修改3.3

返回
证 设Cm×n = AB， ×
例10设向量组α1 = (1,1,1,3) , α 2 = (−1, −3,5,1)
' ' '
'
α 3 = (3, 2, −1, p + 2) , α 4 = (−2, −6,10, p) .试问：
（）当p为何值时，该向量组线性无关？ 1 （2）当p为何值时，该向量组线性相关？ 并在此时求出它的秩，和一个极大线性无关组？
返回
求向量组的秩和最大无关Байду номын сангаас的方法. 求向量组的秩和最大无关组的方法
例2 求向量组 α1=(1,2,0,3), α2 =(2,-1,3,1), α3 =(4,-7,9,-3) 的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性. 的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性
4 1 2 4 1 2 2 −1 − 7 0 − 5 − 15 T, α T, α T) = → A=(α1 2 3 0 3 9 0 3 9 3 0 − 5 − 15 3 1 1 2 4 所以,秩 所以 秩(α1, α2, α3) = 2< 3, 0 1 3 = B, → α1, α2 ,α3 线性相关 线性相关. 0 0 0 0 0 0 α1, α2； α2, α3 ； α3 , α1为一个最大无关组 为一个最大无关组. ；
返回
设向量组T满足 定义 设向量组 满足 中有r 线性无关； 1o 在T中有 个向量α1, α2, …, αr 线性无关； 中有 2o T中任一向量都可由此部分组线性表示； 中任一向量都可由此部分组线性表示； 中任一向量都可由此部分组线性表示 是向量组T的一个最大无关组， 的一个最大无关组 则称α1, α2, …, αr 是向量组 的一个最大无关组，数 r 为向量组 的秩. 为向量组T的 最大无关组一般不唯一，秩是唯一的 最大无关组一般不唯一，秩是唯一的.
3.3
极大线性无关组
（最大线性无关组） 最大线性无关组）
返回
一、向量组的秩与极大无关组的概念
例1 α1 =(1,0,1), α2 =(1,-1,1), α3 =(2,0,2) 。
α1, α2, α3 线性相关 线性相关. α1, α2 线性无关； α2 ，α3 线性无关， 线性无关； 线性无关，
最大无关组
解
返回
例3 求向量组 α1=(1,2,0,3), α2 =(2,-1,3,1), α3 =(4,-7,9,-3) 的一个最大无关组， 的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线 性表出. 性表出 1 2 4 解 0 1 3 T, α T, α T) → = B, A=(α1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 0 − 2 α1 ，α2 是极大线性无关组 0 1 3 , B→ 0 0 0 所以 , α3 = −2α1 + 3α2 . 0 0 0
•向量组与其任一最大无关组等价； 向量组与其任一最大无关组等价； 向量组与其任一最大无关组等价 • 一向量组的任两个最大无关组等价； 一向量组的任两个最大无关组等价； • 一向量组的任两个最大无关组所含向量个数相 其个数都等于向量组的秩. 等，其个数都等于向量组的秩
返回
定理5 可由向量组 向量组： 定理 若向量组β1, β2 , …, βt 可由向量组：α1, α2, …, αs线性表示， 且t>s ，则β1, β2 , …, βt线性 线性表示， 相关. 相关
返回
• 练习 P64 EX1 ,3 • P645 1 (4),(5)
本章作业： 练习3.1 1(2) ;2 练习3.2 2;3(2);4 练习3.3 2 习题三 1;2;3;4;5;8(2);9(2);10;11;12
返回
若组(Ⅰ 与组 与组(Ⅱ 等价 等价， 若组 Ⅰ)与组 Ⅱ)等价， 则组(Ⅰ 的秩 则组 Ⅰ)的秩 r1= 组(Ⅱ)的秩 r2. Ⅱ 的秩
返回
定理6 矩阵的秩. 定理 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩
矩阵A的行秩： 的行向量组的秩 的行向量组的秩. 矩阵 的行秩：A的行向量组的秩
矩阵A的列秩： 的列向量组的秩 的列向量组的秩； 矩阵 的列秩：A的列向量组的秩；
返回
注：向量组线性无关，则其最大无关组就是它 向量组线性无关， 本身， 向量个数. 本身，秩 = 向量个数 向量组线性无关 ⇔ 向量组的秩 向量组所含向量个数. 向量组的秩 = 向量组所含向量个数
向量组线性相关 ⇔ 向量组的秩 向量组所含向量个数. 向量组的秩 < 向量组所含向量个数
返回
三个结论: 三个结论
返回
设向量组T满足 定义 设向量组 满足 中有r 线性无关； 1o 在T中有 个向量α1, α2, …, αr 线性无关； 中有 2o T中任意 + 1个向量都线性相关； 中任意r 个向量都线性相关； 中任意 个向量都线性相关 是向量组T的一个最大无关组， 的一个最大无关组 则称α1, α2, …, αr 是向量组 的一个最大无关组，数 r 为向量组 的秩. 为向量组T的
返回
分别为m×r, r ×n矩阵，证明 矩阵， 例4 设A, B分别为 分别为 矩阵 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
b11 L b1n b21 L b2n (c1,L, cn ) = (α1,L, αr ) L L L br1 L brn ck = b1kα1 + b2kα2 +L+ brkαr , (k = 1,...,n) (AB)的列向量组可由 的列向量组线性表出， 的列向量组可由A的列向量组线性表出 的列向量组可由 的列向量组线性表出， R(AB)≤R(A). 故 又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)≤R(BT)=R(B). 所以 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
推论1 推论 若向量组β1, β2 , …, βt可由α1, α2, …, αs 线性表示， 且β1, β2 , …, βt线性无关，则 t≤s. 线性表示， 线性无关，
推论2 任意n+1 n+1个 推论 任意n+1个n维向量必线性相关
返回
两向量组秩的关系： 两向量组秩的关系：
若向量组(Ⅰ 可由组 可由组(Ⅱ 线性表示 线性表示， 若向量组 Ⅰ)可由组 Ⅱ)线性表示， 则组(Ⅰ 的秩 则组 Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. Ⅱ 的秩