数值计算方法期末模拟试题二

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《数值计算办法》试题集及参考答案

精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。

答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。

14、求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。

15、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。

数值计算期末试题及答案

数值计算期末试题及答案1. 题目：求方程 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 上的根。

解答：为了求解方程 f(x) = 0 在给定区间上的根，可以使用二分法或者牛顿法等数值方法。

这里我将采用二分法进行求解。

首先，观察方程在区间 [0, 2] 上的图像，可以发现 f(0) = -1，f(2) = 1，即方程在区间 [0, 2] 上存在根。

接下来，我们可以通过二分法逼近此根的位置。

二分法的基本思路是不断将给定区间一分为二，并判断根的位置在前半部分还是后半部分，然后继续在包含根的那一半区间内进行二分，直到达到所需的精确度为止。

具体的二分法迭代过程如下：1. 初始化区间左边界 a = 0，右边界 b = 2，以及精确度 eps。

2. 当 (b - a) > eps 时，执行以下步骤：a. 计算区间中点 c = (a + b) / 2。

b. 如果 f(c) 等于 0 或者在所需的精确度 eps 内，返回 c。

c. 否则，根据 f(c) 和 f(a) 的符号判断根的位置：- 如果 f(c) 和 f(a) 的符号相同，说明根在区间 [c, b] 中，更新 a = c。

- 否则，根在区间 [a, c] 中，更新 b = c。

3. 返回最终得到的近似根 c。

根据上述算法，我们可以得到方程 f(x) = 0 在区间 [0, 2] 上的近似根为c ≈ 1.521。

2. 题目：使用梯形法则计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。

解答：定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现。

其中，梯形法则是一种常用的数值积分方法。

梯形法则的基本思路是将定积分区间划分成多个小梯形，然后计算各个小梯形的面积之和作为近似解。

具体的步骤如下：1. 初始化定积分区间的左边界 a = 0，右边界b = π，以及划分的小梯形数量 n。

2. 计算每个小梯形的宽度 h = (b - a) / n。

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（），c =（）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。

数值计算方法期末试题及答案经过订正

1 0,
1 0.4 1 0.16 0 ,
0.4 1
1 0.4 0.4 0.4 1 0.8 0.296 0 0.4 0.8 1
A 正定
5分
1 0.4 0.4
2D A 0.4 1 0.8
0.4
0.8
1
1 0,
1 0.4 1 0.16 0 ,
0.4 1
1 0.4 0.4 0.4 1 0.8 0.216 0 0.4 0.8 1
2D A 不正定.即 A 和 2D A 不同时正定
8分
故,Jacobi 法发散.
2. 高斯-塞德尔法:由 1 知, A 是实对称正定矩阵,所以 Gauss-Seidel 法收敛.
其迭代格式为
x1(k x2(k
1) 1)
1 0.4 x2(k ) 0.4 x3(k ) 2 0.4 x1(k 1) 0.8 x3(k )
5分
y3 0.1x2 0.9 y2 0.1 0.2 0.9 0.82 0.758
y4 0.1x3 0.9 y3 0.1 0.3 0.9 0.758 0.7122
7分
解：2.建立具体的改进的 Euler 公式:
yp
yn
hf
( xn,
yn )
0.1xn
0.9 yn
yc yn hf ( xn1, y p ) 0.09xn 0.91 yn 0.01
（14 分）
解：1 .建立具体的 Euler 公式:
yn1 yn hf ( xn, yn ) yn 0.1( xn yn ) 0.1xn 0.9 yn 3 分
已知 y0 1 , xn 0.1n , n 0,1,2,3,4 ，则有：
y1 0.1x0 0.9 y0 0.9

