高一函数经典难题讲解
必修一函数知识点整理和例题讲解(含答案)
如
1.已知 f (x) 2 f (x) 3x 2 ,求 f (x) 的解析式
2.已知 f (x) 是奇函数, g(x) 是偶函数，且 f (x) + g(x) = 1 ,则 f (x) =
x 1
3。已知 f (x) 满足 2 f (x) f (1) 3x ，求 f (x) 。
x
(四）、分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表
的最值；二是求区间定（动），对称轴动(定）的最值问题。求二次函数的最值问题，
勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关
系），
4
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如 1。函数 y 3x2 x 2 的值域为 2.求函数 y x2 2x 5, x [1, 2] 的值域 3。求函数 y x2 4x 2 （ x [1,1] ) 4.当 x (0,2] 时，函数 f (x) ax2 4(a 1)x 3在 x 2 时取得最大值，则 a 的取值范围是 ___ 5.已知函数 f (x) ax2 2ax 3 b(a 0) 在[1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ，求 a 、 b 的值。
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人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
第三讲函数的单调性、奇偶性经典难题复习巩固
第三讲-函数的单调性、奇偶性经典难题复习巩固精典专题系列第3讲函数的性质一、导入：《老人与黑人小孩子》一天，几个白人小孩在公园里玩。
这时，一位卖氢气球的老人推着货车进了公园。
白人小孩一窝蜂地跑了上去，每人买了一个气球，兴高采烈地追逐着放飞的气球跑开了。
白人小孩的身影消失后，一个黑人小孩怯生生地走到老人的货车旁，用略带恳求的语气问道：“您能卖给我一个气球吗?”“当然可以，”老人慈祥地打量了他一下，温和地说，“你想要什么颜色的?”他鼓起勇气说：“我要一个黑色的。
”脸上写满沧桑的老人惊诧地看了看这个黑人小孩，随即递给他一个黑色的气球。
他开心地接过气球，小手一松，气球在微风中冉冉升起。
老人一边看着上升的气球，一边用手轻轻地拍了拍他的后脑勺，说：“记住，气球能不能升起，不是因为它的颜色，而是因为气球内充满了氢气。
”大道理：成就与出身无关，与信心有关。
这个世界是用自信心创造出来的。
有自信，积极的面对自己所拥有的一切，这种积极和自信会帮助人登上成功的山顶。
二、知识点回顾：1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数DSE金牌化(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.①对于任意x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.结论M为最大值M为最小值1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)关于对称是偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期．三、专题训练：专题一函数单调性的判断与证明已知函数f(x)＝x －2x ＋1，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[自主解答] 法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 于是f(x 2)－f(x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．变式训练：判断函数f(x)＝x ＋ax (a>0，x>0)的单调性．解：法一：函数f(x)＝x ＋ax(a>0)的定义域为{x|x>0}．设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)(1－ax 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2，∵当0<x 2<x 1≤a 时，恒有x 1x 2<a. 则f(x 1)－f(x 2)<0，故f(x)在(0，a)上是减函数． 当x 1>x 2≥a 时，恒有x 1x 2>a ，则f(x 1)－f(x 2)>0，故f(x)在[a ，＋∞]上是增函数． 综上所述，函数f(x)在(0，a]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数．专题二求函数的单调区间求下列函数的单调区间．(1)y ＝－x2＋2|x|＋3； [自主解答] (1)依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x<0时，y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4. 由二次函数的图象知，函数y ＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．变式训练：求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-,设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2),故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数.专题三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a ＝12时，求f(x)的最小值；(3)若a 为正常数，求f(x)的最小值．[自主解答] (1)当a ＝4时，f(x)＝x ＋4x＋2，∵f ′(x)＝1－4x 2＝x 2－4x2，∴f(x)在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．∴f(x)min ＝f(2)＝6.(2)当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2.易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数． ∴f(x)min ＝f(1)＝72.(3)函数f(x)＝x ＋ax ＋2在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．若a>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min ＝f(a)＝2a ＋2. 若a ≤1，即0<a ≤1时， f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴f(x)min ＝f(1)＝a ＋3.思考：若a<0，求f(x)的最小值.解：∵f(x)＝x 2＋2x ＋ax＝x ＋a x ＋2∵a<0∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)的最小值为f(1)＝3＋a.变式训练：1、已知函数f(x)＝1a －1x (a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f(x 2)－f(x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， ∴f(x 2)>f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又f(x)在[12，2]上单调递增，∴f(12)＝12，f(2)＝2，解得a ＝25. 2、 函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.