2017高考数学一轮基础复习--三角恒等变换课件(38张)
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高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件
第六节 简单的三角恒等变换
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
2017届高三数学文理通用一轮复习课件：4.6 简单的三角恒等变换
α=
������ ������ 2 sin -cos . 2 2
( √ ) ( √ ) (× ) ( √ )
(5)y=sin 2xcos 2x 的最大值为 1. (× ) (6)公式 asin x+bcos x=√������2 + ������ 2 sin(x+4)中 4 的取值与 a,b 的值 有关. ( √ )
π 4
= cos α +
4 5
π 4
(cos2α-sin2α),
所以,sin αcos +cos αsin
当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角,知 α= +2kπ,k∈Z. 此时,cos α-sin α=-√2. 当 sin α+cos α≠0 时,有(cos α-sin α) 此时 cos α-sin α=- .
解:(1)∵0<β< <α<π,
=
√5
3
,
������ ������ 4√5 2 sin α- = 1-cos α- = , 2 2 9 α+������ ������ α ∴cos 2 =cos α- 2 - 2 -������ ������ α ������ α =cos α- cos -������ +sin α- sin -������ 2 2 2 2 √5 1 4√5 2 7√5 = - × + × = , 9 3 9 3 27 α+������ ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1 49×5 239 =2× -1=- . 729 729
4.6 简单的三角恒等变换
第四章
4.6
简单的三角恒等变换
2017版高考数学一轮总复习课件：第四章 第四节三角恒等变换
第四节 三角恒等变换
第一页，编辑于星期六：二十点 六分。
第二页，编辑于星期六：二十点 六分。
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β. (2)sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数 值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.
第十六页，编辑于星期六：二十点 六分。
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把
所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调 区间求得角，有时要压缩角的取值范围. 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角范围，再
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案
2 2
第十五页，编辑于星期六：二十点 六分。
三角函数化简、求值的解题方法
三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难， 但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系
，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.
(2)由 f(α)＝2＋ 3得 2sin2α＋π6 ＋2＝2＋ 3，
所以
sin2α＋π6 ＝
23.所以
ππ 2α＋ 6 ＝ 3 ＋2k1π或
2α＋π6 ＝2π3 ＋2k2π(k1，k2∈Z)，
π
π
即 α＝12＋k1π或 α＝ 4 ＋k2π(k1，k2∈Z).
第一页，编辑于星期六：二十点 六分。
第二页，编辑于星期六：二十点 六分。
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β. (2)sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数 值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.
第十六页，编辑于星期六：二十点 六分。
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把
所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调 区间求得角，有时要压缩角的取值范围. 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角范围，再
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案
2 2
第十五页，编辑于星期六：二十点 六分。
三角函数化简、求值的解题方法
三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难， 但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系
，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.
(2)由 f(α)＝2＋ 3得 2sin2α＋π6 ＋2＝2＋ 3，
所以
sin2α＋π6 ＝
23.所以
ππ 2α＋ 6 ＝ 3 ＋2k1π或
2α＋π6 ＝2π3 ＋2k2π(k1，k2∈Z)，
π
π
即 α＝12＋k1π或 α＝ 4 ＋k2π(k1，k2∈Z).
