2018高中数学(函数难题)

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2018高一数学难题汇编(含解析)

2018高一数学难题汇编一．选择题（共18小题）1．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由，则△ABC的内角A等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π3．已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB 上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则•的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．D．[﹣1，0）4．已知直角△ABC，AB=AC=3，P，Q分别为边AB，BC上的点，M，N是平面上两点，若+=0，（+）•=0，=3，且直线MN经过△ABC的外心，则=（）A．B．C．1 D．25．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18）B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）6．O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．7．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．28．已知向量=（m，0}），向量满足⊥，﹣=2，且||=，若与+夹角的余弦值为，则||=（）A．B．C．或2 D．或9．已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f （x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（）A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值10．已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4﹣cosx；③；④其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]13．若存在两个正实数m、n，使得等式a（lnn﹣lnm）（4em﹣2n）=3m成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，]C．[，+∞）D．（﹣∞，0）∪[，+∞）14．设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（）A．2 B．C．D．415．已知数列{a n}满足a1=a2=，a n+1=2a n+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．316．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．505017．数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*），且S n=++…+，则S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{0，2}18．已知递增数列{a n}对任意n∈N*均满足a n∈N*，a an=3n，记（n ∈N*），则数列{b n}的前n项和等于（）A．2n+n B．2n+1﹣1 C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2013•沈阳二模）已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由，则△ABC的内角A等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：由∴，如图由O为△ABC外接圆的圆心结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，∴∠CAO=60°，∴△ABC的内角A等于30°故选A．2．（2017•泉州模拟）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π【解答】解：由f（）=f（）得函数关于x==对称，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故选：D．3．（2016秋•山西期末）已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则•的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．D．[﹣1，0）【解答】解：如图，∵OA=OB=1，∠AOB=120°；∴O到直线AB的距离d=；∴；∴==；∴；∴的取值范围为．故选A．4．（2016春•威海期末）已知直角△ABC，AB=AC=3，P，Q分别为边AB，BC上的点，M，N是平面上两点，若+=0，（+）•=0，=3，且直线MN经过△ABC的外心，则=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：建立坐标系将，将直角三角形放入坐标系中，若+=0，则=﹣=，即A是PM的中点，∵直线MN经过△ABC的外心，∴直线MN经过BC的中点E，∵（+）•=0，∴•=0，即PQ⊥BC，AE⊥BC，则PN∥AE，PN=2AE=2×=3，∵=3，∴PN=3PQ=3，即PQ=，直线BC的方程为x+y﹣3=0，设P（0，m），0＜m＜3，则PQ==，即|m﹣3|=2，则m=1或m=5（舍），即P（0，1），则=|BP|=2，故选：D．5．（2017春•洪山区校级期中）已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C 的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18）B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）【解答】解：由题意可得a+b+c=6，且b2=ac，∴b=≤=，从而0＜b≤2．再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，又b＞0，解得b＞，∴＜b≤2，∵cosB==，∴•=ac•cosB====﹣（b+3）2+27．则2≤•＜．故选：C．6．（2016秋•洛阳期中）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．另解：由2++=，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得=k+（1﹣k）=k+（1﹣k）t =，∴k=，（1﹣k）t=，解得t=．故选：B．7．（2016秋•杭州期中）已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．2【解答】解：根据条件，设，设，则：==0；∴；∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：∴||的最小值为：．故选A．8．（2016春•衡水校级期中）已知向量=（m，0}），向量满足⊥，﹣=2，且||=，若与+夹角的余弦值为，则||=（）A．B．C．或2 D．或【解答】解：由设；∴由得，；∴；∴m2+4n2=10；∴m2=10﹣4n2①；又；∴=；∴，带入①并两边平方得：（10﹣2n2）2=9（10﹣3n2）；整理得，4n4﹣13n2+10=0；∴解得n2=2，或；∴；即．故选D．9．（2017•山东二模）已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g （x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（）A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值【解答】解：画出y=|f（x）|=|2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象，它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．故选C．10．（2017•孝义市模拟）已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），任取定义域内的x，有f（﹣x）=x2+，且f（x）+f（﹣x）=2x2≠0，∴f（x）不是奇函数，①错误；对于②，函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=x2﹣，f′（x）=2x﹣=，令h（x）=2x3﹣1+lnx，则h（1）=1＞0，h（）=ln＜0；∴存在x0∈（，1），使h（x0）=0；∴x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴②错误；对于③，由②知，当x=x0时，f（x）在（0，+∞）上有最小值，且2+lnx0﹣1=0，∴=﹣2，则x=x0时，y=﹣=3﹣，由＜x0＜1，得＜＜1，∴＜3＜1，则3﹣=＞0，∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，③正确；对于④，当x＜0时，f（x）=x2+，且f（﹣1）=1＞0，f（﹣）=﹣e＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，﹣）内有一个零点，④正确；综上，正确的命题是③④．故选：B．11．（2017•大理州二模）已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4﹣cosx；③；④其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若f（x）为“三角形函数，则f（x）max﹣f（x）min＜f（x）min，①若f（x）=lg（x+1）（x＞0），则f（x）∈（0，+∞），不满足条件；②若f（x）=4﹣cosx，则f（x）∈[3，5]，满足条件；③若，则f（x）∈[1，4]，不满足条件；④若=1+，则f（x）∈（1，2），满足条件；故选：B12．（2017•呼和浩特二模）如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．13．（2017春•雅安期末）若存在两个正实数m、n，使得等式a（lnn﹣lnm）（4em ﹣2n）=3m成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，]C．[，+∞）D．（﹣∞，0）∪[，+∞）【解答】解：由3m+a（2n﹣4em）（lnn﹣lnm）=0，得3m+2a（n﹣2em）ln=0，即3+2a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[，+∞）．故选：D．14．（2017春•静海县校级月考）设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a 的最小值是（）A．2 B．C．D．4【解答】解：函数f（x）=的值域为R．∵f（x）=2x，（x≤0）的值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）的值域为R．∴f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2y2+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （2a2y2+ay＞0）．∴f（x）＞2，即log2x＞2，解得：x＞4．当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系．∴问题转化为2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0．∴（2ay﹣1）（ay+1）＞0，解得：y＞或者y＜﹣（舍去）．∴≤2，得a．故选：C．15．（2017•鼓楼区校级模拟）已知数列{a n}满足a1=a2=，a n+1=2a n+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵a n=2a n+a n﹣1，+1∴2a n=a n+1﹣a n﹣1，即，（n∈N*，n≥2），又a1=a2=，∴（i∈N*，i≥2），∴===＜2．∵a1=a2=，且a n+1=2a n+a n﹣1，∴a2016＞1，a2017＞1，则，∴1＜＜2．∴的整数部分是1．故选：B．16．（2017•徐汇区校级模拟）数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050【解答】解：a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1，①a1a2+a2a3+…+a n a n+1+a n+1a n+2=（n+1）a1a n+2，②①﹣②，得﹣a na n+2=na1a n+1﹣（n+1）a1a n+2，+1∴，同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a1=，a2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B．17．（2017•虎林市校级模拟）数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*），且S n=++…+，则S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{0，2}【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．可得：a n﹣a n=（an﹣1）2＞0，∴a n+1＞a n，因此数列{a n}单调递增．+1则a2﹣1=×，可得a2=，同理可得：a3=，a4=．=＞1，=＜1，另一方面：=﹣，∴S n=+…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=3﹣，当n=1时，S1==，其整数部分为0；当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；当n=3时，S3=++=2+，其整数部分为2；当n≥4时，S n=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．综上可得：S n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．故选：A．18．（2017•南昌二模）已知递增数列{a n}对任意n∈N*均满足a n∈N*，a an=3n，记（n∈N*），则数列{b n}的前n项和等于（）A．2n+n B．2n+1﹣1 C．D．【解答】解：，讨论：若，不合；若a1=2⇒a2=3；若，不合；即a1=2，a2=3，，所以，所以，，，，猜测，所以数列{b n}的前n项和等于．故选：D．。

