2009.2.23第66讲离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列(公开课)
在社会学领域，离散型随机变量 可以用来描述人口普查、社会调 查等数据的概率分布，进行社会 分析和预测。
通过离散型随机变量，可以计算随机事件的 概率，进一步研究随机现象的规律和性质。
在概率论中，离散型随机变量广泛应用于各 种概率模型和随机过程，如赌博游戏、保险 风险评估等。
在统计学中的应用
统计学是研究数据收集、整理、分析和推断的学科，离散型随机变量在统计学中有 着广泛的应用。
在统计分析中，离散型随机变量可以用来描述分类数据的概率分布，如性别、婚姻 状况等。
强大数定律
当样本量趋于无穷时，样 本均值的极限等于总体均 值。
离散型随机变量的收敛性
几乎处处收敛
如果对于几乎所有的样本 点，当试验次数趋于无穷 时，离散型随机变量的值 都收敛于某一常数。
依概率收敛
当试验次数趋于无穷时， 离散型随机变量依概率收 敛于某一常数。
平均收敛
当试验次数趋于无穷时， 离散型随机变量的算术平 均值收敛于某一常数。
离散型随机变量及其分布 列(公开课)
目录
• 离散型随机变量简介 • 离散型随机变量的分布列 • 离散型随机变量的期望与方差 • 离散型随机变量的应用 • 离散型随机变量的扩展知识
01
离散型随机变量简介
定义与性质
定义
离散型随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，其取值范围称为样本空间，通常用大写字母表 示。
03
离散型随机变量的期望与方差
期望的定义与性质
期望的定义
离散型随机变量的期望值是所有可能 取值的概率加权和。
离散型随机变量的分布列 课件
m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*， 称分布列
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则
称离散型随机变量 X 服从超几何分布．
求离散型随机变量的分布列 [典例] 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 ξ 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 ξ 的分布列． [解] 随机变量 ξ 的可能取值为 3,4,5． 当 ξ＝3 时，即取出的三只球中最大号码为 3，则其他 两只球的编号只能是 1,2，故有 P(ξ＝3)＝CC5322＝110；
知 a13＋312＋…＋31n＝1． 则 a·1311－－1331n＝1． ∴a＝23×n－31n．
离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求 出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．
两点分布
[典例] 袋中有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 X
当 ξ＝4 时，即取出的三只球中最大号码为 4，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3 的 3 只球中取 2 只， 故有 P(ξ＝4)＝CC2335＝130； 当 ξ＝5 时，即取出的三只球中最大号码为 5，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3,4 的 4 只球中取 2 只，故有 P(ξ＝5)＝CC2435＝160＝35． 因此，ξ 的分布列为
＝01，，[解两两] 球球由全非题红全意，红知，，X求服随从机两变点量分X布的，分P布(X列＝．0)＝CC21261＝131，所 以 P(X＝1)＝1－131＝181．
离散型随机变量及其分布列 课件
X0
1 …m
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
• 辨析感悟
• 1．离散型随机变量
• (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 随机变量．(√)
• (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量 取各个值的概率之和可以小于1. (×)
• (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事 件是彼此互斥的． (√)
• (2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
且 P(X＝3)＝CC3539＝452，P(X＝4)＝CC14·C93 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211.
所以 X 的分布列为
X3 4 5 6
P
5 42
10 21
0
1
P 1－p p
• ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
CkMCnN－－kM 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ CnN ，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机
变量 X 服从超几何分布.
• 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本， 监测值频数如下表所示：
PM2.5 日均值( [25,3 (35,4 (45,5 (55,6 (65,7 (75,8 微克/立 5] 5] 5] 5] 5] 5]
方米)
频数 3 1 1 1 1 3
•(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天， 求恰有一天空气质量达到一级的概率；
离散型随机变量的分布列 课件
一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸出 2 个球．
(1)求摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率； (2)用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个数，求 X 的分布列． [思路导引] (1)从 5 个球中摸出两个球的结果为 C25＝10 种．(2)中 X 可取 0,1,2.
