2017高考数学理一轮总复习教学案： 第13章 统计案例

第十三章 统计案例高考导航考纲要求备考策略1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法.2.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点，理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).统计案例是高中数学中应用性的章节，也是高考必考内容，高考中多数以选择、填空题形式考查，属于中、低档题，主要考查抽样方法、频率分布直方图及回归分析等内容.复习时采用以下应对策略：1.立足课本，突出基础，重视概念的辨析与理解.2.注重“操作”训练，如抽样方法的操作步骤，频率分布表和频率分布直方图、茎叶图的绘制等，要熟练掌握.3.重视统计与概率的综合运用，会用样本频率分布估计总体分布，会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总体方差；提高搜集处理信息及分析解决问题的能力.4.加强统计应用性的训练，能用统计的方法提供决策、制定方案.知识网络13.1 抽样方法与用样本估计总体考点诠释重点：三种抽样方法的区别、联系与操作步骤，样本频率分布直方图和茎叶图，用样本估计总体的思想.难点：简单随机抽样，总体的期望与方差概念的建立.典例精析题型一 抽样方法【例1】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.【思路分析】(1)设出游泳组各年龄段人数比例，利用和登山组的比例关系，建立在总单位所占的比例关系，解方程求得结果；(2)据分层抽样的比例关系求得各年龄段人数.【解析】(1)设登山组人数为x ，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%，解得b ＝50%，c ＝10%，则a ＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60人；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75人；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15人.【方法归纳】(1)分层抽样适用于总体由有明显差异的几部分组成的情况，并且在各层抽取个体时宜采用简单随机抽样方法，分层抽样中每个个体被抽取的可能性相等，体现了抽样的公平性；(2)分层抽样与系统抽样的区别分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上的抽取是按事先定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的.故系统抽样不同于分层抽样.【举一反三】1.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( C )A.7B.9C.10D.15【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，第k 组的号码为30(k －1)＋9，令451≤30(k －1)＋9≤750，而k ∈Z ，解得16≤k ≤25，则满足16≤k ≤25的整数k 有10个.题型二 频率分布直方图【例2】(1)在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A.32B.0.2C.40D.0.25 (2)某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有 名.【思路分析】根据频率分布直方图的含义可求.【解析】(1)A.由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，解得x ＝0.2.故中间一组的频数为160×0.2＝32.(2)40.由题知，成绩大于等于80分且小于90分的学生所占的频率为1－(0.005×2＋0.025＋0.045)×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名.【方法归纳】解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义，识图获取信息是解决该类问题的关键.频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比.【举一反三】2.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为 32 ，样本数据落在[2,10)内的频率为 0.4 .【解析】样本数据落在[6,10)内的样本频数为0.08×4×100＝32，样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.题型三 平均数、方差的计算【例3】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下： 甲 4 7 10 9 5 6 8 6 8 8 乙 7 8 6 8 6 7 8 7 5 9 试问谁10次射靶的情况较稳定？【思路分析】首先利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价.【解析】x 甲＝110(4＋7＋…＋8)＝7.1，x 乙＝110(7＋8＋…＋9)＝7.1，s 2甲＝110[(4－7.1)2＋(7－7.1)2＋…＋(8－7.1)2]＝3.09， s 2乙＝110[(7－7.1)2＋(8－7.1)2＋…＋(9－7.1)2]＝1.29. 因为s 2甲＞s 2乙，所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定.【方法归纳】平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.【举一反三】3.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种？ (2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将这两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定.【解析】(1)因为间隔时间相同，所以是系统抽样.(2)茎叶图如下： (3)甲车间：平均值x 1＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，方差s 21＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋…＋(99－100)2]≈3.428 6；乙车间：平均值x 2＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，方差s 22＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋…＋(110－100)2]≈228.571 4.因为x 1＝x 2，s 21<s 22，所以甲车间的产品较稳定.体验高考(2015新课标Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解析】D.由柱形图可知：A ，B ，C 均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少，所以排放量与年份负相关，所以D 不正确.【举一反三】(2015安徽)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1, 2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( C )A.8B.15C.16D.32 【解析】设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8，可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16.13.2 两变量间的相关性、回归分析和独立性检验考点诠释重点：了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用.难点：对独立性检验、回归分析的基本思想方法的理解.典例精析题型一 求回归直线方程【例1】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【思路分析】(1)利用回归方程系数公式求出回归方程；(2)利用回归方程进行分析预测.【解析】(1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值.故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.【方法归纳】当x 与y 呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归直线方程进行计算和预测.【举一反三】1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6y 2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 【解析】(1)由题意，作散点图如图.(2)由对照数据，计算得＝66.5，＝32＋42＋52＋62＝86，x ＝4.5，y ＝3.5， b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (3)x ＝100，y ＝100×0.7＋0.35＝70.35(吨标准煤)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤).题型二 独立性检验【例2】衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.优秀 非优秀 合计甲班10 乙班30合计110 (1)请完成上面的列联表；(2)根据列表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；参考公式与临界值表：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2≥k 0)0.1000.0500.0250.0100.001k 0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【思路分析】本题主要考查独立性检验，解题关键是正确列出2×2列联表，求出K 2的值. 【解析】(1)列联表如下：优秀 非优秀 合计甲班 10 50 60 乙班203050合计30 80 110 (2)根据列联表中的数据，得到K 2＝110×(10×30－20×50)260×50×30×80≈7.486＜10.828. 因此，按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.【方法归纳】判断两个变量之间关系的方法有两种：一是利用二维条形图判断，但图形不能给我们两个分类之间的有关或无关的精确的可信程度；二是利用独立性检验，能作出精确的判断.【举一反三】2.通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：性别与看营养说明列联表 单位：名男 女 总计看营养说明 50 30 80 不看营养说明102030总计60 50 110 (1)从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，那么样本中看与不看营养说明的女生各多少名？(2)从(1)中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 02.7063.8415.0246.6357.879【解析】(1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有550×30＝3名，样本中不看营养说明的女生有550×20＝2名.(2)记样本中看营养说明的3名女生为a 1，a 2，a 3，不看营养说明的2名女生为b 1，b 2，从这5名女生中随机选取2名，共有10个等可能的基本事件：a 1，a 2；a 1，a 3；a 1，b 1；a 1，b 2；a 2，a 3；a 2，b 1；a 2，b 2；a 3，b 1；a 3，b 2；b 1，b 2.其中事件A “选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个基本事件：a 1，b 1；a 1，b 2；a 2，b 1；a 2，b 2；a 3，b 1；a 3，b 2.所以所求的概率为P (A )＝610＝35.(3)假设H 0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K 2应该很小.根据题中的列联表得K 2＝110×(50×20－30×10)280×30×60×50＝53972≈7.486. 由P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005可知，有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关.体验高考(2015新课标Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x ，根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，【解析】(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^＝＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2×(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12，所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.【举一反三】(2015福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元)8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( B )A.11.4万元B.11.8万元C.12万元D.12.2万元 【解析】由统计数据表可得x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10.0，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8.0，则a ^＝8.0－0.76×10.0＝0.4，所以回归直线方程为y ^＝0.76x ＋0.4，当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8，故估计年收入为15万元家庭的年支出为11.8万元，故选B.。