最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》自我小测2

合集下载

高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷

高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。

试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4，所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。

人教版高二数学必修5第二章：2.4 等比数列自主练习

必修5 等比数列自主练习一、选择题1.数列{}n a 的前n 项和n S 满足()lg 1n S n +=，则这个数列是( ).(A)等差数列（B ）等比数列（C ）既是等差数列又是等比数列（D ）既不是等差数列又不是等比数列 2.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（）.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）83. 等比数列{}n a 中n a >0，若569a a =，则313233310log log log log a a a a ++++=（）.（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）32log 5+ 4.已知{}n a 是等比数列，2512,,4a a ==则12231n n a a a a a a ++++=（）.（A ）11614n⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ）11612n⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）321134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）321132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭5.等比数列{}n a 中，公比为,q q >0且1q ≠，n S 为{}n a 的前项和，记nn na T S =，则（）. （A ）36T T ≤ （B ）3T <6T （C ）36T T ≥ （D ）3T >6T 6.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）.（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 二、填空题7.设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q =2且30123302a a a a =，那么25829a a a a = .8.设等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则数列的公比q = .9.在等比数列{}n a 中，91019202,4a a a a +=+=，则99100a a += . 10.数列{}n a 的前项和为n S ，213n n S a =-，则n a = . 三、解答题（写出必要的文字说明或解答步骤）11.已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，且124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，又n b=21,1,2,3,.nn a =求证：数列{}n b 为等比数列.12.已知等比数列{}n a ，若1231237,8a a a a a a ++==，求n a .13.若数列{}n a 满足关系112,32n n a a a +==+，求数列的通项公式.14.已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,.31n n n a a a n a +===+（1）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n S必修5 等比数列自主练习一、选择题1.数列{}n a 的前n 项和n S 满足()lg 1n S n +=，则这个数列是( B ).(A)等差数列（B ）等比数列（C ）既是等差数列又是等比数列（D ）既不是等差数列又不是等比数列 2.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ）.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）83. 等比数列{}n a 中n a >0，若569a a =，则313233310log log log log a a a a ++++=（ B ）.（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）32log 5+ 4.已知{}n a 是等比数列，2512,,4a a ==则12231n n a a a a a a ++++=（ C ）.（A ）11614n⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ）11612n⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）321134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）321132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭5.等比数列{}n a 中，公比为,q q >0且1q ≠，n S 为{}n a 的前项和，记nn na T S =，则（ D ）。

人教版数学高二B版必修5自我小测等比数列

自我小测1．在等比数列{a n }中，已知a 9＝－2，则此数列的前17项之积等于( )A ．216B ．－216C ．217D ．－2172．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1893．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，公比q ＝2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4等于( ) A ．14 B ．12 C ．18D ．1 4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A ． 2B ．4C ．2D ．125．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( )A ．81B ．C ． 3D ．2436．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________． 7．设{a n }是正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2a 3…a 30＝230，那么a 3a 6a 9…a 30＝________．8．已知数列{a n }为等比数列．若a n >0且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝__________．9．已知数列x ，2x ＋2，3x ＋3，…为等比数列，求这个数列的通项公式．10．在公差不为0的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3．(1)求数列{a n }的公差和数列{b n }的公比；(2)是否存在a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由．参考答案1．解析：∵a 1·a 17＝a 2·a 16＝…＝a 29，∴a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17＝(－2)17＝－217．答案：D2．解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，解得q ＝2或q ＝－3＜0(舍去)．∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝84．答案：C3．解析：根据等比数列的定义，得2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 22a 1q 2＋a 2q 2＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14．答案：A4．答案：C5．解析：因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81．答案：A6．解析：设插入的三个数为a ，aq ，aq 2，aq 是83和272的等比中项，且aq ＞0，∴(aq )2＝83×272＝36．∴aq ＝6．∴(aq )3＝216．∴插入的三个数的乘积为216．答案：2167．解析：因为数列{a n }中，公比q ＝2，设a 2a 5a 8…a 29＝x ，而a 1a 4a 7…a 28，a 2a 5a 8…a 29，a 3a 6a 9…a 30成等比数列，且公比为q 10＝210，又a 1a 2a 3…a 30＝230，即x 3＝230，解得x ＝a 2a 5a 8…a 29＝210，所以a 3a 6a 9…a 30＝220．答案：2208．解析：由已知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，得23a ＋2a 3a 5＋25a ＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5．答案：59．解：由已知，得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解这个方程得x ＝－1或x ＝－4．当x ＝－1时，a 1＝－1，a 2＝0，a 3＝0，不能构成等比数列．当x ＝－4时，a 1＝－4，a 2＝－6，a 3＝－9，∴q ＝32．∴a n ＝－4·⎝⎛⎭⎫32n －1(n ∈N +)．综上，数列的通项公式为a n ＝－4·⎝⎛⎭⎫32n －1(n ∈N ＋)． 10．解：(1)设{a n }的公差为d (d ≠0)，{b n }的公比为q (q ≠0)，由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，得1＋d ＝q ．由a 8＝b 3，得1＋7d ＝q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝1，d ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝6，d ＝5，即数列{a n }的公差为5，数列{b n }的公比为6．(2)假设存在a ，b ，使得a n ＝log a b n ＋b 成立，即1＋(n －1)·5＝log a 6n －1＋b ，∴5n －4＝(n －1)log a 6＋b ，∴(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0．要使上式对于一切自然数n 成立，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－log a 6＝0，4＋b －log a 6＝0.解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，存在a ，b ＝1使得结论成立．。