题型二 离散型随机变量分布列的性质 思考 1：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小 于 1 吗？ 提示：不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可 知不可以． 思考 2：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互 斥的吗？ 提示：是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同 时发生，是彼此互斥的．
[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的取
值只有 0 和 1 两种情况． P(X＝1)＝CC11140＝140＝25， 则 P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.
因此 X 的分布列为
X
0
1
P
3 5
2 5
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的 2 张奖券 中有 1 张中奖或 2 张都中奖．
(1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分 布列；
(2)顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列．
[思路导引] (1)从 10 张奖券中任意抽取 1 张，只有中奖与不 中奖两种情况，X 的取值只有 1 和 0，故属于两点分布．(2)从 10 张奖券中任意抽取 2 张，属于超几何分布．
Y 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1 15
高中数学选修2-3优质课件：离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1.随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着整结果变化而变化的变量称为鰹壁(2)表示法:随机变量常用字母X，丫，f，〃，…表示.2.离散型随机变量所有取值可以一一列岀的随机变量，称为离散型随机变量.3.分布列的定义若离散型随机变量X可能取的不同值为兀1，兀2，…，5X取每一个值Xi(i=l,29…,兀)的概率P(X=Xi)=p i9以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的含鯉4.分布列的性质(1”NO, Z=1,2,3 n1=15.两点分布称分布列为两点分布列•若随机变量X的分布列为一两点分布列，就称X服从两点分布，并称“=P（X=1）_为成功概率.6.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则P（x=k）= _______ 鱼,疋=0,1,2, •••, m,其中/w=min{M, n}9且MWN, n, M, NwZ.称分布列为超几何分布列•如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X月艮从_超几何分布【冷考龜鰹】离散型随机变量［例1］写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件, 可能含有的次品的件数X是随机变量;⑵一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个,其中所含白球的个数e是一个随机变量.［解］⑴随机变量X可能的取值为：04,2,3,4. {X=0},表示抽出0件次品；{X=l},表示抽出1件次品；{X=2}f表示抽出2件次品；{X=3},表示抽出3件次品；{X=4},表示抽出的全是次品.(2)随机变量可能的取值为：04,2,3.K=o},表示取出o个白球, 3个黑球; 忙=1},表示取出1个白球, 2个黑球; K=2},表示取出2个白球, 1个黑球; K=3},表示取出3个白球, 0个黑球.这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.［对点训练］判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量?⑴天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数;(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号数;(3)某林场的树木最高达30 m,在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长.解：⑴接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3,…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量.(2)被抽取的卡片号数可以一一列岀，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量.(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30］内的一切值,无法一一列岀，不是离散型随机变量.(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm,为定值，不是随机变量•［例2］设随机变量X的分布列为比=|)=吨=1,2,3,4,5).⑴求常数"的值;(3)⑵求P\X^(1 7)⑶求缶＜Xv討55［解］⑴由P\^=i =必仇=1，2,3,4,5),可知工=》ak=I »丿k=l ' 丿k=\a+2a+3a+4«+5a = l,解得"=在］A k 3\ 3\(2)由⑴可知片X=j=左仇=1，2,3,4,5),所以P\X^^=P\X=^(4)3454+申可+P("1)在+計后p(1 7〕r n f 2)⑶％＜Xv帀=p+P3)+忙沪ii+4+4=在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可1 = 1,2,…，n；n(2)2j?z=l.1=1［对点训练］若离散型随机变量X的分布列为:试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知: P(X=O)+P(X=1)=1,1亠 2 即9C2-9C+3=1,得C=3或C=y(9C2-C^0,又因为〔3-8CM0,13 1解得所以C=y:型三离散型随机变量的分布列［例3］放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得一1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列.