2020年全国高中数学联赛汇总更新

全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（考试时间：2020年6月27日9：00－11：30，满分150分）一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1、已知复数z 满足-3z z i =-，则z = . 2、设,x y 均为正数，则433x yM x y x=++的最小值为 . 3、设集合{}(,)log log 0a a A x y x y =+>，{}(,)B x y x y a =+<，若A B =∅，则a 的取值范围是 .4、已知等边ABC ∆的边长为1，1()3AP AB AC =+，12AQ AP BC =+，则APQ ∆的面积是 . 5、已知-2,,,aa a a eb ac a 则a ，b ，c 的大小关系是 .6、从1,2,,10中任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率是 .7、若关于x 的方程26xkx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为__________. 8、设数列}{n a 满足1a ＝14，且2*1()n n n a a a n N +=+∈，记2020122020111111T a a a ++++++=，若2020T 的值在区间(,1)k k +内，则整数k 值为．9、已知半径为4的球面上有两点,A B ，AB =，球心为O . 若球面上的动点C 满足二面角C AB O --的大小为060，则四面体OABC 外接球的半径是 .10、已知椭圆2214y x +=，P 为椭圆上的任意一点，过点 P 分别作与1:2l y x =和2:2l y x =-平行的直线交直线21,l l 于,M N 两点，则MN 的最大值是 ． 二、解答题（共6小题，满分80分。

要求写出解题过程）11、（13分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，2cos()2cos 1A C B --=，延长BC 至D ，使 5.BD = （1）求B ∠的大小； （2）求AC CD ⋅的取值范围．12、（13分）某校高二男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小明和小强同一小组，小明、小强投篮投进的概率分别为1P ，2P ．（1）若134P =，223P =，求在第一轮游戏中他们获得“优秀小组”的概率； （2）若1243P P +=，且游戏中小明、小强小组要获得“优秀小组”次数为16次，则理论上上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时1P 、2P 的值．13、（13分）已知数列}{n a 中，125a a ==，且116(2,)n n n a a a n n N *+-=+≥∈．（1）证明：数列{}13n n a a --是等比数列，并求数列}{n a 通项公式； （2）证明：1211112n a a a +++<．14、（13分）如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2. (1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求二面角1B AC D --的正弦值.15、（13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，其短轴长为1e ，双曲线221x y m n-=（0m >，0n >）的渐近线为y =，离心率为2e ，且121e e ⋅=. （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 为椭圆E 的右顶点，3(1,)2P -，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆E 交于M ，N 两点，设HMA ∆的面积为1S ，PHN ∆的面积为2S ，且126S S =，求直线MN 的方程.16、（15分）已知函数()sin ()f x a x a R =∈，().xg x e =（1）若01a <≤，判断()(1)ln F x f x x =-+在(0,1)的单调性； （2）证明：22221111sinsin sin sinln 2().234(1)n N n *+++<∈+ （3）设2()()2(1)G x g x mx x k =--++，其中k 为整数. 对0,0x m ∀><，有()0G x >恒成立，求k 的最小值；2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题参考答案一、填空题1. 已知向量b a ，满足3=-b a ,62=+b a ,9222-=-⋅+b b a a , 则=b . 答案：7解析：由条件，知()()92222-=+⋅-=-⋅+b a b a b b a a ，所以()()b a b a b --+=23()()[]22b a b a --+=()()()()b a b a b a b a -⋅+--++=222227363==，所以=b 7.2. 设()4321，，，=i a i 均为实数，若集合},,,{4321a a a a 的所有非空真子集的元素之和为28，则=+++4321a a a a .