四边形5．不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对⾓线的交点，下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对⾓线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形Ｄ．两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中，正确的是（）11.如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正⽅形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是（）。
九年级数学特殊的平行四边形中考总复习
《特殊的平行四边形》专题复习学习目标：1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定在几何问题中的综合运用。
2.连平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线，能得到特殊三角形（直角三角形和等腰三角形）、全等三角形，要用心体会方程思想（直角三角形）和分类讨论思想（等腰三角形）在解决问题中的作用．知识梳理：一．矩形、菱形、正方形的性质与判定．二．矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系．（小组讨论）注意：以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，推出特殊的四边形：矩形、菱形、正方形。
他们之间既有联系又有区别。
（1）矩形的性质与判定．注意：从矩形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形、对角线的夹角是60°时有等边三角形。
（2）矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （3）菱形的性质与判定．注意：从菱形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形或等边三角形。
（4）菱形的面积1.运用平行四边形的面积公式： ．2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的性质与判定．注意：从正方形的图形中可以分解出：等腰直角三角形。
例1.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上任一点（不与A ，C 重合），连接BP ，DP ，过P 作PE ∥CD 交AD 于E ，过P 作PF ∥AD 交CD 于F ，连接EF ．（1）求证：△ABP ≌△ADP ；（2）若BP=EF ，求证：四边形EPFD 是矩形．S =⨯平行四形底高12ABCD S AC BD =⋅菱形跟踪练习.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．例2.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．跟踪练习.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O 的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．巩固提高：准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．总结中考这类题做题方法与注意事项：专项训练：1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．4. 如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．6. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．7. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求ABCD的面积？9. 如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．10. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF ⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．14. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.15.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，16.延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．。
2024年中考第一轮复习特殊平行四边形2
3.[2019·上海]如图25-7,在正方形ABCD中,E是边AD的中点.将△ABE沿直线BE
翻折,点A落在点F处,连结DF,那么∠EDF的正切值是
图25-7
.
[答案]2
1
[解析] 如图所示,由折叠可得 AE=FE,∠AEB=∠FEB= ∠AEF,
■ 知识梳理
1.定义:顺次连结四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.
2.任意四边形的中点四边形是① 平行四边形 .
对角线相等的四边形的中点四边形是② 菱形
.
对角线垂直的四边形的中点四边形是③ 矩形
.
对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是④ 正方形 .
考向一
中点四边形
例1 如图25-4,D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点
1
2
∵AC=BD=8,AE=CF=2,∴OD=4,OE=OF= (8-2-2)=2.
由勾股定理,得 DE= 2 + 2 = 42 + 22 =2 5,
∴四边形 BEDF 的周长=4DE=4×2 5=8 5.
■ 知识梳理
图25-2
考点二
中点四边形
4.顺次连结任意四边形各边的中点,所得的四边形一定是
,O是△ABC所在平面上的动点,连结OA,OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺
次连结点D,G,F,E.
(1)当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
解:(1)证明:∵D,E 分别是 AB,AC 的中点,
1
∴DE∥BC,且 DE=2BC.
