分布式卡尔曼滤波
分布式卡尔曼滤波
分布式卡尔曼滤波（Distributed Kalman Filter）是一种基于分
布式计算的滤波算法，其目的在于对一个由多个传感器组成的系统进
行状态估计，其中每个传感器只能观测到系统的一部分状态。
传统的卡尔曼滤波算法是基于单一中心控制器的，该控制器负责
整个系统的状态估计和控制。
然而，在实际应用中，系统通常由多个
不同地点的传感器组成，因此中心控制器的方式会带来许多问题，比
如传感器之间的通信延迟、网络传输带宽限制等，影响了系统的实时
性和稳定性。
分布式卡尔曼滤波通过将卡尔曼滤波算法分解成多个局部滤波器，每个局部滤波器只负责对本地观测得到的状态进行估计，在滤波器之
间通过局部观测值和相关信息进行信息交互和更新，最终完成全局状
态估计。
相比于传统的卡尔曼滤波算法，分布式卡尔曼滤波具有计算
资源分布、通信开销小、实时性好等优点，因此在无人机、传感器网络、智能交通等领域得到了广泛应用。
分布式卡尔曼滤波的基本框架如下：
-系统模型：系统状态方程和观测方程；
-局部估计器：每个局部估计器利用本地观测值对局部状态进行估计，并预测下一时刻的状态；
-信息交互：每个局部估计器根据局部观测值和估计结果，与周围局部估计器交换信息，并更新自己的估计值；
-全局估计器：全局估计器收集所有局部估计器的消息，整合后获得全局状态估计值。
具体地，分布式卡尔曼滤波可以通过以下步骤进行实现：
1.确定系统模型：系统状态方程和观测方程是分布式卡尔曼滤波的关键。
最常用的是线性的系统状态方程和观测方程，可以用矩阵形式表示。
2.选择一个节点作为全局估计器：在分布式卡尔曼滤波中，需要一个节点负责整合所有局部估计值，得到全局状态估计值。
一般选择一个中心节点或者根据特定参数选择最优节点。
3.为每个局部估计器指定观测变量集合：由于每个局部估计器只能观测到系统的局部状态，因此需要在每个局部估计器处预先指定该
局部观测变量集合。
这里需要注意，不同局部观测变量之间应当是相
互独立的。
4.局部估计器的初始化：对于每个局部估计器，需要计算初始状
态向量和初始状态协方差矩阵，该过程可以利用先验知识和历史观测
数据计算得到。
5.局部估计器的迭代更新：
-预测：利用系统状态方程和局部观测值，计算下一时刻的状态向
量和状态协方差矩阵。
-信息交互：每个局部估计器将自己的局部估计值和信息传递给周
围局部估计器，收集周围局部估计器的信息，并进行信息整合。
-更新：利用卡尔曼滤波公式，将预测值和来自周围节点的信息整合，得到最终的状态向量和协方差矩阵。
如果局部观测值有新的更新，则加入到系统状态方程中进行更新。
6.全局估计器的输出：全局估计器收集所有局部估计器的消息，
整合后输出全局状态估计值和协方差矩阵。
总的来说，分布式卡尔曼滤波算法充分利用了分布式计算资源，
使得多个传感器可以在本地估计系统状态，减少数据传输和通信延迟，提高系统实时性和稳定性。
当然，在实际应用中，需要考虑传感器之
间的位置、观测精度、数据质量等多个因素，结合具体场景进行参数
调整和优化。
基于 ckf的分布式滤波算法
基于 CKF 的分布式滤波算法一、概述分布式滤波算法是一种用于处理分布式系统中传感器数据的算法，它通过合并多个传感器的信息，来提高系统的估计精度和鲁棒性。
基于CKF 的分布式滤波算法是一种常见的分布式滤波算法，它利用卡尔曼滤波器（CKF）来融合传感器信息，以实现对系统状态的精确估计。
二、CKF 的基本原理1. CKF 算法概述CKF 是一种递归估计算法，它基于贝叶斯滤波理论，通过将系统的状态表示为高斯分布，来估计系统的状态。
CKF 算法包括两个主要步骤：预测步骤和更新步骤。
在预测步骤中，CKF 通过系统的动态模型来预测系统的状态；在更新步骤中，CKF 利用测量信息来修正系统状态的估计值。
2. CKF 的数学表达CKF 的数学表达可以通过以下公式来表示：a. 预测步骤：- 状态预测：$x_{k|k-1} = f(x_{k-1|k-1}, u_k)$- 协方差预测：$P_{k|k-1} = F_kP_{k-1|k-1}F_k^T + Q_k$b. 更新步骤：- 创新：$y_k = z_k - h(x_{k|k-1})$- 创新协方差：$S_k = H_kP_{k|k-1}H_k^T + R_k$- 卡尔曼增益：$K_k = P_{k|k-1}H_k^TS_k^{-1}$- 状态更新：$x_{k|k} = x_{k|k-1} + K_ky_k$- 协方差更新：$P_{k|k} = (I - K_kH_k)P_{k|k-1}$三、基于 CKF 的分布式滤波算法1. 算法概述基于 CKF 的分布式滤波算法是一种利用 CKF 算法在分布式环境下进行状态估计的算法。
它通过将系统状态分解为不同传感器的局部状态，并在局部状态之间进行信息交换和融合，来实现对整个系统状态的估计。
2. 算法流程基于 CKF 的分布式滤波算法的流程可以分为以下步骤：a. 初始化：对各个传感器进行初始化，包括初始化局部状态和协方差矩阵。
b. 信息传递：传感器之间通过通信网络传递局部状态和协方差信息。
分布式多卡尔曼滤波器的并行化实现研究
分布式多卡尔曼滤波器的并行化实现研究随着科技的发展和信息技术的飞速进步，计算机并行化已经成为了科学计算的主流方式。
因为并行化技术能够大大缩短计算时间，提高计算效率，从而加快科学研究的进程。
在实际应用中，有很多需要使用卡尔曼滤波器进行数据处理和估计的问题。
而分布式多卡尔曼滤波器的并行化实现则是一个重要研究课题。
一、卡尔曼滤波器简介卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种经典的状态估计算法，广泛应用于各种实际问题中。
其基本思想是利用测量结果和模型的先验知识，对系统状态进行最优估计。
卡尔曼滤波器有线性和非线性两种，其中非线性卡尔曼滤波器也被称为扩展卡尔曼滤波器（EKF）。
二、分布式多卡尔曼滤波器简介分布式多卡尔曼滤波器（DMKF）是卡尔曼滤波器的一种扩展形式，它将一个卡尔曼滤波器分成多个部分，分别在各个子系统上运行。
这些部分之间通过通信协议进行信息交换，从而实现对整个系统状态的估计。
DMKF具有良好的可扩展性和容错性，在大规模复杂系统中的应用尤为重要。
三、DMKF的并行化实现方法并行化是DMKF的关键技术之一。
一些常规的并行化方法包括OpenMP、MPI 和CUDA等。
OpenMP适用于单节点并行化，MPI适用于多节点并行化，CUDA 适用于GPU计算。
不同的并行化方法有其各自的优缺点，需要根据实际问题进行选择。
在DMKF并行化实现中，需要考虑以下几个问题：1. 数据分割：将系统状态分割成若干部分，分别在不同子系统中进行计算。
2. 数据同步：不同部分之间需要进行信息交换，保证整个系统状态的一致性。
3. 计算负载均衡：在不同子系统中，计算负载应该均衡分布，避免某些节点因计算负载过大而导致计算效率低下的问题。
4. 线程并发控制：尤其是在多线程并发执行时，需要控制线程的同步和互斥。
四、DMKF的应用DMKF的应用领域非常广泛，包括物联网、机器人导航、信号处理、智能交通等。
一个典型的应用场景是车辆自动驾驶系统，该系统需要对车辆状态进行实时估计，以便进行自主控制。
卡尔曼滤波算法原理
卡尔曼滤波算法原理卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用来估计系统状态的算法。
它基于对系统的数学模型和测量数据进行分析，通过使用贝叶斯统计推断来计算系统当前的最优状态估计。
卡尔曼滤波算法在控制系统、导航系统、机器人学、图像处理等领域有广泛的应用。
卡尔曼滤波算法的原理可以概括为以下几步：1. 系统建模：首先，需要建立系统的数学模型，包括系统的动态方程和观测方程。
动态方程描述了系统状态的演化规律，而观测方程则描述了系统状态与测量值之间的关系。
这些方程通常以线性高斯模型表示，即系统的状态和测量误差符合高斯分布。
2. 初始化：在开始使用卡尔曼滤波算法之前，需要对系统状态进行初始化。
这包括初始化系统状态的均值和协方差矩阵。
通常情况下，均值可以通过先验知识来估计，而协方差矩阵可以设置为一个较大的值，表示对系统状态的初始不确定性较大。
3. 预测：在每一次测量之前，需要对系统的状态进行预测。
预测过程基于系统的动态方程，将上一时刻的状态估计作为输入，得到当前时刻的状态的先验估计。
预测的结果是一个高斯分布，其均值和协方差矩阵表示了对当前状态估计的不确定性。
4. 测量更新：当获取了新的测量值时，需要将其与预测结果进行比较，以修正对系统状态的估计。
测量更新过程基于系统的观测方程，将预测的状态估计与实际的测量值进行比较，得到对系统状态的最优估计。
测量更新的结果也是一个高斯分布，其均值和协方差矩阵表示了对当前状态估计的不确定性。
5. 迭代：在每一次测量更新之后，会得到对系统状态的最优估计。
然后，可以根据当前估计的状态再次进行预测，并等待下一次的测量更新。
这样，通过不断地迭代，卡尔曼滤波算法可以逐步提高对系统状态的估计精度。
卡尔曼滤波算法的核心思想是将动态方程和观测方程结合起来，使用贝叶斯推断的方法进行状态估计。
通过动态方程对系统进行预测，再通过观测方程修正预测结果，从而得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波算法在估计过程中考虑了对系统状态的不确定性，通过动态预测和测量更新不断修正对系统状态的估计结果，达到更准确的状态估计。
无线传感器网络分布式量化卡尔曼滤波
第28卷第12期2011年12月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.28No.12Dec.2011无线传感器网络分布式量化卡尔曼滤波文章编号:1000−8152(2011)12−1729−11陈军勇1,邬依林1,2,祁恬1(1.华南理工大学自动化科学与工程学院,广东广州510640;2.广东第二师范学院计算机科学系,广东广州510310)摘要:本文针对无线传感器网络中的目标跟踪问题,研究了分布式量化卡尔曼滤波问题.由于网络中存在能量和带宽限制,传感器传输的数据必须经过量化处理.考虑一个线性离散随机动态系统,首先提出了一种动态Lloyd-Max量化器并设计了其在线更新方案,然后基于贝叶斯原理导出了递归形式的最优量化卡尔曼滤波器,同时给出了一种渐近等价的迭代算法,并进一步分析了量化卡尔曼滤波器的稳定性.最后,仿真结果验证了所设计算法的可行性与有效性.关键词:无线传感器网络;分布式量化卡尔曼滤波;动态Lloyd-Max量化器;稳定性中图分类号:TP393文献标识码:ADistributed quantized Kalmanfiltering for wireless sensor networksCHEN Jun-yong1,WU Yi-lin1,2,QI Tian1(1.College of Automation Science and Technology,South China University of Technology,Guangzhou Guangdong510640,China;2.Faculty of Computer Science,Guangdong University of Education,Guangzhou Guangdong510310,China)Abstract:We study the distributed quantized Kalmanfiltering for the target-tracking in wireless sensor networks (WSNs).Because of the constraints on power and bandwidth in WSNs,sensor data have to be quantized before transmis-sion.A linear discrete-time stochastic dynamic system is employed for this purpose.First,a dynamic Lloyd-Max quantizer is adopted and the corresponding online update scheme is designed.Then,the optimal recursive quantized Kalmanfilter is derived based on the Bayesian principles,and an asymptotically equivalent iterative algorithm is developed.The sta-bility of the quantized Kalmanfilter is analyzed.Simulation results show the feasibility and effectiveness of the designed algorithms.Key words:wireless sensor networks;distributed quantized Kalmanfiltering;dynamic Lloyd-Max quantizer;stability1引言(Introduction)无线传感器网络(WSNs)近年来成为研究热点,其由大量低功耗的分布式传感器节点组成,通过节点之间的协同式工作可以完成许多复杂的任务,如目标定位与跟踪、网络控制、环境监测等[1∼5].