北京市丰台区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
丰台区2017—2018学年度第一学期期末检测试题高一数学第I 卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接写在答题纸上。
1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}2,2,3,4,5,9B =-，则集合A B =A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．{}2,1,2,3,4,5- 2．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()22f x x x=+，则()1f -= A ．2- B ．2 C ．3- D ．33．已知3,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3sin 5α=-，则tan α= A ．43-B ．43C ．34-D ．344.函数122xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象一定经过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 5．已知函数()()2log 1f x x =+，若()1f a =，则a 等于A ．0B ．1C ．2D ．36.下列各式的值为14的是 A ．sin15cos15B ．212sin 75-C ．22tan 22.51tan 22.5-D ．22cos112π- 7. 下列各函数为偶函数，且在[)+∞,0上是减函数的是A ． 3+=x yB ． x x y +=2C ． x x y =D ． x y -=8．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．109．已知tan1a =，tan 2b =，tan 3c =,则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ． c a b >> 10．当21x x ≠时，有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，则称函数)(x f 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是A. x y =B.x y =C.2x y =D.x y 2log =第II 卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
将答案直接写在答题纸上。
11． 已知函数f (x )＝1,023,0xx x x + ≤⎧⎨->⎩，那么()2f = ． 12．若函数()f x 的定义域是[]0,4，则函数()23f x -的定义域是 ．13．已知集合{}23M x x =-≤≤，{}N x x m =≥，若M N ⊆，则实数m 的取值范围是 ．14．若α是第三象限角，且cos 02α>，则2α是第 象限角．15．已知23sin α,cos β35==-，α,β都是第二象限角，则cos(αβ)+= ．16．某种病毒每经30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x （小时）的函数关系式为 ，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．【来源三、解答题：本大题共6小题，写出必要的文字说明，计算或证明过程。
其中第16题满分10分，第17题到第22题，每题满分12分；共计70分。
将解题过程直接在答题纸上。
17. 已知全集}56|{≤≤-=x x U ，}23|{≤≤-=x x M ，}20|{<<=x x N ． （Ⅰ）求N M ； （Ⅱ）求)(N M C U ．18．已知θθcos 2sin =，求值： （Ⅰ）θθθθcos 2sin 3cos sin 6-+；（Ⅱ） θθθθθ222cos sin 2cos sin 2sin -+．19．已知函数()2f x 2cos2x sin x =+．（Ⅰ）求3πf ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．20．设m 是实数，函数3()31x f x m =--． （Ⅰ）求)(x f 的定义域；（Ⅱ）用定义证明：对于任意实数m ，函数)(x f 在()+∞,0上为增函数．21．已知函数()f x 的定义域为R ，当,x y ∈R 时，恒有()()()f x y f x f y +=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）写出一个具体函数，满足题目条件； （Ⅲ）求证: ()f x 是奇函数．22．已知函数()()log 1a f x x =+，()g()log 1a x x =-，0a >且1a ≠． （Ⅰ）设2a =，函数()f x 的定义域为[]3,63 ，求函数()f x 的值域； （Ⅱ）求使()()0f x g x ->的x 的取值范围．丰台区2015—2016学年度第一学期期末检测试题高一数学参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B CADBADCB C二、填空题11．1 12．37,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．2a ≤- 14．四 15．4x y =，1024三、解答题17．解：（Ⅰ）因为}23|{≤≤-=x x M ，}20|{<<=x x N所以{}23≤≤-=x x N M ……………………….5分 （Ⅱ）因为}56|{≤≤-=x x U ，}23|{≤≤-=x x M ，}20|{<<=x x N所以{}20<<=x x N M ……………………….7分 所以{}52,06)(≤≤≤≤-=x x x N M C U 或 ……………………….10分18．解法1：（Ⅰ）413sin 4cos 13sin 2cos 6cos cos 12cos 2sin 3cos sin 6==-+=-+θθθθθθθθθθ ………………….6分（Ⅱ）78cos 7cos 8cos cos 8cos 4cos 4cos sin 2cos sin 2sin 222222222==-+=-+θθθθθθθθθθθ …………….12分 解法2：（Ⅰ）因为θθcos 2sin =，所以2tan =θ4132tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=-+=-+θθθθθθ ……………………….6分（Ⅱ）781tan 2tan 2tan cos sin 2cos sin 2sin 22222=-+=-+θθθθθθθθ …………….12分19．解：（Ⅰ）3πf ⎛⎫⎪⎝⎭＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14……………………….4分（Ⅱ）()f x ＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )＝3cos 2x －1 ……………………….6分∵x ∈R ， ……………………….7分∴cos x ∈[－1,1]， ……………………….8分∴当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2；当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1. …………….12分20．(I)解：由013≠-x 得，0≠x ，所以)(x f 的定义域是()()+∞∞-,00, ……….4分 (II)任取()+∞∈,0,21x x ，且012>-=∆x x x ,则 ……………………….6分()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∆133212x m x f x f y -)133(1--x m ……………………….7分()()13)13(333133133121221---=---=x x x x x x ……………………….8分由于指数函数xy 3=的定义域在()+∞,1上是增函数，且12x x >所以1233x x >即03312>-x x ， ……………………….9分又因为0,021>>x x ，所以13,1321>>x x，013,,01321>->-x x (10)分所以0>∆y ……………………….11分所以，对于任意实数m ，函数)(x f 在()+∞,0上为增函数． …………….12分 21．解：（Ⅰ）令0x y ==，则 (00)(0)(0)f f f +=+ ………………….2分所以(0f f f =+，所以(0)0f = ………………….3分（Ⅱ）()0f x =或()2f x x =等均可。
………………….6分（Ⅲ）证明：令y x =-，则 ………………….7分()()()f x x f x f x -=+- ………………….8分所以(f f =+………………….9分因为(0)0f = 所以(f x +-………………….10分所以(f x -=………………….11分所以()f x 是奇函数。
………………….12分22．（I ）当2a =时， 2()log (1)f x x =+为增函数 …………….1分 因为 f (x )的定义域为[]3,63所以当1x =时,min 2()(3=log 42f x f ==） …………….3分 当3x =时, max 2()(63)log 646f x f === …………….5分 因此，()f x 的值域为[2,6] …………….6分 (II) ()()0f x g x ->， 即log (1)log (1)a a x x +>- …………….7分 当1a >时，不等式转化为1+01011x x x x >⎧⎪->⎨⎪+>-⎩， 解得：01x <<， 此时，x 的取值范围是(0,1) . …………….9分 当01a <<时，不等式转化为1+01011x x x x >⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：10x -<<， 此时，x 的取值范围是(-1，0).…………….12分 说明：其它解法，参照给分。
2016-2017学年北京市丰台区高一(上)期末数学试卷及答案
