卡尔曼滤波计算举例
卡尔曼滤波 公式
卡尔曼滤波公式
卡尔曼滤波是一种用于估计状态变量的数学算法，广泛应用于各种领域，如航空航天、无人驾驶、机器人等。
以下是卡尔曼滤波的公式：
1.状态预测方程：
x[k|k-1] = A[k|k-1] * x[k-1|k-1] + B[k|k-1] * u[k]
其中，x[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的状态预测，A[k|k-1]是状态转移矩阵，B[k|k-1]是控制矩阵，u[k]是控制向量。
2.测量更新方程：
z[k|k] = H[k|k] * x[k|k] + v[k]
其中，z[k|k]表示在时间k对时间k的测量更新，H[k|k]是量测矩阵，v[k]是测量噪声。
3.协方差预测方程：
P[k|k-1] = A[k|k-1] * P[k-1|k-1] * A[k|k-1]' + Q
其中，P[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的协方差预测，Q是过程噪声协方差。
4.协方差更新方程：
P[k|k] = (I - K[k] * H[k|k]) * P[k|k-1]
其中，P[k|k]表示在时间k对时间k的协方差更新，K[k]是卡尔曼增益矩阵。
5.卡尔曼增益计算：
K[k] = P[k|k-1] * H[k|k]' / (H[k|k] * P[k|k-1] * H[k|k]' + R)
其中，R是测量噪声协方差。
卡尔曼滤波五个公式推导过程
卡尔曼滤波五个公式推导过程1.系统的状态方程假设我们有一个线性动态系统，可以用如下的状态方程来描述：x(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)+w(k-1)其中，x(k)表示系统在时刻k的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入变量矩阵，u(k-1)是输入变量向量，w(k-1)是过程噪声。
2.系统的测量方程假设我们的系统是通过一些传感器进行测量的，测量结果表示为：z(k)=Hx(k)+v(k)其中，z(k)是系统的测量向量，H是观测矩阵，v(k)是测量噪声。
3.状态估计的预测根据系统的状态方程，我们可以预测系统在下一个时刻的状态。
预测的结果表示为：x^(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)其中，x^(k)表示状态的预测向量。
4.测量更新在得到测量结果后，我们可以根据测量更新系统的状态估计。
计算出的状态估计称为卡尔曼增益。
卡尔曼增益的计算公式如下：K(k)=P^(k)H^T(HP^(k)H^T+R)^-1其中，P^(k)是状态协方差的预测值，R是测量噪声的协方差。
5.状态估计的更新通过卡尔曼增益，我们可以计算出最终的状态估计。
状态估计的更新公式如下：x(k)=x^(k)+K(k)(z(k)-Hx^(k))P(k)=(I-K(k)H)P^(k)其中，I是单位矩阵，P(k)是状态协方差的最优估计。
以上就是卡尔曼滤波的五个公式的推导过程。
通过这五个公式，我们可以根据系统的状态方程和测量方程，利用预测和更新步骤，得到最优的状态估计结果。
卡尔曼滤波在各个领域都有广泛的应用，如目标跟踪、定位导航等。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
卡尔曼滤波计算举例全
卡尔曼滤波计算举例⏹计算举例⏹卡尔曼滤波器特性假设有一个标量系统，信号与观测模型为[1][][]x k ax k n k +=+[][][]z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。
2nσ2σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
220.9,1,10,[0]10nx a P =σ=σ==1. 计算举例根据卡尔曼算法，预测方程为:ˆˆ[/1][1/1]xk k ax k k -=--预测误差方差为:22[/1][1/1]x x nP k k a P k k -=--+σ卡尔曼增益为:()1222222[][/1][/1][1/1][1/1]x x x nx n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ--+σ=--+σ+σˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]xk k x k k K k z k x k k axk k K k z k ax k k a K k xk k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:()()2222222222222[/](1[])[/1][1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x nx n x n x nx nP k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ=--+σ+σ滤波误差方差起始：ˆ[0/0]0x=[0/0][0]x x P P =k [/1]x P k k -[/]x P k k []K k 012345689104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.16089.104.85923.64883.16542.94752.84402.79352.76870.47360.32700.26730.24040.22770.22140.21840.2168ˆ[0/0]0x=[0/0]10x P =220.9110na =σ=σ=2. 卡尔曼滤波器的特性从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2222222[1/1][/][1/1]x nx x na P k k P k k a P k k σ--+σ=≤σ--+σ+σ2[/]x P k k ≤σ这是因为（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x nP k k -≥σ这是因为222[/1][1/1]x x n nP k k a P k k -=--+σ≥σ（3）卡尔曼增益满足，随着k 的增加趋于一个稳定值。
