2020-2021中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及答案
2020-2021中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及答案
一、圆的综合
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BDCD，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DFDBDBDA，即DB2=DF•DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】 本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【解析】
（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD， ∴，
∴BE•AB=BD•BD=．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
考点：旋转的性质.
4．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；
（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
【答案】发现： 90°，102；
思考：（1）10 3；（2）25π−1002+100；（3）点O到折痕PQ的距离为30.
【解析】
分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102−10)2=（10-OP）2，解得OP=102−10，最后用面积的和差即可得出结论．
探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=12OO′=30．
详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，
∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，
此时，∠POQ=90°，PQ=22OAOB=102；
思考：（1）如图，连接OQ，
∵点P是OB的中点，
∴OP=12OB=12OQ．
∵QP⊥OB，
∴∠OPQ=90°
在Rt△OPQ中，cos∠QOP=12OPOQ，
∴∠QOP=60°，
∴lBQ=6010101803；
（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝102，
在Rt△B'OP中，OP2+(102−10)2=（10-OP）2 解得OP=102−10，
S阴影=S扇形AOB-2S△AOP=290101210(10210)3602
＝25π−1002+100；
探究：如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，
则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是BQ所在圆的圆心，
∴O′C=OB=10，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，
∴O′C⊥AO，
∴O′C∥OB，
∴四边形OCO′B是矩形，
在Rt△O′BP中，O′B=226425，
在Rt△OBO′K，OO′=2210(25)=230，
∴OM=12OO′=12×230=30，
即O到折痕PQ的距离为30．
点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180nR（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.
(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝ 12 ，求AB和FC的长．
【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF
【解析】
分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；
（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.
详解：⑴证明：连结OC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∵∠B=∠FCA
∴∠FCA+∠OCA=90°
即∠OCF=90°
∵C在⊙O上
∴CF是⊙O的切线
⑵∵AE=4，tan∠ACD12AEEC
∴CE=8
∵直径AB⊥弦CD于点E
∴ADAC
∵∠FCA＝∠B
∴∠B=∠ACD=∠FCA
∴∠EOC=∠ECA
∴tan∠B=tan∠ACD=1=2CEBE
∴BE=16
∴AB=20
∴OE=AB÷2-AE=6
∵CE⊥AB
∴∠CEO=∠FCE=90°
∴△OCE∽△CFE
2020年中考数学备考培优专题卷：《圆锥计算》(解析版)
培优专题卷：《圆锥计算》
一．选择题
1．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（ ）
A．65πcm2 B．90πcm2 C．130πcm2 D．155πcm2
3．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面的半径长为3m，母线长为6m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元钱，那么购买油毡所需要的费用是（ ）
A．540π元 B．360π元 C．180π元 D．90π元
4．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是（ ）
A．3 B． C． D．4
5．已知圆锥的高为AO，母线为AB，且＝，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，则弧长CF与圆锥的底面周长的比值为（ ）
A． B． C． D．
6．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，底面半径OB＝6米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留π）．（ ）
A．60π B．50π C．47.5π D．45.5π
7．如图，某物体由上下两个圆锥组成．其轴截面ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝90°，若下面圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，从一块直径为4的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＞AB，以点A为圆心裁出扇形ABE（点E在边AD上），将扇形ABE围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥底面圆半径是（ ）
2020-2021中考数学培优专题复习一元二次方程组练习题含答案
2020-2021中考数学培优专题复习一元二次方程组练习题含答案
一、一元二次方程
1．解下列方程：
（1）x2﹣3x=1．
（2）12（y+2）2﹣6=0．
【答案】(1)12313313,22xx ;(2)12223,223yy
【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，
∵b2﹣4ac=13＞0
∴．
∴12313313,22xx．
（2）（y+2）2=12，
∴或，
∴12223,223yy
2．解方程：x2－2x＝2x＋1.
【答案】x1＝2－5 ，x2＝2＋5.
【解析】
试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式242bbacxa求解即可.
试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，
∴x＝4202＝2±5 ，
∴x1＝2－5 ，x2＝2＋5.
