关于节点不平衡力的计算

节点不平衡力的计算
在结构几何非线性分析过程中，节点不平衡力的计算精确程度对于问题求解的收敛性和精度影响很大，因此在求解结构大位移、大转动问题时，采用以下分析方法以得到准确的节点不平衡力。

在结构大位移、大转动问题中，节点位移增量{}δ∆将引起每个单元的运动，这些运动包括： 单元的刚体平动、单元的刚体转动、引起单元变形的那部分运动。

由于单元内力增量仅与引起单元变形的运动有关，故需扣除单元的刚体平动和转动。

在T 时刻结构坐标系XYZ 中的一个已经处于平衡状态的单元，单元端点i
到j 的长度为 T L ，单元的抗力向量为T f int ，此时单元的单元坐标系为T T T z y x ，
在T T ∆+时刻单元坐标系为T T T ∆+∆+∆+T T T z y x ，它的坐标原点位于变形后的i 点，T T x ∆+轴沿变形后端点的连线方向。

假设T 时刻，单元长度为T L ，在T 时刻的单元坐标系中，单元两端位移增量为： {}zj yj xj j j j zi yi xi i i i w v u w v u θθθθθθ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ T T ∆+时刻单元长度为 ：
()()()2
i j 2i j 2
i j T T T w w v v u u L L ∆-∆+∆-∆+∆-∆+=∆+，…………(1) 在T 至T T ∆+增量步内，相对于T T ∆+时刻单元坐标系T T T ∆+∆+∆+T T T z y x 的引起单元变形的那部分节点位移增量为：
())u u L /()w w (arctan
i j T i j ∆-∆+∆-∆=α
())u u L /()v v (arctan
i j T i j ∆-∆+∆-∆=β
0w v u 'i 'i 'i =∆=∆=∆
T T T 'j L L u -=∆∆+
i j ,j v v v ∆-∆=∆
i j ,
j w w w ∆-∆=∆
xi ,
xi θθ∆=∆
xj ,xj θθ∆=∆
αθθ+∆=∆yi ,
yi
αθθ+∆=∆yj ,yj βθθ-∆=∆zi ,
zi
βθθ-∆=∆zj ,zj
因此，在T 至T T ∆+时段增量步内，单元在坐标系T T T ∆+∆+∆+T T T z y x 的节点位移增量为：
,d ∆={},zj ,yj ,xj ,j ,j ,j ,zi ,yi ,xi
w v u 000θθθθθθ∆∆∆∆∆∆∆∆∆ 此时，在单元坐标系中单元杆端抗力向量增量为： ,,T T T d *k f ∆=∆∆+，其中，
T K 为
T T ∆+时刻的单元切线刚度矩阵，,d ∆为对应得单元节点位移增量。

整体坐标系下，结构的增量平衡方程为：
()
T T T T ext F ∆+∆+∆+-+=∆+int T T T T
e F G U *K K σ 其中参依次代表：弹性刚度矩阵、几何刚度矩阵、位移增量、作用在结构节点上的节点力向量、作用在结构上的外载荷的等效节点力向量、杆端抗力向量等。

现假设总外载荷为Ｎ，载荷步为n ，则每步加载载荷为Ｎ／n ，记为Ｐ。

故非线性有限元求解步骤如下：
1、 求解增量方程，得到T 到T T ∆+增量步内的位移增量，转化到T 时
刻的单元坐标系T T T z y x 下的节点位移增量{}zj yj xj j j j zi yi xi i i i w v u w v u θθθθθθ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆，修正节点坐标，利用式（1）形成新的单元长度。

2、
根据上述系列公式计算单元坐标系T T T ∆+∆+∆+T T T z y x 下的节点位移增量,d ∆。

3、 在结构新的位形和内力（几何刚度矩阵只考虑轴力影响，轴力用T
时刻末的杆端轴力）下，形成 T T ∆+时刻单元坐标系T T T ∆+∆+∆+T T T z y x 下的切线刚度矩阵、单元坐标转换矩阵、杆端抗力
向量增量T T i n t f ∆+∆和杆端抗力T T i n t T i n t T T i n t f f f ∆+∆+∆+=、杆端力
T T e x t T T i n t T T f f f ∆+∆+∆++=，
T T ext f ∆+为总外载荷（指非节点载荷）在T T ∆+单元位形上的等效节点力向量。

（单元杆端力，用于计算几何刚度矩阵）
4、 将单元坐标系下的切线刚度矩阵和杆端抗力T T int f ∆+转化到整体坐标
系下得到整体坐标系下的单元切线刚度矩阵K 和整体坐标系下的杆端抗力f 。

5、
对所有单元重复步骤1-4，生成结构切线刚度矩阵∑K 和节点合力∑f 。

6、 计算不平衡力∑-=∆∆+f G p T T ，T T G ∆+为T T ∆+时刻的所有节点外
载荷向量
非线性求解的流程图如下：P P U K T ∆+=∆
参考文章：
万方学位论文：
高墩大跨桥梁几何非线性及稳定性有限元分析。