轴对称教材分析

思维点拨:
要设计一个轴对称图形,先作出图 形本身的（所有）对称轴,在其中 一条对称轴一侧设计一个图形,根 据轴对称性质再画另一半.
注意: 考试时不求新,要求稳,所画 图形符合要求即可.
选址
例2.如图,某地有两所大学和两条交叉的 公路,点M、N表示大学,OA、OB表示公 路，现计划修建一座物资仓库，希望仓 库到两所大学的距离相同，到两条公路 的距离也相同，你能确定出仓库应该建 在什么位置吗？请在图中画出你的设计.
（三）等腰三角形在函数中的应用
例15. 等腰三角形的周长为20cm.（1）求
底边y（cm）与腰长x（cm）之间的关系式；
（2）求出自变量x的取值范围；（3）画出
该函数的图象.
y(cm)
解：（1）y=20-2x;
10
（2） 依题，得
x＞0 y＞0 2x＞y
x＞0 即 20－2x＞0
2x＞20－2x
（二）等边三角形中有关边、角数量关系的 探究
（三）等腰三角形在函数中的应用
（四）轴对称在等腰三角形中的应用
（五）运用“含30°锐角的直角三角形”解 决航海问题
（一）由于等腰三角形的特殊性，当 题目条件不明确时，要注意分类讨论
1. 腰、底没明确 2. 内角没明确是顶角还是底角 3. 腰上的高分形内和形外
你可以在l上找几个点试一试,能发 现什么规律吗?
B A
l
例6.(内蒙古乌海市.2002)如图1,某公路的同 一侧有A、B、C三个村庄,要在公路边建一货 栈D,向A、B、C三个村庄送农用物资,路线是： D→A→B→C→D和D→C→B→A→D.
y
B2,4
1.试问在公路边上是否存在一点D， 使送货路程最短？（把公路边近似
A1,2 0
看作公路上）
C4,1
x 2.将A、B、C三点放在平面直角坐 标系中，把x轴建立在公路上，坐标
图1
如图所示.请画出D点所在的位置，
并写出画法.
3.求出D点在该坐标系中的坐标（要
求有运算过程）
分析：要求送货路程最短，实质就是 要AD+CD最小.
思维点拨：
（1）存在；（2）作点A关 于x轴的对称点A’，连结 A’C与x轴的交点即为点D； （3）先用待定系数法求出 直线A’C的解析式，再求D 点的坐标.
分析：利用等边三角形的
A
轴对称性从一条对称轴上
开始考虑.做到不漏.
B
C
共10个点.
2.利用轴对称变换集中几何条件 例17：已知：如图，在等腰直角△ABC的斜 边上取两点M、N，使∠MCN＝45°，设 AM=m，MN=x，BN＝n，试判断以x、m、 n为边长的三角形的形状。
CC
D
4411 22 33
4课时
数学活动
小结
2课时
第一节 轴对称
一. 关键概念和原理 二. 知识点：
1、轴对称与轴对称图形的联系与 区别； 2、线段的垂直平分线及其结论； 3、轴对称和轴对称图形的性质 三. 综合探究
1. 运用轴对称进行图形设计
2. 运用线段垂直平分线的性质解 决几何设计中的选址问题
图形设计
例1.某居民小区搞绿化,要在一块矩 形空地上建花坛,现征集设计方案, 要求设计的图案由圆和正方形组成 （圆和正方形的个数不限）,并且 使整个矩形场地成轴对称图形,请 在矩形中画出你设计的方案.
56
A m M xx NN nn BB
（五）运用“含30°锐角的直角三角形”
解决航海问题
例18：如图，上午9时，一条渔船从A出发，
以12海里/时的速度向正北航行，11时到
达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝
15°，∠NBC＝30°.若小岛周围12.3海
里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有
无触礁危险？
轴对称图形的还原问题
例5.如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚 线剪下一角,则展开后所得的图形是（ ）.
上折
右折 右下方折 沿虚线剪开
A
B
C
D
四.综合探究
（一）运用轴对称的性质求最值
1. 运用轴对称的性质求线段之和 的最小值
教材P131/探究
如图,要在燃起管道 l上修建一个泵 站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道 的什么地方,可使所用的输气管线最短?
D（3,0）
y
B 2,4
A 1,2
0
D
C 4,1
x
A' 1,-2
图2
2. 利用轴对称解决周长最小问题
例7.如图,在锐角∠AOB内有一定点P，
试在OA、OB上确定两点C、D，使
△PCD的周长最短． EA
分析：△PCD的周长等于
C
M
P
PC+CD+PD，要使△PCD
的周长最短，•根据两点之
例10.（1）若点M（2,a）和点N （a+b,3）关于x轴对称,试求a,b的值;
（2）若点M（2,a）和点N（a+b,3） 关于y轴对称,试求a,b的值.
解:
1
a b 2 a 3 0
解得
a b