2016-2017学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则集合A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．已知向量与的夹角是120°，且||=5，||=4，则•=（）A．20 B．10 C．﹣10 D．﹣203．函数的定义域为（）A．（0，1]B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]4．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=tanx C．D．y=lnx6．用二分法找函数f（x）=2x+3x﹣7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（2，3） D．（2，4）7．已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．ω=C．D．8．为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系表：经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α（0≤α≤π）的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．已知向量=（1，2），=（﹣2，1），则|2+|=．12．（文科）已知α是第二象限且，则tanα的值是．13．已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣1）=．14．已知函数y=a+cosx在区间[0，2π]上有且只有一个零点，则a=．15．设函数如果f（1）=1，那么a的取值范围是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O与y轴负半轴交于点O'，过点O'作与x轴平行的直线AB，射线O'P从O'A出发，绕着点O'逆时针方向旋转至O'B，在旋转的过程中，记∠AO'P=x（0＜x＜π），O'P所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S．（1）如果，那么S=；（2）关于函数S=f（x）的以下两个结论：①对任意，都有；②对任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有．其中正确的结论的序号是．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知向量=（1，3），=（3，x）．（1）如果∥，求实数x的值；（2）如果x=﹣1，求向量与的夹角．18．已知对数函数f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，2）．（1）求实数a的值；（2）如果f（x+1）＜0，求实数x的取值范围．19．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x），φ（x）满足关系φ（x）=f（x）•f（x+α）（其中α是常数）．（1）如果α=1，f（x）=2x﹣1，求函数φ（x）的值域；（2）如果α=，f（x）=sinx，且对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；（3）如果f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），求函数φ（x）的最小正周期（只需写出结论）．2016-2017学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则集合A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】由题意和交集的运算求出A∩B即可．【解答】解：因为集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则集合A∩B={2}，故选A．2．已知向量与的夹角是120°，且||=5，||=4，则•=（）A．20 B．10 C．﹣10 D．﹣20【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积公式解答即可．【解答】解：向量与的夹角是120°，且||=5，||=4，则•=||×||cos120°=5×4×（﹣）=﹣10；故选：C．3．函数的定义域为（）A．（0，1]B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由，解得：x≤1且x≠0．∴函数的定义域为：（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：D．4．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】三角函数值的符号．【分析】直接由点P（sinθ，cosθ）位于第四象限求出sinθ和cosθ的符号，则答案可求．【解答】解：∵点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，∴，∴角θ所在的象限是第二象限．故选：B．5．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=tanx C．D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数的单调性以及奇偶性的定义判断即可．【解答】解：对于A，函数是奇函数且在R递增，正确；对于B，y=tanx，在区（kπ﹣，kπ+）递增，在定义域无单调性，错误；对于C，D，函数不是奇函数，错误；故选：A．6．用二分法找函数f（x）=2x+3x﹣7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（2，3） D．（2，4）【考点】二分法的定义．【分析】求得f（0），f（1），f（4）的值，验证f（0）×f（2）＜0即可．【解答】解：因为f（0）=20+0﹣7=﹣6＜0；f（4）=24+12﹣7＞0；又已知f（2）=22+6﹣7＞0；所以f（0）×f（2）＜0；所以零点在区间（0，2）．故选：B7．已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．ω=C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象求出周期，从而求出ω的值，根据f（）=1，求出φ的值即可．【解答】解：结合图象﹣=1，是个周期，故T=4，故ω==，而y=sin（×+φ）=1，解得：φ=﹣，故选：A．8．为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）的图象，故选：D．9．设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系表：经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由表格求出函数最值和周期，再求出A、K的值，由三角函数的周期公式求出ω的值，将特殊点代入解析式列出方程求出ϕ，可求出函数的解析式．【解答】解：由表格可得：函数的最大值是7.5、最小值是2.5，则A==，k==5，且T=15﹣3=12，又ω＞0，则，解得ω=，则函数f（t）=5+sin（t+ϕ），因为函数图象过点（0，5），所以5+sinϕ=5，则sinϕ=0，即ϕ=kπ（k∈Z），又函数图象过点（3，7.5），所以5+sin（+ϕ）=7.5，则sin（+ϕ）=1，即ϕ=0，所以，故选C．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α（0≤α≤π）的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】以x轴的非负半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈[0，π]，可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）=|cosα|，【解答】解：以x轴的非负半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈[0，π]可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）=|cosα|，故选B．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．已知向量=（1，2），=（﹣2，1），则|2+|=5．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，由此能求出结果．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，1），∴=（0，5），∴|2+|==5．故答案为：5．12．（文科）已知α是第二象限且，则tanα的值是．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】由α为第二象限的角，得到cosα的值小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的平方关系sin2α+cos2α=1，求出cosα的值，再利用同角三角函数间的基本关系tanα=，即可求出tanα的值．【解答】解：∵α是第二象限且，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣．故答案为：﹣13．已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣1）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先由x＞0时，f（x）=2x，求出f（1），再根据f（x）是R上的奇函数，得到答案．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=2x，∴f（1）=2，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故答案为：﹣2．14．已知函数y=a+cosx在区间[0，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【考点】二分法的定义．【分析】作函数y=cosx在区间[0，2π]上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：作函数y=cosx在区间[0，2π]上的图象如图所示，结合图象可知，若y=a+cosx在区间[0，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：115．设函数如果f（1）=1，那么a的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】函数的值．【分析】当a≥1时，f（1）=12=1，成立；当a＜1时，f（1）=12=1，成立．由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵函数，f（1）=1，∴当a≥1时，f（1）=12=1，成立；当a＜1时，f（1）=12=1，成立．∴a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O与y轴负半轴交于点O'，过点O'作与x轴平行的直线AB，射线O'P从O'A出发，绕着点O'逆时针方向旋转至O'B，在旋转的过程中，记∠AO'P=x（0＜x＜π），O'P所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S．（1）如果，那么S=；（2）关于函数S=f（x）的以下两个结论：①对任意，都有；②对任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有．其中正确的结论的序号是①．【考点】扇形面积公式．【分析】（1）由题意，O'P所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S为半个单位圆．（2）①对任意，根据图形可得f（x）+f（π﹣x）刚好为单位圆的面积π，⇒；②依题意可得函数S=f（x）单调增，即可判定．【解答】解：（1）由题意，圆O的半径为1，如果，那么S=π×12=；（2）①对任意，根据图形可得f（x）+f（π﹣x）刚好为单位圆的面积π，∵⇒，故①正确；②依题意可得函数S=f（x）单调增，所以对任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有．错故答案为：①三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知向量=（1，3），=（3，x）．（1）如果∥，求实数x的值；（2）如果x=﹣1，求向量与的夹角．