专题四 函数奇偶性的判定【例4】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x 3－1x；(2)f(x)＝x 2－x 3；(3)y ＝2x －1＋1－2x ；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x>0)0(x ＝0)－x 2－2(x<0).[自主解答] (1)原函数的定义域为{x|x ≠0}，并且对于定义域内的每一个x 都有f(－x)＝(－x)3－1－x＝－(x 3－1x )＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数．(2)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵定义域为{12}，不关于原点对称， ∴该函数不具有奇偶性．(4)定义域为R ，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x ＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．变式训练：判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x 2＋x 2－3；(2)f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3； (3)f(x)＝|x ＋a|－|x －a|(a ∈R)．解：(1)由⎩⎨⎧ 3－x 2≥0x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f(x)的定义域为{－3，3}，又∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)∵⎩⎨⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，∴－2≤x ≤2且x ≠0，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．f(x)＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x . 又f(－x)＝4－(－x )2－x∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称 ①当a ≠0时，f(－x)＝|－x ＋a|－|－x －a|＝|x －a|－|x ＋a|＝－f(x)．②当a ＝0时，f(x)＝|x|－|x|＝0，∴f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，由上知：当a ≠0时，f(x)是奇函数，当a ＝0时f(x)既是奇函数又是偶函数．专题五 函数奇偶性的应用【例5】若f(x)是奇函数，当－2≤x ≤0时，f(x)＝1－x2＋x ，当0<x ≤2时，求f(x)的解析式．[自主解答]∵f(x)是奇函数，∴当0<x ≤2时，－2≤－x<0，f(－x)＝1－(－x)2＋(－x)＝1－x2－x ，又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x2＋x －1.变式训练：设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解：由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2－2≤m ≤21－m >m即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3－2≤m ≤2，m <12解得－1≤m <12. 专题六函数的周期性 【例6】设f(x)是定义在R 上的奇函数且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)．当x ∈[0,2]时f(x)＝2x －x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．[自主解答] (1)∵f(x ＋2)＝－f(x)，∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x －x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x2， ∴f(x)＝x2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.思考：若将“f(x＋2)＝－f(x)”改为“f(2－x)＝－f(x)”，其它条件不变，如何求解？解：(1)∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(－x)，,又∵f(x)为奇函数，,∴f(2＋x)＝f(x)，,∴f(x)是周期为2的周期函数.(2)当x∈[2,4]时，x－2∈[0,2]，又∵当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，∴当x∈[2,4]时，f(x－2)＝2(x－2)－(x－2)2＝－x2＋6x－8又∵f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(x)＝f(x－2)＝－x2＋6x－8(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，周期T ＝2∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝1006[f(0)＋f(1)]＝1006×1＝1006.变式训练：已知函数f(x)满足f(x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，若f(1)＝2010，求f(2011)．解：∵f(x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，∴f(x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f(x ＋4)＝f(x)，即函数的周期为4.∵f(1)＝2010，∴f(2011)＝f(2008＋3)＝f(3)＝－1f (1)＝－12010.四、技法巧点总结：1．求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间．2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．3．解决函数的单调性应注意的两个问题(1)函数的单调性是一个“区间概念”，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．(2)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)＋g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)．4．函数奇偶性的判断及相关性质(1)判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0；若函数f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．5．函数的周期性的常见结论(1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(3)若满足f(x＋a)＝1f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f(x)，同理可得2a是函数的一个周期．五、巩固练习：一、选择题1．(2011·海淀模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23) C ．(12，23) D ．