函数及极限习题及答案
函数与极限习题与答案计算题(供参考)
高等数学二、计算题（共 200 小题，）1、设xxx f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。
2、设x xx f -+=11)(，确定)(x f 的定义域及值域。
3、设)ln(2)(22x x xx x f -+-=，求)(x f 的定义域。
4、的定义域，求设)(sin 512arcsin )(x f x x x f π+-=。
5、的定义域，求设⎪⎭⎫⎝⎛++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。
6、的定义域求函数22112arccos)(x x xxx f --++=。
7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(<m ，求)(x F 的定义域。
8、的定义域，求设 )(16sin )(2x f x x x f -+=。
9、的定义域，求设)(12)(2x f xx x f --=。
10、设，求的定义域f x x xf x ()lg ()=+256。
11、设，求的定义域f x x xf x ()arctan ()=-+2512。
12、13、,55lg )(-+=x x x f 设的定义域；确定)()1(x f []的值，求若)2(lg )()2(g x x g f =。
14、),00()(≠≠++=abc x c bx xa x f ， 设成立，对一切，使求数0)()(≠=x x f x m f m 。
15、1)()1(3)2(3)3()(2+-+++-+++=x f x f x f x f c bx ax x f ，计算设的值，其中c b a ，，是给定的常数。
16、)1()11(1)(2-≠+-+=x x xf xx x f ，求设。
17、)()0(13)1(243x f x x x x x x x f ，求 设≠+++=+。
18、)()0( )11()1(2x f x x x xf ，求 设>++=。
极限练习题及答案
极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。
A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。
．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。
2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。
?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。
??1,x?0.?19无穷小量是。
20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；51.设），（），（∞+∞=55--A，），【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。
解：),5()3,(+∞-∞= BA)5,10[-=B A),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？（1）x x g x x f lg 2)(,lg )(2==解：不同。
定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D),0(+∞=g D 。
（2）2)(,)(x x g x x f ==解：不同。
对应法则不同，即：值域不同。
),0[,+∞==g f R R R 。
（3）334)(xx x f -=，31)(-•=x x x g解：相同。
因为定义域和对应法（或值域）则相同。
（4）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==解：不同。
定义域不同，R D f =},1,0,2{ ±=+≠=k k x x D g ππ。
二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.4.求下列函数的自然定义域：（1）23+=x y ；解：32023-≥⇒≥+x x 。
即：),32[+∞-=D 。
（3）211x x y --=； 解：⎩⎨⎧≤≤-≠⎩⎨⎧⇒≥-≠1100102x x x x 。
即：]1,0()0,1[ -=D 。
（5）x y sin =；解：0≥x 。
即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；解：42131≤≤⇒≤-≤-x x 。
即：]4,2[=D 。
（9）)1ln(+=x y解：101->⇒>+x x 。
即：),1(+∞-=D6.设,3,3,0,sin )(ππϕ≥<⎩⎨⎧=x x x x 求)2(),4(),4(),6(--ϕπϕπϕπϕ，并作出函数的)(x y ϕ=图形解：32,34,34,36πππππππ≥-<-<<， 216sin 6==⎪⎭⎫⎝⎛∴ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，22)4sin(4=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，0)2(=-ϕ。
(完整版)14-函数与极限习题与答案(证明题)
高等数学三、证明题（共 124 小题，）1、)1()( , 5522)(22t f t f t t tt t f =+++=证明设。
2、)1()()(,11ln)(yzz y f z f y f x xx f ++=++-=证明设).1,1(<<z y 式中 3、)()2()2( 1 , )1lg()(2y F y F y F y x x F =--->+=时有证明当设。
4、)()()( , )(y x f y f x f e t f t -==证明 设 。
5、证明是奇函数f x x x ()()()=+--2323。
6、，，设axax x x x x f +-=+∞<<-∞=1)()( arctan )(ϕ []。
，验证：，)()()()11(a f x f x f x a -=<<ϕ 7、证明Sh x Ch x Ch x 222+=。
8、验证。
22Shx Chx Sh x ⋅=9、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ+=+。
10、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ-=-。
11、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ+=+。
12、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ-=-。