2018三角函数专题(理科)(2018高考真题)

2018三角函数专题（理）1.已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x y =+∈∈Z Z ≤，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．42.已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( ) A ．4B ．3C ．2D ．03.在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =( ) A．BCD．4.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5.若，则( ) A ．B ．C ．D ． 6.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则( ) A ．B ．C ．D ．7.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +8.设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件1sin 3α=cos 2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π610．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. a b c >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >> 11．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（） A. 在区间35[,]44ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在区间53[,]42ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为（） A.2116 B. 32 C. 2516D. 313.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（） A. 1B. 2C. 3D. 415．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（） A. 对任意实数a ，(2,1)A ∈B. 对任意实数a ，（2，1）A ∉C. 当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D. 当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 16．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是()π3A−1B+1C．2D．217.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．18.已知向量，，．若，则________．19.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ∙的最小值为_________.20.设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．21.若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y –x 的最小值是__________． 22.已知函数)22)(2sin(πϕπϕ<<-+=x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是______23.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与l 交于另一点D ，若0=⋅，则点A 的横坐标为_______24.在ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为_______25.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．26.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．27．已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,23⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 . 28.已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=29.在平面四边形ABCD 中，90ADC =︒∠，45A =︒∠，2AB =，5BD =． ⑴求cos ADB ∠；⑵若DC =，求BC ．30.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．31.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.32.已知βα,为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα， (1)求α2cos 的值； (2)求)tan(βα-的值．33.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．34.设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+。

2018届高考数学(理)热点题型：函数与导数(含答案解析)

函数与导数热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解.【对点训练】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立，因为f′(x)＝(－2x＋a)e x＋(－x2＋ax)e x＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，所以[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对x∈(－1，1)都成立.因为e x>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，即a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1，1)都成立.令y＝(x＋1)－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2>0.所以y＝(x＋1)－1x＋1在(－1，1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此实数a 的取值范围为a ≥32.热点二利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【对点训练】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[t ，t ＋1]上有解. 解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0.∴ax 2＋x ≤0.又因为a >0，所以不等式化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0. 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.热点三利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a . 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【对点训练】已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0，1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。

2018高一数学三角函数难题突破训练(含解析)

