数值分析第二次上机作业实验报告
数值分析上机实验报告
实验报告一题目： （绪论） 非线性方程求解及误差估计摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法、Newton 法和改进的Newton 法。
可以节省计算机的计算时间，还能减小不必要的误差。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton 法的基本原理、应用以及熟练掌握用MATLAB 求函数积分 数学原理：（1）函数的调用格式：quadl(filename,a,b,tol,trace)其中filename 是调用函数名，a 和b 分别为定积分的下限和上限。
用来控制积分精度。
（2）秦九韶算法： S n =a nS k =xS k+1+a k (k=n-1,n-2,...,0), P n (x)=S 0 程序设计：例1.1 计算积分de x xx110利用MATLAB ，下面给出主程序>>g=inline('x.^10.*exp(x-1)'); %定义一个语句函数g(x)=exp(x^10*exp(x-1)) I=quadl(g,0,1) I =0.0098例1.9 秦九韶算法a 0=3,a k=2a k-1+3,Pn(x)=a n x^n+a n-1x^(n-1)+...+a1x+a0求I1=P100(0.5),I2=P150(13)>>x=input('x=');n=input('n=');a=3;for i=1:na=2*a+3;ends=z;b=(a-3)/2;for m=1:100s=x*s+b;b=(b-3)/2;enddisp(s);>>x=0.5n=100600.0000>>x=3n=1004.7039e+078结果分析和讨论：结论：对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。
数值分析第二次大作业——编写ln函数实验报告
为一个整体，将 ln(a)进行 Taylor 级数分解，进而按式计算可以求得 ln(x)的值。由于我们选 取级数的前 n 项和近似 ln(a)，则有：
Rn (a
1)
(1)n
(a 1)n1 n 1
…；
|
Rn
(a
1)
||
(a 1)n1 n 1
|
。
2
自 92 乔晖 2009011414
精度为 20 位，即 h4 1020 。
int * GetNumber() {return number;}
//获得大数中的整数数组
bool GetSgn() const {return sgn;}
//获得大数的符号
bool IsZero();
//判断大数是否为 0
CBigNumber Reverse() {sgn = !sgn;return *this;} //取相反数
数值分析——编写 ln 函数
实验报告
自 92 乔晖 2009011414
自 92 乔晖 2009011414
数值分析——编写 ln 函数实验报告
目录
一、 实验任务 ................................................... 2
二、 编译环境 ................................................... 2
1u
x 1
35
5
自 92 乔晖 2009011414
数值分析——编写 ln 函数实验报告
其前 n 项和，近似可得 ln(x)的值。
基于以上原理，可以设计迭代算法，累加 2u2i1 得到前 n 项和。每次计算后，判断计 2i 1
数值分析上机实习报告
指导教师：姓名：学号：专业：联系电话：上海交通大学目录序言 (3)实验课题(一) 雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (4)数值分析 (6)实验课题(二) 松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (6)数值分析 (12)总结 (13)附录（程序清单） (14)1.雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (14)雅可比迭代法： (14)高斯-塞得尔迭代法： (16)2.松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (18)松弛法（SOR） (18)序言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在实际解决这些计算问题的长期过程中，形成了计算方法这门学科，专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的误差分析，是一门内容丰富，有自身理论体系的实用性很强的学科。
解决工程问题，往往需要处理很多数学模型，这就要花费大量的人力和时间，但是还有不少数学模型无法用解析法得到解。
使用数值方法并利用计算机，就可以克服这些困难。
事实上，科学计算已经与理论分析、科学实验成为平行的研究和解决科技问题的科学手段，经常被科技工作者所采用。
作为科学计算的核心内容——数值分析（数值计算方法），已逐渐成为广大科技工作者必备的基本知识并越来越被人重视。
由于数值方法是解数值问题的系列计算公式，所以数值方法是否有效，不但与方法本身的好坏有关，而且与数值问题本身的好坏也有关，因此，研究数值方法时，不但需要研究数值方法的好坏，即数值稳定性问题，而且还需要研究数值问题本身的好坏，即数值问题的性态，以及它们的判别问题。
数值计算的绝大部分方法都具有近似性，而其理论又具有严密的科学性，方法的近似值正是建立在理论的严密性基础上，根据计算方法的这一特点。
因此不仅要求掌握和使用算法，还要重视必要的误差分析，以保证计算结果的可靠性。
数值计算还具有应用性强的特点，计算方法的绝大部分方法如求微分方程近似解，求积分近似值，求解超越方程，解线性方程组等都具有较强的实用性，而插值法，最小二乘法，样条函数等也都是工程技术领域中常用的，有实际应用价值的方法。