卡尔曼滤波器例题
卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，它使用测量数据和系统状态方程来估计一个动态系统的状态。
下面是一个简单的卡尔曼滤波器例题：假设我们有一个一维系统，其状态方程为：X(k) = X(k-1) + 1其中X(k) 表示系统在时刻k 的状态，X(k-1) 表示系统在时刻k-1 的状态。
测量方程为：Z(k) = X(k) + 2 * R * randn()其中Z(k) 表示在时刻k 的测量值，R 表示测量噪声的方差，randn() 表示随机数生成函数，用于生成符合标准正态分布的随机噪声。
现在，我们使用卡尔曼滤波器来估计系统在时刻k 的状态X(k)。
在卡尔曼滤波器中，我们需要定义以下几个变量：P(k|k-1)：表示在时刻k-1 时对时刻k 的状态估计的不确定性。
K(k)：表示卡尔曼增益，用于将测量值和估计值结合起来。
P(k)：表示在时刻k 时对状态估计的不确定性。
X(k)：表示在时刻k 的状态估计值。
在初始状态下，我们设定X(0|0)=0 和P(0|0)=1。
然后，我们使用以下递归公式来更新这些变量：P(k|k-1) = P(k-1|k-1) + Q，其中Q 表示过程噪声的方差。
K(k) = P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R)，其中R 表示测量噪声的方差。
X(k) = X(k|k-1) + K(k) * (Z(k) - X(k|k-1))，其中Z(k) 是测量值。
P(k) = (1 - K(k)) * P(k|k-1)。
下面是一个使用Python 实现的卡尔曼滤波器示例代码：import numpy as npfrom scipy.linalg import inv# 定义系统参数和测量参数Q = 0.01 # 过程噪声方差R = 0.25 # 测量噪声方差X_true = np.arange(1, 10) # 真实状态序列Z_measured = X_true + 2 * R * np.random.randn(len(X_true)) # 测量序列# 初始化卡尔曼滤波器参数X_est = np.zeros_like(X_true) # 初始状态估计值P_est = np.ones_like(X_true) # 初始状态估计的不确定性X_est[0] = X_true[0] # 初始状态估计值为真实值P_est[0] = 1 # 初始不确定性设为1K = np.zeros_like(X_true) # 卡尔曼增益数组for k in range(1, len(X_true)):# 预测步骤：根据上一时刻的状态和过程方程预测当前时刻的状态和不确定性P_est[k] = P_est[k-1] + Q # P预测= P上一时刻+ QX_est[k] = X_est[k-1] + 1 # X预测= X上一时刻+ 1# 更新步骤：根据当前时刻的测量值和卡尔曼增益更新状态估计和不确定性K[k] = P_est[k] / (P_est[k] + R) # 卡尔曼增益计算公式X_est[k] = X_est[k] + K[k] * (Z_measured[k] - X_est[k]) # 状态估计更新公式P_est[k] = (1 - K[k]) * P_est[k] # 不确定性更新公式。
卡尔曼滤波详解一维卡尔曼滤波实例解析(五个公式以及各个参数的意义)
卡尔曼滤波详解一维卡尔曼滤波实例解析（五个公式以及各个参数的意义）一、问题描述假设我们有一个一维系统，我们想要估计这个系统的状态x。
我们可以通过一维传感器获得关于这个系统的观测z，但是这个观测会存在误差。
二、基本原理三、基本公式1.状态预测：我们首先假设系统可以通过一个线性方程来描述：x(k)=Ax(k-1)+B(u(k))+w(k)，其中x(k)代表系统在时刻k的真实状态，A是系统的状态转移矩阵，B是外部输入的影响矩阵，u(k)是外部输入，w(k)是系统状态预测过程中的噪声。
2.状态协方差预测：卡尔曼滤波同时也需要估计状态的不确定性，即状态协方差。
协方差可以通过以下公式进行预测：P(k)=AP(k-1)A^T+Q(k-1)，其中P(k)代表状态协方差矩阵，Q(k-1)是协方差预测过程中的噪声。
3.观测预测：将状态的估计值带入观测模型中，可以预测观测值：z^(k)=Hx^(k)，其中z^(k)代表预测的观测值，x^(k)代表状态的估计值，H是观测模型矩阵。
4.观测残差：观测残差即观测值与预测观测值之间的差异：y(k)=z(k)-z^(k)，其中y(k)代表观测残差。
5.状态更新：基于观测残差，我们可以通过以下公式更新状态的估计值：x(k)=x^(k)+K(k)y(k)，其中K(k)代表卡尔曼增益。