2018高一数学三角函数难题练习一．选择题（共19小题）1．若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x12．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π3．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．55．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+16．已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．49．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）10．已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k（k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣12411．已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．12．正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×201213．对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．2214．有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．99015．若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）16．在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）17．已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．18．设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形19．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）二．解答题（共11小题）20．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．21．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．23．设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．24．已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n＜x n；+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．25．已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）26．已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．27．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．28．已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n （a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．29．已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016春•宁夏校级月考）若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1【解答】解：①当a＞1时，如图所示，分别作出函数y1=log a x，y2=log（a+1）x，y3=log（a+2）x，并且作出直线y=1，可得x1＜x2＜x3．②当0＜a＜1时，可得0＜x1＜1＜x2＜x3．综上可得：x1＜x2＜x3．故选：C．2．（2017•泉州模拟）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π【解答】解：由f（）=f（）得函数关于x==对称，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故选：D．3．（2017•许昌三模）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f （x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【解答】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（ωx﹣）；又f（x）的图象向左平移π个单位之后为g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin（ωx+ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2；∴f（x）=2sin（2x﹣），其图象的对称轴为x=+，k∈Z；当x1，x2∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x1+x2=2×（﹣）=﹣，∴f（x1+x2）=f（﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1．应选：B．4．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B5．（2016•郴州四模）已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+1【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）+1＜1，∴sin（2x+φ）＜0，∴﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；又x∈（﹣，﹣），∴﹣＜2x＜﹣，∴﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ；又∵|φ|＜，∴，∴﹣≤φ≤，∴≤2×+φ≤，∴≤sin（2×+φ）≤1，∴2≤2sin（2×+φ）+1≤3，∴f（）的最小值是2．故选：B．6．（2011•滨江区校级模拟）已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：当k为任意实数时，那么k的方向有可能向左，也可能向右．长度也是不确定的，图中BC′的长度就是||，可以看出，当BC′垂直CB时，||有最小值，要使不等式成立，则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角，故选A．7．（2011•杭州校级模拟）已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A8．（2016•新乡模拟）已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．4【解答】解：依题意，设CA=b，则BC=b，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣．=AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA，∵S△ABC=4b2sin2A=4b2（2﹣﹣）=48﹣（b2﹣16）2，∴S2△ABC当b2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S2max=48，∴S max=4．故选：D．9．（2017春•陆川县校级期中）设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C10．（2016春•衡水校级月考）已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k （k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣124=a2k+2k=a2k﹣1+（﹣1）k+2k，【解答】解：a2k+1﹣a2k﹣1=2k+（﹣1）k，所以a2k+1﹣a2k﹣3=2k﹣1+（﹣1）k﹣1，同理a2k﹣1…a3﹣a1=2+（﹣1），所以（a2k﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）+1=（2k+2k﹣1+…+2）+[（﹣1）k+（﹣1）k﹣1+…+（﹣1）]，﹣a1=2（2k﹣1）+[（﹣1）k﹣1]，由此得a2k+1=2k+1+（﹣1）k﹣，于是a2k+1a2k=a2k﹣1+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣1﹣+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣，{a n}的通项公式为：当n为奇数时，a n=2+（﹣1）﹣；当n为偶数时，a n=2+（﹣1）﹣；则S60=（a1+a3+a5+…+a59）+（a2+a4+a6+..+a60）=[（2+22+23+…+230）+（﹣++…﹣）﹣×30]+[（2+22+23+…+230）+（﹣+﹣+…+）﹣×30]=2×+0﹣90=232﹣94．故选：C．11．（2015秋•石家庄校级期末）已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．﹣a n≤3n，∴，a n+6﹣a n+4≤3n+4，【解答】解：∵a n+2﹣a n≤91•3n，∴a n+6﹣a n≥91•3n，又a n+6∴a n﹣a n=91•3n，+6﹣a n=3n，∴a n+4﹣a n+2=3n+2，a n+6﹣a n+4=3n+4，由题意可得a n+2﹣a n=3n，∵a n+2∴a2n﹣a1=31+33+35+…+32n﹣1，+1=+33+35+…+32n﹣1，∴a2n+1a2015=+31+33+35+…+32013=+=，故选：B．12．（2012•岳麓区校级模拟）正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×2012【解答】解：这些数字排成的是一个正方形上起2011，左起2012列的数是一个2012乘以2012的正方形的倒数第二行的最后一个数字所以这个数是2012×（2012﹣1）=2011×2012．故选D．13．（2012•浙江模拟）对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i 项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．22【解答】解：根据题意可知，将数字1，2，3，4，5，6，7的排列为7，6，5，4，3，2，1时，，所对应数列的“平均和”最大此时====20故答案为：2014．（2011•下陆区校级模拟）有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．990【解答】解：A={a1，a2，…，a n}的凯森和由T n来表示，由题意知，，所以S1+S2+…+S99=1000×99，数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：=，故选C．15．（2011•临海市校级模拟）若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）【解答】解：原不等式变形为：|x﹣a|＜2﹣x2且0＜2﹣x2在同一坐标系画出y=2﹣x2（Y＞0，X＞0）和y=|x|两个图象将绝对值函数y=|x|向左移动当右支经过（0，2）点，a=﹣2将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线相切（1/2，7/4）点，a=故实数a的取值范围是（﹣2，）故选C16．（2016秋•武侯区校级期中）在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c•cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b•cos=b2﹣b+1；根据角平分线定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，则S=bcsin=；△ABC当b≠c时，bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，取得最小值为；所以bc≥，即b=c=时S△ABC又当AB⊥BC时，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=为最大值，△ABC面积的取值范围是[，]．故选：D．17．（2016秋•南岸区校级月考）已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P 是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．【解答】解：如图所示，•=||•||cos∠PBC=||cos∠PBC．设OP为⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，向量在方向上的投影最大，则•取得最大值．由余弦定理可得：cosA==，∴sinA=．∴2R==3．∴||cos∠PBC=|BD|=|BC|+R=2．∴•取得最大值为2．故选：A18．（2012•重庆模拟）设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵≤sin（C+）≤1，∴a2+b2=abcosC+absinC=2ab（cosC+sinC）=2absin（C+）≤2ab，当且仅当C+=，即C=时取等号，又a2+b2≥2ab，且当且仅当a=b时取等号，则a=b且C=，即△ABC为等边三角形．故选D19．（2010•云南模拟）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinAA+C=180°﹣45°=135°有两解，即A有两个值这两个值互补若A≤45°则由正弦定理得A只有一解，舍去．∴45°＜A＜135°又若A=90°，这样补角也是90度，一解，A不为90°所以＜sinA＜1∵x=2sinA∴2＜x＜2故选C二．解答题（共11小题）20．（2017•吉州区校级一模）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．【解答】（1）证明：∵b n=，a n+1=1+，===﹣=﹣．∴b n+1∴数列{b n}是等比数列，公比为﹣，且首项为﹣．∴b n=．（2）由b n==，得a n=．（3）c n=nb n=n，∴S n=﹣+2×+3×+…+n，=+…++n，两式相减得S n=﹣﹣n，∴不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0，即＞0，解得m，因此m≥11．因此最小的正整数m=11．21．（2017•浙江模拟）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．【解答】解：（1）a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣），可得a n+12+a n2﹣2a n+1a n﹣2a n+1+2a n+1=0，即有（a n+1﹣a n）2﹣2（a n+1﹣a n）+1=0，即为（a n+1﹣a n﹣1）2=0，可得a n+1﹣a n=1，则a n=a1+n﹣1=n，n∈N*；（2）证明：由=＜=﹣，n≥2．则++…+=1+++…+＜1++﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，故原不等式成立；（3）证明：S n=++…+=1++…+，当n=2时，S22=（1+）2=＞2•=成立；假设n=k≥2，都有S k2＞2（++…+）．则n=k+1时，S k+12=（S k+）2，S k+12﹣2（++…++）=（S k+）2﹣2（++…+）﹣2•=S k2﹣2（++…+）++2•﹣2•=S k2﹣2（++…+）+，由k＞1可得＞0，且S k2＞2（++…+）．可得S k2﹣2（++…+）＞0，2＞2（++…++）恒成立．则S k+1综上可得，对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．【解答】证明：（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，=，成立；②假设当n=k时，有成立，则当n=k+1时，≤≤1，≥=，∴当n=k+1时，，命题也成立．由①②得≤a n≤1．（2）当n=1时，|a2﹣a1|=，当n≥2时，∵（）（）=（）=1+=，﹣a n|=||=≤|a n﹣a n﹣1|＜…＜（）∴|a n+1n﹣1|a2﹣a1|=，∴|a2n﹣a2n﹣1|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|≤==（）n﹣1﹣（）2n﹣1≤，综上：|a2n﹣a n|≤．23．（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．24．（2017•浙江）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，那么n=k+1时，若x k+1故x n＞0，+1因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，＜x n（n∈N*），因此0＜x n+1（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤．25．（2017•淮安四模）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）【解答】解：（1）∵a1+b2=a2+b3=a3+b1，∴a1+b1q==a1+2d+b1，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠±1．解得q=﹣．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，∴（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r﹣m﹣1）．∵m，p，r成等差数列，∴p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，则2t2﹣t﹣1=0，∵q≠±1，t≠±1，解得t=．即q p﹣m=，∴﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3．∴|q|=≥，即q，当α=3时，q取得最大值为﹣．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．例如E=（1，3，4），a n=．26．（2017•淄博模拟）已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．【解答】解：（Ⅰ）由题意（n∈N*）．b3=b2+6．知，又由a1=4，得公比q=4（q=﹣4，舍去），所以数列{a n}的通项为…（3分）所以．故数列{b n}的通项为…（5分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）知…（7分）所以…（9分）②因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，而得所以，当n≥5时，c n＜0；综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4…（12分）27．（2017•天津一模）已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．+1由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．28．（2017•普陀区一模）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2﹣1=4a n（a n+1），【解答】（1）证明：∵对任意的n∈N*，均有a n+12=，又数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴a n+1∴{1+a n}是等比数列，公比为2，首项为2，∴1+a n=2n，即a n=2n﹣1．（2）解：b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．∵n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．∴c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）=﹣+7=11449﹣256+9=11202．（3）解：d n===，∴数列{d n}的前n项和为T n=+…+==．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，即2m2﹣4m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+．∵m是正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、T m、T n成等比数列．29．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．﹣a n=﹣=【解答】证明：（I）n≥2时，作差：a n+1，﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，∴a n+1由a1=4，可得a2==，可得a2﹣a1＜0，∴n∈N*时，a n＞a n+1．（II）∵2=6+a n，∴=a n﹣2，即2（a n+1﹣2）（a n+1+2）=a n﹣2，①∴a n﹣2与a n﹣2同号，+1又∵a1﹣2=2＞0，∴a n＞2．∴S n=a1+a2+…+a n≥4+2（n﹣1）=2n+2．∴S n﹣2n≥2．由①可得：=，因此a n﹣2≤（a1﹣2），即a n≤2+2×．∴S n=a1+a2+…+a n≤2n+2×＜2n+．综上可得：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．（2017•温州模拟）数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0⇔﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，⇔＞a2，⇔0＜a2＜2⇔﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，∀n∈N*，1＜a n＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜a n＜2成立．则当n=k+1时，a k=a k+﹣1∈⊊（1，2），+1即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：∀n∈N*，1＜a n＜2成立．于是a n﹣a n=﹣1＞0，即a n+1＞a n，+1∴{a n}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：a n＞2对∀n∈N*都成立．﹣a n=﹣1＜2，即数列{a n}是递减数列．于是：a n+1在S n≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由a n=a1+（a n﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是S n=a1+a2+…+a n≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设a n=b n+2，可得≤1．由a n=a n+﹣1（n∈N*），可得：b n+1=b n+﹣1，可得=≤≤+1．于是数列{b n}的前n和T n≤＜3b1≤3．故S n=2n+T n＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：S n＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：S n＜na1﹣．这与S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{b n}的前n项和T n≤＜b1＜1，∴S n=2n+T n＜2n+1．。