数值分析实验报告二
数值实验报告二一、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU 分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、实验内容解下列两个线性方程组（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x （2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----15900001.582012151526099999.23107104321x x x x 四、算法描述1、 列主元素高斯消去法记： ij ij a a =1)( (i, j = 1,2,3n )i i b b =1)( (i = 1,2,3n )消元过程：对于k = 1,2,3n(1) 选行号k i ，使)()(max k i ni k k k i k k a a ≤≤=。
(2) 交换)(k kj a 与)(k j i k a （j = k, k+1,k+2n ）以及)()(k i k k k b b 与所含的数值。
（3）对于i = k, k+1,k+2n ,计算)()(k kkk ik ik a a m =)()()1(k kj ik k ij k ij a m a a -=+ （j = k, k+1,k+2n ）)()()1(k k ik k i k i b m b b -=+回代过程：)(n nnn n a b x = )()1)()(/(k kk j n k j k kj k k k a x a a x ∑+=-= （k = n-1, n-2, n-3 1 ）在此算法中的)(k k i k a 称为第k 个列主元素，它的数值总要被交换到第k 个主对角线元素的位置上。
2、 LU 分解法通过MATLAB 自有的函数，把系数矩阵A 分解成A=LU ，其中：L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵，这时方程组Ax=b 就可以分解成两个容易求解的三角形方程组Ly=b ，Ux=y 。
优质文档精选——数值分析上机实验报告
数值分析上机实验报告《数值分析》上机实验报告1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。
1.1 理论依据：设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件{}αϕ上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号在区间],[0)(3,2,1,0,)(')()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20)()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f ab c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==-==∈≤-≠>+令)9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>⋅''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f故以1.9为起点⎪⎩⎪⎨⎧='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。
当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。
本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。
1.2 C 语言程序原代码：#include<stdio.h>#include<math.h> main(){double x2,f,f1;double x1=1.9; //取初值为 1.9 do{x2=x1;f=pow(x2,7)-28*pow(x2,4)+14; f1=7*pow(x2,6)-4*28*pow(x2,3); x1=x2-f/f1;}while(fabs(x1-x2)>=0.00001||x1<0.1); //限制循环次数 printf("计算结果：x=%f\n",x1);}1.3 运行结果：1.4 MATLAB 上机程序function y=Newton(f,df,x0,eps,M) d=0;for k=1:Mif feval(df,x0)==0d=2;breakelsex1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);ende=abs(x1-x0);x0=x1;if e<=eps&&abs(feval(f,x1))<=epsd=1;breakendendif d==1y=x1;elseif d==0y='迭代M次失败';elsey= '奇异'endfunction y=df(x)y=7*x^6-28*4*x^3;Endfunction y=f(x)y=x^7-28*x^4+14;End>> x0=1.9;>> eps=0.00001;>> M=100;>> x=Newton('f','df',x0,eps,M);>> vpa(x,7)1.5 问题讨论：1.使用此方法求方解，用误差来控制循环迭代次数，可以在误差允许的范围内得到比较理想的计算结果。
数值分析上机实验报告
数值分析上机实验理学院11级统计01班41108030125鲁庆实验报告一一．实验名称误差与误差估计二．实验目的掌握数值运算的误差估计方法三．数学原理 1.绝对误差(*)e x设某一量的准确值为x ，近似值为x*，则x*与x 之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为*(*)*e e x x x ==- 2.绝对误差限适当小的正数，使|(*)||*|*e x x x ε=-≤则称*ε为近似值 x * 的绝对误差限。