[12，23) 解析：当2x －1≥0，即x ≥12时， 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则由f (2x －1)<f (13)得2x －1<13， 即x <23，故12≤x <23； 当2x －1<0，即x <12时， 由于函数f (x )是偶函数，故f (2x －1)＝f (1－2x )，此时1－2x >0，由f (2x －1)<f (13)得1－2x <13， 即x >13，故13<x <12. 综上可知x 的取值范围是(13，23)． 答案：A2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：由题意a <1，又函数g (x )＝x ＋a x －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数．答案：D3．若函数f (x )＝ax ＋1x (a ∈R)，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数4．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是() A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5C．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－5解析：奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性，因此函数在区间[－7，－3]上单调递增，最小值是f(－7)＝－f(7)＝－5.答案：A5、设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则xf(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}解析：由xf (x )<0得⎩⎨⎧ x <0f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0， 而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0f (x )>f (－3)或⎩⎨⎧x >0f (x )<f (3)， 因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数， 所以函数在(－∞，0)内也是增函数，故得－3<x <0或0<x <3.答案：D二、填空题6．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数，g(x)＝ax＋1，当a>0时，g(x)在[1,2]上是减函数，则a的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]7．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.解析：由题意知，f(1)＋f(－1)＝0，即2(1＋a)＋0＝0，∴a＝－1.答案：－18．(2011·银川模拟)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如右图所示，那么不等式xf(x)<0的解集为________．解析：当0<x<3时，由图象知，满足xf(x)<0的解为：0<x<1，由奇函数的对称性可求．答案：(－1,0)∪(0,1)三、解答题9．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]；(2)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x，x ∈(－1,1)；10．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (13)＝1. (1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (2－x )<2，求x 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵2＝1＋1＝f (13)＋f (13)， f [x (2－x )]<f (19)，由f (x )为(0，＋∞)上的减函数，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－x >0x (2－x )>19⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－x >01－223<x <1＋223⇒1－223<x <1＋223， 即x 的取值范围为(1－223，1＋223)．六、反思总结：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！） (2010·全国新课标)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x ≥0)，则{x|f(x －2)>0}＝ ( )A ．{x|x<－2或x>4}B ．{x|x<0或x>4}C ．{x|x<0或x>6}D ．{x|x<－2或x>2}[规范解答] 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x 3－8， 又f(x)是偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝－x 3－8， ∴f(x)＝⎩⎨⎧ x 3－8，x ≥0－x 3－8，x<0. ∴f(x －2)＝⎩⎨⎧ (x －2)3－8，x ≥2－(x －2)3－8，x<2， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x<2－(x －2)3－8>0， 解得x>4或x<0.。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a-1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；x<a时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
高一数学知识点难题及解答
高一数学知识点难题及解答随着高中学习的深入，数学作为一门理科学科，对于学生来说常常是最令人头疼的。
特别是在高一这个阶段，新的数学知识点和难题不断涌现。
本文将围绕高一数学知识点中的几个难题展开讲述，并提供相应的解答。
一、平方根的处理问题高一数学中，平方根的处理经常会对学生造成困扰。
在计算平方根时，首先需要明确一个原则：不能直接对负数开平方。
因此，当题目中出现像√(-16)这样的表达时，我们首先要做的是将其转化成复数的形式。
通过定义我们知道，√(a × b) = √a × √b。
因此，我们可以将√(-16)转化为√(-1) × √16。
根据定义√(-1) = i，其中i是虚数单位。
所以√(-16) = i × 4 = 4i。
二、函数的复合问题在高一数学中，函数的复合也是一个常见的难点。
当两个函数进行复合运算时，很多学生容易弄混运算的顺序。
以f(x) = 2x + 1和g(x) = x^2为例，我们可以先求f(g(x))。
首先将g(x)代入f(x)的表达式中，得到f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 = 2(x^2) + 1。
类似地，我们也可以求g(f(x))。
将f(x)代入g(x)的表达式中，得到g(f(x)) = (f(x))^2 = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1。
通过这个例子，我们可以看到函数的复合运算顺序的影响。
因此，在解题过程中，要注意先执行内层函数的运算，再执行外层函数的运算。
三、不等式的求解问题在高一数学中，不等式的求解是一个需要注意的难点。
首先，我们要掌握不等式的性质：等号两边同时加（减）一个数时，不等号不变；等号两边同时乘（除）一个正数时，不等号不变；等号两边同时乘（除）一个负数时，不等号反向。