4高中数学必修5第二章数列测试卷

高中数学必修五第二章数列复习测试卷一、选择题：1．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n2．如果,,1)()1(*∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f102.101.100.99.D C B A３．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是Ａ．此数列为等差数列 B ．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列Ｄ．此数列从第二项起是等差数列４．已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A ５．如果数列｛n a ｝的前n 项和323-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是Ａ．n a =2(n 2+n +1) B ．n a =3·２n Ｃ．n a =3n +1Ｄ．n a =2·3n ６．在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于63.62.27.26.D C B A７．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为Ａ．3n －1 B ．3(3n －1) Ｃ．419-n Ｄ．4)19(3-n ８．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零Ｄ．可以有无数项为零９．△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=，则B cos ＝32.42.43.41.D C B A 10．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30.若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为A ．18B ．12C ．10D ．8二、填空题：1．等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________.2．在等比数列{}n a 中，34151211-=-==n n S a a ，，，则=q ______________，=n ______________.3．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 .4．若数列{}n a 是等差数列，103,a a 是方程0532=--x x 的两根，则=+85a a .5在等比数列{}n a 中，3254=a a ，=+++82212log log log a a a .6．已知等比数列｛n a ｝的前m 项和,30,102==m m S S 则=m S 3 .三、解答题： 1．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .（7分）2．已知数列｛n a ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，（8分）（1）求.,42a a（2）求证213-=n n a .3)2(111411*********≥-++-+-+-n n （7分）4．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （8分）（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式.答案：一、C C B C D D D D B D 二、1．4或10 2.－2 、10 3.4，8，16 或 16，8，4 4.3 5.20 6.70 三、1．解：设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩即22111812164a da d a d ⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或2．（1）解：.40133,1343,413,1342321=+==+==+==a a a a（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，得 11232211)()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----13333321+++++=--- n n n213-=n ； 213-=∴n n a . 3．解：)1111(21)1)(1(1112+--=-+=-n n n n n111411311212222-++-+-+-∴n )]1111()5131()4121()311[(21+--++-+-+-=n n )2.()1(21243)111211(21≥++-=+--+=n n n n n n 4．（I ）证明：由11,a =及142n n S a +=+，12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-= 由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）解：由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224nn n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅。

人教B版人教B版高中数学必修五：2.3.1《等比数列》测试(新).docx

必修5单元同步练习----等比数列[重点]等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式。

1．定义：数列{a n }若满足nn a a 1+=q(q q ,0≠为常数)称为等比数列。

q 为公比。

2．通项公式：a n =a 1q n-1(a 1≠0、q ≠0)。

3.前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧--=--q q a a q q a na n n 11)1(111 （q 1≠）4.性质：（1）a n =a m q n-m。

（2）若m+n=s+t ，则a m a n =a s a t ,特别地，若m+n=2p ，则a m a n =a 2p ，（3）记A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列。

5．方程思想：等比数列中的五个元素a 1、q 、n 、a n 、S n 中，最基本的元素是a 1和q ，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。

函数思想：等比数列的通项和前n 次和都可以认为是关于n 的函数。

[难点]等比数列前n 项和公式的推导，化归思想的应用。

一、选择题1．数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（）（A ）第13项（B ）第14项（C ）第15项（D ）不在此数列中 2．在公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则a m+n 的值为（）（A ）pq n+1 （B ）pq n-1 （C ）pq n （D ）pqm+n-13.若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是（）（A ）若q>1,则a n+1>a n （B ）若0<q<1,则a n+1<a n（C ）若q=1,则s n+1=S n （D ）若-1<q<0,则n n a a <+1 4．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a 0≠),a 19+a 20=b,则a 99+a 20的值为（）（A ）89a b （B ）（a b ）9 （C ）910a b （D ）（ab ）105．在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（）（A ）n 3 （B ）n31（C ）13+n （D ）23+n6．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x 的值为（）（A ）-4 （B ）-1 （C ）1或4 （D ）-1或-47．已知数列{a n }是公比q 1≠的等比数列，给出下列六个数列：（1）{ka n }(k 0≠) (2){a 2n-1}(3){a n+1-a n } (4){a n a n+1} (5){na n } (6){a n 3},其中仍能构成等比数列的个数为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）3 8．a,b,c 成等比数列是b=ac 的（）（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件9．已知数列{a n }的前n 项和为S n =b ×2n+a(a ≠0,b ≠0),若数列{a n }是等比数例，则a 、b 应满足的条件为（）（A ）a-b=0 （B ）a-b ≠0 （C ）a+b=0 （D ）a+b ≠0 10.在正项等比数列{a n }中，若s 2=7,s 6=91,则s 4的值为（）（A ）28 （B ）32 （C ）35 （D ）4911．一个等比数列共有3n 项，其前n 项之积为A ，次n 项之积为B ，末n 项之积为C ，则一定有（）（A ）A+B=C （B ）A+C=2B （C ）AB=C （D ）AC=B212．在等比数列{a n }中，S n =k-(21)n，则实数k 的值为（）（A ）21 （B ）1 （C ）43（D ）213．设{a n }为等比数列，S n =a 1+…a n ,则在数列{S n } 中（）（A ）任何一项均不为零（B ）必有一项为零（C ）至多有一项为零（D ）或有一项为零，或有无穷多项为零14．在由正数组成的等比数列{n a }中，若a 4a 5a 6=3,log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9的值为（）（A ）34 （B ）43（C ）2 （D ）33415．某产品每年成本降低的百分数为m,若五年后的成本是a 元，则现在的成本是（）（A ）4)1(m a - （B ）4)1(m a+（C ）5)1(m a - （D ）5)1(m a+ 16．在正项等比数列{a n }中，a 21+a 22+……a 2n =314-n ,则a 1+a 2+…a n 的值为（）（A ）2n（B ）2n-1 （C ）2n+1 （D ）2n+1-217.数列{a n }是正数组成的等比数列，公比q=2,a 1a 2a 3……a 20=a 50,，则a 2a 4a 6……a 20的值为（）（A ）230 （B ）283 （C ）2170 （D ）2102-218．在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=2a n +2,则a 100的值为（）（A ）2100-2 （B ）2101-2 （C ）2101 （D ）21519．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）（A ）不增不减（B ）约增1.4% （C ）约减9.2% （D ）约减7.8% 20.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,前n 项的倒数之和为T n ,则nnT S 的值为（）（A ）a 1a n （B ）n a a 1 （C ）a 1n a nn （D ）(na a 1)n二、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 。

人教A版高二数学必修五同步测试：第二章等比数列.doc

等比数列测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在等比数列｛a 」中,+a 2 =29a 3+a 4 =50,则公比g 的值为等比数列｛%｝中，a n > 0, a 3a 4 = 4,则 log 2 Oj 4- log 2 a 2 + • + log 2 a 6 值为5.等比数列｛咳｝中勺=9,侏=243,则｛色｝的前4项和为1.A. 25B. 5C. -5D. 土52.3.4. C. 7 =10,為+兔=则数列｛a n ｝的通项公式为 ~=2心 C.讣2 已知等差数列｛①｝的公差为2,若％,成等比数列，则色=A. 5B. D. 8 A. a fl = 24~nB. D. 3, A. -4 B. -6C. -8D. -10A. 81B. 120C. 140D. 192 6.设等比数列｛色｝的前料项和为若 S 6:53=l:2,则 S 9:S 3 = C. 3:4 D. A. 1:2 B. 2:3 7.已知等比数列｛ %｝的首项为8, S “是其前〃项的和，某同学经计算得52=20, 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 A. $ B. S 2 C. S3 1:353=36, ( 54=65，)D. S4 8.已知/（Q 二加+ 1为兀的一次函数，b 为不等于1 的常量，且g （n ）= <（心0）,设 a n =^(n)-g(n-l)(«e N )则数列他｝为A.等差数列B.等比数列C.递增数列 9.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10 H 到银行存入。