(有时用*x x ε*=±表示近似值x *的精度或准确值的所在范围。
3.相对误差(*)r e x绝对误差与准确值之比*(*)*(*),0r r e x x xe e x x x x-===≠称为x *的相对 误差。
4.相对误差限(*)r x ε若指定一个适当小的正数 (*)r x ε，使|(*)||(*)|(*)||r r e x e x x x ε=≤则称(*)r x ε为近似值 x *的相对误差限。
5.有效数字若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n 位，则称近似值x*有n 位有效数字，或说x*精确到该位。
6.绝对误差的运算：)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε (f(x))()(x)f x εε'≈四．实验内容1. 计算I n=e 1-⎰10nxe x 2dx (n=0,1,...)并估计误差。
解： >> I0 = exp(-1)*quad('(x.^0).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));>> vpa(I0,10) ans =.5380795069>> I1= exp(-1)*quad('(x.^1).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I1,10) ans =.3160602794>> I2 = exp(-1)*quad('(x.^2).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I2,10) ans =.2309602465>> I3 = exp(-1)*quad('(x.^3).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I3,10) ans =.1839397206>> I4 = exp(-1)*quad('(x.^4).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I4,10) ans =.1535596302>> I5 = exp(-1)*quad('(x.^5).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I5,10) ans =.1321205588>> I6 = exp(-1)*quad('(x.^6).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I6,10) ans =.1161009245>> I7 = exp(-1)*quad('(x.^7).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I7,10) ans =.1036383235>> I8 = exp(-1)*quad('(x.^8).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I8,10) ans =.9364676413e-1>> I9 = exp(-1)*quad('(x.^9).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I9,10) ans =.8544670595e-1 2.计算x255的值。
数值分析上机作业2
数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。
求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。
直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。
当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。
对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。
方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
实验一一、实验名称：矩阵的LU分解.二、实验目的：用不选主元的LU分解和列主元LU分解求解线性方程组Ax=b, 并比较这两种方法.三、实验内容与要求（1）用所熟悉的计算机语言将不选主元和列主元LU分解编成通用的子程序，然后用编写的程序求解下面的84阶方程组将计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss消去法的看法。
（2）写出追赶法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组（1）①不选主元高斯消去法求解方程组function [L,U]=gauss1(A,b)n=length(A);for k=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endL=tril(A(:,1:n),-1)+eye(n);U=triu(A);主程序为：Clear；clc；a=ones([84,1])*6;b=ones([83,1]);c=ones([83,1])*8;A=diag(a)+diag(b,1)+diag(c,-1); d=ones([82,1])*15;b=[7;d;14];[L