［解］设黄球有«个，则由题意知绿球有2n个，红球有4〃个，球的总数为7〃个.X的可能取值为一1,0,1.In 2所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为-101P 271747n 1 4n 4［类题通法］求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率;(3)按规范形式写岀分布列.［对点训练］某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X,求X的分布列.题型四超几何分布的应用解：将O, A, B, 4B四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为1,2,3,4.De C；o 2 C%4P(X-l)-c i -^, P(X-2)-c i s-15，P(X=3)=^=余’P(X=4)=^=l故其分布列为［例4］在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张, 每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值为y元，求丫的分布列.题型四超几何分布的应用［解］（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况.cl 4 22 3则P（X=O）=I—P（X=I）=I—因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=虫苧②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 15 1 45_3‘ C}CJ 6 2 p(Y=50)=^=-=-c{cl 3 1p （y=io ）=^^= 5o 18_2 45=5, 尸(丫=20)=琴目= 5o 3 1 45一15’P(Y=60)=~^2^=5o45 15*此随机变量F的分布列为［类题通法］解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布,若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率.在解题中不应拘泥于某一特定的类型.［对点训练］从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回的任取3 件，求取得次品数为X的分布列.解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N =15, M=2, w=3, X可能的取值为0丄2湘应的概率依次为所以随机变量X的分布列为【條対反績】1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球，设2个球号码之和为y,则丿所有可能值的个数是（）A. 25B. 10C. 7D. 6解析：y的可自老取值为3,4,5,6,7,8,9,共7个.答案：c2. 一批产品共10件，次品率为20%,从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为答案：BP(X=1)=^^=5o 16 45*28 A -- 入4517 D 453.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中a, b, c成等差数列，且c=ab,则这名运动员得3分的概率是 ____________解析：由题中条件，知2b=a+c f c=ab,再由分布列的性质, 知a+方+c = l,且a, b, c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得"=£，方=扌’c=£,所以得3分的概率是”.答案応尖向上的概率为0.8,随机变量X 的分布列为 解析：随机变量X 服从两点分布，KP(X=0)+P(X=l)=l, 由 P(X=l)=0.8,可得 P(X=0) = l-0-8=0.2,故可写出 X 的分布列・ 答案:5.已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件 产品中的次品数，求X 的分布列.4.在掷一枚图钉的随机试验中，令％=1(针尖向上), 0(针尖向下)，如果针解：由题意知，X服从两点分布，p(x=0)=^F=^, ~ 99 1所以P(X=1) = 1—硕=硕・所以随机变量X的分布列为。
离散型随机变量及其分布列课件
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…， xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形 式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列．有
根据分布列的性质，得 0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]
18
2．设随机变量 X 的分布列为 PX＝5k＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求 a； (2)求 PX≥35； (3)求 P110＜X≤170.
19
[解] (1)由分布列的性质，得 PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋ PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
23
已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测 将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件 次品或检测出 3 件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的 分布列．
所以 a＝115.
20
(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115 ＝45.
(3)P110＜X≤170＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋125＋135＝165 ＝25.
21
由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和 为 1 求参数值时，务必要检验．
第五节离散型随机变量及其分布列课件
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是
正品”为事件A，则P(A)＝AA12A25 13＝130. (2)X的可能取值为200，300，400，
则P(X＝200)＝AA2225＝110，P(X＝300)＝A33＋CA2153C13A22＝130，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－130＝35.