元定期储蓄，若年利率为"且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将D.递减数列所有的存款及利息全部取冋，则可取冋的钱的总数（元）为 ( )A ・a(\ + p)1 B. «(1 + /?)8c. —［（1+卩）7 -（1+P ）］ D . —r （1+p ）8 -（1+p ）~|P 」10.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a + b + c 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.已知等比数列｛aj,a 2>a 3=l,则使不等式 (山--) + (d ・ ---- ) + •• ・ + (a 〃 -—) n 0A. 4B. 5C. 6D. 712.在等比数列｛陽｝中,公比gHl,设前〃项和为S”,则x = S； + Sj, y = S2（54 + S6）的大小关系是（）A. x> yB. x= yC. x< yD.不确定第II卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13.等比数列仏”｝的前斤项和S〃二a・2"+d — 2,则色二 ______ :14.已知数列前斤项和必=2"—1,则此数列的奇数项的前刃项的和是____________15.已知等比数列｛%｝及等差数列｛$｝,其中/,.=（）,公差〃工（）.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1, 1, 2,…，则这个新数列的前10项之和为____________________ .16.如果b是a与C的等差中项，y是兀与Z的等比中项，月？,x,z都是正数，则0 一c） log w:兀 + （c 一a） log,” y + （a一b） log w z 二（m>0,m^L）三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知数歹ij ｛a…｝, ｛b n｝满足a】=2, a2 =4, h n = a n+i - a n, b n+｛ = 2b n +2.（12 分）（1）求证:数列｛久+2｝是公比为2的等比数列;（2）求给.18.已知数列仏｝的前n项和为S〃,S” =丄（色一1）（必M）. （12分）（1）求（2）求证数列仏｝是等比数列.+ 219.数列｛禺｝的前n项和记为S”己知G = l, a n+i= -----------S n5=1, 2, 3,…）•证明：（12分）nS（1）数列｛」｝是等比数列；（2）盼1=4如n20.已知数列｛a“｝满足：a x,且a” - a n_x =厶.（12分）2 2（1）求a2,a3f©；（2）求数列｛%｝的通项色.21.已知数列｛a“｝是等差数列,且% =2,%+偽+偽=12・（12分）（1）求数列｛色｝的通项公式;（2）令b n=a n x n（xe /?）・求数列｛仇｝前n项和的公式.22.甲、乙、丙3人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球.（14分）（1）若经过5次传球后，球仍冋到甲手小，则不同的传球方式有多少种？（2）设第n次传球后，球回到甲手小不同的传球方式有如种，求％答案一、选择题1. B2. D 3・ A 4. B 5. B 6. C 7. C 8. B 9. D 10. A ll.B 12.B二、填空题三、解答题17. (1)由处=级+2得如出=如兰=2, A ｛b n + 2)是公比为2的等比数列.久+ 2 b n +2(2)由(1)可知 b“+2 = 4・2”T =2"+1 . :.b n =2n+1-2.则 a fl+l =2,,+1 - 2.令兀二1, 2,・••/?— 1,贝0 ci2 -a\ =22 -2,f73 -«2 =23 -2,«--a n -a n -\ =2n - 2 ,各式相加得=(2 + 22 +23 +... + 2")-2(w-l) = 2,,+l -2-2n + 2 = 2,t+i -2n .18. (l)|l ：| S] = —(Q] — 1)，得 — — (t?j ~ 1), d x — --- , 乂 S?=—(①一1)， 3 3 2 3即务 +a 2 = —(a 2 _ 1),得 a?=—. I(2)当n»时,"—冷⑷-1)*”,得介T ，所％｝是首项弓公比为冷的等比数列•19. (1) 由 ai= 1 ,a n+i= - S n (n= 1,2,3, …)，a2=^^-Si=3a h ^- = —= 2, — = 1,= 2 .n 12 2 1、 T又 a n+i=S n+rS n (n= 1,2,3» …)，则 S n+i-S n =-^i^ S…(n=l,2,3, •••), /.nS n+1=2(n+l)S n n21. (1)设数列[a n ]公差为 d ，则 a x +a 2 +a 3 = 3q + 3d = 12,又q = 2,d = 2.所以= In.(2)令 S” 二也 + 仇 + …+ 仇，则由仇=a n x n = 2nx n ,得 S” = 2x + 4x 2+--(2n-2)x n '] + 2nx n ,① = 2x 2 + 4x 3 4-+ (2n-2)x H + 2/u ,,+l ,② 当兀幻时， ①式减去②13. 2灯1 ° 「(27). 15, 978. 16. 0. ^J- = 2(n=l,2,3,…).n 故数列｛警｝是首项为1，公比为2的等比数列•(2) 由(I)知，A±L = 4.A Z L (H >2),于是 S n+i=4(n+l) •乩=4^01^2).// +1 W-1 川一 1又a 2=3S|=3,则S2=ai+a 2=4=4a h 因此对于任意正整数n>l 都有S n+i=4a n ._15 “、 _ 1 _ 1 _ 1 =©•(2)。