数值计算方法期末考精彩试题

标准文档1y21. 已知函数1 x 的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值 .计算题 1.答案% x 1 x 0 1.解x0,1 L x0 11，1% x 2 x 1x 1,2 Lx2，1 2 1因此分段线性插值函数为%x0,1L xx1,2%L111dx4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分x .计算题 4.答案bb af a f bf x dx4 解梯形公式 a211 1[1 11dx2 0应用梯形公式得x1 1 1b f x dxb a[ f a4 f (a b) f b ]辛卜生公式为a6211 1 01 01dx 6 [ f 0 4 f () f 1 ]应用辛卜生公式得x21 [ 1 4 11 ] 25 6 1 011 11362四、证明题（此题10 分）确立以下求积公式中的待定系数，并证明确立后的求积公式拥有 3 次代数精准度h f x dx A 1 f h A 0 f 0 A 1 f hh证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即A 1, A 0, A1，将f x1,x, x 2 分别代入求积公式，并令其左右相等，得A 1 A 0 A 1 2hh( A 1 A 1 ) 0h 2 ( A1A ) 2 h 313A 1 A 1 1 h A 0 4h得3 ， 3 。

所求公式起码有两次代数精准度。

又因为h h h3h h 3x 3dxh 33x 4dxhh 4h4 hh 33hhh fh4f 0hf hf x dx故 h333拥有三次代数精准度。

31, x9f ( x) x 2, x1, x1．设4124f x1 , 9x使知足（1）试求在4 4上的三次 Hermite 插值多项式H ( x j ) f ( x j ), j 0,1,2,... H ' ( x 1 ) f ' (x 1 )x以升幂形式给出。

（2）写出余项 R(x)f ( x) H (x) 的表达式计算题 1.答案x14 x 3 263 x 2 233 x 1 1、（ 1）225450450251 9 51)( x 1)2(x9), ( x) ( 1 , 9)R x2( x（ 2）4!1644 4 43．试确立常数 A ， B ，C 和 a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

数值计算方法期末考试题精选版

数值计算方法期末考试题Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 184.()()120f f <5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X = 用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

数值计算方法试题和答案解析

数值计算方法试题一一、填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。

4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为。

7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。

数值计算方法期末模拟测试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式，则＝（）A ．B ．C ．D ．3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（）A ．＝0，B ．＝0，C ．＝1，D ．＝1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．B ．C ．D ．π()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰A 16131223()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =()00l x ()111l x =()00l x ()111l x =()00l x ()111l x =()0f x =1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩232x x -+=232 1.5 3.5x x -+=2323x x -+=230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则， .2. 一阶均差3. 已知时，科茨系数，那么4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。

5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.TX )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x =3n =()()()33301213,88C C C ===()33C =()420x f x x =-+=[]1,2()0f x =0.1h =()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩211y x =+()1.5f 1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩()()00,0,0X =()1X 3310x x --=[]1,21011dx x +⎰1. 设，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商，则二阶差商3. 设, 则，。

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，取
，
，取初始值，
近似解的梯形公式是
，则＝＝
＝
＝
10、设，当时，必有分解式，其中
L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。

二、计算题（共60 分，每题15分）
1、设
在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满
（1）试求
足H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式
2、
已知的满足，试问如何利用构造一
个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？
3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：
三、证明题
1、设
（1）写出解
的Newton迭代格式
（2）证明此迭代格式是线性收敛的
2、设R=I－CA，如果，证明：
（1）A、C都是非奇异的矩阵
（2）
参考答案：
一、填空题
1、2.3150
2、
3、
4、1.5
5、
6、
7、
8、收敛
9、O（h）
10、
二、计算题
1、1、（1）
（2）
，可得
2、由
因故
故，k=0,1,…收敛。

3、，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的
4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间
上积分，得
，记步长为h,对积分
用Simpson求积公式得
所以得数值解公式：
三、证明题
1、证明：（1）因，故，由Newton 迭代公式：
n=0,1,…
得，n=0,1,…
（2）因迭代函数，而，
又，则
故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵
（2）(2)故则有
（2.1）
因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C
又RA-1=A-1–C，故
由（这里用到了教材98页引理的结论）
移项得
(2.2)
结合（2.1）、(2.2)两式，得。