卡尔曼增益可以通过以下公式计算：K(k)=P(k)H^T(HP(k)H^T+R)^-1，其中R为观测噪声的方差。
四、参数含义1.状态转移矩阵A：描述系统状态k与状态k-1之间的转移关系。
2.外部输入矩阵B：外部输入对系统状态的影响矩阵。
3.外部输入u(k)：外部输入，可以是控制信号或者测量噪声。
4.状态预测噪声w(k)：在状态预测过程中引入的噪声。
5.状态协方差矩阵P：表示状态估计的不确定性，协方差矩阵的对角线上的元素越大，状态的不确定性越大。
6.状态协方差预测噪声Q(k)：在状态协方差预测过程中引入的噪声。
卡尔曼滤波五个公式推导过程
卡尔曼滤波五个公式推导过程卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于估计动态系统状态的最优估计算法。
它能够根据系统的测量和先验信息来动态地更新状态估计，并具有较好的性能和鲁棒性。
卡尔曼滤波算法可分为两个主要步骤：预测和更新。
预测步骤基于系统的动态模型进行状态的预测，更新步骤则利用观测数据对状态进行修正。
下面将分别推导卡尔曼滤波的五个公式。
1.状态预测（状态转移方程）：在卡尔曼滤波中，状态是由有限个变量组成的向量，通常表示为x。
状态转移方程描述了状态在连续时间下的变化过程。
假设我们有以下状态转移方程：x(k+1)=F(k)*x(k)+B(k)*u(k)+w(k)其中，x(k+1)表示在时间步k+1时刻的状态；F(k)是状态转移矩阵，描述状态在相邻时间步之间的线性变化关系；B(k)是控制矩阵，描述外部控制输入u(k)如何影响状态的变化；w(k)是零均值高斯白噪声，描述状态转移的不确定性。
2.预测协方差（状态预测协方差）：预测协方差描述了状态估计在预测步骤中的不确定性。
根据状态转移方程，我们可以将预测协方差表示为：P(k+1，k)=F(k)*P(k)*F(k)^T+Q(k)其中，P(k+1，k)表示在时间步k+1时刻的预测协方差；P(k)是在时间步k时刻的状态协方差；Q(k)是过程噪声协方差矩阵，表示状态转移的不确定性。
3.更新卡尔曼增益（卡尔曼增益）：更新卡尔曼增益描述了如何将观测数据用于修正状态估计。
卡尔曼增益由观测模型和预测协方差计算得出，可以表示为：K(k+1)=P(k+1，k)*H(k+1)^T*(H(k+1)*P(k+1，k)*H(k+1)^T+R(k+1))^(-1)其中，K(k+1)表示在时间步k+1时刻的卡尔曼增益；H(k+1)是观测矩阵，描述观测数据与状态之间的线性关系；R(k+1)是观测噪声协方差矩阵，描述观测数据的不确定性。
4.状态更新（状态更新方程）：状态更新方程用于根据观测数据修正状态估计。
卡尔曼滤波算法原理及应用
卡尔曼滤波算法原理及应⽤卡尔曼滤波是⼀种⾼效率的递归滤波器，它能够从⼀系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。
卡尔曼滤波在技术领域有许多的应⽤，常见的有飞机及太空船的导引、导航及控制。
卡尔曼算法主要可以分为两个步骤进⾏：预测和更新。
基于最⼩均⽅误差为最佳估计准则，利⽤上⼀时刻的估计值和状态转移矩阵进⾏预测，⽤测量值对预测值进⾏修正，得到当前时刻的估计值。
卡尔曼算法公式预测：1. ˆs(n |n −1)=A ˆs (n −1|n −1)2. P (n )=A ξ(n −1)A T +Q 更新：3. G (n )=P (n )C T [CP (n )C T +R ]−14. ξ(n )=(I −G (n )C )P (n )5. ˆs(n |n )=ˆs (n |n −1)+G (n )[x (n )−C ˆs (n |n −1)]利⽤上⾯五个式⼦可以递推得到状态的估计值ˆs (n |n )。
⽂章的组织如下：1.基本模型及假设2.卡尔曼算法原理及推导3.卡尔曼滤波算法举例4.Matlab 程序1.基本模型与假设状态⽅程（描述物体运动状态）s (n )=As (n −1)+w (n )测量⽅程（利⽤探测器等器件获取物体状态参数）x (n )=Cs (n )+v (n )其中w (n )为过程噪声，v (n )为测量噪声。
假设：w (n )，v (n )，为独⽴零均值的⽩噪声过程，即E [w (n )w T (k )]=Q (n ),n =k 0,n ≠k E [v (n )v T (k )]=R (n ),n =k 0,n ≠kv (n )和s (n )、w (n )不相关，即E [v (n )s (n )]=0E [v (n )w (n )]=02.卡尔曼算法原理及推导基于最⼩均⽅误差准则，通过观测值x (n )求真实信号s (n )的线性⽆偏最优估计。
已知上⼀时刻的估计值ˆs(n −1|n −1)利⽤状态⽅程对s (n )进⾏预测，最佳预测为{{ˆs(n|n−1)=Aˆs(n−1|n−1)利⽤测量⽅程对x(n)进⾏预测，最佳预测为ˆx(n|n−1)=Cˆs(n|n−1)=CAˆs(n−1|n−1)噪声不参与预测。
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卡尔曼滤波计算举例
⏹计算举例
⏹卡尔曼滤波器特性
假设有一个标量系统，信号与观测模型为
[1][][]x k ax k n k +=+[][][]
z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。
2n
σ2
σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
22
0.9,1,10,[0]10
n
x a P =σ=σ==1. 计算举例
根据卡尔曼算法，预测方程为:
ˆˆ[/1][1/1]x
k k ax k k -=--预测误差方差为:
2
