第三章 线性平稳时间序列分析(上海财经大学统计学系 )
合集下载
第三章线性平稳时间序列模型资料
纯随机性
(k) 0，k 0
各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆” 的序列
方差齐性(平稳) DX t (0) 2 根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，
用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、
有效的
上一页 下一页 返回本节首页
（三）纯随机性检验
1.检验原理 2.假设条件 3.检验统计量 4.判别原则 5.应用举例
原假设：延迟期数小于或等于 期m 的序列
值之间相互独立
H 0：1 2 m 0,m 1
H
：至少存在某个
1
k
0,m 1，k
m
m
备择假设：延迟期数小于或等于 期的序
列值之间有相关性
上一页 下一页 返回本节首页
3.检验统计量
Q统计量 （大样本）
m
Q n
ˆ
(2)自相关图检验（判断准则）
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相 关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序 列的自相关系数会很快地衰减向零。
若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳 性；
若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间 外面，则该时间序列就不具有平稳性。
严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只 有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而 发生变化时，该序列才能被认为平稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。 它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所 以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序 列的主要性质近似稳定。
返回例题
例1居民消费价格指数自相关图
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，用于研究随时间变化的数据。
它基于一个核心假设，即数据的均值和方差在随时间推移的过程中保持不变。
线性平稳时间序列可以用数学模型来描述，通常使用自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型或自回归滑动平均（ARMA）模型。
这些模型基于该系列在某一时间点的值与该系列在过去时间点的值之间的线性关系。
为了进行线性平稳时间序列分析，首先需要检验数据是否满足平稳性的假设。
常用的检验方法包括ADF检验和单位根检验。
若数据不满足平稳性的假设，则需要通过差分操作将其转化为平稳时间序列。
在得到平稳的时间序列后，可以使用最小二乘法对时间序列进行模型拟合。
通过对数据进行模型拟合，我们可以得到模型的系数以及误差项的信息。
利用这些信息，可以进行时间序列的预测和分析。
在预测方面，线性平稳时间序列分析可以利用过去的观测值来预测未来的值。
预测方法包括简单的移动平均法和指数平滑法，以及更复杂的AR、MA和ARMA模型。
在分析时间序列方面，线性平稳时间序列分析可以通过模型的系数和误差项的信息来揭示数据的特征和规律。
例如，可以用模型的系数来检验是否存在滞后效应，用误差项的信息来检验模型的拟合程度。
总之，线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，可以帮助我们研究随时间变化的数据。
通过对数据进行模型拟合、预测和分析，我们可以揭示数据的特征和规律，从而提供决策支持和预测能力。
线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，它广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
该方法基于数据的均值和方差在时间推移过程中保持不变的假设，旨在研究随时间变化的数据及其内在规律，以便进行预测、决策支持和其他分析。
在线性平稳时间序列分析中，首先需要检验数据是否符合平稳性的假设。
平稳性是指数据的均值和方差不随时间变化而发生显著变化。
为了检验平稳性，在实际应用中常常使用单位根检验或ADF检验等方法。
第3章 线性平稳时间序列分析
此时
EXt1c1 0
中心化：令Yt=Xt- ，Yt即为Xt的中心化序列，
此时有
EYt 0
AR模型平稳性的判别
判别原因
AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的。
判别方法
特征根判别法
AR(1)模型的平稳性条件
Xt c1Xt1t
平稳条件：对应齐次差分方程的特征根在单位圆内
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t )
非齐次线性差分方程的通解 zt
齐次线性差分方程的通解 z
程的特解 z t 之和
分方程
yt yt1t
P33
用递归替代法解差分方程：假设已知y-1和ω的各期
动态乘子(动态乘子为输入ω对输出yt的影响)
yt t 或ytj j
0
t
当0<φ<1，动态乘子按几何方式衰减到零；当-1<φ<0，动 态乘子振荡衰减到零；
当φ>1，动态乘子指数增加；当φ<-1，动态乘子发散性振 荡；
当︱φ︱<1，动态系统稳定，即给定的ω的影响将逐渐消 失；当︱φ︱>1，动态系统发散；当︱φ︱=1，输入变量
MA(1)模型：一阶移动平均模型
如果一个系统在t时刻的响应Xt仅与其前一时刻进入系 统的扰动εt-1存在着一定的相关关系，描述这种关系的 数学模型就是一阶移动平均模型，记作MA(1)，即