2018年高考数学真题较难题汇编(精品资料).doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试1. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则( ) A . θ1≤θ2≤θ3 B . θ3≤θ2≤θ1 C . θ1≤θ3≤θ2 D . θ2≤θ3≤θ1 2. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为 π3，向量b 满足b 2−4e •b +3=0，则|a −b |的最小值是( ) A . √3−1 B . √3+1 C . 2 D . 2−√3 3. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 44. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4，x ≥λ x 2−4x +3，x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是_____________________，若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________5. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)6. 已知点P (0，1)，椭圆 x 24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当m =____________________时，点B 横坐标的绝对值最大7. (15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上 (1) 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴(2)若P 是半椭圆x 2+y24=1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围8. (15分)已知函数f (x )=√x −lnx(1) 若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln 2(2) 若a ≤3−4ln 2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．PMBA Oy x13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．%网（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求的取值范围（用1,,b m q 表示）．2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

2018年高考真题汇编(函数与导数)

函数与导数1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。

2018学年高中数学北师大版必修一课件：第二章函数-第1.2节-2.2 精品

【提示】当 a≤0 时，f(a)＝－a. ∵f(a)＝4，∴－a＝4，∴a＝－4. 当 a＞0 时，f(a)＝a2. ∵f(a)＝4，∴a2＝4，∴a＝2，或 a＝－2(舍去)．综上 a＝－4 或 2.
探究 3 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表．
信函质量 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100
则 t≠1.把 x＝t－1 1代入 f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得 f(t)＝1＋ 1t－112 2＋
1 1
＝(t－1)2
t－1 t－1
＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
法二：(配凑法)∵f1＋x x＝1＋x2＋x22x－2x＋1x＝1＋x x2－1＋xx－x＝1＋x x2－ 1＋x x＋1，
【精彩点拨】 (1)可设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，再根据题设列方程组，求待定系数 k，b.
(2)在“x＋2 x”中凑出“ x＋1”或将“ x＋1”整体换元来求解． (3)将 f1x，f(x)看成未知数，通过解方程求 f(x)．
【尝试解答】 (1)设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴kk2b＝＋9b，＝4，解得 k＝3，b＝1 或 k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1 或 f(x)＝－3x－2.
如图 2-2-2 所示，从边长为 2a 的正方形铁片的四个角各裁一个边长为 x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度 x 与底面正方形边长的比不超过正常数 t.试把铁盒的容积 V 表示为 x 的函数，并求出其定义域．

2018年全国1卷理科第16题(三角函数的最值问题)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

2018年全国1卷理科第16题(三角函数的最值问题) -2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例【2018年全国1卷理科第16题】已知函数f(x)=2sinx+sin2x ,则f(x)的最小值是______. 解法一：引导：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.点评：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 解法二：()=2sin +sin2=2sin (1+cos )f x x x x x22222()=4sin (1+cos )4(1-cos )(1+cos )f x x x x x ∴=4(3-3cos )(1+cos )(1+cos )(1+cos )3x x x x =443-3cos +1+cos +1+cos +1+cos )34x x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭44327324⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭ ()f x 易知是奇函数1cos = 2()sin =2x f x x ⎧⎪⎪∴≥⎨⎪-⎪⎩当，()f x ∴的最小值是点评：另辟蹊径，联系均值不等式求最值（和定积最小）。