X0
1 …m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随 机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布的特征． 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为 抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率 分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小 球等概率模型，其实质是古典概型．
1 3
k
，k＝1，
2，3，则a的值为( )
A．1
B．193
C．1113
D．2173
解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a
1 3
k
(k＝
1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，
所以a13＋19＋217＝a×1237＝1.所以a＝2173. 答案：D
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，
率分布列为
X1
2
3
4
P
1 3
m
1 4
1 6
则P(|X－3|＝1)＝________．
离散型随机变量及其分布列ppt课件
i 1
14
例2、在掷一枚图钉的随机试验中，令
X
1，针尖向上 0，针尖向下
如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是， 随机变量X的分布列是
X
0
1
P
1-p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。15
1)
C42 C53
3 5
当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选，
故其概率为
P(X
2)
C32 C53
3 10
当X=3时，只可能是3，4，5这种情况，
概率为 P( X 3) 1
10
20
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
因此，我们也把随机变量的取值范围称为随机变量的值域。
6
例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个， 则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值 范围，并说明X的不同取值所表示的事件。
解：X的取值范围是{0，1，2，3} ，其中 {X=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”； {X=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”； {X=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”； {X=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；
6
63
P( X 1) 3 1 62
∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为：
X1
0
-1
离散型随机变量及其分布列教案
离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。
离散型随机变量通常用来描述一些试验的结果，例如抛硬币的结果，掷骰子的结果等。
在教学过程中，可以通过引入离散型随机变量教授概率论的基本概念和计算方法。
以下是一个关于离散型随机变量及其分布列的教案：教学目标：1.了解离散型随机变量的定义和特点；2.掌握计算离散型随机变量的分布列；3.学会使用分布列计算期望值和方差。
教学内容：1.离散型随机变量的定义和特点：-定义：离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。
-特点：离散型随机变量的取值是可以数清的，不能取到区间之外的值。
2.离散型随机变量的分布列：-分布列是用来描述离散型随机变量各个取值的概率的表格或公式。
-分布列的特点：各个取值的概率之和为13.离散型随机变量的期望值和方差：-期望值是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积之和。
表示为E(X)。
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn- 方差是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积减去期望值的平方之和。
表示为Var(X)。
Var(X) = (x1-E(X))^2*p1 + (x2-E(X))^2*p2 + ... + (xn-E(X))^2*pn教学步骤：Step 1：引入离散型随机变量的概念通过实际例子引入离散型随机变量的概念，例如掷骰子的结果就是一个离散型随机变量。
Step 2：介绍离散型随机变量的定义和特点详细介绍离散型随机变量的定义和特点，并与连续型随机变量进行对比。
Step 3：讲解离散型随机变量的分布列解释离散型随机变量分布列的含义，给出分布列的例子，并教授计算分布列的方法。
Step 4：演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差从分布列的角度出发，演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差。
Step 5：练习和巩固提供一些练习题，让学生通过计算离散型随机变量的分布列、期望值和方差来巩固所学知识。
离散型随机变量的分布列 课件
1．两点分布，如果随机变量 X 的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称离散型随机变量 X 服从 两点分布 ．
2．一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，
随机的，可能是一红一白，两红，两白三种情况，为此我们定 ∴ 义则P随X(X机显＝变然0)量服＝如从1－下两37：点＝X分47＝，布，01， ，且两 两P球 球(X非 全＝全 红1)＝红CC2121，05＝37， ∴X 的分布列为
X0
1
43
P7
7
小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题 时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的 知识，给予解决．
问题 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
答 不一定．如随机变量 X 的分布列由下表给出
X
2
5
P 0.3 0.7
X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.