Xt t1t 1
为常数，是序列均值；
εt为零均值的白噪声序列； θ为移动平均系数。
MA(q)模型：q阶移动平均模型
X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p t
AR(p) 的自回归系数多项式
时间序列分析总结XXXX06
上海财经大学统计与管理学院王黎明supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife时间序列分析总结平稳性ar1模型的方差上海财经大学统计与管理学院王黎明supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife时间序列分析总结平稳性ar1模型的方差上海财经大学统计与管理学院王黎明supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife时间序列分析总结平稳性arma21模型的格林系数b满足一个迭代上海财经大学统计与管理学院王黎明supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife上海财经大学统计与管理学院16时间序列分析总结supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife上海财经大学统计与管理学院17时间序列分析总结supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife时间序列分析总结可逆性若arma模型可以表示为上海财经大学统计与管理学院王黎明supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife时间序列分析总结逆函数与可逆性上述式子称为逆转形式逆函数上海财经大学统计与管理学院王黎明supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife时间序列分析总结上海财经大学统计与管理学院王黎明supplementaryreadingafterreadingdetailedreadingglobalreadingbeforereadingunitlife时间序列分析总结自
第三章平稳时间序列分析-1
保证最高阶数为p p 0 2 E ( ) 0 , Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t E ( x ) 0, s t 保证残差白噪声 s t
保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ 0=0时，称为中心化AR(p)模型
（较适合低阶AR模型，如1,2阶）
平稳域判别
平稳域—使特征根都在单位圆内的AP(p)的系数 集合，即 {1 ,2 ,, p 特征根都在单位圆内 }
AR(1)模型判断平稳性的条件
xt xt 1 t，即xt xt 1 t
特征根判别
特征方程为 0 特征根为 所以若AR(1)平稳，必有
1 2 1 12 42
2
1 12 42
2
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
例3.1续 平稳性判别 (1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
模 型
(1) (2) (3) (4)
k xt xt k
2、延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘 以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻。 记B为延迟算子，有
xt p B xt , p 1
p
延迟算子的性质：
B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1 ,
非齐次线性差分方程的通解 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方 程的特解之和Zt z z z
t t t
线性差分方程在时间序列分析中很有用，某些时间序列模型及 自协方差或自相关函数本身就是线性差分方程，而线性差分方程 的特征根的性质，对平稳性的判定也很重要。
保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ 0=0时，称为中心化AR(p)模型
（较适合低阶AR模型，如1,2阶）
平稳域判别
平稳域—使特征根都在单位圆内的AP(p)的系数 集合，即 {1 ,2 ,, p 特征根都在单位圆内 }
AR(1)模型判断平稳性的条件
xt xt 1 t，即xt xt 1 t
特征根判别
特征方程为 0 特征根为 所以若AR(1)平稳，必有
1 2 1 12 42
2
1 12 42
2
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
例3.1续 平稳性判别 (1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
模 型
(1) (2) (3) (4)
k xt xt k
2、延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘 以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻。 记B为延迟算子，有
xt p B xt , p 1
p
延迟算子的性质：
B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1 ,
非齐次线性差分方程的通解 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方 程的特解之和Zt z z z
t t t