以2x - 5 > 3为例，我们首先将不等式转化成等价的形式：2x -5 - 3 > 0，即2x - 8 > 0。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解2、已知函数f(x)=log3为底1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称，可得：f(-x)=log3[1-m(-x+2)/(-x-3)]=log3[1+m(x+2)/(x+3)]因为f(-x)=-f(x)，所以有：log3[1-m(x+2)/(x-3)]=-log3[1+m(x+2)/(x+3)]即：log3[(1-m(x+2)/(x-3))(1+m(x+2)/(x+3))]=-1化简得到：m=23、当x∈（3,4）时，有：f(x)=log3[1-m(x+2)/(x-3)]=log3[(x-3-m(x+2))/(x-3)]因为m=2，所以有：f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]因此，f(x)的值域为(-∞,log3(4/3))4、对于f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]，求导可得：f'(x)=1/(x-7)-1/(x-3)当x>7时，f'(x)<0，即f(x)单调递减；当30，即f(x)单调递增；因此，f(x)在定义域内为单调函数。
1.给定方程u(t) = (a-1)t^2 - 4/3at - 1 = 0，要求找出唯一的正根。
因为两个函数图像只有一个公共点，所以问题转化为寻找这个正根。
当a=1时，方程没有正根；当△=0时，a=3/4或a=-3，其中a=3/4时，t=-1/2，a=-3时，t=1/2.如果方程有一个正根和一个负根，那么(a-1)×u(0)。
1.综上所述，a=-3或a>1.2.给定方程f²(x) + bf(x) + c = 0，要求确定它有五个根的充要条件。
首先，我们分析函数f(x)的图像，发现当f(x)=1时，有三个对称的x值，除了x=2之外还有两个。
当f(x)≠1时，有两个对称的x值。
因此，满足f²(x) + bf(x) + c = 0的f(x)有两个，一个对应三个x值，另一个对应两个x值。
数学高一必修一函数经典题目讲解
数学高一必修一函数经典题目讲解
函数是数学中的一个重要概念，它是一种把一个变量的值映射到另一个变量的
值的关系。
高一必修一函数经典题目是数学学习中的重要内容，下面就来讲解一下。
首先，要了解函数的定义，函数是一种特殊的数学关系，它把一个变量的值映
射到另一个变量的值。
函数的定义可以用一个公式来表示，例如：y=f(x)，其中x
是自变量，y是因变量，f(x)是函数。
其次，要了解函数的分类，函数可以分为一元函数、二元函数、多元函数等。
一元函数是指只有一个自变量的函数，例如y=f(x)；二元函数是指有两个自变量
的函数，例如z=f(x,y)；多元函数是指有多个自变量的函数，例如w=f(x,y,z)。
再次，要了解函数的性质，函数的性质是指函数的特征，例如函数的单调性、
函数的奇偶性、函数的最值等。
函数的单调性是指函数的值随着自变量的变化而变化，函数的奇偶性是指函数的值随着自变量的变化而变化，函数的最值是指函数的最大值和最小值。
最后，要了解函数的应用，函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在经济学中，可以用函数来描述供求关系；在物理学中，可以用函数来描述物体运动的轨迹；在工程学中，可以用函数来描述工程系统的运行状态等。
以上就是关于高一必修一函数经典题目的讲解，函数是数学学习中的重要内容，要深入了解函数的定义、分类、性质和应用，以便更好地掌握函数的知识。
人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
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高一经典难题讲解1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a-1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；x<a时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
解：1、函数f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3)log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)][1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)]化简得 -x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2所以 -m^2=-1（2m-1)^2=9解得 m=-1所以,函数解析式为f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)]2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。
t(x）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)]当3<x<4时，0<x-3<11/(x-3)>1,6/(x-3)>6所以 t(x)=1+[6/(x-3)]>7那么,原函数在（3,4)上值域是（log3 (7)，正无穷）3、先求函数定义域(x+3)/(x-3)>0且x≠3 解得 x>3或x<-3(1)当x>3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。
（2）当x<-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。
4.已知函数f（x）=log4（4^x+1）+kx是偶函数.(1)求k的值(2)设f（x）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，∴f(-x)=f(x),即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,-x=2kx,k=-1/2.(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]g(x)=log4(a · 2^x-4/3a)联立log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x -4/3a)∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x -4/3a不妨设t=2^x t ＞0t^2+1/t=at-4/3at^2+1=at^2-4/3at(a-1)t^2-4/3at-1=0设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)2.当△=0时 a=3/4 或a=-3a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍）a=-3时 t=1/2满足3.当一正根一负根时(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布)∴a＞1综上所述，得a=-3或a ＞15.这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。
2.对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x 值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x 。
f(x)不等于1时对应的x 值有两个，即两个关于x=2对称的两个x 。
