第三章方差分析

为此，需要对总的偏差平方和进行分解。
第三章方差分析
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1.总的偏差平方和
称
ST (xijx)2 ij
(x
1 N
xij)
ij
为总的偏差平方和， 它反映了样本数据 xij 间总的差 异量的大小。
为便于对 ST 进行分解，记水平 Aij j
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2. 偏差平方和的分解
二.方差分析的基本假设 设因素 A 在水平 Ai 下的某项指标为总体 Xi，则假定
Xi ～N( i, 2 )， Xi 相互独立
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三.方差分析的目的
就是要检验原假设
H0：1 = 2 = ···= a
是否成立。
若拒绝 H0，就说明因素 A 对试验结果有显著影响， 进一步还应确定使效果达到最佳的水平。
主要是由随机误差所引起的，称为误差平方和或组内平方和。
SAni(xi x)2反映了各样本(不同水平)间数据的差异， i
主要是由因素A的不同水平效应间的差异引起的， 称为因素
A的平方和 或 组间平方和。
利用 SA 和 Se 之比就可以构第造三章出方差检分验析 H0 的统计量。
超市管理部门希望了解：
⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？
⑵哪种促销方式的效果第三最章方好差分？析
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【案例2】如何确定最优生产工艺
影响某化工厂化工产品得率的主要因素是反应温度和 催化剂种类。
为研究产品的最优生产工艺，在其他条件不变的情况 下，选择了四种温度和三种催化剂，在不同温度和催化 剂的组合下各做了一次试验，测得结果如下：
试验结果如下：
促销方式
A1 (广告宣传) A2 (有奖销售) A3 (特价销售) A4 (买一送一)
与上年同期相比(%) 104.8 95.5 104.2 103.0 112.3 107.1 109.2 99.2 143.2 150.3 184.7 154.5 145.6 111.0 139.8 122.7
ST (xijx)2 (xijxi xi x)2
ij
ij
( x i jx i) 2 2 x i j( x i)x i( x ) n i( x i x ) 2
ij
ij
i
(xijxi)2 ni(xix)2ˆ Se SA
ij
i
其中
Se (xijxi)2 反映了各样本(同一水平)内的数据差异， ij
若不能拒绝 H0，则说明因素 A 对该项指标无显著 影响，试验结果中的差异主要是由其他未加控制的
因素和试验误差所引起的。
虽然可以用两两 t 检验法来检验各 i 间是否存在
显著差异，但 t 检验无法检验多个因素间的交互效
应，而这正是方差分析要解决的主要问题。
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§6.2 单因素方差分析
一.基本概念
第六章
第三章方差分析
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本章教学目标
了解方差分析可以解决那些实际问题； 了解应用方差分析的基本条件； 掌握方差分析的基本概念及其分析方法； 正确使用 Excel 软件求解单因素和双因素方差分 析问题及其运行输出结果分析.
本章主要内容
§4.1 方差分析概述 §4.2 单因素方差分析 §4.3 双因素方差分析 本章重点：考虑交互作用的双因素方差分析
⑵随机误差 ij
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称
μ
1 N
ni
i
μi
为一般平均。
(Nni 为试验总次) 数 i
称
i = i - ； i = 1, 2, ···, a
为水平 Ai 的效应， 反映了水平 Xi 的均值与一般平均 的差异。
从而要检验的原假设可改写为：
H0：1= 2 = ···= a = 0
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因此需要了解：
⑴哪些因素会对所研究的指标产生显著影响；
⑵这些影响因素在什么状况下可以产生最好的结果。
方差分析就是解决这类问题的一种统计分析方法。
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【案例1】哪种促销方式效果最好？
某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选 择下属 4 个门店，分别采用不同促销方式，对包装 食品各进行了4 个月的试验。
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二.方差分析的基本方法
方差分析 的基本思路： 将因素的不同水平和随机误差对试验结果的影响 进行分离，并比较两者中哪一个对试验结果 xij 的影 响起主要作用。
若因素的不同水平对试验结果 xij 的影响是主要的， 就拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果有显著影响；
若试验结果 xij 中的差异主要是由随机误差引起的， 就不能拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果无显著影响。
记水平 Ai 下的 ni 个试验结果为 xij ，则
xij = i + ij
i = 1, 2,···, a；j = 1, 2,···, ni
ij ～ N(0, 2 )，且相互独立
其中 ij 是由各种无法控制的因素引起的随机误差。
上式说明，试验结果 xij 受到两方面的影响：
⑴因素 A 的水平 Ai 的均值 i
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一. 方差分析的基本概念
记 A, B, C ···为试验中状态发生变化的因素， 称因素在试验中所取的不同状态为水平。 设因素 A 有 a 个水平，记为 A1, A2, ···, Aa；因素 B 有 b个水平，记为 B1, B2, ···, Bb 等。 若试验中只有一个变动的因素，就称为单因素试验； 若有两个变动的因素，就称为双因素试验； 若有两个以上的变动因素，则称为多因素试验。
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§6.1 方差分析概述
在生产经营管理过程中，通常有很多因素会影响产品 的质量、产量、销售量等指标。
如农作物的产量受品种、肥料、气候、雨水、光照、 土壤、播种量等众多因素的影响；
产品销售量受品牌、质量、价格、促销手段、竞争产 品、顾客偏好、季节、居民收入水平等众多因素的影响；
化工产品的得率受温度、压力、催化剂、原料配比等 因素的影响。
化工产品得率试验(得率：%)
催化剂
温度
B1
B2
B3
A1(60 OC)
66
73
70
A2(70 OC)
81
96
53
A3(80 OC)
97
79
66
A4(90 OC)
79
76
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案例 2 要研究的问题
⑴温度是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，应将温度控制在什么范围内可使 得率最高? ⑵催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，哪种催化剂的效果最好？ ⑶温度和催化剂的不同组合是否对产品得率有显 著影响？ 如有显著影响，哪种温度和催化剂的组合可使得 率最高？