例 1 袋中有红球 10 个，白球 5 个，从中摸出 2 个球，如果只
关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量 X，才能使 X 满足两点分布，并求分布列． 解 从含有 10 个红球，5 个白球的袋中摸出 2 个球，其结果是
故 X 的分布列为
小结
X 0 10 20 50 60 1 2 121
P 3 5 15 15 15
此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问
题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男
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(
其
中
m = min { M , n} , 且 n≤N, M ≤N, n, M, N ∈ N* ) . 称 随
的分布列为超几何分布列, 机变量 X的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X 的分布列为超几何分布列 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n
练习一： 练习一：随机变量练习 1. 袋中有大小相同的 5 个小球，分别标有 1、2、3、4、5 五 个小球， 个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球， 个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球 是____ 号 码之 和为 ξ ， 则 ξ 所 有可 能值 的个数 是 ____ 9 个 ； 第一次抽1 第二次抽3 或者第一次抽3 第一次抽 “ ξ = 4 ”表示 “第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、 ． 第二次抽1 或者第一次、第二次都抽2 第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号． 2. 抛掷两枚骰子各一次， 抛掷两枚骰子各一次， 记第一枚骰子掷出的点数与第二枚 试问: 骰子掷出的点数的差为 X ，试问: (1)“ 表示的试验结果是什么? (1)“ X > 4 ”表示的试验结果是什么? (2) P ( X > 4 ) = ? 六种结果之一 结果之一， 答：∵一枚骰子的点数可以是 1，2，3，4，5，6 六种结果之一， 也就是说“ 就是“ 由已知得 − 5 ≤ ξ ≤ 5 ，也就是说“ ξ > 4 ”就是“ ξ = 5 ”．所 以，“ ξ > 4 ”表示第一枚为 6 点，第二枚为 1 点．
3.盒中有 个白球， 个红球， 个球， 3.盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则抽 个红球的概率是( ) 出 1 个白球和 2 个红球的概率是( 37 17 10 17 (A) (B) (C) (D) 42 42 21 21 许多问题其实就是超几何分布问题) (注:许多问题其实就是超几何分布问题)
C
补充练习.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋 补充练习.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋 1,2,3,4,5, 中同时取出3 表示取出的3个球中的最小号码, 中同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试 写出ξ的分布列. 写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. 随机变量ξ 当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1, =1时 即取出的三只球中的最小号码为1, 则其它两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只, 2,3,4,5的四只球中任取两只 则其它两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只, 故有P( P(ξ 故有P(ξ=1)= C 42 / C 53 =3/5; 同理可得 P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10. P(ξ=2)=3/10;P(ξ 因此, 因此,ξ的分布列如下表所示 ξ p 1 2 3/5 3/10 3 1/10
今天, 我们来复习离散型随机变量及其分布列 复习离散型随机变量及其分布列, 今天, 我们来复习离散型随机变量及其分布列 ,知识点 全品》 填空) 见《全品》 P136 (填空).
离散型随机变量
特殊分布
随机变量 1. 定义 如果随机试验的结果可以用一个变量来表 定义:如果随机试验的结果可以用一个变量来表 那么这样的变量叫做随机变量 随机变量.常用希腊字母 示，那么这样的变量叫做随机变量 常用希腊字母 等表示. ξ 、η 等表示. 离散型随机变量. 型随机变量. (1) 离散型随机变量 . (2) 连续型随机变量 .
第 66 讲离散型随机变量及其分布列
知识点拨
练习一
练习二
练习三
作业: 全品》 作业:《全品》 P
第 66 讲离散型随机变量及其分布列
随机试验是指满足下列三个条件的试验: 随机试验是指满足下列三个条件的试验: 是指满足下列三个条件的试验
① 试验可以在相同的情形下重复进行； 试验可以在相同的情形下重复进行； ② 试验的所有可能结果是明确可知的， 试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不只一个； 并且不只一个； ③ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
812
练习二: 练习二:分布列练习
a 1. 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P (ξ = k ) = k 2 1024 =0,1,2,…,10),则 ( k =0,1,2,…,10),则 a = 2047 . 2. 设 ξ 是离散型随机变量 ，其分布列为右表所示,则 q 是离散型随机变量，其分布列为右表所示, 等于( 等于( ) 2 )1± (A) 1 (B)1± 2 2 2 (D) (C) 1 + (D) 1 − 2 2 3. 设随机变量 ξ 只能取 5、6、7、···、16 这 12 个 ···、 2 且取每一个值的概率均相等， 值，且取每一个值的概率均相等，则 P (ξ > 8 ) = ,若 3 1 P (ξ < x ) = ，则实数 x 的取值范围是 5, 6 ． 12
3. 一袋中装有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每 个白球， 个红球，现从袋中往外取球， 次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回， 次取出一个 ，取出后记下球的颜色 ，然后放回 ，直到红球出 现 10 次时停止，停止时取球的次数 ξ 是一个随机变量，则 次时停止 ， 是一个随机变量， 9 C11 52310 .（用式子表示） =___________. 用式子表示） P (ξ = 12) =___________
3答案
2.超几何分布 : 2.超几何分布: 超几何分布 一般地, 件次品的 件产品中， 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中 ， n 件 取 次品数, 其中恰有 X 件次品数 ,则事件 { X = k} 发生的概率为
k n C M C N−−kM P( X = k ) = ( k = 0,1, 2,⋯ , m ) n CN
p1
p2
…
pi
…
(1) pi ≥ 0, i = 1， 3， 2， ⋯
(2) p1 + p2 + p3 + ⋯ = 1
理解两个特殊的分布列. 理解两个特殊的分布列. 两个特殊的分布列 1.两点分布列 1.两点分布列 : 两点分布 如果随机变量ξ 的分布列为： 如果随机变量ξ 的分布列为：
这样的分布列称为两点分布列 称随机变量ξ 两点分布列, 这样的分布列称为 两点分布列, 称随机变量ξ 服 两点分布, 为成功概率. 从两点分布,而称 p = P (ξ = 1) 为成功概率.