带宽受限下的分布式估计问题是无线传感器网络研究的一个重要方向,由于传感器节点能量和带宽的限制,为了延长网络使用寿命,节点一般需要对观测进行量化编码后才发送,接收端对量化信号解码并进行融合处理.因此,网络中分布式估计问题的量化器、估计器以及节点通信协议设计等是研究重点.多年来,国内外一些研究者提出了多种能量和带宽受限下的分布式估计算法.Gubner[1]针对随机性参数的分布式量化估计问题,设计了给定线性形式下的最优估计器,并得到了局部最优量化器.Zhang 等[3]基于文献[1]的思想首先研究了静态参数的线性最优分布式估计问题,然后扩展到动态系统的量化卡尔曼滤波问题,其设计了递归形式的估计器和动态更新的量化器,但文中只讨论了单传感器观测情形,且量化器的更新需要融合中心在每个采样周期反馈状态预测信息到节点,这增加了通信代价并带来一定局限性.Ribeiro等[6]研究了量化比特率仅为一位的量化卡尔曼滤波器(SOI–KF),然后Msechu等在文献[7]中扩展到了多位情形,他们虽然考虑了多传感器网络环境,但在每个采样周期只有一个传感器激活,且量化器的更新亦需要融合中心广播状态预测信息到各节点.此外,Sun等[8]研究了线性量化卡尔曼滤波问题,其采用均匀量化器,但量化器的更新亦需要融合中心广播状态预测信息到各节点.针对上述问题,本文研究了多传感器多位的分布式量化卡尔曼滤波问题.首先提出了一种新的动态Lloyd–Max量化器并设计了其在线自动更新方案,然后导出了递归形式的最优量化卡尔曼滤波器,同时给出了一种渐近等价的迭代算法(迭代量化卡尔曼滤波器(IQKF)),最后分析了量化卡尔曼滤波器的稳定性.本文提出的动态Lloyd-Max量化器的更新无收稿日期:2010−12−11;收修改稿日期:2011−07−05.基金项目:国家自然科学基金重点资助项目(60834003);国家自然科学基金资助项目(60774057);国家科技部“973”计划资助项目(2010CB731802).1730控制理论与应用第28卷需融合中心的反馈信息,这节省了通信代价,且适用性增强.迭代量化卡尔曼滤波器算法在存在丢包或延迟的网络环境下亦适用,这增强了算法的鲁棒性.对于不稳定系统,量化卡尔曼滤波器稳定的临界比特率在给定量化器下由系统矩阵的不稳定特征值决定,这与文献[9,10]关于量化控制问题的结论保持一致.最后,仿真结果验证了所得结论的正确性和算法的高效性.2问题描述(Problem formulation )考虑一个存在融合中心的传感器网络,其中包含有N 个分布式传感器节点,且节点之间没有通信,它们各自只与融合中心通信.在每个采样周期,各节点对同一个动态目标进行独立观测,由于网络中的带宽限制以及数字信号传输的要求,传感器的观测需要经过量化并编码成数字信号,然后经过无噪声信道发送到融合中心,融合中心基于接收到的量化观测对目标状态进行实时估计.无线传感器网络分布式估计系统如图1所示.图1无线传感器网络分布式估计示意图Fig.1Distributed estimation scheme for WSNs上述目标的动态模型由下列线性离散随机动态系统描述:x (k )=Ax (k −1)+u (k ),k =1,2,···,∞.(1)传感器n 的观测为y n (k )=hx (k )+v n (k ),n =1,2,···,N,(2)其中:状态变量x (k )∈R p ×1,初始状态x (0)∼N (x 0,M 0),转移矩阵A ∈R p ×p ,驱动噪声u (k )∈R p ×1为零均值高斯白噪声,其协方差阵E {u (k )·u T (l )}=C u δkl ,C u ∈R p ×p ,传感器观测y n (k )∈R ,其中h ∈R 1×p 为观测向量,观测噪声v n (k )∈R 为零均值高斯白噪声,其方差E {v n (k )v T m (l )}=σ2n δnm ·δkl ,假定{u (k ),v n (k ),x (0)}相互独立.传感器n 的量化比特率给定为q n 位,其中q n 0,q n ∈Z ,q n =0表示传感器未激活.2.1动态量化器(Dynamic quantizer )本节首先介绍标量量化器的概念,然后针对本文的动态目标跟踪问题，提出动态量化器的设计及其在线更新问题[3,11,12].量化是一个把连续信号转换成离散信号的处理过程.考虑一维标量信源y ∈R ,设量化比特率为q 位,q 0,q ∈Z ,定义量化分区R i :=[τi ,τi +1),i =0,1,···,2q −1,其中{τi }2qi =0为量化阈值集,且τ0=−∞,τ2q =∞.量化准则如图2所示,即b =i,iff y ∈R i ,(3)其中:b 为量化输出,i ∈{0,1,···,2q −1},其需要转换为二进制数字信号然后才发送.图2量化器Fig.2Quantizer在接收端,解码器根据量化规则对数字信号进行解码,将信息从数字信号的形式恢复到其原来形式,解码规则如下:y ∈R i or y =ˆy i ,iff b =i,(4)其中:量化值ˆy i ∈R i ,i =0,1,···,2q −1,ˆy i 的具体值根据量化准则而定.对于一个具有给定分布的随机信源y ,设其概率密度函数为p (y ),定义平均失真D :=2q −1 i =0τi +1τi(y −ˆy i )2p (y )d y,(5)则存在一种最优量化器使其平均失真达到最小,即著名的Lloyd-Max 量化器[11,12],其在给定量化比特率q 下,量化分区可由信源分布p (y )唯一确定,即{τi }2q −1i =1=F LM(p (y )).由于本文考虑的是动态目标的跟踪问题,在不同的采样时刻,传感器的观测信号y n (k )的分布不一样,为了得到最优的量化效果,本文采用动态Lloyd-Max 量化方式,即在每个采样周期,各传感器的Lloyd-Max 量化分区根据采样信号的分布进行动态更新.假定各传感器以及融合中心存有系统模型的信息,因而关于动态量化器的一个基本问题是:传感器的编码器和融合中心的解码器如何根据量化观测和系统模型等信息实现在线自动更新?2.2基于量化数据的极小均方误差估计(Minimum mean square error estimation based on quantized data )本节根据贝叶斯估计原理提出基于量化数据的最优卡尔曼滤波问题.设b n (k )为传感器n 在k 时刻对观测y n (k )的量化输出,其中b n (k )∈{0,1,···,2q n −1}.定义k 时刻所有传感器的量化观测集为B k :={b 1(k ),b 2(k ),···,b N (k )},整个传感器网络从初始观测时刻1到时刻k 的量化观测集为B 1:k :={B 1,B 2,···,B k }.本文用ˆx (k |B 1:k )表示基于所有接收到的量化观测B 1:k第12期陈军勇等:无线传感器网络分布式量化卡尔曼滤波1731得到的对当前状态x (k )的估计.分布式量化估计结构如图3所示,其中{S n }N n =1表示传感器集合.图3分布式量化估计结构图Fig.3Distributed quantized-estimation scheme本文采用均方误差(MSE)作为估计性能准则,定义k 时刻估计器的误差协方差阵为M (k |B 1:k ):=E {[x (k )−ˆx (k |B 1:k )][x (k )−ˆx (k |B 1:k )]T |B 1:k −1},(6)则ˆx (k |B 1:k )的均方误差(MSE)可用该误差协方差阵的迹表示,即MSE :=tr {M (k |B 1:k )}.根据贝叶斯估计原理[13],融合中心在k 时刻基于B 1:k 对状态x (k )的极小均方误差估计(MMSE)即为下面的条件均值:ˆx (k |B 1:k )=E {x (k )|B 1:k }=Rpx (k )p (x (k )|B 1:k )d x (k ),(7)其中p (·|·)表示条件概率密度函数.在任意k 时刻,状态的后验分布p (x (k )|B 1:k )可以根据系统模型(1)和(2)以及B 1:k 递归确定.基于量化观测的卡尔曼滤波器([P q ]–[C q ])可以表示为:[P q ]预测.假设k 时刻p (x (k −1)|B 1:k −1)已知,则状态x (k )在k 时刻的先验分布p (x (k )|B 1:k −1)为p (x (k )|B 1:k −1)=Rpp (x (k )|x (k −1))p (x (k −1)|B 1:k −1)d x (k −1),(8)其中p (x (k )|x (k −1))=N [x (k );Ax (k −1),C u ].[C q ]校正.当融合中心接收到新的量化观测B k 时,根据贝叶斯原理[13]，即有p (x (k )|B 1:k )=p (x (k )|B 1:k −1)P {B k |x (k ),B 1:k −1}P {B k |B 1:k −1}.(9)由于量化引入的非线性影响,基于量化观测的贝叶斯最优估计算法计算复杂,因此对状态后验分布p (x (k )|B 1:k )作高斯近似,即假设1在k 时刻,基于量化观测B 1:k 的状态后验分布p (x (k )|B 1:k )假定为高斯分布,即p (x (k )|B 1:k )=N [x (k );ˆx (k |B 1:k ),M (k |B 1:k )].(10)注1类似的假设见文献[7,14],当量化比特率比较大的时候,模拟结果显示其基本成立.量化卡尔曼滤波器的预测部分[P q ]和校正部分[C q ]是本文研究的核心问题,即融合中心如何根据历史量化观测对当前状态进行预测?当获得当前的量化观测后,如何对状态预测进行校正?进一步,当得到状态的最优估计后,如何分析量化卡尔曼滤波器的稳定性与量化器以及量化比特率之间的关系?3动态Lloyd-Max 量化器(Dynamic Lloyd-Max quantizer )本节首先简介Lloyd-Max 量化器的一些基本特征[11,12],然后提出一种动态Lloyd-Max 量化器更新方案.3.1Lloyd-Max 量化器(Lloyd-Max quantizer )若信源y 服从高斯分布,设y ∼N (µy ,σ2y ),则Lloyd-Max 量化分区可表示为{τi }2q−1i =1=FLM (µy ,σ2y ),(11)其具体实现见文献[12],且其平均失真可表示为D =K (q )σ2y4q ,(12)其中K (q )为一随q 缓慢递增的收敛序列,1 K (q )√3π2,由于其值变化不大,亦可近似视其为常数.3.2动态Lloyd-Max 量化器及其更新(DynamicLloyd-Max quantizer and update )下面讨论动态Lloyd-Max 量化器的具体设计问题.设{τ(n )i (k )}2q ni =0表示传感器n 在k 时刻的量化阈值集,其中τ(n )0(k )=−∞,τ(n )2q n (k )=∞.