3.题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x 根有5个，显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x 值，设为x1,x2,x3;另一个f （x ）对应两个x,设为x4,x5;根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f （x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个“V”字加原点7.定义域为R的偶函数f(x),当x>0时，f(x)=lnx-ax(a属于R)，方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解（1）求x<0时，函数f(x)的解析式(2)求实数a的取值范围(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x) =0在R上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x >0时有两个解当x<0时，-x> 0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a＜0时，y=lnx , y=-ax在x >0时都单调增，则f (x)=lnx-ax 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a＞0时，f '(x)=1/x-a 当x=1/a时，f'(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+∞)单调减,在x=1/a 取到最大值 要f(x)在x >0时有两个解,只要f(1/a)＞0，即ln(1/a)＞1,1/a ＞e,得a ＜1/e 综上,a∈(0,1/e)8.定义域为R 的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）=lnx-ax （a∈R），方程f （x ）=0在R 上恰有5个不同的实数解．（1）求x ＜0时，函数f （x ）的解析式；（2）求实数a 的取值范围．解答：解：（1）设x ＜0，则-x ＞0．∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=f （-x ）=ln （-x ）+ax ．（2）∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=0的根关于原点对称．由f （x ）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题⇔当x ＞0时f （x ）图象与x 轴恰有两个不同的交点．下面研究x ＞0时的情况：f （x ）=0的零点个数⇔y=lnx 与直线y=ax 交点的个数． ∴当a≤0时，y=lnx 递增与直线y=ax 下降或与x 轴重合，故交点的个数为1，不合题意，∴a＞0．由几何意义知y=lnx 与直线y=ax 交点的个数为2时，直线y=ax 的变化应是从x 轴到与y=lnx相切之间的情形．设切点(t ，lnt)⇒k ＝(lnx )′|x ＝t ＝t1， ∴切线方程为：y −lnt ＝t1(x −t)．由切线与y=ax 重合知，lnt ＝1⇒t ＝e ，， 故实数a 的取值范围为(0，e 1)． 9.函数y=loga(2x-3)+22的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=___ 解:由于 loga(1) 恒等于0，所以 P 坐标为（2，22），而P 在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=x^a ，则 22=2^a ，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。
10.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=___ 解:P 点坐标为（-1，2），与a 无关而幂函数f(x)=b^x 要经过P 点，则2=b^-1，所以b=1/2所以f(2)=(1/2)^2=1/411.若偶函数f （x ）满足f （x-1）=f （x+1）且在x 属于【0，1】时 f （x ）=x 的平方，则关于x 的方程f （x ）=(1/10)的x 的平方在[0,10/3]上的实数根有几个f(x －1)=f(x ＋1)，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。
另外设g(x)=(1/10)x²，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。
12.已知偶函数f （x ）满足f （x ＋1）=f （x-1），且x∈[0,1]，f （x ）=（x-1）²，则f （7/2）=解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2) =f(1/2)=(1/2-1)²=1/413.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x+1（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。
（2）写出单调区间，并求出函数f(x)的值域解：（1）根据题意，当x ＞0时，-x ＜0， ∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x) +1]=-1-(1/2)^x ∴x＜0时,f(x)=1+2^x x ＞0时，f(x)=-1-(1/2)^x(2)递增区间是(-∞，0)和(0,+∞)x ＜0时，f(x)∈(0,2) x ＞0时，f(x)(-2,0)∴f(x)的值域是(-2,0）∪(0,2）图像14.题目：设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)-g(x)=x²-3x+1,求f(x)和g(x)的解析式f(x)-g(x)=x²-3x+1f(-x)-g(-x)=（-x）²-3（-x）+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】解上述两个方程得f(x)=-3x g(x)=-x²-115.已知f（x)是定义在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为？解：g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)f(2011)=g(2012)f(2013)=g(-2012)f（2011）+f（2013）=016.若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___”解:f(x)+g(x)=1/（x－1）（1）f(-x)+g(-x)=-1/（x+1）（2）由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1）（3）（1）和（3）相加则有2f(x)=-1/（x－1）-1/（x+1）则f(x)=1/(x^2-1)17.函数f(x)对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3(1).求证:f(x)在R上是增函数(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)<4(1).证明：任取x1,x2,且x1<x2,∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>3,∴f(x2)= f[(x2-x1)+x1]= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1),∴对任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数。