U]=gauss1(A,b);n=length(A);y=ones(n,1);y=L\b;x=ones(n,1);x=U\y解为：x=11.000000000000001.000000000000001.000000000000000.9999999999999981.000000000000000.9999999999999931.000000000000010.9999999999999721.000000000000060.9999999999998861.000000000000230.9999999999995451.000000000000910.9999999999981811.000000000003640.9999999999927251.000000000014550.9999999999708981.000000000058200.9999999998835921.000000000232820.9999999995343671.000000000931270.9999999981374691.000000003725060.9999999925498741.000000014900250.9999999701994971.000000059601010.9999998807979861.000000238404030.9999995231919461.000000953616110.9999980927677831.000003814464440.9999923710711301.000015257857740.9999694842845201.000061031430960.9998779371380811.000244125723840.9995117485523231.000976502895350.9980469942092911.003906011581410.9921879768371871.015624046325570.9687519073490881.062496185300920.8750076294018071.249984741181830.5000305176945351.99993896437811 -0.999877927824961 4.99975585192486 -6.99951168894947 16.9990233182979 -30.9980463981918 64.9960918427676 -126.992179871071 256.984344484284 -510.968627937136 1024.93701174855 -2046.87304699420 4096.74218797682 -8190.46875190732 16383.8750076293 -32764.5000305175 65531.0001220701 -131055.000488281 262097.001953124 -524127.007812498 1048001.03125000 -2094975.124999994185857.49999999-8355328.9999999716645128.9999999-33028126.999999965007744.9999998-125821439.000000234866688.999999-402628606.999999536838144.999998可见，这是一个病态方程，从56个跟开始发散。
数值分析上机实践报告
数值分析上机实践报告一、实验目的本次实验主要目的是通过上机操作，加深对数值分析算法的理解，并熟悉使用Matlab进行数值计算的基本方法。
在具体实验中，我们将实现三种常见的数值分析算法：二分法、牛顿法和追赶法，分别应用于解决非线性方程、方程组和线性方程组的求解问题。
二、实验原理与方法1.二分法二分法是一种常见的求解非线性方程的数值方法。
根据函数在给定区间端点处的函数值的符号，不断缩小区间的长度，直到满足精度要求。
2.牛顿法牛顿法是求解方程的一种迭代方法，通过构造方程的泰勒展开式进行近似求解。
根据泰勒展式可以得到迭代公式，利用迭代公式不断逼近方程的解。
3.追赶法追赶法是用于求解三对角线性方程组的一种直接求解方法。
通过构造追赶矩阵，采用较为简便的向前追赶和向后追赶的方法进行计算。
本次实验中，我们选择了一组非线性方程、方程组和线性方程组进行求解。
具体的实验步骤如下：1.调用二分法函数，通过输入给定区间的上下界、截止误差和最大迭代次数，得到非线性方程的数值解。
2.调用牛顿法函数，通过输入初始迭代点、截止误差和最大迭代次数，得到方程组的数值解。
3.调用追赶法函数，通过输入追赶矩阵的三个向量与结果向量，得到线性方程组的数值解。
三、实验结果与分析在进行实验过程中，我们分别给定了不同的参数，通过调用相应的函数得到了实验结果。
下面是实验结果的汇总及分析。
1.非线性方程的数值解我们通过使用二分法对非线性方程进行求解，给定了区间的上下界、截止误差和最大迭代次数。
实验结果显示，根据给定的输入，我们得到了方程的数值解。
通过与解析解进行比较，可以发现二分法得到的数值解与解析解的误差在可接受范围内，说明二分法是有效的。
2.方程组的数值解我们通过使用牛顿法对方程组进行求解，给定了初始迭代点、截止误差和最大迭代次数。
实验结果显示，根据给定的输入，我们得到了方程组的数值解。
与解析解进行比较，同样可以发现牛顿法得到的数值解与解析解的误差在可接受范围内，说明牛顿法是有效的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．实验任务
用MA TLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。
并用此程序进行数值试验，写出实验报告。
二．实验方法
最佳平方逼近方法采用基于正交多项式的最佳平方逼近，选择Lengendre 多项式做基。
计算组合系数时，函数的积分采用变步长复化梯形求积法。
三．程序功能和使用说明
1.采用基于正交多项式的最佳平方逼近，选择Lengendre 多项式做基
利用递推关系
0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....