3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12． 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa ，x1x2=6aa ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a 是是负整数，即可得66a是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
2020-2021初三数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)含详细答案
2020-2021初三数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)含详细答案
一、一元二次方程
1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；
（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．
试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2=14.4，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1yx，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1yx的零点．
己知函数222(3)yxmxm(mm为常数)．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x和2x，且121114xx，此时函数图象与x轴的交点分
2020-2021中考数学 一元二次方程组 培优练习(含答案)
2020-2021中考数学 一元二次方程组 培优练习(含答案)
一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2， ∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=85，x2=245；
∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
2020-2021中考数学一元二次方程组(大题培优易错试卷)含答案
2020-2021中考数学一元二次方程组(大题培优易错试卷)含答案
一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2， ∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=85，x2=245；
∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
2020-2021西安备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)
2020-2021西安备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)
一、平行四边形
1．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．
试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
2．如图①，四边形ABCD是知形，1,2ABBC，点E是线段BC上一动点(不与,BC重合)，点F是线段BA延长线上一动点，连接,,,DEEFDFEF交AD于点G.设,BExAFy，已知y与x之间的函数关系如图②所示.
（1）求图②中y与x的函数表达式;
（2）求证:DEDF;
（3）是否存在x的值，使得DEG△是等腰三角形?如果存在，求出x的值;如果不存在，说明理由
【答案】（1）y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；（2）见解析；（3）存在，x＝54或552或32．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；
（2）证明△CDE∽△ADF，得∠ADF＝∠CDE，可得结论；
2020-2021中考数学平行四边形(大题培优易错试卷)及答案解析
2020-2021中考数学平行四边形(大题培优易错试卷)及答案解析
一、平行四边形
1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E．
（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）
（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．
①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）
【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF﹣AF=2OE，
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
2020-2021中考物理培优易错难题（含解析）之凸透镜成像的规律含答案
一、初中物理凸透镜成像的规律1．如图所示，凸透镜竖直放置，凸透镜焦距f，现有一点光源S在凸透镜左侧以凸透镜两倍焦距处为圆心，在经过主光轴的竖直平面内做顺时针圆周运动，直径为D，且f
则在下列关于点光源所成的像的运动轨迹的各图中，正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【分析】
【详解】将点光源S运动的轨迹看成一个物体，在物体上找出四个点：上、下、左、右各一个，利
用凸透镜成像的规律作出像点，可以发现，四个点正好围成一个不规则的圆，且转动方向
为逆时针，所以像点运动图象是选项D的形状；故选D．
2．两平面镜AM，AN之间的夹角为90°，凸透镜的主光轴恰好是该直角的角平分线，凸透镜的光心为O，A点恰好是凸透镜的焦点，光源S位于主光轴上，通过该系统，光源S
所成的像为（）
A．四个虚像，三个实像B．四个虚像，一个实像C．三个虚像，一个实像D．三个虚像，两个实像【答案】B
【解析】
【详解】
S通过两个平面镜成3个虚像，（因为其中两个重合了），分别是S1、S2、S3；
S1、S2分别在凸透镜的焦点处，则不能成像，只有S3在凸透镜的焦点以外，且通过凸透镜的光心，可以成一个实像S4；S在凸透镜的焦点以内，由u＜f，成正立放大的虚像S′；综上分析，通过该系统，光源S所成的像有四个虚像，一个实像。
3．有一个点光源放在凸透镜的正前方．当点光源放在A点时，成像在B点，当点光源放在B点时，成像在C点，如图所示．则（）
A．凸透镜应放在C点右侧B．凸透镜应放在B、C点之间
C．凸透镜应放在A、B点之间D．凸透镜应放在A点左侧【答案】D【解析】
【分析】
解答此题要明确以下知识点：凸透镜如果成像在同一侧的话应该是成虚像，并且像距大于物距。
【详解】
AB．凸透镜成实像时，物与像在异侧，且物近像远像变大．如果凸透镜放在C点右侧，那么当点光源放在A点时，成像在A点左侧，而不是右侧的B，故选项AB均错误；
C．当光源在A点时，像在透镜另一侧，说明成实像，那么像距应在一倍焦距外，这样当点光源在B点时就也会在相对于B的另一侧成实像，（也就是A的一侧）而不是成像在C
2020-2021中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案解析(1)
2020-2021中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案解析(1)
一、平行四边形
1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．
（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或233.
【解析】
【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；
（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，
∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，
∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，
∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，
∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，
∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，
∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；
（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，
2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题及详细答案
2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题及详细答案
一、一元二次方程
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣32 ，154）
【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2yaxbxc与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x，∴0{312abccba，解得：1{23abc，∴二次函数的解析式为223yxx=2(1)4x，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230yxx，解得3x或1x，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223yxx上，∴设点P（x，223xx），
①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或x=21，∴点P（21，2）；
②设P(x，y)，则223yxx，∵ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222xyyx=333222xy