3 ;
5
2
a b 2 0 a 3
解得
a b
5 10 10
称位置上5的10两10 1个0 数之和都是 10,从而5 使10 1图问0210题10 简单化.
解:方阵中数的和 =10×10+5×5 =125.
解题启示:
在求一组有规律的数的和时,经常 会用到对称思想.
（三）轴对称变换与平面直角 坐标系的综合应用
1. 点关于横纵坐标轴对称的规律
O ND
B
F
间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等
于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于
直线OA•和OB的对称点E、F，则△PCD的周
长等于线段EF的长．
……
3. 利用轴对称解决线路最短问题
例8.如图1,A为厩,B为帐篷,牧马人某
一天要从马厩牵出马,先到草地某一
处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.
方法技巧：
作轴对称图形的方法是先找特 殊点（如线段的端点），再作 出特殊点关于对称轴的对称点， 然后连结这些对称点，就可以 得到原图形的轴对称图形.
找规律
例4：在下图这一组中找出它们 所蕴含的内在规律，然后在横线 的空白处设计一个恰当的图形.
方法技巧：
对于通过轴对称变换得到的 图形，只要作出它们的对称轴， 复杂的图形就简单化、明朗化了， 就容易发现其中的规律 .
请你帮他确定这一天的最短路线.
（教材p137－9）
分MN析A' 上:本C确题定N D的一D实' 点质（B'是如在
N
C）,在C' NH上确定一点
M
A
图1
B
H （如M D）A 图,2使B
H
AC+CD+DB最小.可
利用轴对称解决问题.
（二）数形结合,利用轴对称找规律
例9.晓慧同学学习了轴对称知识后,忽然 想起来过去做过的一道题:有一组数排列

3 5.
横轴横不变 纵轴纵不变
数形结合,为解综合题打基础
例11、（1）求一次函数 y=2x-1 的图
象关于x轴对称的直线的函数解析式；
（2）不作函数 y=-2x+1 与 y=2x+1
的图象,试判断它们的图象关于哪一个坐
标轴对称。
解：（1）∵要求函数的图象与直线y=2x-1
的图象关于x轴对称
4．知道直角三角形中，30°角所对的直角边是斜 边的一半.
二、知识结构
等腰三角形
生
轴对称
活
中 的
轴对称变换
对
称 用坐标表示轴对称
等边三角形 画图形的对称轴 画轴对称图形
三、课时安排
本章教学时间约需12课时，分配如下，仅
供参考：
14．1 轴对称
3课时
14．2 轴对称变换
3课时
14．3 等腰三角形
PQMN周长最小.
（1）作出M点和N点.
（2）求出M点和N点的坐标. Y
解（1）略
P1
3
（2）直线P1Q1的解析式
N
P(2,3) Q(3,2)
为：y=－x+1
OM 3
X
M（1，0），N（0，1）
Q1
//
（四）镜面、水面与轴对称
1. 从镜子里看物体 —左右相反 2. 从水中看物体 —式，该算式的实际情况是怎样 的？
一、本章内容的新课程标准要求 二、知识结构 三、课时安排 四、各节知识浅析
一、本章内容的新课程标准要求
1.理解轴对称、轴对称图形、等腰三角形、等边三 角形的概念；
2．探索线段的轴对称性、等腰三角形及等边三角 形的判定和性质，线段垂直平分线的性质；
3．会画轴对称图形的对称轴、成轴对称的两个图 形的对称轴，会进行简单的轴对称变换，会用坐 标表示轴对称;
N
略解: CD 1 BC 1 AB 12
CD
2
2
B
∵12＜12.3, ∴该渔船继续
向正北航行有触礁危险.
A
教材中P137/8的错解问题
例3.如图1,点P在∠AOB内,点M、N 分别是点P关于AO、BO的对称 点， 连结MN交AO、BO于E、F. 若 △PEF的周长为15，求MN的长.
成方阵,如下图所示,试计算这组数的和. 晓慧想方阵就像正方形,正方形是轴对称
图形,能不能利用轴对称的思想来解决方 阵的计算问题呢?晓慧试了试,竟得到了
非常巧妙的方法,你也能试试看吗?
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