2
[/1][1/1]x x n
P k k a P k k -=--+σ
卡尔曼增益为:
()
1
22
22
22
[][/1][/1][1/1][1/1]x x x n
x n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ
--+σ=--+σ+σ
ˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]x
k k x k k K k z k x k k ax
k k K k z k ax k k a K k x
k k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:
()()
2
2222222
222
22
[/](1[])[/1]
[1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x n
x n x n x n
x n
P k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ
=
--+σ+σ
滤波误差方差
起始：ˆ[0/0]0x
=[0/0][0]
x x P P =
k [/1]
x P k k -[/]x P k k []
K k 01
23456
89
104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.1608
9.104.85923.6488
3.16542.94752.84402.79352.7687
0.47360.32700.26730.24040.2277
0.22140.21840.2168
ˆ[0/0]0x
=[0/0]10
x P =220.9110
n
a =σ=σ=
2. 卡尔曼滤波器的特性
从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2
222
2
22
[1/1][/][1/1]x n
x x n
a P k k P k k a P k k σ--+σ
=
≤σ
--+σ+σ
2
[/]x P k k ≤σ
这是因为
（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x n
P k k -≥σ
这是因为
2
22[/1][1/1]x x n n
P k k a P k k -=--+σ≥σ
（3）卡尔曼增益满足，
随着k 的增加趋于一个稳定值。
0[]1K k ≤≤2
22
22
[1/1][][1/1]x n
x n a P k k K k a P k k --+σ
=--+σ+σ
这是因为
5
10
15
20
012345678910滤波误差方差
样本数
初值的选择会影响前几
个估计的误差，但随着观测的增加，滤波的结
果对初值不敏感。
（4）初值选择的影响
（5）卡尔曼增益可以离线计算
2
22
22
[1/1][][1/1]x n
x n a P k k K k a P k k --+σ
=--+σ+σ
()
2
222
22
[1/1]
[/][1/1]x n
x x n
a P k k P k k a P k k σ--+σ
=
--+σ+σ
与观测没有关系
（6）稳态时的特性
当k →∞时，滤波误差方差与预测误差方差都趋于稳定，卡尔曼增益值也趋于一个常数。
[][]
K k K →∞[][]
x x P k P →∞2
22
2222222
[1/1][][][][1/1][]x n
x n
x n x n a P k k a P K k K a P k k a P --+σ∞+σ
=⇒∞=--+σ+σ∞+σ+σ
()()
2
2
22
222
22
2
22
[1/1][][/][][1/1][]x n
x
n
x x
x n
x n
a P k k a P P k k P a P k k a P σ--+σ
σ∞+σ=
⇒∞=--+σ+σ
∞+σ+σ
ˆˆ[/](1[])[1/1][][]x
k k a K x k k K z k =-∞--+∞稳态时卡尔曼滤波器的传递函数为
1[]()1(1[])K H z a K z
∞-∞=--∞
与维纳滤波器等效
稳态时的滤波方程：
当时，2
2
0.9,1,10n a =σ=σ=[]0.2153K ∞=10.2153()10.7062H z z
∞-=-ˆˆ[/]0.7062[1/1]0.2153[]x
k k x k k z k =--+滤波方程化为，
1. 计算举例
[][1][]
x k ax k n k =-+[][][]z k x k w k =+22
222[1/1][][1/1]x n x n a P k k K k a P k k --+σ=--+σ+σ
()22
222
2[1/1][/][1/1]x n x x n a P k k P k k a P k k σ--+σ=--+σ+σ
ˆˆˆ[/][1/1][]([][1/1])x
k k ax k k K k z k ax k k =--+---
2. 卡尔曼滤波器的特性
（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即2
[/]x P k k ≤σ（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即
2[/1]x n P k k -≥σ（3）卡尔曼增益满足
，随着k 的增加趋于一个稳定值。
0[]1K k ≤≤（4）
初值选择的影响，随k 的增加，对初值的选择不敏感（5）增益值可以离线计算
（6）稳态时的卡尔曼滤波等价于维纳滤波器。