线性差分方程在时间序列分析中很有用，某些时间序列模型及 自协方差或自相关函数本身就是线性差分方程，而线性差分方程 的特征根的性质，对平稳性的判定也很重要。
《平稳时间序列》课件
市场波动
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
第3章平稳时间序列分析
Byt yt1 B(Byt ) B( yt1 ) yt2
记为 B2 yt yt2 。一般地，对任意整数 k，定义
Bk yt ytk
（二）延迟算子的性质
1. B0 1, Bc c 2. B(c xt ) c B( xt ) c xt1, c为任意常数 3. B( xt yt ) xt1 yt1
4 x=x(-1)-0.5x(-2)+u
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
（3）生成非平稳序列 xt = -1.1xt-1+ ut, ut IID(0, 1) 的 Eviews程序:
smpl @first @last series u=nrnd smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=-1.1*x(-1)+u
xt xs
yt ys
所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。
AR模型的算子表示： 令 (B) 1 1B 2B2 pB p 则 AR( p) 模型可表示为
(B)xt t
（二）AR模型平稳性判别
1. 判别原因： 要拟合一个平稳序列，用来拟合的模型显然 也应该是平稳的。 AR 模型是常用的平稳序列的 拟合模型之一，但并非所有的 AR 模型都是平稳 的 ，而非平稳的AR模型在实际应用中是没有意义 的。
4. (Bm Bn )xt Bm xt Bn xt xtm xtn
5. Bm Bn xt BnBm xt Bmn xt xtmn
n
6. (1 B)n (1)nCni Bi i0
7. B[ B xt ] B[ B xt ]
记为 B2 yt yt2 。一般地，对任意整数 k，定义
Bk yt ytk
（二）延迟算子的性质
1. B0 1, Bc c 2. B(c xt ) c B( xt ) c xt1, c为任意常数 3. B( xt yt ) xt1 yt1
4 x=x(-1)-0.5x(-2)+u
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
（3）生成非平稳序列 xt = -1.1xt-1+ ut, ut IID(0, 1) 的 Eviews程序:
smpl @first @last series u=nrnd smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=-1.1*x(-1)+u
xt xs
yt ys
所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。
AR模型的算子表示： 令 (B) 1 1B 2B2 pB p 则 AR( p) 模型可表示为
(B)xt t
（二）AR模型平稳性判别
1. 判别原因： 要拟合一个平稳序列，用来拟合的模型显然 也应该是平稳的。 AR 模型是常用的平稳序列的 拟合模型之一，但并非所有的 AR 模型都是平稳 的 ，而非平稳的AR模型在实际应用中是没有意义 的。
4. (Bm Bn )xt Bm xt Bn xt xtm xtn
5. Bm Bn xt BnBm xt Bmn xt xtmn
n
6. (1 B)n (1)nCni Bi i0
7. B[ B xt ] B[ B xt ]
第三章 线性平稳时间序列分析
上海财经大学 统计与管理学院 5
λ + α1λ
p 1
+ + α p = 0
特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt = c1λ1t + + c p λ p 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有复根 这时齐次线性差分方程的解为
j
j k
根据 Cauchy 不等式,我们可以得到
G j G j k ≤ ∑ G 2 ∑ G 2k ∑ j j j =∞ j =∞ j =∞
∞ ∞ ∞
12
<∞
所以级数
j =∞
∑GG
j∞Leabharlann j k收敛,故 { X t } 为平稳序列.
上海财经大学 统计与管理学院
10
,
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
1 j =1
(3.8)
其中
1 G 1 ( B ) = I ( B) = 1 ∑ I j B j j =1 ∞
(3.9)
称将 X t 变换为 ε t 的线性算子:
I ( B ) = ∑ I j B j , I 0 = 1
j =0
∞
为逆函数 逆函数,称(3.8)为 X t 的逆转形式 逆转形式,也称为无穷阶自回归. 逆函数 逆转形式
j =0 ∞
便于使用的条件是: 便于使用的条件是:
∑ Gj < ∞
∞
j =0
(3.7)
上海财经大学 统计与管理学院 13
在理论研究和实际问题的处理时, 通常还需要用 t 时刻及 t 时刻以前的 X t j ( j = 0,1, ) 来表示白噪声 ε t ,即
λ + α1λ
p 1
+ + α p = 0
特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt = c1λ1t + + c p λ p 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有复根 这时齐次线性差分方程的解为
j
j k
根据 Cauchy 不等式,我们可以得到
G j G j k ≤ ∑ G 2 ∑ G 2k ∑ j j j =∞ j =∞ j =∞
∞ ∞ ∞
12
<∞
所以级数
j =∞
∑GG
j∞Leabharlann j k收敛,故 { X t } 为平稳序列.