答案：4解析：含有元素()4321，，，=i a i 的非空真子集有7个，所以},,,{I 4321a a a a =的所有非空真子集的元素之和为()2874321=+++a a a a ，从而=+++4321a a a a 4.3. 若二次实系数方程20ax bx c ++=有2个虚根12,x x ，且31x R ∈，则2acb= . 答案：1解析：注意21x x =，由()3333311112x R x x x x ∈⇒===()()221211220x x x x x x ⇒-++=()222112212120x x x x x x x x ⇒++=⇒+=2221b c ac b ac a a b ⎛⎫⇒-=⇒=⇒= ⎪⎝⎭.4. 设圆22:5O x y +=与抛物线()2:20C y px p =>交于点()0,2A x ，AB 为圆O 的直径，过B 的直线与C 交于两不同点,DE ，则直线AD 与AE 的斜率之积为 .答案：2解析：可求得点()()1,2,1,2A B --，设()()1122,,,D x y E x y ，则由,,B D E 三点共线可得()12121212222411y y y y y y x x ++=⇒++=++ ()12121212221621124AD AE y y k k x x y y y y --⇒⋅=⋅==--+++. 5. 若实数,x y 满足()322412log 13120x x y y ++=-++=，则x y += . 答案：2-解析：令2s x =-，则241202x sx s ++=⇔=--；令1t y =-，则()32lo g 13120y y -++=⇔2l o g 5t t =--.注意函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称，且函数5y x =--的图像也关于直线y x =对称，而y x =与5y x =--的交点横坐标为52-，所以5s t +=-，从而32x y s t +=++=-.6. 若,x y 为实数，则2,,1x y x y y +-+这三个数中的最大数的最小值是 .答案：12解析：{}()()()()111max 2,,122312231662x y x y y x y x y y x y x y y +-+≥++⋅-+⋅+≥⋅+---+=，当且仅当10,2x y ==-时取到最小值． 7. 四面体ABCD 中，,,2AB BC CD BCBC ⊥⊥=，且异面直线AB 与CD 所成的角为60. 若四面体ABCD ABCD 的体积的最大值为 .答案：解析：考察直三棱柱11ABD ACD -，其中12,60BC ABD =∠=，则四面体ABCD 为满足题设条件的四面体，且四面体ABCD 的外接球与三棱柱11ABD ACD -的外接球相同. 设三棱柱底面三角形1ABD ∆的外接圆半径为r ，则22522BC r r ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭. 1ABD ∆中，由正弦定理，1112sin AD r AD ABD =⇒=∠由余弦定理，22211112cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠⇒221112AB BD AB BD +-⋅=，从而由均值不等式可得112AB BD ⋅≤，所以1111111sin 332ABCD ABD A CD V V AB BD ABD BC -==⋅⋅⋅∠⋅≤，当三棱柱11ABD ACD -为正三棱柱时可取等，故四面体ABCD 的体积的最大值为8. 有长为()20,1,,1009nn =的线段各三条，则由这3030条线段能构成不全等的三角形的个数为 . （用数字作答） 答案：510555解析：（1）若01009i j k ≤<<≤，则1222222i j j j j k ++<+=≤，那么2,2,2i j k 一定不构成三角形； （2）若01009i j ≤<≤，则12222i i i j ++=≤，那么2,2,2i i j 一定不构成三角形；（3）若01009i j ≤<≤，则222,222i j j j j i +>+>，那么2,2,2i j j 一定构成三角形； （4）若01009k ≤≤，则2,2,2k k k 一定构成等边三角形．综合(1),(2),(3),(4)知，构成三角形的只能是()2,2,2i j j i j <或等边三角形，共有210101010510555C +=个．二、解答题9. 设实数[]0,t π∈，若关于x 的方程()cos 1cos x t x +=-有解，求t 的取值范围. 解：原方程等价于1cos cos 222t t x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……………………4分 当t π=时，方程左边等于0，显然无解；当[)0,t π∈时，方程进一步等价于1cos 22cos 2t x t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，注意[]cos 1,12t x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且cos 02t >， 故方程有解当且仅当1012cos2t <≤……………………12分即1cos 122t ≤≤，解得203t π≤≤ .综上，20,3t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.……………………16分10. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线x =有且只有一个交点，点P 为椭圆C 上任一点，()()121,0,1,0P P -，且12PP PP ⋅的最小值为2a. （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线:l ykx m =+与椭圆C 交于不同两点,A B ，点O 为坐标原点，且()12OM OA OB =+，当A O B ∆的面积S 最大时，求22112T MP MP =-的取值范围.解：（1）设点(),P x y，由题意知a =，222:2C x y a +=，则22221211PP PP x y y a ⋅=+-=-+-，当y b =±时，12PP PP ⋅取得最小值，即2212aa b --=，212,22a a a b ⇒-=⇒==C 的22142x y +=；……………………5分（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x mkx m +++-= 2121222424,2121mk m x x x x k k -⇒+=-=++，点O 到直线l的距离d =，1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S 22242m k m =+-即2221m k =+，① ……………10分此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m+==-=-=+=-+=+，即00001,22x mm k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102x y y +=≠， 即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠且点12,P P 为椭圆1C的左、右焦点，即12MP MP +=分 记1t MP =，则)1t ∈+从而()22221111222T MP t t t t MP =-=-=+-322T t '=-， 令0T '≥可得1t ≥，即在T 在)1,1-单调递减，在()1单调递增，且()))131115T TT=-=>=-故T 的取值范围为)3⎡-⎣……………20分11. 已知数列{}n a 满足12211,3,3n n n a a a a a ++===-．（1）求证：()*21n n a a n ++∈N是完全平方数；（2）记2211n n n n n a a b a a ++⎡⎤⎧⎫=⋅⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，求证：20202k k b =∏是整数．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-.） 解：（1）易知38a =，且n a 为整数. 用归纳法证明2211n n n a a a +++=： 奠基：当1n =时，213211189a a a +=+⨯==，成立；假设n k =时，2211k k k a a a +++=，则当1n k =+时，()21312112111313k k k k k k k k a a a a a a a a +++++++++=+-=+-()212221233k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++=-=-=，那么1n k =+也成立；由归纳原理，知2211n n n a a a +++=成立，故21n n a a ++是完全平方数．……………10分（2）由（1）知2121n n n na a a a ++=+，所以()22k k k ab k a +=≥，于是2020202120222021202222324k k a a a a b a a ===∏．……………15分由213n n n a a a ++=-知()2mod 3n n a a +≡-，及()20mod3a ≡，所以20223a ；又12211,3,3n n n a a a a a ++===-，记n b 为n a 除以8的余数，则n b 前六项为1,3,0,5,7,0，由数学归纳法易知n b 为周期数列，所以20228a ；故2021202224a a 是整数，即证．……………20分2020年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2020年6月27日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上）1．已知复数z 满足1z z i -=-，若61z z z ---为正实数，则z =.【答案】22i+【解答】由1z z i -=-知，z 的实部与虚部相等，设z x xi =+，x R ∈.则[]225(1)65511(1)111(1)x xi z z z x xi x xi z z x xi x x ----=-+=+-+=-++--+--+，22225(1)5(1)(1)(1)x xx x i x x x x ⎡⎤-=-++-⎢⎥-+-+⎣⎦由61z z z ---为正实数，知225(1)(1)0(1)x x x x --+>-+，且2250(1)xx x x -=-+，解得2x =.所以，22z i =+.2．已知()3cos()f x x ωϕ=+（0ω>，ϕπ<），若5()08f π=，11()38f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=.