n n n P x P x x
P x n xP x n P x n n --===---⎡⎤⎣⎦=
可构造出用户需要的任意次数的最佳平方逼近多项式。
2. 用M 文件建立数学函数，实现程序通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数。
3.已经考虑一般的情况]1,1[],[)(+-≠∈b a x f ，程序有变量代换的功能。
4.计算组合系数时，函数的积分采用变步长复化梯形求积法
5.可根据需要，求出二次、三次、。
最佳平方逼近函数）x s (。
6.最后作出逼近函数）x s (和被逼近函数)(x f 的曲线图可进行比较，分别用绘图函数plot 和fplot 绘图。
7.在matlab 的命令窗口，输入[c,sx]=leastp(@func1,a,b,n)，func1是被逼近函数，b 和a 分别是逼近函数的上、下区间，n 为最佳平方逼近的次数，可为任意次数。
四．程序代码（含注释）
1. 最佳平方逼近主函数
function [c,sx]=leastp(func,a,b,n)
%LEASTP.m:least-square fitting with legendre polynomials
%func 指被逼近函数，调用需要用句柄
%a,b 分别指被逼近函数的区间上下限
%n 指最佳平方逼近的次数
syms t;
syms x;
%以Lengendre 多项式为基，构造任意次数的最佳平方逼近多项式
p(2)=t;
p(1)=1;
if n>1
for j=3:1:(n+1)
p(j)=((2*j-3)*t*p(j-1)-(j-2)*p(j-2))/(j-1);
end
end
%变量代换，区间调整为[-1,1]
f=feval(func,(b-a)/2*t+(b+a)/2);
%计算组合系数，其中调用变步长复化梯形求积函数trapz
for j=1:1:(n+1)
c(j)=(2*j-1)/2*trapz(f*p(j),-1,1);
end
%将组合系数与对应的最佳平方多项式相乘然后求和，得到最佳逼近函数sx=0;
for j=1:1:(n+1)
sx=sx+c(j)*p(j);
end
%将变量替换还原
sx=subs(sx,(2*x-a-b)/(b-a));
%使用fplot绘制原函数图像
f1=feval(func,x);
f1=inline(f1);
[x,y]=fplot(f1,[a,b]);
plot(x,y,'r-','linewidth',1.5);
hold on;
%使用plot绘制最佳平方逼近函数图像
g=linspace(a,b,(b-a)*300);
fsx=subs(sx,g);
plot(g,fsx,'b-','linewidth',1.5);
str=strcat(num2str(n),'次最佳平方逼近');
legend('原函数',str);
end
2. 计算组合系数，变步长复化梯形求积法
function To1=trapz(func,a,b)
%半分区间复化梯形公式计算定积分
%func指需要求积分的原函数
%a,b分别指积分上下区间
%初值
h=b-a;
To=(subs(func,a)+subs(func,b))*(b-a)/2;
e=1;
while e>10^-6%迭代终止条件，前后两次积分值差小于10^-6 H=0;
x=a+h/2;
while x<b
H=H+subs(func,x);%计算出所有二分新出现的值的和
x=x+h;
end
To1=0.5*(To+h*H);%计算出新的积分值
e=abs(To1-To);
h=h/2;%继续半分区间，进行迭代计算
To=To1;
end
end
3. 以.m文件定义被逼近函数
function y=func1(x)
y=x*cos(x);
end
五．实验结果
1. 一次最佳平方逼近
c =
-1.1702 -2.4235
sx=
1.253290 - 1.211752*x
2. 二次最佳平方逼近
c =
-1.1702 -2.4235 -0.4265
sx=
-0.159939*x^2 - 0.571997*x + 0.826787
3. 三次最佳平方逼近
c =
-1.1702 -2.4235 -0.4265 1.2216
sx=
0.381759*x^3 - 2.450495*x^2 + 3.092892*x - 0.394843
4. 四次最佳平方逼近
c =
-1.1702 -2.4235 -0.4265 1.2216 0.3123
sx =
0.085392*x^4 - 0.301375*x^3 - 0.693864*x^2 + 1.531443*x - 0.082553
六．分析与讨论
从次数从1到4的最佳平方逼近图像对比可以发现，次数越高，图像拟合效果越好。
尤其是当n=4时，几乎与原函数重合，精度非常高。
但是，从实验中也发现，逼近次数越高，运算量越大，耗时也越长，换言之，时间和空间复杂度越高。
因此，在实际运用中应该从精度要求和算法复杂度两方面来综合考虑最佳平方逼近的次数。