解法三：解法3：公式搭桥，函数领路，导数建功。

解法四：()=2sin +sin2f x x x ，tan 2xt R =∈令则2223418 2sin(1cos)(1)1112t ty x xt t t tt-=+=+=++++，31t2,t ttϕ=++令()4222221321t32,0t tt tt tϕμ+-'=+-==≥()令，原式得；(1)(31),μμμ+-=显然13μ=时，取tϕ()到极值经检验当t=tϕ()有最大值，则y有最小值得：min812(yϕ==-解法4：替换消元，导数建功。

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难点突破一．选择题（共18小题）1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2）C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1）2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）A．48 B．60 C．96 D．1205．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣66．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣17．已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．18．四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．8 B．C．D．49．如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）A．2p2B．2p C．4p D．p10．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣311．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足=，若M为△ABC边上的点，点P满足|，则|MP|的最大值为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．613．已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π14．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或615．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（）A．B．C．D．16．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+] 17．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f （a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln218．在△ABC中，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，=（）A．B．C．9 D．﹣9二．填空题（共12小题）19．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b=，则的最小值是．20．设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是．21．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是．22．在△ABC中，，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，，且AC＞BC，则sin∠BAC=．23．已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是．24．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．25．在平面自角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A（0，4），B（0，2），平面向量，，满足（2﹣）（﹣）=0，则对任意t＜0的实数和任意满足条件的向量，|﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•|的最小值．26．在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，•的取值范围是．27．已知函数如果使等式成立的实数x1，x3分别都有3个，而使该等式成立的实数x2仅有2个，则的取值范围是．28．设函数与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．29．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为．30．若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为．三．解答题（共10小题）31．已知函数f（x）=ln（x+1）．（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；（2）设函数g（x）=e x﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2＞0．32．已知函数f（x）=e x﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．33．已知函数f（x）=e x+lnx．（1）求函数y=f'（x）在x∈[1，+∞）上的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞）恒有f（x）≥e+m（x﹣1），求实数m的取值范围．34．已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．35．已知函数f（x）=alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．36．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值．37．已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．38．已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，①求a的取值范围；②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．39．已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．40．已知函数f（x）=e x+px﹣﹣2lnx（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若函数F（x）=f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数g（x）=e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．2018年05月14日郭小波的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2）C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1）【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=＜0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵g（1）＞g（2），∴＞，∴e2f（1）＞f（2），∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣2）=﹣f（2），∴e2f（﹣1）＜﹣f（2），故选：C．2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意令f（x）=x2+（1﹣a）x﹣alnx﹣2a+a2，则f′（x）=x+（1﹣a）x﹣=，a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，x→0时，f（x）→﹣∞，故不合题意，a=0时，f（x）=x2+x＞0，符合题意，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故f（x）min=f（a）=a（a﹣1﹣lna），令h（a）=a﹣1﹣lna，（a＞0），故h′（a）=1﹣=，令h′（a）＞0，解得：a＞1，令h′（a）＜0，解得：0＜a＜1，故h（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（a）≥h（1）=0，故a﹣1﹣lna≥0，故a＞0时，只要a≠1，则h（a）＞0，综上，a∈[0，1）∪（1，+∞），故选：A．3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列【解答】解：根据题意，函数f1（x）=xe x，其导数f1′（x）=（x）′e x+x（e x）′=（x+1）e x，分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣1，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣1，﹣），对于函数f2（x）=f1′（x）=（x+1）e x，其导数f2′（x）=（x+1）′e x+（x+1）（e x）′=（x+2）e x，分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣），…分析可得曲线y=f n（x）的最低点P n，其坐标为（﹣n，﹣）；（﹣n﹣1，﹣），P n+2（﹣n﹣2，﹣）；则P n+1∴|P n P n+1|==，直线P n P n+1的方程为，即为（e﹣1）x+e n+1y+e﹣n=0，到直线P n P n+1的距离d=，故点P n+2∴S n=|P n P n+1|•d=，设g（n）=，易知函数g（n）为单调递减函数，故{S n}是递减数列，故选：D．