记R (n )i (k ):=[τ(n )i (k ),τ(n )i +1(k )),则动态量化规则如下:b n (k )=i,iff y n (k )∈R (n )i (k ),(13)其中量化输出i ∈{0,1,···,2q n −1}.在解码端,解码器n 根据接收到的b n (k )进行解码,解码规则如下:y n (k )∈R (n )i (k ),iff b n (k )=i.(14)为了得到动态更新的Lloyd-Max 量化器,采用局部量化卡尔曼滤波器的方式.定义b (n )1:k :={b n (1),b n (2),···,b n (k )},则传感器n 在k 时刻基于局部量化观测集b (n )1:k 得到的最优状态估计为ˆx (k |b (n )1:k ):=E(x (k )|b (n )1:k )=Rpx (k )p (x (k )|b (n )1:k )d x (k ),(15)且局部估计误差协方差阵为1732控制理论与应用第28卷M(k|b(n)1:k):=E{[x(k)−ˆx(k|b(n)1:k )][x(k)−ˆx(k|b(n)1:k)]T|b(n)1:k−1}.(16)根据贝叶斯原理,传感器n的局部量化卡尔曼滤波器([P lq]–[C lq])可以表述如下:[P lq]预测.在k时刻,假定ˆx(k−1|b(n)1:k−1)和M(k−1|b(n)1:k−1)已经得到,同假设1类似,对状态后验分布p(x(k−1)|b(n)1:k−1)作高斯近似,即p(x(k−1)|b(n)1:k−1)=N[x(k−1);ˆx(k−1|b(n)1:k−1),M(k−1|b(n)1:k−1)].(17)根据系统模型(1)则有p(x(k)|b(n)1:k−1)=N[x(k);ˆx(k|b(n)1:k−1),M(k|b(n)1:k−1)],(18)其中:ˆx(k|b(n)1:k−1)=Aˆx(k−1|b(n)1:k−1),M(k|b(n)1:k−1)=AM(k−1|b(n)1:k−1)A T+C u.(19)[C lq]校正.当传感器的量化观测为b n(k)得到后,有p(x(k)|b(n)1:k )=N[x(k);ˆx(k|b(n)1:k−1),M(k|b(n)1:k−1)]·P{b n(k)|x(k),b(n)1:k−1}P{b n(k)|b(n)1:k−1}.(20)传感器n的动态Lloyd-Max量化器更新规则如下所述:在系统初始时刻k=0时,由于已知x(0)∼N(x0,M0),则根据系统模型(1)和(2),对下一时刻的观测y n(1)有先验预测p(y n(1))=N[y n(1);µyn (1),σ2y n(1)],(21)其中:µyn (1)=hAx0,σ2y n(1)=h(AM0A T+C u)h T+σ2n.因此,在编码端,传感器n可根据式(11)和式(21)初始化编码器n在观测时刻k=1的Lloyd-Max量化分区,即{τ(n)i (1)}2q n−1i=1=F LMn(µyn(1),σ2y n(1)),(22)其中F LMn(·)表示传感器n的Lloyd-Max量化分区生成函数.在解码端,融合中心亦可根据式(22)初始化对应的解码器n.当k 1时,在编码端,传感器n首先对观测y n(k)量化得到b n(k)并发送出去,然后根据b n(k)运行局部量化卡尔曼滤波的校正算法[C lq]得到ˆx(k|b(n)1:k)和M(k|b(n)1:k),其具体校正算法将在下一节详细讨论.当传感器获得ˆx(k|b(n)1:k )和M(k|b(n)1:k)后,根据局部量化卡尔曼滤波器的预测[P lq]即可得p(x(k+1)|b(n)1:k)=N[x(k+1);ˆx(k+1|b(n)1:k),M(k+1|b(n)1:k)],(23)其中:ˆx(k+1|b(n)1:k)=Aˆx(k|b(n)1:k),M(k+1|b(n)1:k)=AM(k|b(n)1:k)A T+C u.(24)又根据式(23)以及观测模型(2)即有p(y n(k+1)|b(n)1:k)=N[y n(k+1);hˆx(k+1|b(n)1:k),hM(k+1|b(n)1:k)h T+σ2n].(25)因此,传感器n可根据式(11)和式(25)对编码器n进行更新,确定其下一个时刻k+1的Lloyd-Max量化分区,即{τ(n)i(k+1)}2q n−1i=1=F LMn(hˆx(k+1|b(n)1:k),hM(k+1|b(n)1:k)h T+σ2n).(26)在解码端,融合中心亦可基于接收到的新的量化观测b n(k)运行局部量化卡尔曼滤波器算法,并对解码器n进行更新,为下一时刻的量化作准备,具体步骤同编码器一致.传感器n的动态Lloyd-Max量化器更新过程可用图4表示.图4传感器n的动态Lloyd-Max量化器更新示意图Fig.4Update of dynamic Lloyd-Max quantizer for sensor-n为了简化分析,对于局部量化卡尔曼滤波器的校正部分[C lq]的解,下面将结合融合中心的全局量化卡尔曼滤波问题一起进行讨论.4基于量化观测的卡尔曼滤波器(Kalmanfiltering based on quantized observations)首先回顾一下无量化效应时的卡尔曼滤波问题.4.1基于分布式观测的卡尔曼滤波器(Kalmanfiltering based on distributed observations)假设融合中心接收到的为未量化的观测,即B k={y1(k),y2(k),···,y N(k)},则量化卡尔曼滤波器即简化为标准卡尔曼滤波器[13,15].定义:Y(k):=[y1(k)y2(k)···y N(k)]T,第12期陈军勇等:无线传感器网络分布式量化卡尔曼滤波1733 Y1:k:={Y(1),Y(2),···,Y(k)},ˆx(k|Y1:k):=E{x(k)|Y1:k},M(k|Y1:k):=E{[x(k)−ˆx(k|Y1:k)][x(k)−ˆx(k|Y1:k)]T}.(27)基于分布式观测Y(k)的卡尔曼滤波器([P kf]–[C kf])可表示为:[P kf]预测.假设k时刻ˆx(k−1|Y1:k−1)和M(k−1|Y1:k−1)已获得,则有:ˆx(k|Y1:k−1)=Aˆx(k−1|Y1:k−1),M(k|Y1:k−1)=AM(k−1|Y1:k−1)A T+C u.(28)[C kf]校正.记ϕ:=Nn=11σ2n,φ:=1ϕ[1σ211σ22···1σ2N],(29)则基于观测Y1:k对状态x(k)的贝叶斯最优估计可表示为ˆx(k|Y1:k)=ˆx(k|Y1:k−1)+g(k)[φY(k)−hˆx(k|Y1:k−1)],M(k|Y1:k)=M(k|Y1:k−1)−g(k)hM(k|Y1:k−1),(30)其中增益g(k)=M(k|Y1:k−1)h ThM(k|Y1:k−1)h T+1/ϕ.(31)[C kf]的证明见附录1.4.2量化卡尔曼滤波器(Quantized Kalmanfilter-ing)下面研究融合中心的量化卡尔曼滤波问题.在k时刻,假设融合中心已经得到k−1时刻状态的最优估计ˆx(k−1|B1:k−1)和估计误差协方差阵M(k−1|B1:k−1),则根据假设1和系统模型(1),有p(x(k)|B1:k−1)=N[x(k);ˆx(k|B1:k−1),M(k|B1:k−1)],(32)其中:ˆx(k|B1:k−1)=Aˆx(k−1|B1:k−1),M(k|B1:k−1)=AM(k−1|B1:k−1)A T+C u.(33)式(32)和式(33)给出了量化卡尔曼滤波器预测部分[P q]的解,下面研究其校正部分的问题.根据Y(k)的定义以及式(32),可得p(Y(k)|B1:k−1)=N[Y(k);Hˆx(k|B1:k−1),HM(k|B1:k−1)H T+R],(34)其中:H=[h T···h T]T,H∈R N×p,R=diag{σ21,···,σ2N }.下面的定理1给出了量化卡尔曼滤波器校正部分[C q]的解.定理1考虑系统模型(1)和(2)以及式(13)中定义的b n(k),在k时刻,设融合中心接收到的量化观测集为B k,则有ˆx(k|B1:k)=ˆx(k|B1:k−1)+¯g(k)[φˆY(k|B1:k−1,B k)−hˆx(k|B1:k−1)],(35)且误差协方差阵为M(k|B1:k)=M(k|B1:k−1)−¯g(k)hM(k|B1:k−1)+λ(k)¯g(k)¯g T(k),(36)其中:¯g(k)=M(k|B1:k−1)h ThM(k|B1:k−1)h T+1/ϕ,ˆY(k|B1:k−1,B k)=E(Y(k)|B1:k−1,B k),λ(k)=φ∆Y(k)φT,∆Y(k)=E{˜Y(k)˜Y T(k)|B1:k−1},˜Y(k)=Y(k)−ˆY(k|B1:k−1,B k).(37)证见附录2.注2定理1中量化卡尔曼滤波器的误差协方差阵(36)可分为两部分:前两项为基于分布式观测的卡尔曼滤波器的误差协方差阵,最后一项为量化引起的增量部分,其中标量系数λ(k)反映了量化效果,∆Y(k)为量化误差协方差阵.易知,当{q n→∞}N n=1时,则ˆY(k|B1:k−1,B k)→Y(k),且∆Y(k)→0,λ(k)→0,因此量化卡尔曼滤波器简化为分布式卡尔曼滤波器.定理1给出了量化卡尔曼滤波器的最优解,但是根据Y(k)的预测分布式(34)可知,对于式(35)中的ˆY(k|B1:k−1,B k)以及式(36)中λ(k)的∆Y(k),其分别需要计算一N维高斯先验分布的随机变量Y(k)在给定量化观测B k下的条件均值和量化误差协方差阵,当N比较大时,解这类问题需要蒙特卡罗积分方法[16],运算负担较重.下面给出一种渐近等价于定理1的IQKF,其简单易实现,运算代价也因此降低.定义量化观测集B1:nk:={b1(k),b2(k),···,b n(k)},且ˆx(n)(k|B1:k−1):=Ex(k)|B1:k−1,B1:nk,M(n)(k|B1:k−1):=E{[x(k)−ˆx(n)(k|B1:k−1)][x(k)−ˆx(n)(k|B1:k−1)]T|B1:k−1,B1:n−1k},(38)其中n=0,1,2,···,N,且ˆx(0)(k|B1:k−1):=ˆx(k|B1:k−1),M(0)(k|B1:k−1):=M(k|B1:k−1).(39)1734控制理论与应用第28卷同假设1类似,对状态后验分布p(x(k)|B1:k−1,B1:nk)作高斯近似,即p(x(k)|B1:k−1,B1:nk)=N[x(k);ˆx(n)(k|B1:k−1),M(n)(k|B1:k−1)].(40)根据上式即可得p(y n+1(k)|B1:k−1,B1:nk)=N[y n+1(k);hˆx(n)(k|B1:k−1),hM(n)(k|B1:k−1)h T+σ2n+1].(41)迭代量化卡尔曼滤波器的预测部分同式(32)和式(33),其校正部分由下面的定理2给出.定理2对于定理1中的量化卡尔曼滤波器的校正部分,有如下渐近等价的迭代算法:对迭代序列n=1,2,···,N,有ˆx(n)(k|B1:k−1)=ˆx(n−1)(k|B1:k−1)+g(n)(k)[ˆy n(k|B1:k−1,B1:n−1k,b n(k))−hˆx(n−1)(k|B1:k−1)],(42)且误差协方差阵为M(n)(k|B1:k−1)=M(n−1)(k|B1:k−1)−g(n)(k)hM(n−1)(k|B1:k−1)+∆(n)y n(k)g(n)(k)g(n)T(k),(43)其中:g(n)(k)=M(n−1)(k|B1:k−1)h ThM(n−1)(k|B1:k−1)h T+σ2n,ˆy n(k|B1:k−1,B1:n−1k,b n(k))=E[y n(k)|B1:k−1,B1:n−1k,b n(k)],∆(n)y n(k)=E{˜y2n(k)|B1:k−1,B1:n−1k},˜y n(k)=y n(k)−ˆy n(k|B1:k−1,B1:n−1k,b n(k)).(44)在每个采样周期,融合中心迭代计算式(42)和式(43)N次,即可得ˆx(k|B1:k)=ˆx(N)(k|B1:k−1), M(k|B1:k)=M(N)(k|B1:k−1).证见附录3.