三角恒等变换课件
பைடு நூலகம்
三角恒等变换概述
在本节中，我们将介绍三角恒等变换的概念，并探讨恒等变换的证明方法，帮助您深入理解这个 重要的数学概念。
定义三角恒等变换
- 三角恒等变换的定义和作用
恒等变换的证明方法
- 如何证明三角恒等变换的等式
常用的三角恒等变换公式
在本节中，我们将学习一些常用的三角恒等变换公式，这些公式在解题和化简数学表达式中非常 有用。
- 概括和总结所学的三角恒等变换知识和应用
练习三角恒等变换的题目
- 提供一些练习题目，让大家通过实践巩固所学的三角恒等变换知识
解三角函数方程
- 使用三角恒等变换解决各种类型的三角函数方程
求三角函数值
- 利用三角恒等变换计算各种角度的三角函数值
化简数学表达式
- 利用三角恒等变换化简复杂的数学表达式
总结与练习
在本节中，我们将总结刚刚学习的三角恒等变换的知识点和应用，并提供一些练习题供大家巩固 所学。
总结三角恒等变换的知识点和应用
三角恒等变换课件
这是一份关于三角恒等变换的课件，我们将深入探讨三角恒等变换的各个方 面，包括基础知识回顾、概述、常用公式、应用等内容。
引言
在本节中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括周期性、奇偶性等，并为后续的学习打下基础。
三角函数基础知识回顾
- 正弦、余弦和正切的定义
三角函数的周期性和奇偶性
- 三角函数的周期性和奇偶性特点
和差公式
- 正弦、余弦和正切的和差公式
积化和差公式
- 正弦、余弦和正切的积化和差公式
幂指公式
- 正弦、余弦和正切的幂指公式
倍角公式
- 正弦、余弦和正切的倍角公式
半角公式
三角恒等变换概述
在本节中，我们将介绍三角恒等变换的概念，并探讨恒等变换的证明方法，帮助您深入理解这个 重要的数学概念。
定义三角恒等变换
- 三角恒等变换的定义和作用
恒等变换的证明方法
- 如何证明三角恒等变换的等式
常用的三角恒等变换公式
在本节中，我们将学习一些常用的三角恒等变换公式，这些公式在解题和化简数学表达式中非常 有用。
- 概括和总结所学的三角恒等变换知识和应用
练习三角恒等变换的题目
- 提供一些练习题目，让大家通过实践巩固所学的三角恒等变换知识
解三角函数方程
- 使用三角恒等变换解决各种类型的三角函数方程
求三角函数值
- 利用三角恒等变换计算各种角度的三角函数值
化简数学表达式
- 利用三角恒等变换化简复杂的数学表达式
总结与练习
在本节中，我们将总结刚刚学习的三角恒等变换的知识点和应用，并提供一些练习题供大家巩固 所学。
总结三角恒等变换的知识点和应用
三角恒等变换课件
这是一份关于三角恒等变换的课件，我们将深入探讨三角恒等变换的各个方 面，包括基础知识回顾、概述、常用公式、应用等内容。
引言
在本节中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括周期性、奇偶性等，并为后续的学习打下基础。
三角函数基础知识回顾
- 正弦、余弦和正切的定义
三角函数的周期性和奇偶性
- 三角函数的周期性和奇偶性特点
和差公式
- 正弦、余弦和正切的和差公式
积化和差公式
- 正弦、余弦和正切的积化和差公式
幂指公式
- 正弦、余弦和正切的幂指公式
倍角公式
- 正弦、余弦和正切的倍角公式
半角公式
高考数学一轮复习第三章第四讲简单的三角恒等变换课件
又 α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜34π.
所以 α－π4＝π2.故 α＝34π.
因此，tan
α＋π3＝tan
34π＋π3＝1t－anta3n4π＋34πttaann
π 3π＝－11＋＋
3
3＝ 3
2－ 3.
【反思感悟】三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 a sin x＋b cos x 的形式.
(2)构造 f(x)＝
a2＋b2
a a2＋b2·sin
x＋
b a2＋b2·cos
x.
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)(其中 φ 为辅助
角).
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
【高分训练】
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
答案：B
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换课件
成立.
=
sin +cos
=左边,所以原等式
sin -cos
考点二
三角函数式的求值(多考向探究)
考向1.给角求值问题
典例突破
例 3.(1)
3cos20 °-sin20 °
=
cos20 °cos70 °
.
π
1
(2)(2023 河南开封名校联考)已知锐角 α,β 满足 α+β= ,则
3
sin cos
π π
例如:α=(α+6)-6=(α-3)+3,α=(α+β)-β=β-(β-α),
2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α,
+ -
+ -
α= 2 + 2 ,β= 2 − 2 等.
(2)两角互余与互补关系
π
π
π π
4sin40 °
=4.
sin40 °
3
β= ,
2
∵α,β 均为锐角,则 sin αcos β>0,cos αsin β>0,
1
1
∴
+
sincos
cossin
=
2 3
(sin
3
αcos β+cos αsin
1
1
β)(
+
)
sincos
cossin
2 3
cossin
sincos
2 3
增素能 精准突破
考点一
三角函数式的化简与证明(多考向探究)
三角恒等变换课件
解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
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A．13
B．1
C． 3
D． 6
[答案] B [解析] ∵1t－an1ta0n°1＋0°ttaann2200°°＝tan30°＝ 33，
∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)．
∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
3．若 α，β∈(0，π2)且 tanα＝12，tanβ＝13，则 tan(α＋β)＝________.