练习三 练习三: 超几何分布列练习 1.从装有 个红球， 个球， 1.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球， 1 2 个红球， 分布列. 设其中有 ξ 个红球 ，求 ξ 的分布列. X 0
P
2.设袋中有 个球， 个红球， 个黑球， 2.设袋中有 N 个球，其中有 M 个红球， N − M 个黑球， 个球， 个红球的概率是多少？ 从中任取 n 个球， 问恰有 k 个红球的概率是多少？ 记忆公式的前提是要会推导) (注:记忆公式的前提是要会推导) 答案在下一页 3.盒中有 个白球， 个红球， 个球， 3.盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则抽 个红球的概率是( 出 1 个白球和 2 个红球的概率是( ) 37 17 10 17 (A) (B) (C) (D) 42 42 21 21 许多问题其实就是超几何分布问题) (注:许多问题其实就是超几何分布问题)
1 10
3 5
3 10
C
1答案
练习三 练习三: 超几何分布列练习 1.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球， 1.从装有 个红球， 个球， 个红球， 分布列. 设其中有 ξ 个红球 ，求 ξ 的分布列.
解：设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超几 , 何分布, 何分布,其中 N = 5, M = 3, n = 2 , ∴ X 的可能取值为 0,1,2. k 2 C3 C2 − k (k = 0,1, 2) ∴ P( X = k ) = 2 C5 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 P 1 3 3 10 5 10
2. 概率分布（分布列） 概率分布（分布列） 设离散型随机变量ξ可能取的值为 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x 2 , x 3 ,⋯ , x i ⋯ ξ取每一个值 xi ( i = 1, 2,⋯) 的概率 P ( ξ = x i ) = p i 则称表 ξ x1 x2 … xi …
p
称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列 称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列. 性质： 性质：D源自(]1答案
练习二: 练习二:分布列练习
a 1. 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P (ξ = k ) = k 2 =0,1,2,…,10),则 ( k =0,1,2,…,10),则 a = .
1024 2047
a [ 解 析 ] ： 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P( ξ =k)= k 2 =0,1,2,… (k=0,1,2,…,10) a a a a 1024 则 a + + 2 + 3 + ⋯ + 10 = 1 ∴ a = 2 2 2 2 2047
练习三 练习三: 超几何分布列练习 2.设袋中有 个球， 个红球， 个黑球， 2.设袋中有 N 个球，其中有 M 个红球， N − M 个黑球， 个球， 个红球的概率是多少？ 从中任取 n 个球， 问恰有 k 个红球的概率是多少？ (注:记忆公式的前提是要会推导) 记忆公式的前提是要会推导)
设摸出的红球的个数为 X k n CMCN−kM − (k = 0,1,2⋯, m), m = min{ M, n} 则 P( X = k) = n CN