人教版数学高二B版必修5自我小测2.3.2等比数列的前N项和

自我小测1．已知各项为正数的等比数列的前5项的和为3，前15项的和为39，则该数列的前10项的和为( )A ．3 2B ．313C ．12D ．152．在等比数列{a n }中，公比q ≠1，它的前n 项和为M ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 的前n 项和为N ，则M N 的值为( )A ．221a q nB ．12a 1q n －1C ．1221a q n －1 D ．221a q n －1 3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．1584．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．165．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 6．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．7．设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q的值为________．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 9．已知{a n }为等比数列，且a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18．(1)若a n ＝12，求n ； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 8．10．(2013·陕西高考，理17)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．参考答案1．解析：由题意可知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，即(S 10－3)2＝3(39－S 10)．解得S 10＝12或S 10＝－9(舍去)．答案：C2．解析：{a n }是公比为q 的等比数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 是首项为2a 1，公比为1q 的等比数列，代入等比数列的前n 项和公式得M N ＝1221a q n －1．答案：C3．答案：C4．解析：若q ＝1，由S n ＝na 1＝2，知S 3n ＝3na 1＝6≠14，故q ≠1．则⎩⎪⎨⎪⎧ S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2，S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝14.解得q n ＝2，a 11－q＝－2．所以S 4n ＝a 11－q(1－q 4n )＝(－2)×(1－24)＝30．答案：B5．解析：设其公比为q ，由已知可得S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝3， ∴q 3＝2．S 9S 6＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73．答案：B6．解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C ＝792种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C ＝21种，只去骨科和内科两科医生的选法有58C －55C ＝55种，只去脑外科和内科两科医生的选法有59C －55C ＝125种，只去内科一科医生的选法有55C ＝1种，故符合条件的选法有792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名，则需选内科医生(5－x －y )人． (1)当x ＝y ＝1时，有13C ·14C ·35C ＝120种不同选法； (2)当x ＝1，y ＝2时，有13C ·24C ·25C ＝180种不同选法；(3)当x ＝1，y ＝3时，有13C ·34C ·15C ＝60种不同选法； (4)当x ＝2，y ＝1时，有23C ·14C ·25C ＝120种不同选法； (5)当x ＝2，y ＝2时，有23C ·24C ·15C ＝90种不同选法； (6)当x ＝3，y ＝1时，有33C ·14C ·15C ＝20种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．答案：5907．解析：S n ＝a 1(1－q n )1－q，2S n ＝S n +1＋S n +2，则有2·a 1(1－q n )1－q ＝a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q， ∴q 2＋q －2＝0．∴q ＝－2．答案：－28．解析：∵b 1b 2b 3b 4＝T 4，T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8＝b 1·q 4·b 2·q 4·b 3·q 4·b 4·q 4＝T 4·q 16，T 12T 8＝T 4·q 32，T 16T 12＝T 4·q 48，故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 89．已知{a n }为等比数列，且a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18．(1)若a n ＝12，求n ； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 8．解：设a n ＝a 1q n －1，由题意，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝128，q ＝12，进而a n ＝128·⎝⎛⎭⎫12n －1． (1)由a n ＝128·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12，解得n ＝9． (2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝256⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴S 8＝256×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫128＝255． 10．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N +，(a k +1＋1)2＝(a k ＋1)(a k +2＋1)， 21k a +＋2a k +1＋1＝a k a k +2＋a k ＋a k +2＋1，221k a q ＋2a 1q k ＝a 1q k -1·a 1q k +1＋a 1q k －1＋a 1q k +1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k +1． ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，。