－ tan1(71x＋1y)3＝1t－anxta＋nxttaannyy＝1－1414×－3－3＝－171.
tan(x－y)＝1t＋anxta－nxttaannyy＝1＋14－＋33×14＝13.
tan(α－β)＝12，tanβ＝13，则 tanα＝( )
A．1
B．17
C．15
D．57
[答案] [解析]
成才之路 ·数学
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 三角恒等变换
第三章
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切 公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公 式
第2课时 两角和与差的正切
1 优效预习 2 高效课堂
3 当堂检测 4 课时作业
优效预习
●知识衔接
1．两角和与差的余弦公式 (1)差角公式C(α－β)：cos(α－β)＝________. (2)和角公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝________. [答案] (1)cosαcosβ＋sinαsinβ (2)cosαcosβ－sinαsinβ
[解析] (1)原式＝1t＋an6ta0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝ 1.
(2) 原 式 ＝ 11－＋ttaann1155°°＝ 1t－an4ta5n°4＋5°ttaann1155°°＝ tan(45°＋ 15°) ＝ tan60°＝ 3.
[点评] 注意利用常数代换，熟记几个特殊三角函数值对应的 角的度数：1＝tan45°， 3＝tan60°等．
(2)tanα＝csoinsαα
4．求值：(1)(2015·新课标全国Ⅰ 理)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ ________；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－ x)sin(36°＋x)＝________.
[分析] (1)符合S(α－β)，(2)符合S(α＋β)的结构 特[解征析，] 可(1)原直式接＝运sin用20°Sco(sα1±0°β＋)．cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)
＝12.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
●自主预习
1．由 S(α＋β)及 C(α＋β)及sin同αc角os关β＋系c式osαtsainnαβ＝csoinsαα可得，tan(α＋β)
＝
sinα＋β 展开 tcaonsα＋α＋taβnβ =====
__c_o_s_α_c_o_sβ_－__s_i_n_α_s_in_β__.
2．两角和与差的正弦公式 (1)和角公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝________. (2)差角公式S(α－β)：sin(α－β)＝________. [答案] (1)sinαcosβ＋cosαsinβ (2)sinαcosβ－cosαsinβ 3．同角间三角函数关系 (1)平方公式________． (2[答)商案]式(关1)s系in2α：＋_co_s_2α_＝_1___.
[答案] [解析]
1tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαttaannββ＝121＋ －1316＝1.
高效课堂
●互动探究
两角和与差的正切公式的应用
已知 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么 tan(α＋π4)2 [探究]
D．138 角 α＋β、β－π4、α＋π4之间的关系．
分子、分母同除以 co=s=α=c=o=sβ
___1_－__ta_n_α_·_ta_n_β_______.使此表达式有意义的 α、β、α＋β 均不等于 __k_π_＋__π2___(_k_∈__Z_)_____．
2．推导 tan(α－β)的公式，既可以用 tan(α－β)＝csoinsαα－－ββ，
●预习自测
1．若 tanα＝3，tanβ＝43，则 tan(α－β)＝( )
A．－3
B．－13
C．3 [答案] [解析]
D．13 tDan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋3－3×43 43＝13.
2．tan10°tan20°＋ 3(tan10°＋tan20°)的值等于( )
[解析] tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]
＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－π4π4＝1＋25－25×14 14＝232. [答案] C
已知 tanx＝14，tany＝－3，则 tan(x＋y)＝________，tan(x－y)
＝________.
[答案] [解析]
也可以将 tan(α－β)变换ta为nα－tanta[nαβ＋(－β)]．自己写出推证过程，结 果为 tan(α－β)＝_____1_＋__t_an_α__ta_n_β_____.使此表达式有意义的 α、β、 α－β，均不等于_____k_π_＋__π2_(k_∈__Z__) ____．
3．两角和与差的三角函数公式间的关系
化简求值： (1)11－＋ttaann7755°°； (2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)； (3)tan25°＋tan35°＋ 3tan25°tan35°.
[解析] (1)原式＝1t－an4ta5n°4＋5°ttaann7755°°＝tan(45°＋75°)＝－ 3. (2) 因 为 (1 ＋ tan1°)(1 ＋ tan44°) ＝ 1 ＋ tan1°＋ tan44°＋ tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式 ＝222. (3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝1t－an2ta5n°2＋5°ttaann3355°°＝ 3， ∴tan25°＋tan35°＝ 3(1－tan25°tan35°)， ∴tan25°＋tan35°＋ 3tan25°tan35°＝ 3.
Atanα＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1－12＋12×13 13＝
1.
两角和与差的正切公式的逆用及 变形应用
求值： (1)1＋3－3ttaann1155°°；(2)11＋＋ttaann11655°°.
[探究] 利用常数代换，将(1)、(2)整理成两角和与差的正切 公式的形式．