三种卡尔曼滤波理论

经典卡尔曼滤波
动态系统的卡尔曼滤波数学模型包括状态方程和观测方程，对于线性系统，其离散形式为
X k = Φk,k−1X k−1+ G k−1W k−1
L k = H k X k + V k
其中，X k 为系统在t k 时刻的n ×1维状态向量，Φk,k−1为系统从t k−1时刻到t k 时刻的n ×n 维状态转移矩阵，W k−1为t k−1时刻的r ×1动态噪声，G k−1为t k−1时刻的n ×r 动态噪声矩阵，L k 为系统在t k 时刻的m ×1维观测向量，H k 为系统在t k 时刻的m ×n 维观测矩阵，V k 为系统在t k 时刻的m ×1维观测噪声。

根据最小二乘原则，可推得卡尔曼滤波递推公式为：
1）状态向量一步预测值为
X
̂(k,k −1)=Φk,k−1 X ̂(k −1,k −1) 2）状态向量一步预测值方差矩阵为
P (k,k −1)= Φk,k−1 P (k −1,k −1)Φk,k−1T +G k−1Q k−1G k−1T
其中，Q k 为动态噪声方差矩阵。

3）状态向量估计值为
X
̂(k,k )= X ̂(k,k −1)+J k (L k − H k X ̂(k,k −1)) 4）状态向量估计值方差矩阵为
P (k,k )= (I − J k H k )P (k,k −1)
其中，J k 为滤波增益矩阵，具体形式如下
J k = P (k,k −1)H k T (H k P (k,k −1)H k T + R k )−1
R k 为观测噪声方差矩阵。

基于方差补偿的自适应卡尔曼滤波
假定{W k }和{V k }是正态序列，X 0是正态向量。

则定义l 步预测残差是
V k+l = L k+l − L
̂(k +l,k ) 其中， L k+l ，L
̂(k +l,k )分别为第k +l 期观测值和它的最佳观测值L ̂(k +l,k )= H k+l Φk+l,k X
̂(k,k )，则V k+l 为正态向量。

V k+l 的方差阵S vv 为： S vv = H k+l Φk+l,k P k Φk+l,k T H k+l T +R k+l
+ ∑H k+l Φk+l,k+i l
i=1
G k+l,k+i−1Q k+i−1G k+l,k+i−1T Φk+l,k+i T H k+l T
记H k+l Φk+l,k+i G k+l,k+i−1= A k+l,k+i = [a ℎj (k+l,k+i )]，式中h =1,2,…,m ；j =1,2,…,r 。

假定Q k+i−1在观测时间段t k+1，t k+2，…，t k+N 上为常值对角阵，即
Q k+i−1= [σ112⋯0⋮⋱⋮0⋯σrr
2]=Q 并记diagQ = (σ112,σ222,…,σrr 2)T 。

根据E (V k+l T V k+l )=tr [V k+l V k+l T ]=tr [S vv ]，于是记
V k+l T V k+l =tr [S vv ]+ ηk+l
其中，ηk+l 为零均值随机变量，l =1,2,…,N 。

令E k+l = V k+l T V k+l −tr[H k+l Φk+l,k P k Φk+l,k T H k+l T ]−tr [R k+l ]
又记
E = [E k+l ,…,E k+N ]T
η= [ηk+l ,…ηk+N ]T
A = [A k+l ,…A k+N ]T
则有
E =AdiagQ + η
上式就是关于diagQ 的线性方程组。

当N ≥r 时，有唯一解。

记diagQ 的LS 估计为diagQ
̂= (A T A )−1A T E
根据上面各式求得任意长度时间段上的Q
̂，把它作为动态噪声协方差阵的实时估计。

基于极大验后估计的自适应卡尔曼滤波
动态噪声向量W k 、观测噪声向量V k 是互相独立的正态白噪声向量，满足E (W k )=q,E (V k )=r ，若噪声的统计特性已知，可由极大验后估计原理得到自适应卡尔曼滤波的递推方程为：
1）状态向量一步预测值为
X
̂(k,k −1)=Φk,k−1 X ̂(k −1,k −1)+ q k−1 2）状态向量一步预测值方差矩阵为
P (k,k −1)= Φk,k−1 P (k −1,k −1)Φk,k−1T +Q k−1
3）状态向量估计值为
X
̂(k,k )= X ̂(k,k −1)+J k (L k − H k X ̂(k,k −1)) 4）状态向量估计值方差矩阵为
P (k,k )= (I − J k H k )P (k,k −1)
其中，J k 为滤波增益矩阵，具体形式如下
J k= P(k,k−1)H k T(H k P(k,k−1)H k T+ R k)−1
R k为观测噪声方差矩阵。

若噪声均值向量q,r和协方差阵Q k，R k未知时，可以利用滤波估值X̂(j,j)和预报值X̂(j,j−1)近似代替计算较复杂的平滑估值X̂(k,j)和X̂(k,j−1)。

由于地铁站口基坑的开挖施工，对周围建筑物的沉降造成影响，尤其是高层建筑物，为保障基坑开挖的正常运行以及周围建筑物的安全，研究和预测周围建筑物尤其是高层建筑物的沉降变形显得非常重要。