高中数学第二章数列 2.3 等比数列自主训练新人教B版必修5

2.3 等比数列自主广场我夯基我达标1.在等比数列{a n }中,已知a 3=2,a 15=8,则a 9等于…( )A.±4B.4C.-4D.16思路解析:∵a 9是a 3和a 15的等比中项,∴a 9=±153a a =±4,另外注意到在等比数列中奇数项的符号相同,∴a 9=153a a =4.答案:B2.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( )A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9思路解析:由等比数列的性质,得ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9且b 与奇数项的符号相同,故b=-3.答案:B3.已知2a =3,2b =6,2c =12,则a,b,c( )A.成等差数列但不成等比数列B.成等比数列但不成等差数列C.既成等差数列又成等比数列D.不成等差数列也不成等比数列思路解析:由题意,知a=log 23,b=log 26,c=log 212,∵2log 26=log 236=log 23+log 212,∴2b=a+c.∴a,b,c 成等差数列.但(log 26)2≠log 23·log 212,∴a,b,c 不成等比数列.答案:A4.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N ),则f(n)等于( ) A.72(8n -1) B.72(8n+1-1) C.72(8n+3-1) D.72(8n+4-1) 思路解析:依题意,f(n)为首项为2,公比为8的前n+4项的和,根据等比数列的求和公式,得f(n)=7281)81(24=--+n (8n+4-1). 答案:D5.在等比数列{a n }中,a 1=1,a 10=3,则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A.81 B.52727 C.3 D.243思路解析:因为数列{a n }是等比数列,且a 1=1,a 10=3,所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6) =(a 1a 10)4=34=81.答案:A6.设{a n }是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a 1a 2a 3…a 30=230,则a 3a 6a 9…a 30等于( )A.210B.220C.215D.216思路解析:a 1a 2a 3…a 30=a 1·a 1q·a 1q 2·…·a 1q 29=a 130·q 1+2+…+29=a 130·215×29=230,知a 110·25×29=210,所以a 3a 6a 9…a 30=a 1q 2·a 1q 5·a 1q 8…a 1q 29=a 110·q 2+5+8+…+29=a 110·25×31=a 110·25×29·25×2=210·210=220.答案:B7.根据第五次全国人口普查的结果,截至2000年11月1日,北京市的常住人口总数为 1 381.9万.如果从2001年初开始,北京市把全市人口的年增长率控制在0.13%以内,到2008年举办奥运会时(按到年底计算),北京市最多有___________万人口.(精确到0.1) 思路解析:北京市常住人口数{a n }是公比q=1+0.13%的等比数列.a 2 008=a 2000q 8=1 381.9×(1+0.13%)8≈1 396.3万.答案:1 396.38.若数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n ,n=1,2,3,…,则a 1+a 2+…+a n =____________.思路解析:由题意,知数列{a n }是公比为2的等比数列, ∴a 1+a 2+…+a n =1212--n =2n -1. 答案:2n-19.已知实数a,b,c 成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,求a,b,c 的值.思路分析:求等差数列与等比数列的有关问题有一种常见的解题方法,就是把所有的条件都转化成首项与公差或公比,一般都可以求解,并且要充分挖掘等差数列或等比数列本身的性质,因为这些条件也是题目中的隐含条件.有时巧妙地设等差数列与等比数列的项,也是简化解题的一个关健. 解:由题意,得⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+=++)3(,)1()4)(1()2(,2)1(,152b c a b c a c b a 由①②两式,解得b=5.将c=10-a 代入③,整理得a 2-13a+22=0,解得a=2或a=11.故a=2,b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1.经验算,上述两组数都符合题意. 10.已知数列{a n }的前n 项和S n 与a n 满足a n ,S n ,S n 21- (n≥2)成等比数列,且a 1=1,求数列{a n }的前n 项和S n .思路分析:本题的常规方法是先求通项公式,然后求和,但逆向思维可以直接求出数列{a n }的前n 项和S n 的递推公式,应是一种最佳解法.解:由题意,有S n 2=a n (S n 21-), ∵a n =S n -S n-1,则S n 2=(S n -S n-1)(S n 21-)⇒21 (S n-1-S n )=S n S n-1. ∴1111211S S S S n n n =⇒=--+(n-1)2=2n-1.∴S n =121-n . 我综合我发展11.某厂生产微机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列.而第３个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产微机多少台? 思路分析:可根据等差数列、等比数列的条件列出方程组得出所求.解:根据已知,可设该厂第一季度原计划３个月生产微机台数分别为x-d,x,x+d(d ＞0),则实际上３个月生产微机台数分别为x-d,x+10,x+d+25,由题意,得⎪⎩⎪⎨⎧-=++++-=+,102325),25)(()10(2x d x d x d x x 解得x=90,d=10.故第一季度实际生产(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305台.答:该厂第一季度实际生产微机305台.12.是否存在一个等比数列{a n },使其满足下列三个条件:(1)a 1+a 6=11且a 3a 4=932; (2)a n+1＞a n (n ∈N +); (3)至少存在一个m(m∈N +,m ＞4),使32a m-1,a m 2,a m+1+94依次成等差数列.若存在,写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由. 思路分析:由等比数列性质,得a 1a 6=a 3a 4=932,结合a 1+a 6=11,可以联想韦达定理,构造一个一元二次方程求出a 1,a 6.解:假设存在这样的数列{a n }.∵a 1+a 6=11,a 1a 6=a 3a 4=932, ∴a 1,a 6是方程x 2-11x+932=0的两根,解得x 1=31,x 2=332. ∵a n+1＞a n (n∈N +),∴a 1=31,a 6=332. 设公比为q,则a 6=332=31q 5,于是q=2. ∴a n =31×2n-1. 由32a m-1,a m 2,a m+1+94依次成等差数列,得2a m 2=32a m-1+a m+1+94, 即2×(31×2m-1)2=32×31×2m-2+31×2m +94. 解得m=3.又∵m＞4,∴不存在满足条件的等比数列.13.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n+2=3a n+1-2a n (n∈N +).(1)求证:数列{a n+1-a n }是等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若数列{b n }满足n n b n b b b a )1(44411121+=---Λ(n∈N +),证明{b n }是等差数列.思路分析:(1)只要对已知条件进行适当变形立即可得;(2)根据(1)构造的数列便可求得通项公式;(3)利用幂的运算性质转化为两数列之间的关系.(1)证明:∵a n+2=3a n+1-2a n ,∴a n+2-a n+1=2(a n+1-a n ). ∴nn n n a a a a --+++112=2(n∈N +). ∵a 1=1,a 2=3,∴{a n+1-a n }是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)得a n+1-a n =2n (n∈N +),∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n -1(n ∈N +).(3)证明:∵n n b n b b b a )1(44411121+=---Λ, ∴n n nb n b b b b 24)(321=-++++Λ.∴2［(b 1+b 2+…+b n )-n ］=nb n , ①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)-(n+1)］=(n+1)b n+1. ②②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n ,即(n-1)b n+1-nb n +2=0. ③nb n+2-(n+1)b n+1+2=0. ④④-③,得nb n+2-2nb n+1+nb n =0,即b n+2-2b n+1+b n =0.∴b n+2-b n+1=b n+1-b n (n∈N +).∴{b n }是等差数列.14.某市2004年底有住房面积1 200万平方米,计划从2005年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求2005年年底和2006年年底的住房面积;(2)求2024年年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)思路分析:碰到这类问题时不要被烦琐的数据和冗长的文字说明吓倒,应“取其精华”读通读懂题目.本题利用等差、等比数列的知识构建数学模型,需要正确理解关键词“增加”“增长率”,利用它们分别构造为等差、等比数列.解:(1)2005年年底的住房面积为1 200(1+5%)-20=1 240(万平方米),2006年年底的住房面积为1 200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1 282(万平方米).∴2005年年底的住房面积为1 240万平方米,2006年年底的住房面积约为1 282万平方米.(2)2024年年底的住房面积为1 200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-…-20(1+5%)-20=1 200(1+5%)20-20×05.0105.120-≈2 522.64(万平方米). ∴2024年年底的住房面积约为2 522.64万平方米.15.已知a 1=2,点(a n ,a n+1)在函数f(x)=x 2+2x 的图象上,其中n=1,2,3,….(1)求证:数列{lg(1+a n )}是等比数列;(2)设T n =(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n ),求T n 及数列{a n }的通项;(3)记b n =211++n n a a ,求数列{b n }的前n 项和S n ,并证明S n +132-n T =1. 思路分析:(1)主要根据已知条件找出相邻两项之间的关系,然后再证明;(2)要先求出数列a n 的通项公式;(3)在解题过程中恰当利用裂项相消可减少运算.(1)证明:由已知,得a n+1=a n 2+2a n ,∴a n+1+1=(a n +1)2. ① ∵a 1=2,∴a n +1＞1.将①式两边取对数,得lg(1+a n+1)=2lg(1+a n ), 即)1lg()1lg(1n n a a +++=2,lg(1+a 1)=lg(1+2)=lg3.∴{lg(1+a n )}是以lg3为首项,以2为公比的等比数列.(2)解:由(1),知lg(1+a n )=2n-1·lg3=lg32n-1,∴1+a n =32n-1② ∴T n =(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )=320·321·322·…·32n-1=1323212212-=++-++n n Λ.由②式,得a n =32n-1-1.(3)证明:∵a n+1=a n 2+2a n ,∴a n+1=a n (a n +2). ∴)211(2111+-=+n n n a a a . ∴12121+-=+n n n a a a .又b n =211++n n a a ,∴b n =2(111+-n n a a ).∴S n =b 1+b 2+…+b n =)11(2)111111(21113221++-=-++-+-n n n a a a a a a a a Λ.∵a n =1312--n ,a 1=2,a n+1=132-n,∴S n =13212--n .又T n =123-n ,∴S n +132n T =1.。