【答案】1112π-【解答】由5()08f π=，11(38f π=，得582k ππωϕπ+=+，1128m πωϕπ+=（k ,m Z ∈）.两式相减，得3242m k ππωππ=--，41(2)32m k ω=--，m ，k Z ∈.另由()f x 的最小正周期大于2π，得22ππω>，01ω<<.于是，410(2)132m k <--<，15224m k <-<.由m ，k Z ∈，得21m k -=.因此，23ω=.将23ω=代入1128m πωϕπ+=（m Z ∈），得11212m πϕπ=-（m Z ∈）.结合ϕπ<，得1112πϕ=-.3．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合{}260A x x x =--<，[]{}22350B x x x =--=，则A B =I .【答案】12⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，【解答】易知(23)A =-，，若x A ∈，则[]21012x =--，，，，.当[]2x =-时，若x B ∈，则22650x +-=，x 不存在.当[]1x =-时，若x B ∈，则22350x +-=，1x =±.1x =不符合要求，1x =-符合要求.当[]0x =时，若x B ∈，则22050x --=，2x =±，均不符合要求.当[]1x =时，若x B ∈，则22350x --=，2x =±，均不符合要求.当[]2x =时，若x B ∈，则22650x --=，222x =±.222x =符合要求，222x =-不符合要求.所以，12A B ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，I .4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，当12x ≤≤时，()ln f x x =.若关于x 的方程()10f x ax +-=在[]35x ∈，上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为.【答案】105⎛⎤⎥⎝⎦，【解答】如图，分别作出函数()y f x =与1y ax =-+的图像，其中(01)P ，，1(0)G a，.由图像可知，当15G x a=≥，即105a <≤时，两函数图像在[]35x ∈，上有两个不同的交点.所以，a 的取值范围为105⎛⎤⎥⎝⎦，.（第4题答题图）5．设1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，且120AF AF ⋅=uuu r uuur ，2220F B F A +=uuu r uuu r，则双曲线C 的离心率为.【答案】173【解答】如图，设2AF t =，则依题意有22BF t =，3AB t =，12AF a t =+，122BF a t =+.由120AF AF ⋅=uuu r uuur，知12AF AF ⊥.所以，222121222211AF AF F F AF ABF B⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即222222(2)(2)(2)(3)(22)a t t c a t t a t ⎧++=⎪⎨++=+⎪⎩.解得，23t a =，3c a =.因此，离心率3e =.6．在以凸十八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形与该十八边形无公共边的概率为.【答案】91136【解答】以凸十八边形的顶点为顶点的三角形个数为318C .对于凸十八边形的任意一个顶点A ，要作为与凸边十八形无公共边的三角形的一个顶点，则三角形的另外两个顶点B 、C 不能为顶点A 在凸十八边形中的两条边的另外两个顶点，只能是其它15个顶点中的不相邻的两个顶点，共有21514C -种不同的选取方法.所以，与原凸十八边形无公共边的三角形的个数为215118(14)3C ⨯⨯-.因此，所求的概率为215318118(14)913136C C ⨯⨯-=.（第5题答题图）7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别在棱1AA 、11A D 、11D C 上，E 为1AA 中点，11111113D F D G D A D C ==.记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为m ，则直线m 与平面ABCD 所成角的正切值为.【答案】58【解答】如图，设1A D 、EF 的交点为P .延长GF 、11B A 交于点Q ，则PQ 为平面EFG 与平面11A B CD 的交线为m .不妨设正方体棱长为3，则由11111113D F D G D A D C ==知，112A Q A F ==.作11PH A D ⊥于H ，则1111PH A B C D ⊥平面，连结QH ，则PQH ∠就是直线PQ 与1111A B C D 平面所成的角.设PH x =，则1A H x =，由11PH FH EA FA =，得2322x x -=，67x =.于是，222221162(7QH QA A H =+=+，7QH =.所以，tan 58PH PQH QH ∠==.由1111ABCD A B C D 平面∥平面知，直线PQ 与1111A B C D 平面、ABCD 平面所成角相等.所以，直线m 与平面ABCD 所成角的正切值为35858.8．