注3对于IQKF算法,在每个采样周期,融合中心每接收到一个传感器的量化观测,即可对状态估计进行更新,最终得到全局最优估计.因此,其在存在丢包或延迟的网络环境下亦适用,融合中心在每个采样周期可以根据当前接收到的量化观测形成对状态当前的最优估计.4.3局部量化卡尔曼滤波器(Local quantizedKalmanfiltering)传感器的编码器和融合中心的解码器的在线更新都需要通过局部量化卡尔曼滤波来实现.式(18)和式(19)给出了局部量化卡尔曼滤波器预测部分[P lq]的解,而对于其校正部分[C lq],可根据定理1得到下面的推论.推论1考虑状态空间模型(1)和(2)以及式(13)中定义的b n(k),在k时刻,假定传感器n和融合中心已经得到预测估计ˆx(k|b(n)1:k−1)和预测误差协方差阵M(k|b(n)1:k−1),则当传感器n和融合中心得到局部量化观测b n(k)后,即有ˆx(k|b(n)1:k)=ˆx(k|b(n)1:k−1)+g n(k)[ˆy n(k|b(n)1:k−1,b n(k)]−hˆx(k|b(n)1:k−1)],(45)且其局部量化估计误差协方差阵为M(k|b(n)1:k)=M(k|b(n)1:k−1)−(1−K(q n)4q n)g n(k)hM(k|b(n)1:k−1),(46)其中:g n(k)=M(k|b(n)1:k−1)h ThM(k|b(n)1:k−1)h T+σ2n,ˆy n(k|b(n)1:k−1,b n(k)]=E[y n(k)|b(n)1:k−1,b n(k)].(47)证根据定理1,只需考虑单个传感器观测的特殊情形,此时φ=1,ϕ=1/σ2n,则由式(35)(36)即可得式(45)以及M(k|b(n)1:k)=M(k|b(n)1:k−1)−g n(k)hM(k|b(n)1:k−1)+∆yn(k)g n(k)g Tn(k),(48)其中∆yn(k)=E{[y n(k)−ˆy n(k|b(n)1:k−1,b n(k)]2|b(n)1:k−1}.(49)又由式(18)可得p(y n(k)|b(n)1:k−1)=N[y n(k);hˆx(k|b(n)1:k−1),hM(k|b(n)1:k−1)h T+σ2n].(50)因此,根据高斯信源的Lloyd-Max量化器平均失真表达式(12)即可得∆yn(k)=K(q n)(hM(k|b(n)1:k−1)h T+σ2n)4q n.(51)把式(51)代入式(48),化简即可得式(46).证毕.5量化卡尔曼滤波器的稳定性(Stability of quantized Kalmanfiltering)本节分析定理1中量化卡尔曼滤波器的稳定性问题.定理1适用于任何采用标量量化器的量化卡尔曼滤波问题,研究预测误差协方差阵M(k|B1:k−1)的收敛性与量化器以及量化比特率的关系.简记M qk:=M(k|B1:k−1),根据式(33)(36)可得第12期陈军勇等:无线传感器网络分布式量化卡尔曼滤波1735黎卡提方程M qk+1=AM qkA T+C u−A¯g(k)hM qkA T+λ(k)A¯g(k)¯g T(k)A T,(52)其中:k=1,2,···,∞,初始值M q1=AM0A T+C u.对于M qk,下面给出一个定义:定义1若∀M0 0,有limk→∞M qk=M q∞,其中M q∞ 0,且与M0无关,则称M qk绝对收敛;若∀M00,有limk→∞M qk≺+∞,则称M qk绝对有界;若∃M00,有limk→∞M qk=+∞,则称M qk条件发散.黎卡提方程(52)中的λ(k)反映了量化效果,其与量化器以及各传感器的量化比特率有关.众所周知,若系统矩阵A稳定,则M qk必绝对收敛或绝对有界[15,17],若系统矩阵A不稳定,则M qk的收敛性与量化器以及量化比特率{q n}Nn=1有关.下面重点考虑A不稳定的情形,分别对单传感器系统(N=1)和多传感器系统(N 1)的M qk的收敛性进行讨论.5.1单传感器系统(One-sensor system)首先考虑网络中只存在一个传感器观测的情形,即N=1.不失一般性,设此时的观测为传感器n的观测,量化比特率为q n位.记标量系数α:=1−K(q n)4q n,函数g n(M):=Mh ThMh T+σ2n,则有下面的定理.定理3假定(A,C12u)能控,(A,h)能观,A不稳定,N=1,则在动态Lloyd-Max量化器下,M qk绝对收敛的充要条件为K(q n) 4q n <1i|λui|2,(53)其中{λui}为A的不稳定特征值集合,则其绝对收敛的临界比特率可表示为q c=min{q|K(q)4q<1i|λui|2,q>0,q∈Z},(54)即若q n q c,则M qk 绝对收敛,且唯一正定收敛值M q∞可由M=AMA T+C u−αAg n(M)hMA T解得;若q n<q c,则M qk条件发散.证在单传感器观测下,传感器的局部量化卡尔曼滤波即为融合中心的量化卡尔曼滤波,因此根据式(19)以及推论1中的式(46),式(52)可简化为M qk+1=AM qkA T+C u−αAg n(M)hM qkA T,(55)这里M qk表示单传感器观测下的预测误差协方差阵,即M qk =M(k|b(n)1:k−1).对于黎卡提方程(55),其收敛性已有相关的结论[17∼19].根据Elia[19],由于(A,C12u)能控,(A,h)能观,A不稳定,且rank(h)=1,因此其绝对收敛的充要条件为α>1−1i|λui|2,(56)即为式(53).定理3中其他相关结论亦可根据文献[17∼19]得到.证毕.注4在单传感器观测下,Lloyd-Max量化器在极小化均方误差意义上实际上是最优量化器[7],这亦可从单传感器观测下的误差协方差阵(48)可看出,极小化均方误差等价于极小化观测的平均失真.注5若视K(q)=K为常数,则M qk绝对收敛的临界比特率为12log2Ki|λui|2,其与系统矩阵的不稳定特征值以及量化器性能指标K有关.从信息论[20]的角度看,K的理论最小值为1,则可简化为q c=log2i|λui|,这与文献[9,10]的结论是一致的,但是K=1需对信号分块编码且块长为无穷大的时候才能达到,对于本文的实时目标跟踪系统,这是难以实现的,因此本文的临界比特率不仅与系统矩阵的不稳定特征值有关,亦与量化器性能指标K有关.5.2多传感器系统(Multi-sensor system)现在分析多传感器下(N 1)黎卡提方程(52)的收敛性问题.设网络中的总比特率为Q,Q=Nn=1q n,其中Q 0,Q∈Z.首先不限定量化器的具体形式,则有如下定理.定理4假定(A,C12u)能控,(A,h)能观,A不稳定,N 1,则对任何标量量化器,M qk绝对有界的必要条件为K(Q)4Q<1i|λi|.(57)上述必要条件亦等价于Q q c.证见附录4.注6定理4说明在多传感器系统中,对任何标量量化器,M qk绝对有界所需的最小总比特率亦不会低于q c,亦即传感器数目增加不能降低黎卡提方程(52)稳定的临界总比特率,其仍然只与系统矩阵的不稳定特征值以及K(q)有关.注7由定理4的证明可知,由于Y (k)=φY(k),若对Y (k)采用Lloyd-Max量化器,则式(A25)取等号,因此∀k,有M qk=Z k,此时定理4中的必要条件则为充要条件,且此时的量化器在均方误差意义上为最优量化器,但由于Y (k)为各传感器观测的线性组合,若N=1,则Y (k)为一维观测,定理4退化为定理3,若N>1,则需要对传感器的观测进行联合编码才能实现.1736控制理论与应用第28卷在分布式量化卡尔曼滤波问题中,传感器需要独立编码各自的观测.对于本文提出的动态Lloyd-Max 量化器,根据定理3易得下面的推论.推论2假定(A,C 12u )能控,(A,h )能观,A 不稳定,N 1,则在动态Lloyd-Max 量化器下,M qk 绝对有界的充要条件为∃n ∈{1,2,···,N },有q n q c .证充分性.若∃n ∈{1,2,···,N },有q n q c ,则根据定理3,由于(A,C 12u )能控,(A,h )能观,A 不稳定,则至少一个传感器的量化观测可以使M qk 绝对有界,又根据激活的传感器数目增加M qk 必降低的事实,可知M qk 必绝对有界.必要性(反证法).若∀n ,有q n <q c ,则根据定理3和文献[18],由于(A,C 12u)能控,(A,h )能观,A 不稳定,可知∃M 0,有lim k →∞M (k |b (n )1:k −1)=+∞,∀n ,而根据动态Lloyd-Max 量化器更新规则,可知此时所有传感器的量化分区将随k 增加而趋于无穷大,量化失真亦将趋于无穷大,则lim k →∞λ(k )=+∞,又根据黎卡提方程(52),可知lim k →∞M qk=+∞,这与M qk 绝对有界矛盾.证毕.6仿真结果(Simulation results )本节将通过MATLAB 仿真验证文中所设计算法的可行性和有效性.考虑下面的二维目标跟踪系统:x (k )= 1T 01 x (k −1)+ T 2/2Tu (k ).(58)上述系统实际为一常速运动模型,其中:状态向量x (k ):=[s (k )˙s (k )]T ,s (k )和˙s (k )分别为目标位置和速度,T 为采样周期,驱动噪声为u (k ).传感器的观测模型为y n (k )=[10]x (k )+v n (k ),n =1,2,(59)其中:v 1(k )∼N (0,1),v 2(k )∼N (0,2).在全部仿真试验中,系统初始条件设为x (0)∼N (x 0,M 0),其中x 0=(0,5)T ,M 0=0.3I 2,驱动噪声u (k )∼N (0,1),采样周期T =0.1s.对于均方误差(MSE),本文采用5000次蒙特卡罗仿真结果取平均值得到.本文分析基于动态Lloyd-Max 量化器的IQKF 在不同带宽限制下的估计性能.根据目标运动模型(58)和推论2可知M qk 绝对有界的临界比特率q c =1位.图5给出IQKF –1位和IQKF –2位以及基于未量化观测的分布式卡尔曼滤波器(KF)的理论和实际MSE 曲线比较.IQKF –1位和IQKF –2位分别指两个传感器的量化比特率均为1位和均为2位的情形.图5(a)为理论MSE 比较,图5(b)为实际MSE 比较.IQKF 和KF 的理论MSE 分别通过文中M (N )(k |B 1:k −1)和M (k |Y 1:k )的显示解得到,实际MSE 指状态估计和状态真实值之间的均方误差.(a)理论MSE比较(b)实际MSE 比较图5各种滤波器的理论MSE 和实际MSE 比较Fig.5Comparison of theoretical MSE and empiricalMSE for various filters从图5(a)和图5(b)可以看出,分布式卡尔曼滤波器(KF)的MSE 为IQKF 的MSE 的理论不可达下界,且IQKF –2位的MSE 小于IQKF –1位的MSE,这说明量化比特率愈大,IQKF 估计性能愈好.另外,由于都存在某个传感器的量化比特率不小于q c ,因此随着k 增加,IQKF –1位和IQKF –2位的MSE 都趋于稳定.IQKF 在量化比特率都为最小的1位时都能很好的跟踪目标,这说明了IQKF 的高效性.图6给出了IQKF 的理论MSE 和实际MSE 曲线比较.从图6可以看出,不同量化比特率下IQKF 的理论MSE 和实际MSE 都很接近,这说明文中所得M (N )(k |B 1:k −1)的显示解的有效性.另外,IQKF –2位的MSE 差异比IQKF-1位的MSE 差异更小,这是因为量化比特率愈大,文中对状态后验分布的高斯近似愈与实际相符,因此理论MSE 和实际MSE 愈接近.图6IQKF 的理论MSE 和实际MSE 比较Fig.6Comparison of theoretical MSE and empiricalMSE for IQKF第12期陈军勇等:无线传感器网络分布式量化卡尔曼滤波1737为了更好地分析本文提出的IQKF 算法的性能,本文对IQKF 和Sun 等[8]提出的QKFQI(quantized Kalman filter based on quantized innovations)算法的估计性能进行了比较,其中QKFQI 采用均匀量化器,且量化器的更新需要融合中心反馈预测信息.