4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）A．48 B．60 C．96 D．120【解答】解：8根算筹由1，2，5构成，可得组成6个三位数；由1，3，4构成，可得组成6个三位数；由2，1，5构成，可得组成6个三位数；由2，2，4构成，可得组成3个三位数；由2，3，3构成，可得组成3个三位数；由于2根算筹看做6，3根算筹看做7，4根算筹看做8，5根算筹看做9，由1，2，9构成，可得组成6个三位数；由1，6，5构成，可得组成6个三位数；由1，6，9构成，可得组成6个三位数；由1，7，4构成，可得组成6个三位数；由1，3，8构成，可得组成6个三位数；由1，7，8构成，可得组成6个三位数；由6，1，5构成，可得组成6个三位数；由2，1，9构成，可得组成6个三位数；由6，1，9构成，可得组成6个三位数；由6，6，4构成，可得组成3个三位数；由2，2，8构成，可得组成3个三位数；由6，6，8构成，可得组成3个三位数；由6，3，3构成，可得组成3个三位数；由2，7，7构成，可得组成3个三位数；由6，7，7构成，可得组成3个三位数．则共有12×6+8×3=96，故选：C．5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6【解答】解：∵，∴[f（x）+xf′（x）]≥0，而f′（2）=2，故f（2）+2f′（2）=0，故f（2）=﹣4，故选：C．6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：D．7．已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1【解答】解：令f（x）=0，分离参数得a=，令h（x）=，由h′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2==μ3=，=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．8．四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．8 B．C．D．4【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，∴BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，∴△PCB，△PCD，△PAC是有公共斜边PC的直角三角形，取PC中点O∴OA=OB=OC=OP，O为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，直径PC=2，设四棱锥的底面边长为a，PA=．△PAB面积S===3，当且仅当a2=12﹣a2，即a=时，△PAB面积最大，此时PA=，四棱锥P﹣ABCD的体积V==，故选：D，9．如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）A．2p2B．2p C．4p D．p【解答】解：过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点为任意的，不妨设直线AB为x=p，由，解得y=±2p，则A（﹣p，﹣p），B（p，p），∵直线BM的方程为y=x，直线AM的方程为y=﹣p，解得M（﹣p，﹣p），∴|ME|2=（2p）2+2p2=6p2，设过点M与此抛物线相切的直线为y+p=k（x+p），由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2p+2p2k=0，∴△=4p2﹣4k（﹣2p+2p2k）=0，解得k=，∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p=（x+p），由，解得N（p，2p），∴|NE|2=4p2，∴|ME|2﹣|NE|2=6p2﹣4p2=2p2，故选：A．10．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；故选：B．11．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足=，若M为△ABC边上的点，点P满足|，则|MP|的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由=，得，即，取AB中点H，BC中点G，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使KG=GO，则O为所求点，∵点P满足|，M为△ABC边上的点，∴当M与A重合时，|MP|有最大值为|OA|+|OP|，而|OA|=，∴|MP|的最大值为，故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），可得x≥3时的图象，可将f（x）在[1，3]的图象向右平移2k（k为正整数）个单位；在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称，作出f（x）的图象和函数y=|ln|x||的图象，可得它们有4个交点，则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是4．故选：C．13．已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，∴∠SAC=∠SBC=90°，cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=，∴SC==2，∴球半径R=1，∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选：A．14．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6【解答】解：f′（x）=e x（2x﹣1）+）+（x2﹣x﹣1）e x=e x（x2+x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）的极大值为f（﹣2）=，f（x）的极小值为f（1）=﹣e．作出f（x）的函数图象如图所示：∵，∴f2（x）﹣mf（x）﹣=0，△=m2+＞0，令f（x）=t则，则t1t2=﹣．不妨设t1＜0＜t2，（1）若t1＜﹣e，则0＜t2＜，此时f（x）=t1无解，f（x）=t2有三解；（2）若t1=﹣e，则t2=，此时f（x）=t1有一解，f（x）=t2有两解；（3）若﹣e＜t1＜0，则t2＞，此时f（x）=t1有两解，f（x）=t2有一解；综上，f2（x）﹣mf（x）=有三个不同的实数解．故选：A．15．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC．由A为锐角且sinA=，不妨设外接圆的半径R=3．则OA=OB=OC=3．∵cos∠COD==cosA=，∴OD=1，DC==2．∴B（﹣2，0），C（2，0），O（0，1），A（m，n），则△ABC外接圆的方程为：x2+（y﹣1）2=9．（*）∵=α+β，∴（﹣m，1﹣n）=α（﹣2﹣m，﹣n）+β（2﹣m，﹣n），∴，∵α+β≠1时，否则=α，由图可知是不可能的．∴可化为，代入（*）可得+=9，化为18（α+β）=9+32αβ，利用基本不等式可得18（α+β）≤9+32（）2，化为8（α+β）2﹣18（α+β）+9≥0，解得α+β≤或α+β≥．又α+β＜1，故α+β≥应舍去．∴α+β≤，则α+β的最大值为，故选：D．16．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+]【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选：D．17．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f （a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln2【解答】解：令y=e a，则a=lny，令y=ln+，可得b=2，则b﹣a=2﹣lny，∴（b﹣a）′=2﹣．显然，（b﹣a）′是增函数，观察可得当y=时，（b﹣a）′=0，故（b﹣a）′有唯一零点．故当y=时，b﹣a取得最小值为2﹣lny=2﹣ln=2+ln2，故选：D．18．在△ABC中，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，=（）A．B．C．9 D．﹣9【解答】解：∵•=||•||•cosB=||2，∴||•cosB=||=6，∴⊥，即∠A=，以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B（6，0），C（0，3），设P（x，y），则=x2+y2+（x﹣6）2+y2+x2+（y﹣3）2，=3x2﹣12x+3y2﹣6y+45，=3[（x﹣2）2+（y﹣1）2+10]，∴当x=2，y=1时取的最小值，此时•=（2，1）•（﹣6，3）=﹣9故选：D．二．填空题（共12小题）19．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b=，则的最小值是2﹣2．【解答】解：由﹣2a﹣b=，得=2a+b，由A，B，C共线，得：2a+b=1且a＞0，b＞0，故=﹣1+﹣1=+﹣2≥2﹣2，当且仅当a+2b=（a+b）时“=”成立，故答案为：．20．设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是（﹣∞，2）．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（﹣x﹣1）]=﹣x（x+1），①若x＜0，则x﹣1＜﹣1，由f（x）+f（x﹣1）＜2得﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＜2，即﹣2x2＜2，即x2＞﹣1，此时恒成立，此时x＜0．②若x≥1，则x﹣1≥0，由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2）＜2，即x2﹣2x＜0，即0＜x＜2，此时1≤x＜2，③若0≤x＜1，则x﹣1＜0，则由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）﹣（x﹣1）x＜2，即0＜2，此时不等式恒成立，此时0≤x＜1，综上x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）21．