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）由平面向量共线的坐标表示列出方程，解方程求出x的值；（2）根据两向量的数量积为0，即可得出它们的夹角为．【解答】解：（1）向量=（1，3），=（3，x），当∥时，1×x﹣3×3=0，解得x=9；…（2）当x=﹣1时，=（3，﹣1）；…所以•=1×3+3×（﹣1）=0，所以cos＜，＞==0，…因为＜，＞∈[0，π]，…所以与的夹角为．…18．已知对数函数f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，2）．（1）求实数a的值；（2）如果f（x+1）＜0，求实数x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据log a4=2，求出a的值即可；（2）根据函数的单调性问题转化为关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）因为log a4=2，所以a2=4，因为a＞0，所以a=2．（2）因为f（x+1）＜0，也就是log2（x+1）＜0，所以log2（x+1）＜log21，所以，所以﹣1＜x＜0，所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜0}．19．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）根据函数f（x）的解析式计算f（）的值即可；（2）化f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调增区间求出f（x）的增区间．【解答】解：（1）函数，∴=×﹣2×=0；…（2）=…==，…令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，…解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；…所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．…20．已知函数f（x），φ（x）满足关系φ（x）=f（x）•f（x+α）（其中α是常数）．（1）如果α=1，f（x）=2x﹣1，求函数φ（x）的值域；（2）如果α=，f（x）=sinx，且对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；（3）如果f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），求函数φ（x）的最小正周期（只需写出结论）．【考点】抽象函数及其应用；函数的值域．【分析】（1）因为α=1，f（x）=2x﹣1，可得φ（x）=（2x﹣1）（2x+1﹣1）=2•（2x）2﹣3•2x+1，令t=2x（t＞0），所以也就是求函数y=2t2﹣3t+1（t＞0）的值域，利用二次函数的单调性即可得出．（2）因为，f（x）=sinx，可得，因为对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，所以φ（x1），φ（x2）应该分别为函数φ（x）在R上的最小值和最大值，所以|x1﹣x2|的最小值就是函数φ（x）的半周期，即可得出．（3）T=．【解答】解：（1）因为α=1，f（x）=2x﹣1，所以φ（x）=（2x﹣1）（2x+1﹣1）=2•（2x）2﹣3•2x+1，令t=2x（t＞0），所以也就是求函数y=2t2﹣3t+1（t＞0）的值域，所以φ（x）的值域为．…（2）因为，f（x）=sinx，所以，因为对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，所以φ（x1），φ（x2）应该分别为函数φ（x）在R上的最小值和最大值，所以|x1﹣x2|的最小值就是函数φ（x）的半周期，也就是|x1﹣x2|的最小值为．…（3）T=．…。
北京市丰台区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
北京市丰台区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共15小题，共60.0分）1.已知集合，0，，则A. B. C. D. 0，【答案】C【解析】解：；．故选：C．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转弧度，2秒钟后，OP转过的角等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转弧度，秒钟后，OP转过的角等于．故选：A．由任意角的定义可知，OP转过的角为负角，用时间乘以角速度，取负值得答案．本题考查了三角函数的图象与性质、三角公式、弧长公式等知识，是基础题．3.已知，且为第二象限角，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，且为第二象限角，，则，故选：D．由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可求出的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4.已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：幂函数的图象经过点，，解得，此幂函数的解析式为．故选：A．由幂函数的图象经过点，得到，求出，由此能求出此幂函数的解析式．本题考查幂函数的解析式的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知函数：：：；，其中在区间上是增函数的为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析4个函数；对于，则上为减函数，上为增函数；对于，为指数函数，在上为减函数，对于，为对数函数，在上为减函数，对于，为幂函数，在上是增函数；在区间上是增函数的为；故选：D．根据题意，依次分析所给的4个函数在区间上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性．6.A. B. 5 C. D. 13【答案】B【解析】解：原式．故选：B．进行对数式和分数指数幂的运算即可．考查对数式和分数指数幂的运算．7.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】解：假设将函数的图象平移个单位得到：，，应向右平移个单位．故选：B．假设将函数的图象平移个单位得到，根据平移后，求出进而得到答案．本题主要考查三角函数的平移属基础题．8.已知，则A. B. C. D. 3【答案】A【解析】解：，可得，则．故选：A．由同角的商数关系和两角和的正切公式，计算可得所求值．本题考查三角函数的求值，注意运用同角公式和两角和的正切公式，考查化简运算能力，属于基础题．9.在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：角与均以Ox为始边，且它们的终边关于x轴对称，，又，．故选：D．由已知可得，则答案可求．本题考查三角函数的化简求值，考查角的对称性及任意角的三角函数的定义，是基础题．10.已知矩形ABCD中，，，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：由向量的投影的几何意义及图象可知：在方向上的投影为，即．故选：D．由向量的投影的几何意义及图象可知：在方向上的投影为，则可得解．本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算，属简单题．11.如果是函数的零点，且，那么k的值是A. B. C. 0 D. 1【答案】B【解析】解：，函数为增函数，，，满足，则在内函数存在一个零点，即，，，故选：B．判断函数的单调性，利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论．本题主要考查函数零点和方程之间的关系，利用根的存在性定理进行判断是解决本题的关键．12.已知O，A，B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由向量的运算法则可得，，代入已知式子，可得：，可得：，可得：．故选：A．由已知可得，，代入已知式子化简可得．本题考查平面向量基本定理，属基础题．13.函数的图象如图所示，那么不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由图可知，当时，，而，不满足；当时，，，满足；当时，，，满足．综上，不等式的解集为故选：C．对x的范围分类，结合的图象及余弦函数的符号求解．本题考查函数的图象及图象变换，考查不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．14.在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点不在坐标轴上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则面积的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，如图：设P的坐标为，则，，则，即面积的最大值为，故选：C．根据题意，设P的坐标为，由任意角三角函数的定义可得，，进而可得，结合正弦函数的性质分析可得答案．本题考查二倍角公式以及三角函数的最值，关键是将表示面积．15.已知等式，m，成立，那么下列结论：；；；；；．其中不可能成立的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：当时，有，故成立；当，时，有，故成立；当，时，有，此时，故成立．不可能成立的是，有3个．故选：B．利用对数的运算性质结合，m，成立得到m与n的关系，则答案可求．本题考查命题的真假判断与应用，考查对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）16.已知函数，则______【答案】【解析】解：函数，，．故答案为：．推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.______．【答案】【解析】解：．故答案为：将所求式子中的角变形为，然后利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．18.已知函数的图象上两个点的坐标分别为，，则满足条件的一组，的值依次为______，______．【答案】【解析】解：函数的图象上两个点的坐标分别为，，如果是相邻的两个点，，，；由，，解得，；又，；满足条件的一组，的值依次为，．故答案为：，．由题意知，答案不唯一；如果是相邻的两个点，求得T、和的值即可．本题考查了三角函数图象与性质的应用问题，是基础题．19.已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．与x的关系式为______；当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______小时精确到．参考数据：，，，【答案】【解析】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时的比例衰减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为，即y与x的关系式为；当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，令，，，是单调减函数，，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时．故答案为：，．