图7给出了IQKF –2位和QKFQI –2位算法的实际MSE 曲线比较,从图7可以看出,本文的IQKF 估计器性能优于QKFQI,且由于本文的动态Lloyd-Max 量化器更新过程无需融合中心的反馈信息,因此通信代价亦得到节省.图7IQKF 和QKFQI 的实际MSE 比较Fig.7Comparison of empirical MSE for IQKF and QKFQI7结论(Conclusions )本文基于无线传感器网络研究了分布式量化卡尔曼滤波问题.提出了一种新的动态Lloyd-Max 量化器并设计了其在线更新方案,基于贝叶斯原理得到了递归形式的最优量化卡尔曼滤波器,并与标准卡尔曼滤波器进行了比较,同时给出了一种渐近等价的迭代算法(IQKF).对于不稳定系统,量化卡尔曼滤波器稳定的临界比特率由量化器以及系统矩阵的不稳定特征值决定,与传感器数目和观测噪声无关.动态Lloyd-Max 量化器更新无需融合中心的反馈信息,通信代价小、适用性强.IQKF 算法运算代价低,且在存在丢包或延迟的网络环境中亦适用.因此,本文所提出的设计方法能得到较广泛的应用.参考文献(References):[1]GUBNER J A.Distributed estimation and quantization[J].IEEETransactions on Information Theory ,1993,39(4):1456–1459.[2]LI J 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Processing ,2008,56(8):3727–3741.[8]SUN S L,LIN J Y ,XIE L,et al.Quantized kalman filtering[C]//The22nd IEEE International Symposium on Intelligent Control Part of IEEE Multi-conference on Systems and Control .New York:IEEE,2007:7–12.[9]NAIR G N,EV ANS R J.Exponential stabilisability of finite-dimensional linear systems with limited data rates[J].Automatica ,2003,39(4):585–593.[10]TATIKONDA S,MITTER S.Control under communication con-straints[J].IEEE Transactions on Automatic Control ,2004,49(7):1056–1068.[11]MAX J.Quantizing for minimum distortion[J].IRE Transactions onInforamtion Theory ,1960:7–12.[12]LLOYD S P.Least squares quantization in PCM[J].IEEE Transac-tions on Inforamtion Theory ,1982,28(2):129–137.[13]KAY S M.Fundamentals of Statistical Signal Processing:EstimationTheory [M].Engle-wood Cliffs,NJ:Prentice-Hall,1993.[14]ITO K,XIONG K.Gaussian filters for nonlinear filtering prob-lems[J].IEEE Transactions on Automatic Control ,2000,45(5):910–927.[15]KAILATH T,SAYED A H,HASSIBI 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−1),(A2)其中:G (k )=M (k |Y 1:k −1)H T C −1Y (k ),C Y (k )=HM (k |Y 1:k −1)H T +R.现在来化简G (k ),为方便简记M k :=M (k |Y 1:k −1).由于C Y (k )=HM k H T +R ,则C Y (k )=0B B @hM k h T +σ21···hM k h T .........hM k h T ···hM k h T +σ2N1C C A,(A3)。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的递归滤波器。
它可以通过组合系统的测量值和模型的预测值来提供对状态的最优估计。
卡尔曼滤波器首先利用系统的数学模型预测下一个状态，并计算预测值与实际测量值之间的差异。
然后，通过加权这些差异，卡尔曼滤波器可以生成对当前状态的最佳估计。
卡尔曼滤波的核心原理是“最小均方误差”。
它假设系统状态和观测都是高斯分布，然后尝试寻找最小均方误差的估计值。
通过选择合适的权重，卡尔曼滤波器可以在预测值和测量值之间找到一个平衡，从而提供最佳的估计结果。
卡尔曼滤波器由两个主要步骤组成：预测和更新。
在预测步骤中，卡尔曼滤波器使用系统模型和先前的状态估计来预测下一个状态。
然后，在更新步骤中，卡尔曼滤波器将测量值与预测值进行比较，并使用加权平均法来更新状态估计。
通过周期性地重复这两个步骤，卡尔曼滤波器可以连续地提供对系统状态的估计。
卡尔曼滤波器在估计问题中广泛应用，特别是在传感器融合、航空航天和导航系统中。
它能够有效地处理噪声和不确定性，并在给定系统模型和测量信息的情况下提供最优的状态估计。
联邦卡尔曼滤波原理
联邦卡尔曼滤波原理引言：联邦卡尔曼滤波（Federated Kalman Filtering）是一种用于多个分布式传感器数据融合的滤波算法。
与传统的中央集权式滤波算法不同，联邦卡尔曼滤波将传感器数据分布式处理，通过信息交换和融合，实现更准确的状态估计。
本文将介绍联邦卡尔曼滤波的基本原理和应用。
一、卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，通过使用系统的动力学模型和观测模型，根据先验信息和测量结果，对系统状态进行估计和预测。
卡尔曼滤波在估计问题中广泛应用，特别是在控制和导航领域。
二、联邦卡尔曼滤波原理联邦卡尔曼滤波是将卡尔曼滤波算法应用于分布式传感器网络中的一种技术。
在传统的中央集权式滤波算法中，所有传感器的数据都通过中心节点进行融合处理，然后得到最终的估计结果。
而联邦卡尔曼滤波则将数据处理过程分布到各个传感器节点中，通过交换信息和融合结果，实现联合估计。
具体实现中，每个传感器节点都有自己的卡尔曼滤波器，负责对本地观测数据进行处理和状态估计。
节点之间通过通信网络交换自身的状态估计和协方差矩阵等信息，从而实现联合估计。
每个节点根据接收到的其他节点的信息，更新自身的状态估计和协方差矩阵，进一步提高估计的准确性。
三、联邦卡尔曼滤波的优势联邦卡尔曼滤波相比于传统的中央集权式滤波算法具有以下优势：1. 高效性：联邦卡尔曼滤波将数据处理过程分布到多个传感器节点中，可以并行处理，提高了滤波算法的计算效率。
2. 鲁棒性：联邦卡尔曼滤波中的每个节点都只处理自身的观测数据，对于某个节点的故障或数据异常不会影响其他节点的估计结果，提高了整个系统的鲁棒性。
3. 隐私保护：联邦卡尔曼滤波中的数据处理过程分布在各个节点中，不需要将原始数据传输到中心节点，从而保护了数据的隐私性。
4. 扩展性：联邦卡尔曼滤波可以方便地扩展到大规模的传感器网络中，只需要增加或减少节点即可，而无需改变整体系统的架构。
四、联邦卡尔曼滤波的应用联邦卡尔曼滤波在许多领域都有广泛的应用，例如：1. 环境监测：联邦卡尔曼滤波可以将多个传感器节点的气象数据进行融合，提高对环境变化的估计精度。
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用于估计和预测系统状态的优秀滤波算法。
它于1960年代由R.E.卡尔曼提出，被广泛应用于飞机、导弹、航天器等领域，并逐渐在其他科学领域中得到应用。
卡尔曼滤波的基本思想是通过融合测量数据和系统模型的信息，对系统状态进行更准确的估计。
其核心原理是基于贝叶斯定理，将先验知识与观测数据相结合来更新系统状态的概率分布。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：更新和预测。
在更新步骤中，算法通过观测值来计算系统的状态估计。
在预测步骤中，算法使用系统的模型对下一个时间步长的状态进行预测。
通过反复进行这两个步骤，可以得到不断更新的状态估计结果。
卡尔曼滤波算法的关键是系统模型和观测模型的建立。
系统模型描述了系统状态的演化规律，通常用线性动态方程表示。
观测模型描述了观测值与系统状态之间的关系，也通常用线性方程表示。
当系统模型和观测模型都是线性的，并且系统噪声和观测噪声都是高斯分布时，卡尔曼滤波算法能够得到最优的状态估计。
卡尔曼滤波的优点在于，在给定模型和测量信息的情况下，它能够最小化误差，并提供最佳的状态估计。
此外，卡尔曼滤波算法还具有递归、高效、低存储等特点，使其在实时应用中具有广泛的应用前景。
然而，卡尔曼滤波算法也有一些限制。
首先，它要求系统模型和观测模型能够准确地描述系统的动态特性。
如果模型存在误差或不完全符合实际情况，滤波结果可能会产生偏差。
其次，卡尔曼滤波算法适用于线性系统，对于非线性系统需要进行扩展，例如使用扩展卡尔曼滤波或无迹卡尔曼滤波。
另外，卡尔曼滤波算法还会受到噪声的影响。
如果系统的噪声比较大，滤波结果可能会失真。
此外，卡尔曼滤波算法对初始状态的选择也敏感，不同的初始状态可能会导致不同的滤波结果。
综上所述，卡尔曼滤波是一种高效、优秀的滤波算法，能够在给定模型和测量信息的情况下提供最优的状态估计。
然而，它也有一些局限性，需要充分考虑系统模型和观测模型的准确性、噪声的影响以及初始状态的选择。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波法。
卡尔曼滤波法。
卡尔曼滤波法（Kalman Filter）是一种用于估计和预测系统状态的最优算法。
它通过观测数据和系统动态模型之间的融合，能够在不确定性的环境中提供最优的状态估计和预测结果。
卡尔曼滤波法最初是由R.E.卡尔曼于1960年提出的，被广泛应用于航天、导航、控制等领域。
其核心思想是综合利用系统的动态模型和观测数据，通过递推方式不断更新状态估计值，从而实现对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波法的基本原理是基于贝叶斯推断理论，即通过先验知识和观测数据来更新对系统状态的估计。
在卡尔曼滤波法中，系统状态被假设为线性高斯分布，观测数据也被假设为线性高斯分布。
通过系统模型和观测模型，可以得到系统状态的预测和观测值的预测。
然后，通过卡尔曼增益的计算，将预测值和观测值进行融合，得到最优的状态估计值。
最后，通过迭代的方式，不断更新状态估计值，实现对系统状态的预测和估计。
卡尔曼滤波法的关键在于卡尔曼增益的计算。
卡尔曼增益是一个权重系数，用于衡量预测值和观测值之间的可靠性。
当观测数据的方差较小，即可靠性较高时，卡尔曼增益较大，更多地依赖于观测数据；当观测数据的方差较大，即可靠性较低时，卡尔曼增益较小，更多地依赖于系统模型。
通过调节卡尔曼增益，可以在不同的情况下实现对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波法在实际应用中有很多优点。
首先，它能够提供最优的状态估计结果，具有较高的准确性和稳定性。
其次，卡尔曼滤波法能够处理非线性系统和非高斯噪声的情况，具有较强的适应性。
此外，卡尔曼滤波法还具有计算效率高、存储空间小等优点，适用于实时应用。
然而，卡尔曼滤波法也存在一些限制和局限性。
首先，它假设系统模型和观测模型都是线性的，且噪声为高斯分布，这在实际应用中并不总是成立。