13、验证1122-=th x ch x。
14、验证1122-=-cth x sh x。
15、{}{}{}反例。
，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。
试判定：，都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =16、nn n n n bn n n nn n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞→∞→→∞→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设17、{}．收敛，并求极限，试证数列，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞→+=-=∈lim )21(2)20(21118、．试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(019、0)(lim 0)(lim )()(00==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在20、试证明不存在。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
高等数学(函数与极限)习题及解答
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9练ຫໍສະໝຸດ 1-10高等数学习题高等数学函数高等数学习题集高等数学习题详解蔡高厅高等数学习题高等数学函数公式高等数学习题答案高等数学极限高等数学极限试题高等数学求极限
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高等数学(函数与极限)习题及解答
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高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
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（3）提示：用等阶无穷小代换 ；
（4）提示：
（ ）
7、提示： （ ）
8、 是第二类间断点 ， 是第一类间断点
（C）
1、解：因为 ，故 ，再由 ，
得： ，即 。所以： ， 。
2、解：原式= =
= =0
3、解：因为当 时 ， ，
则 = = =
4、解：因为（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ；
6、计算下列极限
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
7、比较无穷小的阶
（1） ；
（2） ；
8、利用等价无穷小性质求极限
（1） ； （2） ；
9、讨论函数的连续性
10、利用函数的连续性求极限
（1） ； （2） ；
二、计算题
1、（1）
（2） （3）
2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同
3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数
4、（1） （2） （3）
5、（1）[ 2 ] （2） （3）-9 （4）0 （5）2 （6）
（7）0 （8） （9）
6、（1）w （2） （3）1 （4） （5） （6）
所以 ，
5、证明：令 ， 在 上连续 ，且
， 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开区间 至少存在一点 ，使 ，即 。
7、（1） （2）是同阶无穷小
8、（1） （2）
9、不连续
10、（1）0 （2）1 （3）0 （4） （5）0 （6）-2
11、a=1
（B）
1、（1）提示：由 解得：
（2）提示：由 解得：
2、提示：分成 和 两段求。 ， ，
,
4、（1）提示： （2）提示：
（3）提示：用数学归纳法证明：
5、提示： 令 （同阶）
11、 。
12、 ，则k=。
13、函数 的间断点是。
14、当 时， 是比 的无穷小。
15、当 时，无穷小 与x相比较是无穷小。
16、函数 在x=0处是第类间断点。
17、设 ，则x=1为y的间断点。
18、已知 ，则当a为时，函数 在 处连续。
19、设 若 存在 ，则a=。
20、曲线 水平渐近线方程是。
21、 的连续区间为。
22、设 在 连续 ，则常数
a=。
二、计算题
1、求下列函数定义域
（1） ；（2） ；
（3） ；
2、函数 和 是否相同？为什么？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
3、判定函数的奇偶性
（1） ； （2） ；
（3） ；
4、求由所给函数构成的复合函数
（1） ；
（2） ；
5、计算下列极限
（1） ； （2） ；
5、求极限
（1） ； （2） ；
（3） ；
（4） ；
6、设 要使 连续，
应当怎样选择数a ？
7、设 求 的间断点，并说明间断点类型。
（C）
1、已知 ，且 ，求 并写出它的定义域。
2、求下列极限：
（1）、 ；（2）、 ；
（3）、求 ；（4）、已知 ，求常数 。
（5）、设 在闭区间 上连续 ，且 ，
证明：在开区间 至少存在一点 ，使 。
（3） ； （4） ；
（5） ；
（6） ；
11、设函数
应当怎样选择a ，使得 的连续函数。
12、证明方程 至少有一个根介于1和2之间。
（B）
1、设 的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域
（1） （2）
2、设
求
3、利用极限准则证明：
（1） （2） ；
（3）数列 的极限存在 ；
4、试比较当 时 ，无穷小 与 的阶。
第一章 函数与极限
（A）
一、填空题
1、设 ，其定义域为。
2、设 ，其定义域为。
3、设 ，其定义域为。
4、设 的定义域是[0，1]，则 的定义域为。
5、设 的定义域是[0，2] ，则 的定义域为。
6、 ，则k=。
7、函数 有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当 时 ， ，且 处连续 ，则 。
9、 。
10、函数 在 处连续是 在 连续的条件。
第一章函数与极限
习 题 答 案
（A）
一、填空题
（1） （2） （3）[2 ，4]
（4） （5）
（6）-3 （7） （8）2 （9）1
（10）充分 （11） （12） （13）x=1 , x=2 （14）高阶
（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2
（20）y=-2 （21） （22）1