利用指数函数模型求得函数y与x的关系式；根据题意利用指数函数的单调性列不等式求得再次注射该药物的时间不能超过的时间．本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共4小题，共24.0分）20.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，的图象是指数函数图象的一部分如图所示Ⅰ请补全函数图象，并求函数的解析式；Ⅱ写出不等式的解集．【答案】解：Ⅰ补全图象如图所示：当时，的图象是指数函数图象的一部分，当时，可设且，由图象知函数过点，，即．当时，；为偶函数，设，则，当时，．；Ⅱ由图可知，不等式的解集为或．【解析】Ⅰ由偶函数的图象关于y轴对称补全图象；然后求出时指数函数的解析式，在根据奇偶性及的解析式求解的解析式；Ⅱ直接由图象求得不等式的解集．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性的性质及应用，是中档题．21.已知向量，．Ⅰ求的值；Ⅱ求Ⅲ已知，若向量与共线，求k的值．【答案】解：Ⅰ向量，．．Ⅱ，，．Ⅲ，，，，向量与共线，，解得．【解析】Ⅰ利用向量的数量积直接求解．Ⅱ先求出，由此能求出Ⅲ先求出，，再由向量与共线，能求出k．本题考查向量的数量积、向量的模、实数值的求法，考查向量数量积公式、向量坐标运算法则、向量共线等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.已知函数．Ⅰ求的值和的最小正周期；Ⅱ求的单调递增区间．【答案】解：Ⅰ函数，，的最小正周期为．Ⅱ令，求得，故函数的增区间为，．【解析】Ⅰ利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得的值，再利用正弦函数的周期性得出结论．Ⅱ利用正弦函数的单调性得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．23.若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．Ⅰ试判断函数及函数是否有“飘移点”并说明理由；Ⅱ若函数有“飘移点”，求a的取值范围．【答案】本题满分为6分解：Ⅰ函数有“飘移点”，函数没有“飘移点”，分证明如下：设在定义域内有“飘移点”，所以：，即：，解得：，所以函数在定义域内有“飘移点”是0；分设函数有“飘移点”，则，即由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点分Ⅱ函数的定义域是，因为函数有“飘移点”，所以：，即：，化简可得：，可得：，因为，所以：，所以：，分因为当时，方程无解，所以，所以，因为函数的定义域是，所以：，即：，因为，所以，即：，所以当时，函数有“飘移点”分【解析】Ⅰ按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断；Ⅱ由已知可求的定义域是，根据新定义可得，化简可得，由，可得，由，可求，由，解得范围．本题考查了函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题，要注意体会，属于中档题．。
丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习
丰台区高三数学第一学期期末试题（理科）第 3 页 共 11 页
（18）（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x)=x2 ax a2 ln x (a R) ． （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）若 f (x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（19）（本小题共 14 分）
丰台区 2017—2018 学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2018.01
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A {1，0，1}， B {x | x2 1} ，则 A U B
（Ⅱ）解：因为 PA 平面 ABCD ， 所以 PA AB ， PA AD ， 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB AD ．
如图建立直角坐标系 Axyz ，
………………5 分
所以 E( 2 ,0,0) ， F ( 2 ,1,1) ， D(0, 2,0) ，
2
2
所以
②若 (0，4) S ，则 S 中至少有 8 个元素；
③若 (0，0) S ，则 S 中元素的个数一定为偶数；
④若{(x，y) | x y 4，x Z，y Z} S ，则{(x，y) | |x | | y| 4，x Z，y Z} S ．
其中正确命题的个数是
(A) 直线
(B) 圆
(C) 椭圆
(D)双曲线
x y 1， （4）若 x ， y 满足 x y 1，则 z x 2 y 的最大值是
x 0，
(A) 2 (C) 1
北大附中2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题+Word版含答案
第一学期高中新课程模块考试试题（卷）高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
北京市丰台区2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(A卷)Word版含答案
丰区台2017-2018学年度第一学期期中考试联考高一数学（A 卷）考试时间：90分钟第I 卷（选择题共40分）・.选择题共 10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合丄2叭则如养（)A .创 B. {0丄2〕C . {-W )D . {70丄 2}丿=1站］尢2•在同一坐标系中，函数*一「与 -的图象之间的关系是（C . -■A .关于y 轴对称B .关于x 轴对称C.关于原点对称D .关于直线y=x 对称3.下列函数中是偶函数，且在区间（ 0, 1）上单调递增的是（A .孑何=-护+ 2B ./⑴二尹 C4 .下列各式中错误的是（）D .A . 30.8>30.7B . Iogo.50.4>logo.50.6 D .5 .设为常数，函数y(j) = ?-4^+3 y （畫+町为偶函数，则 等于（A .B . C. D .7 •一种放射性元素，每年的衰减率是 8%,那么二千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的-半）所需的时间 :等于（）! 05】0 92 IgO.Slg 193A .B . 1匸C4」一D . lgO.S8.设」是定义在 R 上的奇函数，当 ^卜2』）时，/W-2*-•，贝卜、的值等于（)33 11A .B. 2C.-D .75 B.- C.'或 J 匚； D .或—-229. 设•’「是定义在 R 上的偶函数，且 八丿在 丿为增函数,■ - =0,则不等式"'3的解集为（）10.己知图①中的图象对应的函数为 I -「，则图②的图象对应的函数的解析式为（的图象如右图所示，则函“ '>■:厂（其中•一 ：）A.-一[-1, o I U[l,-bOO IB.-D .A .y = fd^l)B.y=/(-I^D D .丿 一/W)；第U 卷(非选择题共60分)填空题共6小题，每小题4分，共24分.13•函数■-['< '''的定义域为A ,函数V —八「值域为B ,则 u - ___________ .14. 已知函数 〔爪+ "<2,则心&3)=_,15. 已知函数-满足?' ' ' __________ I ,且-'」_ ,则门I =.16. 设全集 -'_…」，用丁的子集可表示由组成的6位字符串，如：」’'表示的 是第2个字符为1,第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的 字符串为000000 . (1 )若1,1- ' 1'，则'''表示6位字符串为 ________________ .(2)若’'',集合二-- 表示的字符串为101001,则满足条件的集合丘的个数为 _______ 个•三•解答题本大题共4小题，共36分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程•17 .(本小题9分)12.已知幕函数的图象经过点，则函数解析式已知全集u=R,集合A={r\-2<r<2}t B = (r|x>l) , C={x\^c](I)求，」；(n)求(川)若，求；的取值范围.18. (本小题9分)已知函数'I(I)用分段函数的形式表示函数"1■■;(n)在坐标系中画出函数丿的图象；g(i)-106i 工(川)在同一坐标系中，再画出函数，的图象(不用列表)，观察图象直接写出不等式■''''：'的解集.19. (本小题9分)已知函数(I)求u 1■-的值;(n)判断函数在一八上的单调性，并用定义加以证明.(川)确定二的取值范围，使得函数的图象在*轴上方.(写出结论即可)KS5UKS5U.KS5U20. （本小题9分）某旅游公司为入境游外国游客提供移动WIFI租赁服务，每台设备押金800元，最多租借30天，丢失或逾期未还押金不退•收费标准如下：租借10天以内（含10 天），按每台每天40元收费（不足一天按一天收费）；租借10天以上的部分采取优惠政策，每多租借1天, 这部分的平均日租费用减少2元，如：租借一台设备12天，则前10天按每天40元收费，后2天的平均日租费用为 1 1：----元，所以后2天按每天36元收费.（I）若某客户租借一台设备X天（1二二-小---"）,写出应收费用y关于x的函数关系式；（H）客户租借一台设备多少天时，该公司所获租借费用最高？最高为多少元？（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上做答无效）KS5UKS5U丰台区2017—2018学年度第一学期期中联考高一数学（A卷）参考答案、选择题（每小题4分，共40 分）1 ^2KS5UKS3US5U]3 4 5 6 7 8 9 10 ABCDBCCBDC12.A''114.18.（本小题9分）fk<0I 2，（n ）略;（川）-19.（本小题9分）解：（I ）因为-... 1分13. 15.二注：16题每空2分 、解答题（共36 分） 17.（本小题9分） 解：（I ）j4UB={r|r>-2}^(JtnB)= ；x|r <lSr>2]16. (1) 100110; (2) 4..... 分 ..... 分..... 分（川）因为■「「所以 :1-1当- = -：时，小 :'>'所以c 的取值范围是解:Z（/（3）*=/ - =3所以• ■…•…£分（n ）函数在 •上单调递减证明：设 n 是|上的任意两个实数，且-（兀）=」〒—二y珂一 1 X. - 1_羽（勺一1）—画（无―1） （巧一1）（西-1） （注1—1）（花-1）由"£（*'，得庞-1啦-l ）＞0， 由% 5，得/两沁,JU k _ JC由单调性的定义可知 J'——I 在 ^上是减函数 (III ) …「：: I ,；<T<10+ S0z- 200r 10 <z^30 y =-2(7-20^ + 600所以当客户租借一台设备20天时，该公司所获租借费用最高，最高为600 丿元。
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期末考试化学试卷(原卷版)
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期末考试化学试卷1. 合金是一类用途广泛的金属材料。