其次，卡尔曼滤波法对系统模型和观测模型的准确性要求较高，如果模型不准确，可能会导致估计结果的偏差。
此外，卡尔曼滤波法还对初始状态的估计值敏感，如果初始估计值不准确，可能会影响后续的估计结果。
处理通信延迟的分布式无迹卡尔曼滤波算法
收稿日期:20221013基金项目:国家重点研发计划(2018Y F B 2003704);国家自然科学基金资助项目(61503257)㊂作者简介:王立梅(1997),女,山东日照人,硕士研究生㊂通讯作者:曾 静(1981),女,河南信阳人,博士,副教授㊂E -m a i l :z e n g j i n g @s yu c t .e d u .c n ㊂第35卷第4期2023年 8月沈阳大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .35,N o .4A u g .2023文章编号:2095-5456(2023)04-0300-10处理通信延迟的分布式无迹卡尔曼滤波算法王立梅,曾 静*(沈阳化工大学信息工程学院,辽宁沈阳 110142)摘 要:针对通信延迟影响下非线性系统的状态估计问题,提出了一种分布式无迹卡尔曼滤波器估计算法㊂考虑了一类由多个子系统组成的非线性系统,各子系统之间通过自身的状态相互作用;基于无迹卡尔曼滤波器原理,给每个子系统设计了相应的局部状态估计器来估计子系统的状态;各局部状态估计器通过通信网络来交换信息,考虑了通信时可能存在时变延迟,提出了一种状态预测器生成延迟子系统的状态预测,补偿延迟带来的影响;通过对一个反应器分离器过程工艺实例的应用,说明了所提出的分布式状态估计方案的有效性和适用性㊂关 键 词:非线性系统;分布式状态估计;通信延迟;无迹卡尔曼滤波器;化工过程中图分类号:T P 273 文献标志码:AD i s t r i b u t e dU n s c e n t e dK a l m a nF i l t e rA l g o r i t h m W i t hH a n d l i n gC o m m u n i c a t i o nD e l a yWA N GL i m e i ,Z E N GJ i n g(S c h o o l o f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,S h e n y a n g U n i v e r s i t y o f C h e m i c a l T e c h n o l o g y ,S h e n y a n g 110142,C h i n a )A b s t r a c t :I n o r d e rt o s o l v et h e p r o b l e m o fs t a t ee s t i m a t i o n o fd i s t r i b u t e d s ys t e m s ,a d i s t r i b u t e du n s c e n t e dK a l m a n f i l t e r e s t i m a t i o n s c h e m ew a s p r o po s e d t o d e a l w i t h t h e p o s s i b l e t i m e -v a r y i n g d e l a y i nc o mm u n i c a t i o nb e t w e e ns u b s y s t e m e s t i m a t o r s .A c l a s so fn o n l i n e a r s y s t e m s c o m p o s e do fm u l t i p l es u b s y s t e m sw a sc o n s i d e r e d ,a n de a c hs u b s y s t e mi n t e r a c t e d w i t he a c ho t h e r t h r o u g h i t s o w n s t a t e ;b a s e do n t h e p r i n c i pl eo f u n s c e n t e dK a l m a n f i l t e r ,a c o r r e s p o n d i n g l o c a l s t a t e e s t i m a t o rw a s d e s i g n e d f o r e a c hs u b s y s t e mt o e s t i m a t e t h e s t a t e o f t h e s u b s y s t e m.E a c h l o c a l s t a t e e s t i m a t o r e x c h a n g e d i n f o r m a t i o n t h r o u gh t h e c o mm u n i c a t i o n n e t w o r k ,c o n s i d e r e d t h e p o s s i b l e t i m e -v a r y i n g d e l a y i n c o mm u n i c a t i o n ,a n d p r o p o s e d a s t a t e p r e d i c t o r t o g e n e r a t e a s t a t e p r e d i c t i o no f t h e d e l a y s u b s y s t e mt o c o m p e n s a t e f o r t h e i m pa c t o fd e l a y .T h ee f f e c t i v e n e s sa n da p p l i c ab i l i t y o ft h e p r o p o s e dd i s t r i b u t e ds t a t ee s t i m a t i o n sc h e m ew e r e i l l u s t r a t e db y a ne x a m p l e o f a r e a c t o r -s e p a r a t o r p r o c e s s .K e y w o rd s :n o n l i ne a r s y s t e m ;d i s t r i b u t e d s t a t e e s t i m a t i o n ;c o mm u n i c a t i o nd e l a y ;u n s c e n t e d K a l m a nf i l t e r ;c h e m i c a l pr o c e s s 随着社会的进步和科学技术的发展,新型工业过程涉及的方面越来越多,分工也越来越细,为了满足产能的需求和提高经济效益,新型工业过程逐渐朝着分布式控制方向发展㊂分布式控制能够很好地节约能源㊁降低能源损耗和减少排放量㊂近年来,许多复杂工业过程的分布式控制方案的发展引起了广泛的关注[13]㊂在这些分布式方案中,不同的控制器相互通信,以协调它们的行动,实现分散控制方案性能的提高㊂它们在大规模集成过程网络中都产生了非常好的效果[47]㊂同集中式控制系统一样,大多数分布式控制也依赖于整个系统的状态测量值的可用性㊂因此开发分布式框架下的状态估计方案显Copyright ©博看网. All Rights Reserved.得尤为重要㊂近年来,学者们针对不同类别系统在开发分布式状态估计方面做出了许多努力㊂滚动时域状态估计(m o v i n g ho r i z o n s t a t e e s t i m a t i o n ,MH E )是一种可以在分布式框架中使用的方法,可以解决线性系统与非线性系统的状态约束和不确定性,但它的计算复杂度通常较高[89]㊂A n 等[10]提出了一种针对离散时间系统的分布式MH E 协调算法,该方案显著提高了局部估计器的性能,但不适用于非线性系统㊂焦志强等[11]针对网络中单个传感器对目标状态不完全观测的情况,提出了一种分布式MH E 估计算法,通过量测补偿对目标状态进行完整估计,但这一算法计算复杂度较高㊂Y i n 等[12]提出了一种迭代分布式MH E 方案,有效解决了污水处理系统的估计问题,降低了计算复杂度㊂另外,分布式卡尔曼滤波(d i s t r i b u t e dK a l m a n f i l t e r i n g,D K F )得到了广泛的研究㊂相比于分布式MH E ,D K F 的计算量要小得多㊂V a d i g e p a l l i 等[13]提出了可以应用于植物化过程的多速率分布估计和控制的D K F 算法,该方法适用于线性系统㊂针对非线性系统,杨姝[14]提出一种基于自适应高增益扩展卡尔曼滤波器(e x t e n d e dK a l m a n f i l t e r ,E K F )的分布式估计方法,提高了非线性系统的估计精度㊂王长城等[15]在无迹卡尔曼滤波器(u n s c e n t e dK a l m a n f i l t e r ,U K F )基础上提出了分布式一致性算法,通过信息交换解决了目标状态的跟踪问题㊂谯小康等[16]进一步改进了U K F 算法,针对车辆节点进行分布式计算,有效提高了定位精度,但由于用到了车载网络,在实际应用时可能存在通信误差㊂在分布式状态估计方案的研究中,信息交互是很重要的一部分,数据传输的准确率会对估计性能产生很大影响㊂随着数据传输逐渐网络化和共享化,通信延迟成为不可忽视的问题㊂文献[17]提出了一种自适应多导弹协同编队控制器,保证了通信延迟和输入饱和影响下系统状态的渐进稳定性;文献[18]为了补偿时间延迟,应用S m i t h 预估器在协同自适应巡航控制中,提高了车辆控制性能;文献[19]提出了一种分布式自适应鲁棒控制方法,在存在参数不确定㊁通信延迟等情况下实现队列控制㊂以上研究的延迟处理方法多应用在一些信息交互的分布式控制系统中,在状态估计领域研究较少,对于存在通信延迟的分布式非线性系统的状态估计问题仍需仔细考虑㊂另外,在处理分布式非线性系统的状态估计问题时多使用MH E ㊁E K F 和U K F 等作为局部估计器㊂MH E 对于非线性系统都有不错的估计效果,但计算复杂度相对较高;E K F 通过雅可比矩阵进行线性化处理,计算复杂度低,但当系统高度非线性时,滤波会发散,导致估计性能降低;U K F 无需对非线性系统进行近似处理,因而不受非线性系统具体形式的限制,适用范围更广㊂选择U K F 作为分布式系统的主要估计器,在研究如何处理通信延迟问题时更有优势㊂基于上述考虑,本文提出了处理通信延迟的分布式无迹卡尔曼滤波(d i s t r i b u t e du n s c e n t e dK a l m a nf i l t e r i n g,D U K F )估计方案,不仅给出了对应的分布式状态估计算法,用于指定子系统之间的信息交换协议和D U K F 的实现策略;还利用分布式系统的特点为每个子系统设计了一个局部U K F ,描述了局部U K F 的详细设计;同时在方案中给出了通信延迟补偿策略,保证了估计效率与估计的准确度㊂最后,将方案应用于一个化工实例,通过与不同条件下分布式状态估计方案的比较,证明方案的有效性和适用性㊂1 系统描述1.1 系统模型考虑一类由m 个相互关联的子系统组成的非线性系统,其中第i 个子系统用以下状态空间模型描述:x i (t )=f i (x i (t ),w i (t ))+f i (X i (t )),yi (t )=h i (x i (t ))+v i (t })㊂(1)式中:i ɪI ,I 表示整数集合,定义为I ={1, ,m };x i (t )ɪR n x i 表示子系统i 的n 维状态向量;w i (t )ɪR n w i 表示与子系统i 相关的扰动;向量函数f i 描述了x i 和相关扰动的关系;向量函数f i 描述了子系统i 和其他子系统之间的相互作用;状态向量X i (t )ɪR n X i 表示参与相互作用的状态向量;向量y i (t )ɪR n y i 是子系统i 的测量输出;v i (t )ɪR n v i 是测量噪声向量㊂在下面的讨论中,使用I i ,i =1, ,m 来表示X i 中涉及的相应子系统状态的子系统索引集㊂例如,如果X 1包含子系统2㊁子系统4和子系统5的状态,则I 1={2,4,5}㊂假设集合I i ,i =1, ,m 是已知的㊂假设系统状态x i 满足约束x i ɪT i ,其中集合T i 是凸集合㊂状态扰动w i ɪW i ,测量噪声v i ɪV i 是103第4期 王立梅等:处理通信延迟的分布式无迹卡尔曼滤波算法Copyright ©博看网. All Rights Reserved.