已知a 、b 、c 、d 为正数，且20202a b c d +=+=，则11a bcd+的最小值为.【答案】4412【解答】由条件知，211201020()2020220c d cd c d +<=⋅⋅≤=.所以，111201120120201441(20)(401)(4012222b a a b a bcd a b a b a b +≥+=++=+≥+=.当且仅当20c d =且2020b a a b =，即221a b ==，1c =，120d =时等号成立.所以，11a bcd +的最小值为4412.（第7题答题图）（第7题图）9．已知实数m 满足：当关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根时，2222()()()a b b c c a ma -+-+-≥总成立，则m 的最大值为.【答案】98【解答】设2222()()()a b b c c a a μ-+-+-=，其中a 、b 、c 为实数，0a ≠.当方程20ax bx c ++=有实根时，设其两根为1x 、2x .由韦达定理知，12b x x a +=-，12c x x a=，于是，222222222212121212221122()()()(1()(1)(1)()(1)2(1)(1)3392.448a b b c c a b b c ca a a a a x x x x x x x x x x x x μ-+-+-==-+-+=+++---+-=++++≥⨯⨯=当且仅当1212x x ==-，即40abc ==≠时等号成立.因此μ的最小值为98.所以，m 的最大值为98.10．设正整数n 为合数，()f n 为n 的最小的三个正约数之和，()g n 为n 的最大的两个正约数之和.若3()()g n f n =，则n 的所有可能值为.【答案】144【解答】解法一：设正整数n 满足条件.显然n 的最小、最大的正约数分别为1，n .设p 是n 的最小素因子，则n 的第二小、第二大的正约数分别为p 、n p.对于n 的第三小的正约数，有以下两类情形：(1)若第三小的正约数为2p ，则2p n ，2()1f n p p =++，()n g n n p=+.由2p n ，知()ng n n p=+为p 的倍数，()0(mod )g n p ≡.又2()11(mod )f n p p p =++≡，3()1(mod )f n p ≡.于是，3()()g n f n ≠，与条件不符.(2)若第三小的正约数是某一素数q (q p >)，则()11(mod )f n p q p q =++≡+，33()(1)(mod )f n p q ≡+.由pq n ，知()ng n n p=+为q 的倍数，()0(mod )g n q ≡.于是，3(1)0(mod )p q +≡.由q 为素数知，1q p +.于是，1p q p <≤+，符合条件的素数p 、q 只有2p =，3q =.又2p =，3q =时，()6f n =，3()2n g n =，由3()()g n f n =，得3362n=，144n =.经验证144n =符合要求.所以，n 的所有可能值为144n =.解法二：若n 是奇数，则n 的正约数都是奇数，由()f n 与()g n 的定义知3()f n 为奇数，()g n 为偶数，故n 不满足条件.因此只需考虑n 是偶数的情况，此时12 、是n 的最小的两个正约数，2nn 、是n 的最大的两个正约数.设d 是n 的第三小的正约数，则()123f n d d =++=+，()322n ng n n =+=×，所以，33(3)2nd ×=+，从而，33(3)30(mod3)2n d d =.于是，3|d ，这样n 的第三小的正约数只能是3.此时()6f n =，故3362n ×=，即144n =.因此，n 的所有可能值为144n =.二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）11．已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2143n n n a a a ++=-（*n N ∈）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项的和，求证：34n T <.【解答】(1)由2143n n n a a a ++=-，得2113()n n n n a a a a +++-=-.又2140a a -=≠，因此，数列{}1n n a a +-为等比数列.所以，1143n n n a a -+-=⨯.………………………………………………5分所以，2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 12314(13)434341123113n n n n -----=⨯+⨯+++=+=⨯--L .又1n =时，112311n a -⨯-==.所以，对一切正整数n ，1231n n a -=⨯-.………………………………………10分(2)由(1)知，11133311()(231)(231)4231231n n n n n n n n n b a a --+===-⨯-⨯-⨯-⨯-.……………………………………………15分所以，1221311311311()()()4123142312314231231n n n n T b b b -=+++=-+-++-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-L L 313(1)42314n =-<⨯- (20)分12．