高中数学第二章数列2 4 2等比数列的性质素养评价检测含解析新人教A版必修5

等比数列的性质(20分钟35分)1.已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2 019=3,则a1 010的值为( )A.9B.C.27D.3〖解析〗选B.因为数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2 019=3,所以,所以a1 010=1×q1 009=.2.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成( ) A.511个 B.512个 C.1 023个 D.1 024个〖解析〗选B.因为每20分钟分裂一次,所以经过3小时要分裂9次,即29=512个.3.在公差不等于零的等差数列{a n}中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,则a8= ( )A.4B.18C.24D.16〖解析〗选D.公差不等于零的等差数列{a n}中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,设公差为d,由题意可得=a1·a9,即(4+d)2=(4-d)(4+7d),求得d=2,则a8=a2+6d=4+12=16.4.在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于.〖解析〗设a1=2,a5=8,所以a3==4,所以a2·a3·a4=·a3==43=64.答案:645.已知数列{a n}满足log2a n+1-log2a n=1,则= .〖解析〗因为log2a n+1-log2a n=1,所以=2,所以数列{a n}是公比q为2的等比数列,所以=q2=4.答案:4〖补偿训练〗已知数列{a n}满足a n+1=3a n,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9= ( ) A.5 B.6 C.8 D.11〖解析〗选D.根据题意,数列{a n}满足a n+1=3a n,则数列{a n}为等比数列,且其公比q=3,若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.6.3个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这3个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这3个数.〖解析〗由题意,这3个数成等差数列,可设这3个数分别为a-d,a,a+d.因为a-d+a+a+d=6.所以a=2,即3个数分别为2-d,2,2+d.①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),解得d=6或d=0(舍去),此时3个数分别为-4,2,8.②若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时3个数分别为8,2,-4.③若2为等比中项,则有22=(2+d)(2-d),解得d=0(舍去).综上可知,这3个数是-4,2,8.〖补偿训练〗有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,前三个数的和为48,后三个数的积为8 000,求这四个数.〖解析〗设前三个数分别为a-d,a,a+d,则有(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.再设后三个数分别为,b,bq,则有·b·bq=b3=8 000,即b=20.所以四个数分别为m,16,20,n.所以m=2×16-20=12,n==25,即四个数分别为12,16,20,25.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在等差数列{a n}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=( )A.-B.-3C.-6D.2〖解析〗选A.因为a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,所以a2+a14=-6,a2a14=2,由等差数列的性质可知,a2+a14=2a8=-6,所以a8=-3,则=-.2.已知数列{a n}满足=a n a n+2(n∈N*),若a3=1,a7=4a3,则a4a5a6= ( )A.±8B.-8C.8D.16〖解析〗选C.因为数列{a n}满足=a n a n+2(n∈N*),所以{a n}是等比数列,所以a3,a5,a7同号,因为a3=1,a7=4a3,所以a5==2,所以a4a5a6==8.3.在正项等比数列{a n}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,a n-1a n a n+1=324,则n= ( )A.11B.12C.14D.16〖解析〗选C.设数列{a n}的公比为q,因为{a n}为等比数列,所以a1a2a3==4,a4a5a6==12,所以=q9==3,a n-1a n a n+1==(a2·q n-2)3=·q3n-6=324,所以n=14.4.数列{a n}为各项都正的等比数列,a1=1,S3=7.若a1·a2·a3·…·a n=433,则n= ( )A.10B.11C.12D.13〖解析〗选C.数列{a n}为各项都正的等比数列,a1=1,则S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=7;化简得q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(不合题意,舍去);又a1·a2·a3·…·a n=433,所以1×2×22×23×…×2n-1==266,即=66,化简得n2-n-132=0,解得n=12或n=-11(舍去),所以n=12.5.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,{b n}是等比数列,a1=b1>0,a4=b4>0,则下列说法正确的是( )A.a2+a3>b2+b3B.a2+a3<b2+b3C.a2+a3=b2+b3D.a2+a3与b2+b3的大小不确定〖解析〗选A.因为数列{a n}是公差不为零的等差数列,{b n}是等比数列,a1=b1>0,a4=b4>0,所以a2+a3=a1+a4=b1+b4=b1(1+q3)=b1(1+q)(1-q+q2),b2+b3=b1q(1+q),因为数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1=b1>0,a4=b4>0,所以q>0,q≠1,所以a2+a3>b2+b3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是.〖解析〗由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,=m,所以月平均增长率为-1.答案:-17.在正项等比数列{a n}中,a n+1<a n,a2a8=6,a4+a6=5,则= .〖解析〗因为数列{a n}是正项等比数列,且a2·a8=6,a4+a6=5,所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,因为a n+1<a n,所以a4=3,a6=2,所以q2==,所以==.答案:〖补偿训练〗已知数列{a n}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为.〖解析〗由等比数列{a n}的性质可得,a3a11=,由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=.则tan(a1a13)=tan=tan=.答案:8.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z 的值为.〖解析〗因为=,所以x=1.因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.所以y=5×,z=6×.所以x+y+z=1+5×+6×==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等比数列{a n},a1a2=-,a3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:对任意k∈N*,a k,a k+2,a k+1成等差数列.〖解析〗(1)设等比数列{a n}的公比为q,若a1a2=-,则q=-,若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,解可得:=1,则a1=1,则有q=-,故a n=.(2)根据题意,a n=,则a k=,a k+1=,a k+2=;则有a k+a k+1-2a k+2=+-2==0,则有a k+a k+1=2a k+2,故a k,a k+2,a k+1成等差数列.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.设c n=a n-1,(1)求证:{c n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.〖解析〗(1)因为a n+S n=n,①所以a n+1+S n+1=n+1,②②-①得a n+1-a n+a n+1=1.所以2a n+1=a n+1,所以2(a n+1-1)=a n-1,所以=,因为首项c1=a1-1,又a1+a1=1,所以a1=,所以c1=-,又c n=a n-1,所以q=.所以{c n}是以-为首项,公比为的等比数列.(2)由(1)可知c n=·=-,所以a n=c n+1=1-.所以当n≥2时,b n=a n-a n-1=1--=-=.又b1=a1=,代入上式也符合,所以b n=.1.在等比数列{a n}中,a1=8,+16=8,则a9的值为.〖解析〗=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,所以+16·=8,即+16q2=8,解得q2=,所以a9=a1q8=8×=.答案:2.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-3n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值;(2)设b n=a n+3,证明数列{b n}为等比数列,并求通项公式a n.〖解析〗(1)因为数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-3n(n∈N*).所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.(2)因为S n=2a n-3×n,所以S n+1=2a n+1-3×(n+1),两式相减,得a n+1=2a n+3,b n=a n+3,b n+1=a n+1+3,所以===2,得b n+1=2b n(n∈N*),且b1=6,所以数列{b n}是以6为首项,2为公比的等比数列,所以b n=6×2n-1,所以a n=b n-3=6×2n-1-3=3(2n-1).〖补偿训练〗已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式;(2)当{b n}是公比为a-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.〖解析〗(1)因为{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,b n=a n a n+1,b3=12,所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,所以d=1,a=2,所以a n=n.(2){a n}不能为等比数列,理由如下:因为b n=a n a n+1,{b n}是公比为a-1的等比数列,所以===a-1,所以a3=a-1,假设{a n}为等比数列,由a1=1,a2=a得a3=a2,所以a2=a-1,此方程无解,所以数列{a n}一定不为等比数列.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