下列物质中，不属于．．．合金的是A. 碳素钢B. 水银C. 青铜D. 黄铜2. 下列物质中，属于非电解质的是A. CO2B. NaOHC. HNO3D. Na2CO33. 下列各组物质，按单质、化合物、混合物顺序排列的是A. 氯水、生石灰、漂白粉B. 液氯、烧碱、氨水C. 生铁、氢氧化铁胶体、空气D. 氮气、盐酸、胆矾4. 下列气体既可以用浓硫酸干燥，又可以用固体氢氧化钠干燥的是A. SO2B. NH3C. Cl2D. O25. 下列各组中物质反应时，反应条件或反应物用量的改变对生成物没有．．影响的是A. 碳与氧气B. 氢氧化钠溶液与二氧化碳C. 钠与氧气D. 氢气与氯气6. 下列关于容量瓶的使用方法中，正确的是A. 使用前要检查是否漏水B. 溶液未经冷却即注入容量瓶中C. 用漏斗向容量瓶中转移溶液D. 可以在容量瓶中直接溶解固体7. 当光束通过下列分散系时，能观察到丁达尔效应的是A. 乙醇溶液B. 硫酸铜溶液C. 蔗糖溶液D. 氢氧化铁胶体8. 下列各组反应，最终一定能得到白色沉淀的是A. 向CaCl2溶液中通入CO2B. 向CuSO4溶液中加入NaOH溶液C. 向FeCl2溶液中加入过量NaOH溶液D. 向MgSO4溶液中加入足量NaOH溶液9. 利用焰色反应，人们在烟花中有意识地加入特定金属元素，使焰火更加绚丽多彩，下列说法中正确的是A. 非金属单质燃烧时火焰均为无色B. NaCl与Na2CO3灼烧时火焰颜色相同C. 焰色反应均应透过蓝色钴玻璃观察D. 只有金属单质灼烧时火焰才有颜色10. 下列解释事实的离子方程式正确的是A. 铁跟稀硝酸反应：Fe+2H+=Fe2++H2↑B. 氯气与水反应：Cl2+H2O=2H++Cl-+ClO-C. NaHCO3溶液与NaOH溶液反应：D. 将钠块投入水中：Na+2H2O=Na++OH-+H2↑11. 浓硫酸有许多重要的性质，在与含有少量水份的蔗糖作用过程中不能．．显示的性质是A. 酸性B. 脱水性C. 强氧化性D. 吸水性12. NaCl、Cl2、NaClO、ClO2、HClO4是按某一规律排列的，下列选项中也完全按照此规律排列的是A. CH4、Na2CO3、C、CO2、NaHCO3B. Na2S、S、SO2、Na2SO3、H2SO4C. FeCl3、Fe、FeCl2、Fe(OH)3、Fe(SCN)3D. NH3、N2、NO、NO2、NaNO313. 下列有关Na2CO3和NaHCO3性质的说法中，正确的是A. 热稳定性：Na2CO3<NaHCO3B. 相同温度下，在水中的溶解度：Na2CO3<NaHCO3C. 等质量的Na2CO3和NaHCO3最多产生CO2的量：Na2CO3<NaHCO3D. 等物质的量的Na2CO3和NaHCO3最多消耗盐酸的量：Na2CO3<NaHCO314. 氯化铁溶液常用做印刷电路时的“腐蚀液”，反应为2FeCl3+Cu=2FeCl2+CuCl2。
2017-2018学年北京市西城区上学期高一年级期末考试数学试卷(解析版)
北京市西城区2017-2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷【三角函数与平面向量】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知sinα<0，且tanα>O，则α的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】的终边在第一或第三象的终边所在的象限是第三象限角．故选C．2. 函数f(x)=sin2x的最小正周期为( )B. πC. 2πD. 4π【答案】B故选B3. 如果向量a=(1，2)，b=(3，4)，那么2a-b=( )A. （-1,0)B. （-1,-2)C. (1,O)D. (1,-2)【答案】A故选A．4. 计算sin（π-α）+ sin（π+α）=( )A. 0B. 1C. 2sinαD. -2sinα【答案】A故选A.5. 如图，在矩形ABCD)【答案】B故选B.6. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b则向量a，b的夹角为( )【答案】D故选D7. 已知m是函数f(x)=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f(m)=( )A. -1B. 0 D. 1【答案】B时，可得故选B．8. y=sin2x的图象( )A. 个单位长度B.C. D.【答案】Cy = sin2x考点：三角函数图像平移9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=( )A. 3B.C. D. 1【答案】B【解析】由题意作轴的垂线，可得：故选B10. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB =1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，( )A. [-1，0]B. 0]C. ，D. [0]【答案】D【解析】所在直线为解得：在线段上时，有最大值为0在线段上时，有最小值，设的范围是[，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上.11.【答案】.12. 已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，若a∥b，则实数x=____________．【答案】-1即答案为：-1．13. 角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（-1，2），则tanθ=___________．【答案】-2∴x=-1，y=2即答案为：-2．14. 函数f(x)=sinx+cosx的最大值为____________．15. 已知点A(0，4)，B(2，0)，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB 是钝角，则t的取值范围是___________________．【答案】(1). (3,-2)(2). (1,3)又由点若解可得的坐标为即答案为(1). (3,-2) (2). (1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．16. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)在区间0）上是增函数；③函数f(x)的最小正周期是2π;④函数f(x)的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④，而故②错误；的最小正周期是故③正确；即对称，故④正确．∴正确结论的序号是①③④．即答案为①③④．三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知αaπ），且(I)求tanα的值；(Ⅱ)【答案】(I)【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得的值．试题解析：(I)所以由(I) ，18. 已知函数(I)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)求f(x)在区间；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(I)见解析；（II）见解析（III【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列表、描点、连线法画出在一个周期上的图象；的单调递增区间．试题解析：(I)f(x)，所以，即时，最大值等于当最小值等于所以在区间上的最大值为，最小值为（的单调递增区间为19. 如图，已知AB⊥BC，BC=a，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B，设∠BAE=θ(θ∈[0，π])．(I)当θ；(Ⅱ)用a，θa，θ【答案】（I（II【解析】试题分析：（Ⅰ）建立平面直角坐标系，根据向量的数量积公式计算即可，（Ⅱ）利用坐标计算得到关于的三角函数，利用三角函数的性质求出最值．试题解析：（I）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.（II）因为，所以以a为变量的二次函数的对称轴，此时.所以，当，时，B卷【学期综合】四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20. 设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(u B)=_____________.21. ___________________．∴函数【答案】(1). 4(2).可得解得舍去）；即答案为(1). 423. 三个数中最大的是____________.24. 某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为________________折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为___________________折（保留一位小数）．【答案】(1). 7.5(2). 6.7【解析】由折，显然三件商品价格一致时折扣最大，设购买3故商品实际折扣力度最大约为即答案为(1). 7.5 (2). 6.7五、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.(I)求a的值；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（I（II）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性求出a的值即可；（Ⅱ）根据函数的单调性的定义证明即可．试题解析：（I）函数的定义域为x都成立，（II）函数上任取，的，，.26. 设a x∈R．(I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．【答案】（I）见解析;（II）的最小值为【解析】试题分析：上，取绝对值，根据二次函数的单调性即可求解在区试题解析：（I，；时， 3.（II）①当上单调递减，在上的最小值为，则函数②当.在上的最小值为所以，当时，的最小值为与.所以，当时，的最小值为的最小值为的最小值为【点睛】本题主要考查函数最值的求解，利用零点分段思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．27. 若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）【答案】（I）见解析;(II) 见解析;（III【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用定义判断函数与T函数”即可；所以，对于一定有即可证明;（Ⅲ）根据中元素的个数最少，以及新定义即可确定．试题解析：（I函数”.对于函数，所以不是“T函数”.(II)设所以，对于是“T函数”，.，不符合题意.，不符合题意.所以（III。