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为12，右焦点F 到直线20x y -+=的距离为，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，T 为直线1A A 、2A B 的交点.当点T的纵坐标为时，求直线l 的方程.【解答】(1)由右焦点(0)F c ，到直线20x y -+=的距离为，知=.结合0c >，得2c =.又椭圆的离心率为12，因此，24a c ==，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.……………5分(2)解法一：如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为2x my =+.由22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)12360m y my ++-=.………①方程①的判别式0>△，①有两个不相等的实根.设11()A x y ，，22()B x y ，，则1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+.设(T t .由1A 、A 、T共线得，110044y t x -=++，即11163(4)64)x t m y y ++==+，由2A 、B 、T共线得，220044y t x --=--，即2224)24)x t m y y --==-.………………………………………………10分于是，1212126612(4)3(4)326)26036y y mt t m m m m y y y y +-+--=+-+=-+⋅=-+⋅=-由此可得，8t =.……………………………………………15分所以，(8T ，直线1AT方程为(4)2y x =+，与椭圆C 的方程2211612x y +=联立得(0A .所以，直线AF 方程即直线l方程为y =+0y +-= (20)分（第12题答题图）解法二：如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为2x my =+.由22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)12360m y my ++-=.……………………………①方程①的判别式0>△，①有两个不相等的实根.设11()A x y ，，22()B x y ，，则1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+.设(T t .由1A 、A 、T共线得，110044y t x --=++，即1114)64x t m y y ++==+.由2A 、B 、T 共线得，22063044y t x --=--，即2224)24x t m y y --==-.联立两式消t，得12628)y y =+，1231y y +=.………………10分所以，1221212()231y y y y y y y +++==，222123623434m y m m --+=++.于是，22634m y m -=+，121834m y m -+=+，………………………………15分代入1223634y y m -=+，得2224(323)(923)36(34)34m m m m ----=++，解得33m =-.所以，直线l方程为23x y =-+，即0y +-=.…………………20分（第12题答题图）解法三：如图，若l x ⊥轴，则(23)A ，，(23)B -，，易得点T 的纵坐标为6，不符合题意.若l 斜率存在，设l 方程为(2)y k x =-，0k ≠.由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=.………………①①的判别式2576(1)0k =+>△，①有两个不相等的实根.设11()A x y ，，22()B x y ，，则21221634k x x k +=+，2122164834k x x k -=+.设(T t .由1A 、A 、T共线得110044y t x -=++，即114)4(2)x t k x ++=-.由2A 、B 、T共线得220044y t x --=--，即224)4(2)x t k x --=-.………………………………………………10分于是，121212121244210()32(4)3(4)(322(2)(2)x x x x x x t t k x x k x x +--++-+--=-⋅=⋅----由22121222164816210()322103203434k k x x x x k k--++-=-⨯+⨯-=++，得(4)3(4)0t t +--=.由此可得，8t =.……………………………………………15分所以，(8T ，直线1AT 方程为3(4)2y x =+，与椭圆C 的方程2211612x y +=联立得(0A .所以，直线AF 方程即直线l方程为y =+0y +-=.………20分（第12题答题图）13．如图，在ABC △中，AB AC <，ABC △的内切圆I 与边BC 、CA 分别切于点D 、E ，连AI 并延长交ABC △的外接圆O 于点N ，连ND 、NO 并延长分别交O e 于点G 、M ，连GE 并延长交O e 于点F .(1)求证：NIG NDI △∽△；(2)求证：MF AC ∥.【证明】(1)如图，连结BN ，BI ，BG .