自我小测 2.4.1等比数列(一)夯基达标1.已知等比数列{a n },a 4＝7,a 6＝21,则a 8等于( )A.35B.63C.321D.321±2.一个各项均为正数的等比数列,每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q 等于( ) A.23 B.252 C.215- D.251+3.等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62,则通项是( ) A.2n －1 B.2n C.2n ＋1 D.2n －24.已知等比数列{a n }中,a 3＋a 5＝18,a 9＋a 11＝144,则a 6＋a 8＝______________.5.在7和56之间插入a ,b 两数,使7,a ,b ,56成等差数列,插入c ,d 两数,使7,c ,d ,56成等比数列,则a ＋b ＋c ＋d ＝______________.能力提升6.已知等比数列{a n }中,有a 3a 11＝4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7＝a 7,则b 5＋b 9等于( ) A.2 B.4 C.8 D.167.(2008山东潍坊模拟）已知f (1,1)＝1,f (m ,n )∈N *且对任意m ,n ∈N *都有①f (m ,n ＋1)＝f (m ,n )＋2;②f (m ＋1,1)＝2f (m ,1).则f (2 007,2 008)的值为( ) A.22 006＋2 007 B.22 007＋2 007 C.22 006＋4 014 D.22 007＋4 0148.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.9.已知数列{a n }是各项为正数的等差数列,lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列,又na b n 21=,n ＝1,2,3,….证明:{b n }成等比数列.则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d ). ∴d 2＝a 1d . ∴d (d －a 1)＝0.当d ＝0时,{a n }为常数列,{b n }也为常数列, 此时{b n }是首项为正数,公比为1的等比数列. 当d ＝a 1≠0时,n n nnd a b d d a a n n 2111,2)12(212⋅===-+=, ∴2121121111=⋅⋅=++n n n n d d b b (常数).这时{b n }是首项为d b 211=,公比为21的等比数列.综上知{b n }是等比数列.10.在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数,n ＝1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列.(1)求c 的值; (2)求{a n }的通项公式. 拓展探究11.我们在洗一件衣物时,假设每次都用相同体积的清水,每次能洗去污垢的43,现要求衣物上存留的污垢在1%以下,那么我们应该至少洗几次?参考答案1 解析:∵a 6＝a 4q 2,∴3462==a a q . ∴a 8＝a 6q 2＝21×3＝63. 答案：B2解析:由题意有a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝a n q ＋a n q 2,而a n ≠0, ∴q 2＋q －1＝0. ∴251±-=q . 而a n ＞0,∴q ＞0. ∴215-=q . 答案：C 3解析:由于231625432165432==++++++++a a a a a a a a a a ,∴等比数列{a n }的公比为2.将q ＝2代入a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4)＝31. ∴a 1＝1. ∴a n ＝2n －1.答案：A4解析:∵(a 3＋a 5)·q 6＝a 9＋a 11, ∴2,2,1814426±===q q q . 又∵236)22(18)(35386±=±⨯=⋅+=+q a a a a . 答案:236±5解析:∵7,a ,b ,56成等差数列, ∴a ＋b ＝7＋56＝63.∵7,c ,d ,56成等比数列, ∴公比87563==q . ∴q ＝2. ∴c ＝14,d ＝28. ∴c ＋d ＝42. ∴a ＋b ＋c ＋d ＝105. 答案：1056解析:设{a n }的公比为q ,由a 3a 11＝4a 7及数列{a n }是等比数列得a 3a 11＝a 1q 2·a 1q 10＝（a 1q 6)2＝a 72＝4a 7,所以a 7＝4,即b 7＝a 7＝4. 因为数列{b n }为等差数列, 所以b 5＋b 9＝2b 7＝8. 答案:C7解析:由题意知f (2 007,2 008)＝f (2 007,1)＋2×2 007＝f (1,1)×22 006＋2×2 007＝22 006＋4 014.故选C. 答案:C8解:三个数适当排列,不同的排列方法有6种,但这里不必分成6种,因为若以三个数中哪一个数为等比中项,则只有三种情况,因此对于分类讨论问题,恰当的分类是解好问题的关键. 由已知,可设这三个数为a －d ,a ,a ＋d , 则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6, ∴a ＝2.这三个数可表示为2－d ,2,2＋d , (1)若2－d 为等比中项, 则有(2－d )2＝2(2＋d ).解之,得d ＝6或d ＝0(舍去).此时三个数为－4,2,8. (2)若2＋d 是等比中项, 则有(2＋d )2＝2(2－d ).解之,得d ＝－6或d ＝0(舍去).此时三个数为8,2,－4. (3)若2为等比中项,则22＝(2＋d )·(2－d ), ∴d ＝0(舍去).综上可求得此三数为－4,2,8. 9证明:∵lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列, ∴2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4. ∴a 22＝a 1·a 4.设等差数列{a n }的公差为d , 10解:(1)a 1＝2,a 2＝2＋c ,a 3＝2＋3c , 因为a 1,a 2,a 3成等比数列, 所以(2＋c )2＝2(2＋3c ). 解得c ＝0或c ＝2.当c ＝0时,a 1＝a 2＝a 3,不符合题意,舍去,故c ＝2. (2)因为a 2－a 1＝c ,a 3－a 2＝2c ,…, a n －a n －1＝(n －1)c ,所以c n n c n a a n 2)1()]1(21[1-=-+++=- . 又a 1＝2,c ＝2,故a n ＝2＋n (n －1)＝n 2－n ＋2(n ＝2,3,…). 当n ＝1时,上式也成立,所以a n ＝n 2－n ＋2(n ＝1,2,…).11 解：可以设衣物上原有的污垢为整体1,则洗1次后存留的污垢为41)431(1=-⨯,洗2次后存留的污垢为2)41()431(41=-⨯,洗3次后为32)41()431()41(=-⨯,…,每次洗后与上次洗后的比都为同一个常数41,所以每次洗后存留下的污垢的数量就构成了一个等比数列,由此我们可以得出洗n 次后存留的污垢为n )41(.