1
同理,GF∥BC,且 GF=2BC,
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第20讲特殊的平行四边形矩形的定义有一个角是①的平行四边形叫做矩形.矩形的性质(1)矩形具有平行四边形所有的性质.(2)矩形的四个角都是②，对角线互相平分并且③ .(3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是④ .矩形的判定(1)定义法.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)⑤的平行四边形是矩形.考点2 菱形菱形的定义有一组⑥的平行四边形叫做菱形.菱形的性质(1)菱形具有平行四边形所有的性质.(2)菱形的四条边⑦，对角线互相⑧，并且每条对角线平分一组对角.(3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是⑨ .(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩ .菱形的判定(1)定义法.(2)四条边⑪的四边形是菱形.(3)对角线⑫的平行四边形是菱形.正方形的定义有一组邻边⑬，并且有一个角是⑭的平行四边形叫做正方形.正方形的性质(1)正方形的四条边⑮，四个角都是⑯，对角线互相○17且○18，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质. (2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有○19条，对称中心是对角线的交点.正方形的判定(1)有一组邻边相等的○20是正方形.(2)有一个角是直角的○21是正方形.(3)对角线○22的四边形是正方形.【易错提示】在判定矩形、菱形、正方形时，要注意明确是在“四边形”还是“平行四边形”的基础上.1.牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理，它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的，分类记忆，便于灵活应用.2.适当进行动手操作训练，从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性，再进行相应的证明和计算，也是正确解答综合性问题的有效途径.命题点1 矩形的性质与判定例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH 及其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形.【解答】方法归纳：矩形具有平行四边形的所有性质，同时也具有其特殊的性质；判定矩形的方法是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后利用一内角为90°或对角线相等判定矩形.1.(2014·重庆B卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°2.在数学活动课上，老师要同学们判断自己的课桌是不是矩形，经过测量，小明说：“我的课桌是矩形，我测量了对角线相等.”小华说：“我的课桌也是矩形，我测量了一组对角是直角.”小丽说：“那我的课桌更是矩形，我测量了其中三个角都为直角.”请问说法不正确的同学有( )A.0位B.1位C.2位D.3位3.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形.4.(2014·泉州)已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.命题点2 菱形的性质与判定例2 (2014·莱芜)如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.(1)求证：BE=CD；(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.【思路点拨】(1)根据等腰三角形及旋转的性质，利用SAS证△EAB≌△DAC，进而得出结论；(2)先证BE=BD=CD，再证EB=EF，则BE=EF=BD，又EF∥BD，即可得证四边形BDFE为菱形. 【解答】方法归纳：菱形的判定一般先判定为平行四边形，然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析，也可直接判定四条边相等.1.(2014·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.52.(2014·重庆A卷)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为 .3.(2013·常州)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形.命题点3 正方形的性质与判定例3 (2013·南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形.【思路点拨】(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到∠ADB=∠CDB；(2)因为∠ADC=90°，由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形，由角平分线的性质可得出PM ＝PN，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.【解答】方法归纳：正方形的性质集矩形和菱形的性质于一体；在判定正方形的过程中，通常是先证明此四边形为矩形，再去证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直；或先证明其为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等.1.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )A.(1，1)B.(-1，-1)C.(1，-1)D.(-1，1)2.(2014·株洲)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④3.(2014·泸州)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.第1课时基础训练1.(2014·珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( )A.6 cmB.9 cmC.12 cmD.15 cm2.(2013·成都)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为( )A.1B.2C.3D.43.(2014·福州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为( )A.45°B.55°C.60°D.75°4.(2014·丽水)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段AB长度的一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求.连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定5.(2014·玉林)下列命题是假命题的是( )A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形6.(2013·菏泽)如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B. 30°或45°C.45°或60°D.30°或60°7.如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为-4和1，则BC= .8.(2014·衡阳)如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为 .9.(2014·淄博)已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使□ABCD成为一个菱形.你添加的条件是 .10.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是 .(填上你认为正确的一个答案即可)11.(2014·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=2，则正方形ABCD的周长为 .12.(2013·临沂)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC,AF⊥CD，垂足分别为E,F，连接EF，则△AEF的面积是 .13.(2013·广州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD 的长.14.(2014·牡丹江一模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE=5，BF ⊥AE，垂足为点F，求BF的长.15.(2013·宜昌)如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF；分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；(2)连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长.16.(2014·枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.第2课时能力训练1.(2014·毕节)如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A.3.5B.4C.7D.142.如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形3.(2014·聊城)如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为( )A.23B.33C.63D. 9234.(2014·南京)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(-2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C 两点的坐标分别是( )A.(32，3)、(-23，4) B.(32，3)、(-12，4)C.( 74，72)、(-23，4) D.(74，72)、(-12，4)5.(2014·资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 .6.(2014·十堰)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号).7.(2014·上海)如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为(用含t的代数式表示).8.(2013·聊城)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE=CE.。