有界的,且W i ʒ={w i ɪR n w i :w i ɤθw i ,θw i >0},V i ʒ={v i ɪR n v i :v i ɤθv i ,θv i >0}㊂式中,θw i 和θv i 是已知的正整数㊂假设非线性函数f 和h 满足局部Li p s c h i t z 条件㊂整个非线性系统状态向量和测量的输出向量分别记为x 和y ,x =[x T 1 x T i x T m ]T ɪR n x ,y =[y T 1 y T iy T m ]T ɪR n y ,它们分别是m 个子系统状态和输出的组成㊂这样,整个系统可以描述如下:x (t )=f (x (t ),w (t ))+f (X (t ));y (t )=h (x (t ))+v (t })㊂(2)式中,f ㊁f ㊁w ㊁h 和v 分别是f i ㊁fi ㊁w i ㊁h i 和v i (i =1, ,m )相应的组成集合㊂假设m 个子系统的输出在时间{t k ȡ0}是同步和周期性地采样,这样t k =t 0+k Δ,其中t 0=0是初始时间,Δ为一个固定的采样时间间隔,k 为正整数㊂1.2 通信网络及延迟模型在分布式状态估计框架中,每个子系统都关联一个相应的局部状态估计器㊂首先,假设一个子系统的局部输出测量值通过专用的局部通信网络传输到其相关的子系统估计器,该局部通信网络的通信延迟可以忽略不计㊂也就是说,子系统估计器在每次采样时间内都可以直接访问其局部输出测量值㊂其次,每个子系统的局部估计器在必要时可以与其他子系统的估计器进行通信,以交换子系统的输出测量值和状态估计值㊂假设各局部状态估计器之间通过共享通信网络进行信息交换,并且在通信网络中信息传输会受到时变通信延迟的影响㊂为了对通信中的延迟进行建模,引入了一个辅助变量d i ,j (t k ),它表示t k 时刻子系统j 给子系统i 传送信息时产生的时延,变量d i ,j (t k )取值为正整数㊂假如在t k 时刻,子系统i 接收到的子系统j 的最新信息是t k -q 时刻发出的,那么可以得到d i ,j (t k )=q ㊂所有的信息都是时间标记的,所以在共享通信网络中延迟时间是已知的㊂考虑所提出的分布式状态估计方案的确定性和稳定性,给延迟变量d i ,j (t k )设定一个上限D ㊂通信中的延迟是时变的,因此在2个连续的采样周期内可能不会提供新的信息㊂子系统存储从当前时刻到D Δ时间段内其他子系统发送的所有信息㊂在t k 时刻,如果子系统i 接收到的子系统j 的最新信息是在t k -d i ,j (t k )时刻发送的,那么最迟在t k +D -d i ,j (t k )时刻接收到包含子系统j 新的状态估计信息的数据包,因为最大可能的延迟是D Δ㊂2 处理通信延迟的D U K F 方案设计2.1 方案描述图1 方案设计原理F i g .1 P r i n c i p l eo f s c h e m a t i cd e s i gn 针对通信网络中可能存在时变延迟的非线性系统,给出了处理延迟的D U K F 状态估计方案,方案设计原理如图1所示㊂在该设计中,每个子系统都有相应的局部状态估计器U K F ,用U K F i 表示子系统i 对应的局部状态估计器,i =1, ,m ㊂当当前状态估计和输出测量可用时,就会将信息发送给系统中的其他子系统㊂然而,由于信息传输中的通信延迟,子系统可能无法同步接收来自其他子系统的信息㊂为了解决这个问题,在每个子系统的状态估计器中嵌入一个预测器,它可以根据之前接收到的信息来预测其他子系统的状态㊂2.2 状态预测器设计假设在t k 时刻,子系统i (i ɪI )受延迟影响没有接收到来自子系统l (l ɪI i )的状态估计x l (t k -1),状态预测器开始工作预测203沈阳大学学报(自然科学版) 第35卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.子系统的状态㊂在预测器的设计中,使用了式(2)的集中系统模型㊂在t k 时刻,U K F i 中的预测器递归计算前一时刻整个系统的状态预测,用x p ,i (t k -1)表示㊂其中,上标p 表示预测,i 表示预测是在子系统i 中计算出来的㊂计算出x p ,i (t k -1)后,延迟的状态估计x l (t k -1)便可以根据整体系统状态预测x p ,i (t k -1)中子系统l 的部分来近似㊂x p ,i (t k -1)的计算公式如下:x p ,i (t )=f (x p ,i (t ),0)+f (x p ,i (t )),t ɪ[t s ,t s +1]㊂(3)式(3)的初始条件为x p ,i (t q )=x (t q ),其中,s =q ,q +1, ,k -2,t q 是接收到所有其他子系统最新状态估计的时刻,以保证x (t q )是可用的㊂如:子系统i 在[t k -1,t k ]之间接收到x j (t k -3)和x l (t k -5)(j ʂl ʂi ),则预测的初始时间t q =t k -3㊂在最坏情况下延迟时间为最大通信传输延迟D ,t q =t k -D ㊂另外,在递归计算x p ,i 时,其值应该用t q 和t k -1之间接收到的状态估计来更新,以得到更好的状态预测结果㊂如:在t s 时刻,q <s <k -1,一旦从式(3)获得预测值x p ,i (t s ),就应该检查是否接收到任何其他子系统在t s 时刻的状态估计值㊂若是,则x p ,i (t s )应该用这些状态估计进行更新,更新后的x p ,i (t s )将用于估计下一次采样时间的预测值㊂2.3 子系统局部U K F 设计在分布式系统中,每一个子系统都与一个局部U K F 相关联,其基于局部测量值㊁状态预测值和从其他子系统接收到的信息计算当前状态估计㊂子系统i (i ɪI )的局部U K F 设计如下:1)利用初始估计值及U T 变换,生成2n +1个S i gm a 点㊂x (j)i(k |k )=[X i (k |k ),X i (k |k )ʃ(n +λ)P X i (k |k )],j =0,1, ,2n ㊂(4) 2)将从其他子系统接收到的信息和采样点代入状态方程,计算采样点的一步预测;若存在延迟,用状态预测值代替延迟信息代入状态方程㊂求出采样点的一步预测后,对采样点的预测值加权求和,得到系统状态量的一步预测及协方差矩阵㊂x (j )i (k +1|k )=f i (x (j)i(k |k ),x l (k |k )),(5)X i (k +1|k )=ð2nj =0w (j )m ,i x (j)i(k +1|k ),(6)P X i (k +1|k )=ð2nj =0w (j )c ,i [x (j )i (k +1|k )-X i (k +1|k )][x (j )i(k +1|k )-X i (k +1|k )]T+Q i ㊂(7) 3)求出预测的观测量㊂对观测量加权求和,求得观测量的均值及协方差㊂y (j )i (k +1|k )=h (x (j)i(k +1|k )),(8)y i (k +1|k )=ð2nj =0w (j )m ,i y (j)i(k +1|k ),(9)P y k i y k i=ð2nj =0w (j )c ,i [y (j )i (k +1|k )-y i (k +1|k )][y (j )i (k +1|k )-y i (k +1|k )]T+R i ,(10)P x k i y k i=ð2nj =0w (j )c ,i [x (j )i (k +1|k )-X i (k +1|k )][y (j )i (k +1|k )-y i (k +1|k )]T ㊂(11) 4)计算K a l m a n 增益㊂K i (k +1)=P x k i y k i P -1y k i y k i㊂(12) 5)更新误差协方差矩阵和系统状态㊂P X i (k +1|k +1)=P X i (k +1|k )-K i (k +1)P y k i y k i K i(k +1)T,(13)X i (k +1|k +1)=X i (k +1|k )+K i (k +1)[y (j)i(k +1|k )-y i (k +1|k )]㊂(14)式中:x (j)i(k |k )为k 时刻对应的S i g m a 点;X i (k |k )和P X i (k |k )为k 时刻的状态估计值和相应的协方差;x (j )i (k +1|k )和y (j )i (k +1|k )分别为k +1时刻的子系统i 采样点的一步预测值及相应的观测值;x l (k |k )是从子系统l 接收到的状态估计;X i (k +1|k )和y i (k +1|k )分别为k +1时刻的子系统i 状态量的一步预测值及相应的观测值;w (j )m ,i 和w (j)c ,i 是采样点相应的权值;PX i (k +1|k )是一步预测协方差矩阵;矩阵Q i 和R i 分别表示子系统的过程噪声和测量噪声的协方差矩阵;P y k i y k i 和P x k i y k i 为观测量相关的协方差矩阵;K i (k +1)是k +1时刻的K a l m a n 增益;X i (k +1|k +1)和P X i (k +1|k +1)是更新后的系统状态估计和协方差矩阵㊂将X i (k +1|k +1),P X i (k +1|k +1)作为下一时刻的初值继续迭代下去㊂303第4期 王立梅等:处理通信延迟的分布式无迹卡尔曼滤波算法Copyright ©博看网. All Rights Reserved.403沈阳大学学报(自然科学版)第35卷2.4分布式状态估计算法本节中给出实现所提出的分布式U K F状态估计方案的算法,算法流程图如图2所示㊂在每个采样时间内,各子系统及其局部状态估计器具体执行以下步骤㊂1.在t0=0时,U K F i,iɪI利用初始时间的系统测量值y(t0)和初始系统状态估计x(t0)进行初始化㊂2.在t k>0时,执行以下步骤:1)U K F i通过专用通信网络接收子系统i的输出测量值y i(t k);2)U K F i在时间间隔t k-1到t k之间接收并检测其他子系统发送的数据包,根据数据包中的信息更新d i,j(t k)的值并存储数据包;3)当检测到d i,j(t k)的值大于1,即信息传输过程中产生了延迟时,状态预测器开始工作,根据存储的延迟信息生成系统先前时刻的状态预测值x p,i(t k-1);4)基于局部测量值y i(t k)㊁状态预测值x p,i(t k-1)和从其他子系统接收的信息,U K F i计算当前状态估计x i(t k),并将当前子系统状态估计x i(t k)和输出测量y i(t k)发送给其他子系统,即发送给子系统j, jɪI㊁jʂi㊂3.在下一采样时刻t k+1,返回步骤2继续执行㊂从上述算法可以看出,在步骤2的4)中发送了子系统i的当前信息,并在下一个采样时间内使用该信息,这表明不可避免会有一个采样时间的延迟,d i,j(t k)=1㊂由于在信息传输过程中可能会导致额外的延迟,当总延迟大于一个采样时间(即d i,j(t k)>1)时,再使用预测器计算t k-1的状态预测㊂基于该预测,子系统U K F计算当前子系统状态估计㊂图2所提出的分布式算法流程图F i g.2F l o wc h a r t o f t h e p r o p o s e dd i s t r i b u t e da l g o r i t h m3仿真分析把本文提出的处理通信延迟的分布式U K F应用于化工过程模型,该化工模型由2个连续搅拌釜式反应器和1个分离器构成,具体状态方程和参数描述见文献[20]㊂在该过程中涉及的9个状态变量, x A1㊁x A2㊁x A3㊁x B1㊁x B2㊁x B3和T1㊁T2㊁T3分别为反应物A㊁B在反应器1㊁2㊁3中的质量分数和反应器1㊁2㊁3中的温度㊂假设温度T1㊁T2和T3为可测量的输出值,基于这些测量值来估计9个状态㊂整个过程根据反应器1㊁反应器2和分离器分为3个子系统,每个子系统中都涉及反应物A㊁B的质量分数和反应器温度,状态可由x i=[x A i,x B i,T i]T,i=1,2,3表示㊂对于每个子系统,其对应的容器都有一个外部输入,Q1㊁Q2和Q3㊂测量结果受到有界噪声的影响,测量中的有界噪声产生均值为零和标Copyright©博看网. All Rights Reserved.