3.1线性平稳时间序列的基本概念

Xt j , j n 1, n 2, 无关；
2. at 为白噪声序列。
一阶移动平均MA（1）模型：
Xt at 1at1
其中 {Xt}
数。
为零均值平稳序列，
1
称为移动平均系
基本假设：
1.系at统1 的存响在应线X性t相只关与关其系前；一时刻进入系统的扰动
2. at 为白噪声序列。
m阶移动平均MA（m）模型：
平稳随机过程
（1）纯随机过程-白噪声
随机过程 X (t),t 1, 2, ，如果是由一个不相关
的随机变量序列构成的，即对于所有 s t，随机变
量 Xt 和 X s 的协方差均为零，则称其为纯随机过 程。
对于一个纯随机过程来说，如果其期望和方差均为
常数，则称之为白噪声。白噪声过程的样本实现称 为白噪声序列，简称白噪声（White noise）。
则称其为严平稳过程。
宽平稳过程：对于二阶矩过程 {X (t),t T}，若满
足：
（i) E[X (t)] (常数均值),t T;
（ii）E[(X (t ) )(X (t) )] ( ),
则称其为宽平稳过程， ( ) 为其自协方差函数。
宽平稳过程的例子：
白噪声过程
均值为零且方差为常数的一列独立同分布随机变量
之所以称之为白噪声，是因为它与白光的特性相似，
白光的光谱在各个频率上有相同的强度，白噪声的 谱密度在各个频率上的值相同。
对不具备这种特性的噪声，称之为有色噪声 （Color noise）。
（2）独立增量过程
对于任意正整数n，任意
ti T (i 1, 2, , n,t1 t2 tn)
随机变量
E[at Xt1] 0 ，重要！）。
AR（1）模型与一元线性回归模型的关系
Yi bXi i ,i 1, 2,
AR（1）模型的特例：随机游动（非平稳！）
Xt Xt1 at
注：AR（1）模型要能够描述平稳序列，必须对自回
归系数 1 附件条件（平稳性条件，第4章介绍）。
AR（2）模型：
Xt at 1at1 matm
基本假设：
1.系统的响应 X t 只与 at1,
存在线性相关关系；
2. at 为白噪声序列。
, atm
一个系统，如果它在时刻t的响应 X t 不仅与其以
正态分布，则称之为正态随机过程。
（5）平稳过程
严平稳过程：如果对于时间t的任意n个值 t1,t2, tn ，
和任意实数 ，随机过程 {X (t),t T}的任意n维
分布函数满足关系式
Fn (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn )
Fn (x1, x2, , xn;t1 ,t2 , ,tn ),
X (t2) X (t1), X (t3) X (t2), , X (tn) X (tn1)
相互独立，则称 {X (t),t T} 为独立增量过程。
（3）二阶矩过程 若随机过程 {X (t),t T} ，对每个 t T ，X (t) 的
均值和方差都存在，则称之为二阶矩过程。
（4）正态随机过程 若随机过程 {X (t),t T} 的任意有限维分布都是
DXt DXt
刻画方式（2）自回归模型
Xt 1Xt1 at
动态性（记忆性）：是指系统现在的行为与其历史 行为的相关性。从系统的观点来看，动态性就是指 系统的记忆性。具体来说，就是在某一时刻进入系 统的输入对系统后继行为的影响。
如果该输入只影响系统的下一时刻的行为，而对下
一时刻以后的行为不发生作用，那么系统就有一阶 动态性（或一期记忆性）。依次类推，如果该输入 对系统后继n个时刻的行为都有影响，那么就说该 系统具有n阶动态性。
3.1 线性平稳时间序列的基本概念 3.2 一阶自回归模型 3.3 一般自回归模型 3.4 移动平均模型 3.5 自回归移动平均模型
随机过程（Stochastic Process）：
（1）若对于每一个特定的 t T （T 是一个无穷集合， 称为参数集），X (t) 是一个随机变量，则称这一族无
典型的平稳时间序列模型：
一阶自回归AR(1)模型
Xt 1Xt1 at
其的中依赖{X程t}度为，零称均为值自平回稳归序系列数，，a1t 表为示随X机t扰对动X。t1
AR（1）模型的特点：
1. X t 与 X t1 有直线（线性）相关关系；
2. at 为独立同分布正态序列（白噪声）；
a 3. t 与Xt j , j 2,3, 不相关（事实上，还有
严平稳和宽平稳的关系：
（i）严平稳未必宽平稳 （ii）宽平稳未必严平稳（作业：构造反例！）
（iii）严平稳+二阶矩过程 宽平稳
（iv）对于正态随机过程来说，严平稳 宽平稳
非平稳过程：不具备平稳性的随机过程
自相关性：是指时间序列观测资料相互之间的依存 关系
刻画方式（1）自相关函数
(t)
(t)
Xt 1Xt1 2 Xt2 at
基本假设：
1. X t 只与 Xt1 和 X t2 有线性关系，而在 Xt1 和
Xt2 已知的条件下，X t 与 Xt j , j 3, 4, 无关；
2. at 为白噪声序列。
AR（n）模型：
Xt 1Xt1 2 Xt2 n Xtn at
基本假设：
1. X t 只与 Xt1, Xt2, , Xtn 有线性关系，而在 Xt1, Xt2, , Xtn 已知的条件下，X t 与
穷多个随机变量 {X (t),t T} 是一个随机过程。
（2）设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，如果对于
每一个e S ，我们总可以依某种规则确定一个时间t
的函数 X (e,t),t T 与之对应（T是t的变化范围）。于
是，对于所有的 e S 来说，就得到一族时间t的函数，
我们称这族时间t的函数为随机过程，而族中的每个函 数称为这个随机过程的样本函数（或一次现实、实现）。
系统的动态性（记忆性）如何量化，是时间序列分 析的主要内容。时间序列模型就是系统记忆性的具 体描述，建模过程就是记忆性的量化过程。
例如：某一系统，输入序列为 {Wt} ，输出序列为 { X t }，其记忆性可用下面模型来描述
Xt பைடு நூலகம்0Wt 1Wt1
其中 j ( j 0,1, ) 称为记忆函数，表示 Wt j 对 X t 的影响程度。