由I 为ABC △的内心知，NBI NBC CBI NAC CBI BAI ABI BIN ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠.所以，NB NI =.………………………………5分又NGB NAB NAC NBD ∠=∠=∠=∠，BNG DNB ∠=∠，所以，NBG NDB △∽△，NB NDNG NB=.因此，NI NDNG NI=.又ING DNI ∠=∠，所以，NIG NDI △∽△.………………………10分(2)连结GA 、GM .由（1）NIG NDI △∽△，得NGI NID ∠=∠.由I 为ABC △的内心，知N 为»BC的中点，MN BC ⊥.又ID BC ⊥，因此ID MN ∥，NID ANM AGM ∠=∠=∠.所以，NGI AGM ∠=∠.于是，90AGI AGM MGI NGI MGI MGN ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.…………………15分又90AEI ∠=︒.所以，A 、G 、I 、E 四点共圆.所以，909090AEG AIG GAI GAN GMN MNG MFG ∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠.所以，MF AC ∥.…………………………………………20分（第13题图）（第13题答题图）14．已知2()(1)1xf x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦，若2()0f x e +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解答】2()(21)(1)1(1)()x x xf x x a e x a x e x x a e '⎡⎤=+-++-+=++⎣⎦.设2()(1)1g x x a x =+-+.①当13a -≤≤时，方程2(1)10x a x +-+=的判别式2(1)40a =--≤△，此时()0g x ≥恒成立，222()()0x f x e g x e e e +=⋅+≥>恒成立.………………………………………………5分②当3a >时，x a <-或1x >-时，()0f x '>；1a x -<<-时，()0f x '<.()f x 在区间(]a -∞-，，[)1-+∞，上为增函数；在[]1a --，上为减函数.当x a ≤-时，2()(1)1()10g x x a x x x a x =+-+=++->，2()0f x e +>成立.当x a >-时，()f x 的最小值为1(1)(3)f a e --=-.由2()0f x e +≥恒成立知，12(3)0a e e --+≥，33a e ≤+.因此，333a e <≤+.………………………………………10分③当1a <-时，1x <-或x a >-时，()0f x '>；1x a -<<-时，()0f x '<.()f x 在区间(]1-∞-，，[)a -+∞，上为增函数；在[]1a --，上为减函数.当1x ≤-时，2()(1)1(1)0g x x a x a x =+-+>->，2()0f x e +>成立.当1x >-时，()f x 的最小值为()f a -.由2()0f x e +≥恒成立知，22()(1)0a f a e a e e --+=++≥.………………15分设2()(1)x h x x e e -=++，则()x h x xe -'=-，1x <-时，()0h x '>.所以，()h x 在(1)-∞-，上为增函数.又(2)0h -=，于是()0h x ≥在(1)-∞-，上的解集为[)21--，.因此，1a <-时，22()(1)0a f a e a e e --+=++≥，的解集为[)21--，.综合①、②、③得323a e -≤≤+.所以，a 的取值范围为323e ⎡⎤-+⎣⎦，.…………………………………20分1315．将一个20202020⨯方格表的每个小方格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格表中的任意一个小方格A ，它所在的行与列的所有小方格中，与A 异色的小方格多于与A 同色的小方格.证明：染色后，方格表中每行、每列两种颜色的小方格一样多.【证明】对黑格与白格分别标记1-和1.对任意i 、j (1i ≤、2020j ≤)，设第i 行各数之和为i s ，第j 列各数之和为j t ，第i 行与第j 列交叉格中的数为ij a ，则位于第i 行或第j 列上的全部数之和为i j ij s t a +-.由条件知，i j ij s t a +-与ij a 异号.……………………………5分所以，()1ij i j ij a s t a +-≤-.又21ij a =，因此()0ij i j a s t +≤，2020202011()0ij i j i j a s t ==+≤∑∑.…………………10分另一方面，202020202020202020202020202020202211111111()0ij i j i ij j ij i j i j i j j i i j a s t s a t a s t ========+=+=+≥∑∑∑∑∑∑∑∑.………15分所以，2020202020202020221111()0ij i j i j i j i j a s t s t ====+=+=∑∑∑∑.因此，对任意的i 、j ，均有0i s =，0j t =.所以，每行、每列中的两种颜色的小方格一样多.……………………………20分。