卡尔曼滤波计算举例
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卡尔曼滤波计算举例
⏹计算举例
⏹卡尔曼滤波器特性
假设有一个标量系统，信号与观测模型为
[1][][]x k ax k n k +=+[][][]
z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。2n
σ2
σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
22
0.9,1,10,[0]10
n
x a P =σ=σ==1. 计算举例
根据卡尔曼算法，预测方程为:
ˆˆ[/1][1/1]x
k k ax k k -=--预测误差方差为:
2
2
[/1][1/1]x x n
P k k a P k k -=--+σ
卡尔曼增益为:
()
1
22
22
22
[][/1][/1][1/1][1/1]x x x n
x n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ
--+σ=--+σ+σ
ˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]x
k k x k k K k z k x k k ax
k k K k z k ax k k a K k x
k k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:
()()
2
2222222
222
22
[/](1[])[/1]
[1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x n
x n x n x n
x n
P k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ
=
--+σ+σ
滤波误差方差
起始：ˆ[0/0]0x
=[0/0][0]
x x P P =
k [/1]
x P k k -[/]x P k k []
K k 01
23456
89
104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.1608
9.104.85923.6488
3.16542.94752.84402.79352.7687
0.47360.32700.26730.24040.2277
0.22140.21840.2168
ˆ[0/0]0x
=[0/0]10
x P =220.9110
n
a =σ=σ=
2. 卡尔曼滤波器的特性
从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2
222
2
22
[1/1][/][1/1]x n
x x n
a P k k P k k a P k k σ--+σ
=
≤σ
--+σ+σ
2
[/]x P k k ≤σ
这是因为
（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x n
P k k -≥σ
这是因为
2
22[/1][1/1]x x n n
P k k a P k k -=--+σ≥σ
（3）卡尔曼增益满足，
随着k 的增加趋于一个稳定值。0[]1K k ≤≤2
22
22
[1/1][][1/1]x n
x n a P k k K k a P k k --+σ
=--+σ+σ
这是因为
5
10
15
20
012345678910滤波误差方差
样本数
初值的选择会影响前几
个估计的误差，但随着观测的增加，滤波的结
果对初值不敏感。
（4）初值选择的影响
（5）卡尔曼增益可以离线计算
2
22
22
[1/1][][1/1]x n
x n a P k k K k a P k k --+σ
=--+σ+σ
()
2
222
22
[1/1]
[/][1/1]x n
x x n
a P k k P k k a P k k σ--+σ
=
--+σ+σ
与观测没有关系
（6）稳态时的特性
当k →∞时，滤波误差方差与预测误差方差都趋于稳定，卡尔曼增益值也趋于一个常数。
[][]
K k K →∞[][]
x x P k P →∞2
22
2222222
[1/1][][][][1/1][]x n
x n
x n x n a P k k a P K k K a P k k a P --+σ∞+σ
=⇒∞=--+σ+σ∞+σ+σ
()()
2
2
22
222
22
2
22
[1/1][][/][][1/1][]x n
x
n
x x
x n
x n
a P k k a P P k k P a P k k a P σ--+σ
σ∞+σ=
⇒∞=--+σ+σ
∞+σ+σ