要想满足要求,需n)41(＜1%,则n ＞3.故应至少洗4次,存留的污垢才能在1%以下.2.4.2等比数列(二)夯基达标1.在等比数列{a n }中,a 3·a 4·a 5＝3,a 6·a 7·a 8＝24,则a 9·a 10·a 11的值等于( ) A.48 B.72 C.144 D.1922.如果－1，a ,b ,c ,－9成等比数列，那么( )A.b ＝3,ac ＝9B.b ＝－3,ac ＝9C.b ＝3,ac ＝－9D.b ＝－3,ac ＝－93.已知等比数列{a n }各项均为正数,且a 1,321a ,a 2成等差数列,则5443a a a a ++等于( ) A.215+ B.215- C.251- D.215215-+或4.若在20,50,100三个数上各加同一个常数,使它们构成一个等比数列,则数列的公比是( ) A.23 B.35C.21D.345.若{a n }是等比数列,a 4·a 7＝－512,a 3＋a 8＝124,且公比q 为整数,则a 10＝_____________.6.(2009山东青岛模拟)已知各项不为0的等差数列{a n },满足2a 3－a 72＋2a 11＝0,数列{b n }是等比数列,且b 7＝a 7,则b 6b 8等于( )A.2B.4C.8D.16能力提升7.等差数列{a n }中,公差d ≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则=++++1074963a a a a a a __________.8.已知数列{a n }是等差数列,数列{b n }是等比数列,其公比q ≠1,且b i ＞0(i ＝1,2,3,…),若a 1＝b 1,a 11＝b 11,则( )A.a 6＝b 6B.a 6＞b 6C.a 6＜b 6D.a 6＞b 6或a 6＜b 69.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍.那么该单位此年的月平均增长率是______________.10.已知等比数列的前3项和为168,a 2－a 5＝42,求a 5,a 7的等比中项.11.某国银行A 提供每月支付一次年利率为7%的复利存款业务,而银行B 提供每天支付一次年利率为6.9%的复利存款业务,问哪种效益好? 拓展探究12.在等差数列{a n }中，公差d ≠0,a 2是a 1与a 4的等比中项，已知数列a 1,a 3, , , , ,21m k k k a a a …成等比数列，求数列{k n }的通项.参考答案1解析：由等比数列的性质，知(a 6·a 7·a 8)2＝(a 3·a 4·a 5)·（a 9·a 10·a 11),∴192324211109==⋅⋅a a a . 答案：D2解析：∵b 2＝(－1)×(－9)＝9, ∴b ＝±3. 又b ＜0,∴b ＝－3. ac ＝(－1)×(－9)＝9. 答案：B3解析:由题意得a 3＝a 1＋a 2,即a 1q 2＝a 1＋a 1q , ∴q 2＝1＋q . ∵q ＞0, ∴251+=q . ∴2151413*********-==++=++q q a q a q a q a a a a a .答案:B4解析:设在20,50,100三个数上同加一个x ,由题目已知可得(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x ). 解之，得x ＝25.故成等比数列的三个数为20＋25,50＋25,100＋25,公比为35. 答案:B5解析:由a 3·a 8＝a 4·a 7＝－512,联立⎩⎨⎧-=⋅=+,512,1248383a a a a∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=.4,128128,48383a a a a 或 ∴q ＝－2或21-=q (舍). ∴a 10＝a 8·q 2＝128×(－2)2＝512. 答案:5126解析:由题意知{a n }为等差数列,a 3＋a 11＝2a 7, ∴4a 7－a 72＝0, 则a 7＝4,a 7＝0(舍). ∴b 7＝4, 则b 6b 8＝b 72＝16. 答案:D7解析:在等差数列中,有a 3＋a 9＝2a 6,a 4＋a 10＝2a 7, ∴7676107496333a a a a a a a a a a ==++++.∵a 1,a 3,a 9成等比数列, ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d ). ∴a 1＝d .∴a 6＝6a 1,a 7＝7a 1. ∴所求的值为76. 答案:768解析:如图,在同一坐标系中,分别作出{a n }和{b n }对应函数的图象,由图可知a 6＞b 6. 故选B.答案:B9解析:由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均增长率只需利用m a a =112,所以月平均增长率为111-m . 答案:111-m10思路分析:利用已知条件,列出关于首项a 1和公比q 的方程组,求出a 1和q 后,问题便得以解决.解：设该等比数列的首项为a 1,公比为q ,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++,42,1684112111q a q a q a q a a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=++②.42)1(①,168)1(3121q q a q q a ∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2), ∴由①②可得41)1(=-q q . ∴21=q . 此时96)1(4231=-⋅=q q a .若G 是a 5,a 7的等比中项,则应有9)21(961021021752=⨯=⋅=⋅=q a a a G .∴a 5,a 7的等比中项是±3.11解:在年利率为r 的前提下,所谓“每月支付一次”,也就是按月利率12r每月付息;“每天支付一次”,也就是按日利率365r每日付息,故有在A 银行最初存入100美元,那么一年以后所得的本利和为072286.1100)005833.1(1001207.011001212⨯≈⨯=+⋅）（, 所以年有效收益为7.23%.而在B 银行最初存入100美元,那么一年以后所得的本利和为071413.1100)000189.1(100)365069.01(100365365⨯=⨯=+⨯. 所以年有效收益为7.14%.比较两银行提供的年有效收益,可见银行A 提供的投资行为效益更好. 12解：依题设得a n ＝a 1＋(n －1)d ,a 22＝a 1a 4, ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d ), 整理,得d 2＝a 1d . ∵d ≠0, ∴d ＝a 1. ∴a n ＝nd .∴由已知得d ,3d ,k 1d ,k 2d ,…,k n d ,…是等比数列. 由d ≠0,∴数列1,3,k 1,k 2,…,k n ,…也是等比数列，首项为1，公比为313==q ,由此得k 1＝9. 等比数列{k n }的首项k 1＝9,公比q ＝3, ∴k n ＝9×q n －1＝3n ＋1(n ＝1,2,3,…),即得到数列{k n }的通项为k n ＝3n ＋1.。