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，可设P（0，b），且﹣1≤b≤1；∴A（﹣，0），C（，0），D（0，1），∴=（﹣，﹣b），=（，﹣b），=（0，1﹣b），∴+=（，1﹣2b），∴=﹣3﹣b（1﹣2b）=﹣3﹣b+2b2=2﹣，当且仅当b=时，取得最小值﹣．故答案为：﹣．22．在△ABC中，，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，，且AC＞BC，则sin∠BAC=．【解答】解：设AC=x，BC=y，由于：△ABC中，，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，，且AC＞BC，则：，解得：①，利用余弦定理得：②由①②得：，解得：或，由于：AC＞BC，则：．在△ABC中，，解得：AB=．利用正弦定理得：，解得：．故答案为：23．已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0）递减，若f（x﹣1）＞f（x），则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，解得：x＜，故答案为：（﹣∞，）．24．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（1，5）．【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，又长方体体积为1×2×3=6，所以液体体积取值范围是×6＜V液体＜×6，即1＜V液体＜5．故答案为：（1，5）．25．在平面自角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A（0，4），B（0，2），平面向量，，满足（2﹣）（﹣）=0，则对任意t＜0的实数和任意满足条件的向量，|﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•|的最小值4．【解答】解：设=（x，y），则=（0，4），=（0，2）；又（2﹣）（﹣）=0，∴（2x﹣0）（x﹣0）+（2y﹣4）（y﹣2）=0，化简为x2+（y﹣2）2=0，解得x=0，y=2，∴=（0，2）；∴﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•=（0，2）﹣t•（0，4）﹣[ln（﹣t）﹣1]•（0，2）=（0，2）﹣（0，t）﹣（0，ln（﹣t）﹣1）=（0，3﹣t﹣ln（﹣t）），∴|﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•|=|3﹣t﹣ln（﹣t）|=3﹣t﹣ln（﹣t）；设f（t）=3﹣t﹣ln（﹣t），t＜0；则f′（t）=﹣1+，令f′（t）=0，解得t=﹣1，∴t∈（﹣∞，﹣1）时，f′（t）＜0，f（t）是单调减函数，t∈（﹣1，0）时，f′（t）是单调增函数，∴f（t）的最小值是f（﹣1）=3﹣（﹣1）﹣ln1=4．故答案为：4．26．在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，•的取值范围是（1，] ．【解答】解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，其对应的边分别为a，b，c，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，由正弦定理可得====2，∴a=2sinA，c=2sinC=2sin（﹣A）=2（cosA+sinA）=cosA+sinA，∴ac=2sinA（cosA+sinA）=sin2A+2sin2A=sin2A﹣cos2A+1=2sin（2A﹣）+1，∵0＜A＜，0＜﹣A＜∴＜A＜∴＜2A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，∴2＜2sin（2A﹣）+1≤3，∴2＜ac≤3，∵•=accosB=ac，∴•的取值范围是（1，]故答案为：（1，]27．已知函数如果使等式成立的实数x1，x3分别都有3个，而使该等式成立的实数x2仅有2个，则的取值范围是（1，3] ．【解答】解：当﹣3≤x≤0时，y=﹣x（x+2）2的导数为y′=﹣（x+2）（3x+2），可得﹣2＜x＜﹣时，函数递增；﹣3＜x＜﹣2，﹣＜x＜0，函数递减；当x＞0时，y=2e x（4﹣x）﹣8的导数为y′=2e x（3﹣x），当x＞3时，函数递减；0＜x＜3时，函数递增，x=3时，y=2e3﹣8，作出函数f（x）的图象，等式=k表示点（﹣4，0），（﹣2，0），（﹣，0）与f（x）图象上的点的斜率相等，由（﹣3，3）与（﹣4，0）的连线与f（x）有3个交点，且斜率为3，则k的最大值为3；由题意可得，过（﹣2，0）的直线与f（x）的图象相切，转到斜率为3的时候，实数x2仅有2个，设切点为（m，n），（﹣2＜m＜0），求得切线的斜率为﹣（m+2）（3m+2）=，解得m=﹣1，此时切线的斜率为1，则k的范围是（1，3]．故答案为：（1，3]．28．设函数与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则，所以有f'（x0）=g'（x0），即，解出x0=a（舍去），又y0=f（x0）=g（x0），所以有，故，所以有，对b求导有b'=﹣2a（1+lna），故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当时b有最大值．故答案为：．29．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为4π．【解答】解：直观图如图所示的正四面体，构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，正方体的边长为2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，∴此三棱锥的外接球的半径为R=三棱锥的外接球的体积为V=．故答案为：4π．30．若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正项递增等比数列，则q＞1．数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0，则有1=（a4﹣a2）+λ（a5﹣a3）=（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）=（1+λq）（a4﹣a2），则有1+λq=，a8+λa9=a8+λqa8=a8（1+λq）==，令g（q）=，（q＞1）则导数g′（q）==，分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数；当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数；则当q=时，g（q）取得最小值，此时g（q）=，即a8+λa9的最小值为，故答案为：．三．解答题（共10小题）31．已知函数f（x）=ln（x+1）．（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；（2）设函数g（x）=e x﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2＞0．【解答】解：（1）记q（x）=x﹣ln（x+1），则，在（﹣1，0）上，q'（x）＜0即q（x）在（﹣1，0）上递减，所以q（x）＞q（0）=0，即x＞ln（x+1）=f（x）恒成立记m（x）=x+ln（﹣x+1），则，在（﹣1，0）上，m'（x）＞0即m（x）在（﹣1，0）上递增，所以m（x）＜m（0）=0，即x+ln（﹣x+1）＜0恒成立，x＜﹣ln（﹣x+1）=﹣f（﹣x）…（5分）（2）①g（x）=e x﹣ln（x+1）﹣a，定义域：（﹣1，+∞），则，易知g'（x）在（﹣1，+∞）递增，而g'（0）=0，所以在（﹣1，0）上，g'（x）＜0g（x）在（﹣1，0]递减，在[0，+∞）递增，x→﹣1+，y→+∞，x→+∞，y→+∞=g（0）=1﹣a＜0要使函数有两个零点，则g（x）极小值故实数a的取值范围是（1，+∞）…（7分）②由①知﹣1＜x1＜0＜x2，记h（x）=g（x）﹣g（﹣x），x∈（﹣1，0），当x∈（﹣1，0）时，由①知：x＜﹣ln（﹣x+1），则再由x＞ln（x+1）得，，故h'（x）＜0恒成立，h（x）=g（x）﹣g（﹣x）在x∈（﹣1，0）单调递减，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞g（﹣x），而﹣1＜x1＜0，g（x1）＞g（﹣x1）g（x1）=g（x2）=0，所以g（x2）＞g（﹣x1），由题知，﹣x1，x2∈（0，+∞），g（x）在[0，+∞）递增，所以x2＞﹣x1，即x1+x2＞0…（12分）32．已知函数f（x）=e x﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：设h（x）=e x﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1，令h'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，当且仅当x=0时取等号，∴对任意x∈R，e x≥x+1…（2分）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1∴当x＞﹣1时，x≥ln（x+1）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，+∞）当m≤0时，由（Ⅰ）知，g（x）=e x﹣lnx﹣2﹣m＞﹣m≥0，故g（x）无零点…（6分）当m=1时，g（x）=e x﹣lnx﹣3，∵g'（1）=e﹣1＞0，，且g'（x）为（0，+∞）上的增函数∴g'（x）有唯一的零点当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为…（8分）由x0为g'（x）的零点知，，于是∴g（x）的最小值由知，，即g（x0）＜0…（10分）又g（2）=e2+ln2﹣3＞0，∴g（x）在上有一个零点，在（x0，2）上有一个零点∴g（x）有两个零点…（11分）综上所述，m的最小值为1…（12分）33．已知函数f（x）=e x+lnx．