北京市丰台区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={-1，3}，则A∪B=（）A. B. 1，2， C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，2），点B的坐标为（-1，2），则点A的坐标为（）A. B. C. D.4.为了得到函数的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5.下列函数中，既是奇函数又在区间(-1,1)上是增函数的是（）．A. B. C. D.6.已知a=，b=e0.5，c=0.5，其中e≈2.71828，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知，，，则tan（π+α）=（）A. B. C. D.8.则可以近似刻画位移y与时间x的函数关系是（）A. B.C. D.9.已知△ABC中，点D满足，则（）A. 点D不在直线BC上B. 点D在BC的延长线上C. 点D在线段BC上D. 点D在CB的延长线上10.已知函数y=a+sin bx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，则函数y=a|x|-b的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）=______．12.计算=______．13.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若角α的终边与单位圆交于点，，则sinβ=______．14.已知函数f（x）=ax2+bx-1，其中a＞0，b＜0．若x[-a，0]，f（x）的值域为，，则a=______，b=______．15.已知||=，||=1，=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设（m，n R），则=______．16.已知函数（1）若f（1）=3，则实数a=______；（2）若函数y=f（x）-2有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.已知对数函数y=f（x）的图象经过点，．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围．18.已知平面向量=（3，1），=（x，-1）．（Ⅰ）若 ∥，求x的值；（Ⅱ）若 ⊥（-2），求与的夹角．19.已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间，上的最小值，并写出相应x的值．20.已知函数f（x）是R上的增函数，对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n），且f（4）=2．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）对任意x[0，4]，都有f（x）-f（2a-1）＜1，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={1，2，3}，B={-1，3}，则A∪B={-1，1，2，3}．故选：B．根据并集的定义写出A∪B．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由得0＜x≤1，故选：C．偶次根式被开方非负，对数的真数为正数．本题考查了函数的定义域及其求法．属基础题．3.【答案】A【解析】解：设A的坐标为（x，y），则向量=（-1-x，2-y）=（1，2），即，解得，∴点A的坐标为（-2，0）．故选：A．设出A的坐标，根据平面向量的坐标运算列方程组，求出点A的坐标．本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：得到函数的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到．即：y=3sin[2（x-）]=3sin（2x-）．故选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.【答案】B【解析】根据奇函数的定义可得y=tanx在（-1，1）上是奇函数，又y=tanx在（-，）为增函数可得在（-1，1）内也为增函数．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．解：因为区间（-1，1）关于原点对称，且f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），所以y=f（x）=tanx是（-1，1）上的奇函数，又y=tanx在（-1，1）上是递增函数，故选：B．6.【答案】D【解析】解：a=，b=e0.5＞1，c=0.5=（，1），则a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵，，∴cos．∴tan（π+α）=tanα=．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式求得cosα，进一步求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用，是基础题．8.【答案】D【解析】解：根据表格可得函数的最小值为-20，最大值为20，最小正周期为12t0，且x=0时，y最小，故可设y=20sin（ωx-）．∴=12t0，∴ω=，∴y=20sin（x-），故选：D．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由x=0时，y最小，求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由x=0时，y最小，求出φ的值，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，延长AC到E，使C为AE中点，延长BC到D，使C为BD中点，连结AD、BE、DE，∵△ABC中，点D满足，∴2-==，∴△ABC中，点D满足，则点D在BC的延长线上．故选：B．延长AC到E，使C为AE中点，延长BC到D，使C为BD中点，则2-==，从而点D在BC的延长线上．本题考查命题真假的判断，考查向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：根据函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，可得此图象是由y=sinbx的图象向上平移a个单位得到的，由图象可知1＜a＜2，由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，∴＜＜π，解得2＜b＜4．∴当x＜0时，函数y=a|x|-b单调递减，当x＞0时，函数y=a|x|-b单调递增，最小值为1-b（-3，-1），故选：A．先根据正弦函数的图象得到a，b的取值范围，再根据指数函数的图象和性质得到答案．本题考查了正弦函数的图象和指数函数的图象，属于中档题．11.【答案】9【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα（αR），其图象经过点（2，4），∴2α=4，解得α=2，∴f（x）=x2；∴f（3）=32=9．故答案为：9．设出幂函数y=f（x）的解析式，根据其图象经过点（2，4），求函数的解析式，再计算f（3）的值．本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．12.【答案】【解析】解：=．故答案为：．直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可．本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．13.【答案】-【解析】解：角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若角α的终边与单位圆交于点，则sinβ=-sinα=-，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinβ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】2 -1【解析】解：函数f（x）=ax2+bx-1，其中a＞0，b＜0．则：函数的对称轴为：x=-，所以：x[-a，0]为单调递减区间．所以：当x=-a时，f（-a）=9，所以：a（-a）2+b（-a）-1=9①，当x=0时，f（0）=-1=-，解得：a=2，把a=2代入①，解得：b=-1，故答案为：2，-1直接利用二次函数的性质和待定系数法的应用求出结果．本题考查的知识要点：二次函数的性质的应用，待定系数法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.【答案】【解析】解：依题意∠COB=30°，∵=m+n，∴•=m2+n，即||||cos60°=m||2，∴m=||，∵=m+n，∴•=m•+n2，即||||cos30°=n||2，∴n=||，∴==，故答案为：在已知等式两边分别同时乘以向量和．解得m=||，n=||，再相除可得．本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算．属基础题．16.【答案】-2 （-1，+∞）【解析】解：（1）由f（1）=12-a=3得，a=-2；（2）当x＞1时，f（x）=log3 x，由f（x）=2得，log3 x=2，得x=9满足x＞1，当x≤1时，f（x）=x2-ax，因为y=f（x）-2有且仅有两个零点，所以f（x）=2有且仅有两个实根，所以x2-ax-2=0在（-∞，1]上有且仅有一个实根，令g（x）=x2-ax-2，则g（1）＜0，即12-a-2＜0，解得：a＞-1，故答案为：（1）-2，（2）（-1，+∞）（1）直接代入第一段表达式；（2）因为x＞1时y=f（x）-2 有一个零点x=9，故x≤1时，y=g（x）=f（x）-2有且仅有一个零点，结合二次函数图象分析可知g（1）＜0即可．本题考查了函数零点，方程实根的分布．属中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）设f（x）=log a x（其中a＞0且a≠1），……………………（1分）因为函数f（x）的图象经过点，，所以，……………………（2分）解得．……………………（3分）所以函数解析式为．……………………（4分）（Ⅱ）因为f（x）＞1，所以＞，即＞．……………………（6分）因为在（0，+∞）上单调递减，所以＜……………………（7分）因为x＞0，所以，．……………………（8分）【解析】（Ⅰ）可设f（x）=log a x，由函数f（x）的图象经过点，可求a，进而可求函数解析式；（Ⅱ）因为f（x）＞1，结合对数函数的单调性可求x．本题主要考查对数函数解析式的求解，及对数函数的单调性在解不等式中的应用．18.【答案】解：（Ⅰ）∵ ∥，∴x=3×（-1），即x=-3．（Ⅱ）依题意-2=（3-2x，3）．∵ ⊥（-2），∴ •（-2）=0，即3（3-2x）+3=0，解得x=2，∴b=（2，-1）．设向量与的夹角为θ，∴cosθ===．∵θ[0，π]，∴．【解析】（Ⅰ）由∥，利用向量共线定理即可得出．（Ⅱ）依题意-2=（3-2x，3）．由⊥（-2），可得•（-2）=0，解出，再利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．……………………（2分）描点连线画图如下：……………………（4分）（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期T==π．……………………（5分）因为y=sin x的递增区间为，，所以，解得，所以f（x）的单调递增区间为，……………………（7分）（Ⅲ）因为，所以，所以，即，所以f（x）的最小值为，此时．……………………（10分）【解析】（Ⅰ）按5个关键点列表，进而根据五点作图法描点连线画图即可得解．（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式可求f（x）的最小正周期，由，即可解得，可得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）由已知可求，利用正弦函数的图象和性质可求，即可得解．本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）因为对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n），令m=n=2，所以f（4）=f（2）+f（2）=2，解得f（2）=1；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，证明如下：因为f（m+n）=f（m）+f（n）对任意实数m，n都成立，令m=x，n=-x，所以f（0）=f（x）+f（-x）．令m=n=0，所以f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，所以f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅲ）因为对于任意x[0，4]，都有f（x）-f（2a-1）＜1，所以f（x）＜1+f（2a-1），即f（x）＜f（2）+f（2a-1）．又因为f（2）+f（2a-1）=f（2+2a-1）=f（2a+1），所以f（x）＜f（2a+1），因为函数f（x）在R是增函数，所以2a+1＞x．因为任意x[0，4]，都有2a+1＞x成立，所以2a+1＞（x）max，由此得2a+1＞4，即＞，所以a的取值范围是，．【解析】（Ⅰ）可令m=n=2，代入计算可得所求值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，可令m=n=0，求得f（0），再令m=x，n=-x，结合奇偶性的定义，即可得到所求结论；（Ⅲ）由条件和f（2）=1，可得f（x）＜f（2a+1），再由单调性和恒成立思想，可得a的范围．本题考查抽象函数的函数值和性质，注意运用定义法和转化思想，考查方程思想和赋值法，化简整理的运算能力，属于中档题．。