准差为1的正态分布值,这些值以[-1,1]为界㊂除了测量噪声,过程随机干扰也被引入方程中㊂添加到温度的过程有界随机噪声干扰生成均值为0,标准差为100的正态分布,以[-10,10]为界㊂添加到其他状态的过程有界随机噪声干扰生成均值为0和标准差为1的正态分布,以[-1,1]为界㊂将提出的D U K F (方案1)㊁不考虑通信延迟的D U K F (方案2)和通信状况理想的D U K F (方案3)进行比较㊂在这组仿真中,考虑了一种极端的情况,让子系统之间的通信延迟总是等于延迟的最大值D ,D =5㊂在所提出的D U K F 方案中,当存在通信延迟时,预测器将用于生成相应状态预测,以最大程度地减小延迟的影响㊂在不考虑通信延迟的D U K F 方案中,当存在通信延迟时,使用最新接收到的信息来近似当前信息㊂而在通信理想的D U K F 方案中,信息传输没有延迟㊂在这组仿真中,3种D U K F 方案使用了相同的初始条件㊁干扰㊁噪声序列和外部输入㊂该工艺的初始条件为x 0=[0.178;0.680;485.120;0.199;0.660;477.514;0.066;0.677;479.637]T,而3种D U K F 方案的初始估计值是x 0=[0.168;0.700;487.000;0.180;0.700;480.000;0.060;0.680;476.000]T ,外部输入为Q i =Q s ,i +5ˑ105e -0.01ts i n (0.1t ),i =1,2,3㊂(15)式中,Q s ,i ,i =1,2,3是子系统对应的稳态输入值㊂这种类型的输入用来激发过程状态轨迹中不同的变化速率㊂需要注意的是,当过程输入存在时,设计的D U K F 方案需要考虑到这些输入,并且假定输入是已知的㊂在局部U K F 的设计中,参数矩阵设计为:Qc i =0.0001d i a g ([12,12,1002]);R c i =d i a g (12);P d i =Qc i ,i =1,2,3㊂图3为3种方案与实际状态的比较结果(见封3),从图中可以看出,当通信延迟总是等于最大延迟5时,3种方案在开始时误差都较大,这是初始条件导致的,但随着时间推移,所提出的D U K F 和通信理想的D U K F 都能较好地追踪上系统实际状态,而不考虑通信延迟的D U K F 估计效果与实际情况的偏图4 3种方案的估计误差范数F i g.4 E s t i m a t e de r r o r n o r mf o r t h e t h r e es c e n a r i o s 差要大一些㊂对于B 的质量分数,3种方案对比更明显,可以看到,不考虑通信延迟的D U K F 估计效果不稳定,有些跟踪不上实际状态,而所提出的D U K F 和通信理想的D U K F 相比之下能更快地追踪上实际状态,这说明所提出的D U K F 的延迟处理方法是有效的,能够减小延迟带来的影响㊂另外,对估计误差也进行了比较,如图4所示㊂从图4可以看出,所提出的D U K F 能够快速地驱动估计误差到一个较小的值,并将误差保持在一个小区域接近于零,与通信理想的D U K F 估计误差接近,而没有考虑通信延迟的D U K F 的估计误差变化较大㊂在估计误差平均值方面,所提出的D U K F 的误差范数平均值为0.1673,不考虑通信延迟的D U K F 误差范数平均值为0.3759,通信理想的D U K F 误差范数平均值为0.1570㊂可以看出,所提出的D U K F 有效改善了延迟影响㊂第2组仿真考虑正常情况下延迟对估计结果的影响㊂基于信息传输过程的实际情况,将子系统之间的通信延迟用D =5生成1和D 之间的随机整数模拟随机延迟㊂仿真中各子系统之间的通信延迟,如图5所示㊂在这组仿真中,3种方案的系统初始条件㊁初始估计值㊁噪声干扰㊁噪声序列和外部输入与第1组仿真相同㊂3种方案相应的估计误差范数轨迹如图6所示㊂从图6中可以得出与第1组仿真类似的结论㊂也就是说,所提出的D U K F 能够快速地将估计误差驱动到零附近区域,接近通信理想的D U K F ,而没有考虑通信延迟的D U K F 的估计误差变化较大㊂另外,在这组仿真中,所提出的D U K F 给出的误差范数平均值为0.1629,没有考虑通信延迟的D U K F 给出的误差范数平均值为0.3827,而通信理想的D U K F 给出的误差范数平均值为0.1571,与所提出的D U K F 方案估计误差的平均值接近㊂可以看出,所提出的D U K F 有效改善了延迟影响,提高了估计503第4期 王立梅等:处理通信延迟的分布式无迹卡尔曼滤波算法Copyright ©博看网. All Rights Reserved.性能㊂(a )子系统2到子系统1的延迟(b)子系统3到子系统1的延迟(c )子系统1到子系统2的延迟(d)子系统3到子系统2的延迟(e)子系统1到子系统3的延迟(f)子系统2到子系统3的延迟图5 通信延迟序列F i g .5 C o m m u n i c a t i o nd e l a y s e qu e n ce 图6 第2组仿真中3种方案的估计误差范数F i g.6 E s t i m a t e de r r o r n o r mf o r t h e t h r e es c e n a r i o s i n t h es e c o n d s e t o f s i m u l a t i o n s在第2组仿真基础上只改变过程噪声干扰,观察过程噪声干扰对方案的影响㊂由于第1组仿真和第2组仿真用的是同一组噪声干扰,故以这组噪声干扰为基准,改变噪声干扰标准差系数获得多组噪声㊂3种方案在不同过程噪声干扰下对应的估计误差的平均值如表1所示㊂从表中可以看出,无论过程噪声干扰偏大还是偏小,所提出的方案的估计误差平均值都较小㊂所提出的D U K F 方案能较好处理噪声干扰和延迟带来的影响,甚至在过程噪声较小时(前3组系数对应的数据)优于通信理想的D U K F 方案㊂表1 不同过程噪声干扰下的估计误差平均值T a b l e1 A v e r a g eo f e s t i m a t i o ne r r o r u n d e r d i f f e r e n t p r o c e s s n o i s e i n t e r f e r e n c e 系数0.010.100.502.002.50方案10.15260.15060.15870.17000.1766方案20.40820.41510.38070.35390.3973方案30.16900.16620.15830.15910.1600在第3组仿真中,考虑延迟上限D 对仿真结果的影响㊂在仿真设计中,改变所提出的D U K F 方案中最大通信延迟D 的值㊂考虑了最大延迟D 分别为1㊁3㊁4㊁5㊁7㊁9㊂图7(a )~图7(f)分别显示了603沈阳大学学报(自然科学版) 第35卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.D=1㊁3㊁4㊁5㊁7㊁9时对应的估计误差范数轨迹㊂在每一个分图中都有一条虚线,虚线标明了各估计误差的最大值,可以更直观地看到不同条件下估计误差的最大波动区域㊂当不存在通信延迟(即D=1)时,如图7(a)所示,与其他存在通信延迟的情况相比,估计误差相对较小;当存在通信延迟(即D>1)时,如图7(b)~图7(f)所示,可以看出各图中估计误差变化都很接近,也就是说最大通信延迟的值增加并没有过于影响所提出的D U K F方案的估计准确度,说明所提出的D U K F方案在不同延迟时间影响下也能保持良好的估计效果㊂另外,比较了不同最大延迟下估计误差的平均值和最大值,结果如表2所示㊂从表中也可以看出,虽然最大通信延迟的值不同,但各估计误差的平均值和最大值相差不大,表明所提出的方案稳定性能较好㊂(a)D=1(b)D=3(c)D=4(d)D=5(e)D=7(f)D=9图7不同D下提出的D U K F估计误差范数轨迹F i g.7E s t i m a t e de r r o r n o r mt r a j e c t o r i e s o f t h e p r o p o s e dD U K Fu n d e r d i f f e r e n t D表2估计误差平均值及最大值T a b l e2A v e r a g ea n dm a x i m u mo f e s t i m a t i o ne r r o rD134579平均值0.15670.15930.16070.16260.16350.1658最大值0.17380.19640.19870.19790.20660.20774结论针对通信网络中存在延迟的一类非线性系统开发了一种D U K F方案,得出以下结论:1)不同于传统集中系统模型,分布式方案将非线性系统划分为多个子系统进行状态估计,更适用703第4期王立梅等:处理通信延迟的分布式无迹卡尔曼滤波算法Copyright©博看网. All Rights Reserved.803沈阳大学学报(自然科学版)第35卷于分工复杂的工业过程;2)提出的分布式U K F方案对通信延迟进行了处理,有效补偿了延迟带来的影响,保证了估计的准确度;3)提出的分布式方案估计性能较高,在噪声干扰和随机延迟的影响下仍能保持较好的估计效果㊂下一步将研究数据丢包对估计效果的影响,朝着同时处理通信延迟和数据丢包的分布式U K F算法方向研究㊂参考文献:[1]J I N L B,N O R R G A S,WA L L MA R K O.S e r i a lc o mm u n i c a t i o n b a s e d d i s t r i b u t e dc o n t r o lo ft h es t a c k e d p o l y p h a s eb r i d g e sc o n v e r t e r J].8t h I E TI n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o nP o w e rE l e c t r o n i c s,M a c h i n e s a n dD r i v e s(P E M D2016),2016:15.[2]刘杰,田林,和星晨.热处理设备的分布式控制系统[J].热处理,2019,34(6):3538.L I UJ,T I A NL,H EXC.D i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s t e mo f h e a t t r e a t m e n t e q u i p m e n t[J].H e a tT r e a t m e n t,2019,34(6):3538.[3]X I N G W,WA N G H W,L ULG,e t a l.A n a d a p t i v e v i r t u a l i n e r t i a c o n t r o l s t r a t e g y f o r d i s t r i b u t e d b a t t e r y e n e r g y s t o r a g e s y s t e mi nm i c r o g r i d s[J].E n e r g 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