（1）求函数y=f'（x）在x∈[1，+∞）上的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞）恒有f（x）≥e+m（x﹣1），求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由于y=h（x）=f′（x）=e x+，则h′（x）=e x﹣，则当x∈（1，+∞）时，e x＞e，＜1，所以h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上是增函数，于是y在[1，+∞）上的最小值为h（1）=e+1；（2）考虑函数g（x）=f（x）﹣e﹣m（x﹣1），即为g（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，且发现g（1）=0，于是g′（x）=+e x﹣m，由（1）知：当m≤e+1时，g′（x）≥0，此时g（x）单调增，于是g（x）≥g（1）=0，成立；若m＞e+1，则存在t∈（1，+∞）使得：g′（t）=0，当x∈（1，t）时，g′（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，g′（x）＞0，此时g（x）≥g（t）＜0，矛盾．综上，m≤e+1．34．已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）f′（x）=x﹣a+=，（a＞0），△=a2﹣4a．①当△≤0，即0＜a≤4时，函数f（x）在（0，+∞）递增，②当△＞0，即＞4时，f′（x）=0的根，x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）递减．（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），h′（x）=﹣，当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g（），因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以x1＜，故x1•x22＜2．综上所述：x1•x22＜2．35．已知函数f（x）=alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．【解答】解：（1）由f（x）=alnx﹣bx﹣3知f′（x）=，当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）．证明：（2）g（x）=lnx﹣bx，设g（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，∵g（x1）=0，g（x2）=0，∴lnx1﹣bx1=0，lnx2﹣bx2=0，∴lnx1﹣lnx2=b（x1﹣x2），lnx1+lnx2=b（x1+x2），要证lnx1+lnx2＞2，即证b（x1+x2）＞2，即＞，即ln＞，设t=＞1上式转化为lnt＞，t＞1．设g（t）=lnt﹣，∴g′（t）=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，∴lnr＞，∴lnx1+lnx2＞2．36．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0）．f′（x）=﹣1=，令f′（x）=0，解得x=1．∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．（2）不等式f（x）≤x恒成立，即lnx﹣（a+1）x+a≤0恒成立，x∈（0，+∞）．令g（x）=lnx﹣（a+1）x+a，x∈（0，+∞）．g′（x）=﹣（a+1）．①a≤﹣1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．而g（e）=1﹣（a+1）e+a=（1﹣e）（1+a）≥0．可得x＞e时，g（x）＞0，不满足题意，舍去．②a＞﹣1时，g′（x）=，可得x=时，函数g（x）取得极大值即最大值．=﹣（a+1）×+a=﹣ln（a+1）+a﹣1，令a+1=t＞0，h（t）=﹣lnt+t﹣2．h′（t）=﹣+1=，可得h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．h（3）=﹣ln3+1＜0，h（4）=﹣ln4+2＞0．∴（a+1）max∈（3，4），∴[a]=2．37．已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．【解答】解（1）当b=0时，f（x）=ae x+x2，由题意ae x+x2=0只有一解．由ae x+x2=0得，令，则，令G'（x）=0得x=0或x=2当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为；当x≥2时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．（2）f（x）=ae x+x2﹣2x，f'（x）=ae x+2x﹣2，假设存在，则有，即，又，，∴，∵a≠0，∴，不妨设t=x0﹣m＞0，则，两边同除e m，得（*），令，令，∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴方程te=e t﹣1无解，∴不存在实数x0（x0≠m），使得成立．38．已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，①求a的取值范围；②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．【解答】解：（1）由题f′（x）=，（x＞0）方法1：由于，﹣e x＜﹣1＜0，（﹣x2+3x﹣3）e x＜﹣，又，所以（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a＜0，从而f'（x）＜0，于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）方法2：令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数．故h（x）在x=1时取得极大值，也即为最大值．则h（x）max=﹣e﹣a．由于，所以h（x）max=h（1）=﹣e﹣a＜0，于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）（2）①令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞．由于f（x）有两个极值点，所以f'（x）=0有两不等实根，即h（x）=0有两不等实数根x1，x2（x1＜x2），则，解得﹣3＜a＜﹣e，②可知x1∈（0，1），由于h（1）=﹣e﹣a＞0，h（）=﹣﹣a＜﹣+3＜0，则．而f′（x2）==0，即=（#）所以g（x）极大值=f（x2）=，于是，（*）令，则（*）可变为，可得，而﹣3＜a＜﹣e，则有，下面再说明对于任意﹣3＜a＜﹣e，，f（x2）＞2．又由（#）得a=（﹣+3x2﹣3），把它代入（*）得f（x2）=（2﹣x2），所以当时，f′（x2）=（1﹣x2）＜0恒成立，故f（x2）为的减函数，所以f（x2）＞f（）=＞2，所以满足题意的整数m的最小值为3．39．已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．【解答】解：（1）由，得，当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；若，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于，则f（x）仅有一个零点．当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．当a＜﹣1时，若；若；若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个零点．综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2）=0即可．，又，所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），则，则h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，所以x1+x2＞2．40．已知函数f（x）=e x+px﹣﹣2lnx（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若函数F（x）=f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数g（x）=e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=e x+px﹣﹣2lnx，（1）当p=2时，f（x）=e x+2x﹣﹣2lnx，f（1）=e，又，∴f′（1）=e+2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣e=（e+2）（x﹣1），即（e+2）x﹣y﹣2=0；（2）F（x）=f（x）﹣e x=px﹣，，由F（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，∴F'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0，即对任意x＞0恒成立，设，可知h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则h（x）max=h（1）=1，∴p≥h（1）=1，即p∈[1，+∞）；（3）设函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣，x∈[1，e]，则原问题⇔在[1，e]上至少存在一点x0，使得φ（x0）＞0⇔φ（x）max＞0（x∈[1，e]）．，当p=0时，，则φ（x）在x∈[1，e]上单调递增，φ（x）max=φ（e）=﹣4＜0，（舍）；当p＜0时，φ（x）=p（x﹣）﹣，∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，＞0，lnx＞0，则φ（x）＜0，（舍）；当p＞0时，，则φ（x）在x∈[1，e]上单调递增，φ（x）max=φ（e）=pe﹣＞0，整理得p＞，综上，p∈（）．。