北京师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(含精品解析)
2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（ ）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R 上为奇函数的是（ ）A. B. C. D. f(x)=cosxf(x)=sinxf(x)=e x f(x)=lgx 3.函数的一个对称中心是（ ）f(x)=sin(x ‒π4)A.B. C. D. (π2,0)(π4,0)(‒π4,0)(‒π2,0)4.设全集U =R ，集合，B ={x |ln x ＞0}，则A ∩B =（ ）A ={x|12＜2x ＜8}A. B. C. D. (‒1,+∞)(‒1,3)(1,3)(1,+∞)5.已知a =2log 32，b =log 35，，则（ ）c =(13)0.2A. B. C. D. c <b <aa <b <c b <a <c c <a <b 6.已知，则“”是“”的（ ）π3＜α＜πα=π2sin(α+π6)=32A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数的图象经过怎样的平移可得到函数y =cos3x 的图象（ ）y =cos(3x ‒π4)A.向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位π4π4C.向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位π12π128.设f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有f （x +7）•f （x ）=-1．当0≤x ＜7时，f （x ）=log 2（9-x ），则f （-100）的值为（ ）A. B.C. D. 2‒1212‒2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：=______．log 124+(‒8)2310.当时，函数f （x ）=tan x 的值域为______．x ∈(π3，π2)11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a ＞0，则不等式ax 2+（1-a ）x -1＜0的解集为______．13.若存在x ＞0，使得，则实数a 的取值范围是______．x +2x ‒a ＜014.已知函数y =f （x ）是定义在区间[a ，b ]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0＜b ＜-a ．设函数F （x ）=|f （x ）|-|f （-x ）|，且F （x ）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号）①F （x ）的定义域为[-b ，b ]；②F （x ）是奇函数；③F （x ）的最小值为0；④F （x ）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知，且α∈（0，π）．sinα‒cosα=12（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．sin(α+π4)sin2α+cos2α+116.已知函数．f(x)=sin 2x +3sinxcosx （Ⅰ）求；f(3π4)（Ⅱ）当时，求函数f （x ）的最值及对应x 的值．x ∈[0，π2]17.已知函数的部分图象如图所示，N 为f （x ）图象的一个最f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)高点，M 、Q 为f （x ）图象与x 轴的交点．（Ⅰ）若，，求函数f （x ）的解析式；M(π6，0)N(5π12，3)（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，求A •ω的值．18.某港口的水深y （单位：m ）是时间t （0≤t ≤24，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深表：t 0…3…9…15…y 10…13…7…13…经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y =A sinωt +B 的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A ，ω，B 的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数．f(x)=ln x ‒2x +2（Ⅰ）若f （a ）=1，求a 的值；（Ⅱ）试判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x∈[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t∈[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x 的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．310.【答案】（，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】‒4 3【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】(‒1a，1)【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞22【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，sinα‒cosα=12∴可得：sinα=cosα+，12∵sin 2α+cos 2α=1，∴（cosα+）2+cos 2α=1，可得：8cos 2α+4cosα-3=0，12∴cosα=，‒1±74∵α∈（0，π）．cosα=sinα-∈（-，），121212∴cosα=．7‒14（Ⅱ）∵cosα=，sinα=．7‒147+14∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos 2α-1=-，3474∴===．sin(α+π4)sin2α+cos2α+12(sinα+cosα)sin2α+cos2α+11447‒7414+26【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos 2α+4cosα-3=0，结合范围α∈（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数．f(x)=sin 2x +3sinxcosx 那么=（sin ）2+sin cos ==；f(3π4)3π433π43π412+3×22×(‒22)1‒32（Ⅱ）由函数=cos2x +sin2x =sin （2x -）+，f(x)=sin 2x +3sinxcosx 12‒1232π612∵时，x ∈[0，π2]∴2x -∈[，]，π6‒π65π6∴当2x -=，即x =0时，有最小值为0，π6‒π6当2x -=，即时，有最大值．π6π2x =π332【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x 的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若，，M(π6，0)N(5π12，3)则A =3，=-==，T 45π12π63π12π4即周期T =π，又=π，则ω=2，2πω则f （x ）=3sin （2x +φ），∵f （）=3sin （2×+φ）=3，5π125π12∴sin （+φ）=1，5π6即+φ=+k π，k ∈Z ，5π6π2则φ=-+k π，π3∵|φ|＜，π2∴当k =0时，φ=-，π3则f （x ）=3sin （2x -）．π3（2）由2k π+≤2x -≤2k π+，k ∈Z ，π2π33π2得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z5π1211π12即函数的单调递减区间为，k ∈Z ．[5π12+kπ，11π12+kπ]（Ⅲ）设M ，Q 的中点是P ，若△MNQ 为直角三角形，则AP =MP ，即△MNP 是等腰三角形，则=，即A 2==，(T 4)2+A 2(T 2)2T 24‒T 2163T 216则A =T =，3434⋅2πω则．Aω=32π【解析】（Ⅰ）根据M ，N 的坐标，找出A ，T 之间的关系求出A ，ω和φ的值即可求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A ==3，B ==10．图象过（3，13）即可求解ω．13‒7213+72那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=π6故得：A =3，，B =10．ω=π6（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么水深y ≥11.5，即y =3sin t +10≥11.5，π6∴sin t ≥，π612∵0≤t ≤24，∴1≤t ≤5或13≤t ≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B 的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f （a ）=ln =1，a ‒2a +2即=e ，a ‒2a +2解得a =；2+2e1‒e （Ⅱ）函数f （x ）为奇函数．由＞0，解得x ＞2或x ＜-2，x ‒2x +2故函数f （x ）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f （-x ）=ln =ln =-ln =-f （x ），‒x ‒2‒x +2x +2x ‒2x ‒2x +2故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f （a ）=1，结合对数的定义，解方程可得a 的值；（Ⅱ）函数f （x ）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f （x ）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f （x ）=kx +m （k ≠0），使得H （t ）是R 上的常值函数．事实如下：当f （x ）=kx +m 时，由|f （x ）-f （t ）|≤2，得|kx +m -kt -m |≤2，即|k |•|x -t |≤2，解得t≤x ≤t +，‒2|k|2|k|则a =，b =，‒2|k|2|k|∴H （t ）=a +b =0为R 上的常值函数；（Ⅱ）①由|f （x ）-f （t ）|≤2，得f （t ）-2≤f （x ）≤f （t ）+2，即t 2-2≤x 2≤t 2+2，（*）当时，解（*）得：，此时；1≤t ≤2‒t 2+2≤x ≤t 2+2a ‒b =2t 2+2当＜t ≤2时，解（*）得：，此时．2‒t 2‒2≤x ≤t 2+2a ‒b =t 2+2‒t 2‒2综上，有H （t ）=．{2t 2+2(1≤t ≤2)t 2+2‒t 2‒2(2＜t ≤2)②由函数单调性可得H （t ）∈．[6‒2，2)∪[23，4]∴函数H （t ）的值域为．[6‒2，2)∪[23，4]【解析】（Ⅰ）根据题意，当f （x）=kx+m （k≠0）时，由不等式|f （x ）-f （t ）|≤2可得t ≤x≤t+，则a=，b=，得出H （t ）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f （x ）=x 2且t ∈[1，2]时，不等式|f （x ）-f （t ）|≤2化为|x 2-t 2|≤2，利用不等式的性质求出x 的取值范围，写出函数H （t ）的解析式；②由函数的单调性求解H （t ）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。
2017北京丰台区高一(上)期末数学
2017北京丰台区高一（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则集合A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．（4分）已知向量与的夹角是120°，且||=5，||=4，则•=（）A．20 B．10 C．﹣10 D．﹣203．（4分）函数的定义域为（）A．（0，1]B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]4．（4分）如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=tanx C．D．y=lnx6．（4分）用二分法找函数f（x）=2x+3x﹣7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（2，3） D．（2，4）7．（4分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．ω=C．D．8．（4分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．（4分）设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系表：经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α（0≤α≤π）的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）的图象大致是（）A． B．C．D．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知向量=（1，2），=（﹣2，1），则|2+|=．12．（4分）（文科）已知α是第二象限且，则tanα的值是．13．（4分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣1）=．14．（4分）已知函数y=a+cosx在区间[0，2π]上有且只有一个零点，则a=．15．（4分）设函数如果f（1）=1，那么a的取值范围是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O与y轴负半轴交于点O'，过点O'作与x轴平行的直线AB，射线O'P从O'A出发，绕着点O'逆时针方向旋转至O'B，在旋转的过程中，记∠AO'P=x （0＜x＜π），O'P所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S．（1）如果，那么S=；（2）关于函数S=f（x）的以下两个结论：①对任意，都有；②对任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有．其中正确的结论的序号是．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（8分）已知向量=（1，3），=（3，x）．（1）如果∥，求实数x的值；（2）如果x=﹣1，求向量与的夹角．18．（9分）已知对数函数f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，2）．（1）求实数a的值；（2）如果f（x+1）＜0，求实数x的取值范围．19．（10分）已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间．20．（9分）已知函数f（x），φ（x）满足关系φ（x）=f（x）•f（x+α）（其中α是常数）．（1）如果α=1，f（x）=2x﹣1，求函数φ（x）的值域；（2）如果α=，f（x）=sinx，且对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；（3）如果f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），求函数φ（x）的最小正周期（只需写出结论）．参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】因为集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则集合A∩B={2}，故选A．2．【解答】向量与的夹角是120°，且||=5，||=4，则•=||×||cos120°=5×4×（﹣）=﹣10；故选：C．3．【解答】由，解得：x≤1且x≠0．∴函数的定义域为：（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：D．4．【解答】∵点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，∴，∴角θ所在的象限是第二象限．故选：B．5．【解答】对于A，函数是奇函数且在R递增，正确；对于B，y=tanx，在区（kπ﹣，kπ+）递增，在定义域无单调性，错误；对于C，D，函数不是奇函数，错误；故选：A．6．【解答】因为f（0）=20+0﹣7=﹣6＜0；f（4）=24+12﹣7＞0；又已知f（2）=22+6﹣7＞0；所以f（0）×f（2）＜0；所以零点在区间（0，2）．故选：B7．【解答】结合图象﹣=1，是个周期，故T=4，故ω==，而y=sin（×+φ）=1，解得：φ=﹣，故选：A．8．【解答】将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）的图象，故选：D．9．【解答】由表格可得：函数的最大值是7.5、最小值是2.5，则A==，k==5，且T=15﹣3=12，又ω＞0，则，解得ω=，则函数f（t）=5+sin（t+ϕ），因为函数图象过点（0，5），所以5+sinϕ=5，则sinϕ=0，即ϕ=kπ（k∈Z），又函数图象过点（3，7.5），所以5+sin（+ϕ）=7.5，则sin（+ϕ）=1，即ϕ=0，所以，故选C．10．【解答】以x轴的非负半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈[0，π]可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）=|cosα|，故选B．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．【解答】∵向量=（1，2），=（﹣2，1），∴=（0，5），∴|2+|==5．故答案为：5．12．【解答】∵α是第二象限且，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣．故答案为：﹣13．【解答】∵当x＞0时，f（x）=2x，∴f（1）=2，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故答案为：﹣2．14．【解答】作函数y=cosx在区间[0，2π]上的图象如图所示，结合图象可知，若y=a+cosx在区间[0，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：115．【解答】∵函数，f（1）=1，∴当a≥1时，f（1）=12=1，成立；当a＜1时，f（1）=12=1，成立．∴a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．16．【解答】（1）由题意，圆O的半径为1，如果，那么S=π×12=；（2）①对任意，根据图形可得f（x）+f（π﹣x）刚好为单位圆的面积π，∵⇒，故①正确；②依题意可得函数S=f（x）单调增，所以对任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有．错故答案为：①三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．【解答】（1）向量=（1，3），=（3，x），当∥时，1×x﹣3×3=0，解得x=9；…（3分）（2）当x=﹣1时，=（3，﹣1）；…（4分）所以•=1×3+3×（﹣1）=0，所以cos＜，＞==0，…（6分）因为＜，＞∈[0，π]，…（7分）所以与的夹角为．…（8分）18．【解答】（1）因为log a4=2，所以a2=4，因为a＞0，所以a=2．（2）因为f（x+1）＜0，也就是log2（x+1）＜0，所以log2（x+1）＜log21，所以，所以﹣1＜x＜0，所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜0}．19．【解答】（1）函数，∴=×﹣2×=0；…（3分）（2）=…（5分）==，…（7分）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，…（8分）解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；…（9分）所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．…（10分）20.【解答】（1）因为α=1，f（x）=2x﹣1，所以φ（x）=（2x﹣1）（2x+1﹣1）=2•（2x）2﹣3•2x+1，令t=2x（t＞0），所以也就是求函数y=2t2﹣3t+1（t＞0）的值域，所以φ（x）的值域为．…（3分）（2）因为，f（x）=sinx，所以，因为对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，所以φ（x1），φ（x2）应该分别为函数φ（x）在R上的最小值和最大值，所以|x1﹣x2|的最小值就是函数φ（x）的半周期，也就是|x1﹣x2|的最小值为．…（7分）（3）T=．…（9分）。