上海财经大学 统计与管理学院
10
,
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
1 j =1
(3.8)
其中
1 G 1 ( B ) = I ( B) = 1 ∑ I j B j j =1 ∞
(3.9)
称将 X t 变换为 ε t 的线性算子:
I ( B ) = ∑ I j B j , I 0 = 1
j =0
∞
为逆函数 逆函数,称(3.8)为 X t 的逆转形式 逆转形式,也称为无穷阶自回归. 逆函数 逆转形式
j =0 ∞
便于使用的条件是: 便于使用的条件是:
∑ Gj < ∞
∞
j =0
(3.7)
上海财经大学 统计与管理学院 13
在理论研究和实际问题的处理时, 通常还需要用 t 时刻及 t 时刻以前的 X t j ( j = 0,1, ) 来表示白噪声 ε t ,即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海财经大学 统计学系
1
§3.1 线性过程
• 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出 相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线 性差分方程，这些工具会使得时间序列模 型表达和分析更为简洁和方便，下面是延 迟算子的概念。 • 设 B 为一步延迟算子，如果当前序列乘以 一个延迟算子，就表示把当前序列值的时 间向过去拨一个时刻，即 BX t X t 1 。
上海财经大学 统计学系
7
3.1.1线性过程的定义
上海财经大学 统计学系
8
• 定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳 序列，且 G 是均方收敛的。
j j t j
上海财经大学 统计学系
9
• 下面证明序列{ X t , t Z } 是平稳的，容易计 算 EX G E 0
• 在应用时间序列分析去解决实际问题时， 所使用的线性过程是因果性的，即：
上海财经大学 统计学系
12
• 设 B 为一步延迟算子， B j X t X t j ， j 0 ，(3.4)可表为： 则
G( B) G j B j ，今后将把 G (B)看作对 t 其中，
进行运算的算子，又可作为 论。
上海财经大学 统计学系
5
• 特征根1 , 2 ,, p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt c11t c p p • 特征根 1 , 2 ,, p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为
t t zt c1 c2t 2 cd t d 1 1t cd 1d 1 c p p
75
上海财经大学 统计学系
76
上海财经大学 统计学系
77
上海财经大学 统计学系
78
上海财经大学 统计学系
79
上海财经大学 统计学系
80
上海财经大学 统计学系
81
上海财经大学 统计学系
82
上海财经大学 统计学系
83
上海财经大学 统计学系
84
上海财经大学 统计学系
85
上海财经大学 统计学系
上海财经大学 统计学系
2
• 延迟算子B 有如下性质：
上海财经大学 统计学系
3
t
• 定义如下形式方程为序列{zt : t 0, 1, 2,} z 的线性差分方程：t 1 zt 1 p zt p h t h 其中 p 1， 1 , , p 为实数， t 为 t 的已 知函数。 • 特别地，当函数 h t 0 时，差分方程：
t
t
t
( B)
t
1 B
j 1 j
p
t
部分分式展开得到 X
t
1
1 B
j j 1
p
t
j 1
p
kj 1 j B
t
其中 k1 , , k p 为任意实数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上海财经大学 统计学系
37
上海财经大学 统计学系
38
§3.3 移动平均过程MA(q)
19
在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性 的条件是对应的特征方程 0 的根的绝对值必须小于1，即满足 1 。 对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
上海财经大学 统计学系
20
上海财经大学 统计学系
21
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)： • 引入延迟算子 B 的表达形式为：
55
3.4.2 模型的因果性和格(Green)函数
上海财经大学 统计学系
56
对于零均值的模型，则ARMA(p,q)模型 ( B) X t ( B) t可表示为：
G 由部分分式展开，(B)可表为
G ( B) 1 ( B)( B) G j B j
j 0
比较两边B的同次幂系数，得到：
86
上海财经大学 统计学系
87
• 3.5.2偏自相关系数及其特征 在对前面平稳时间序列的分析中，我们看 到对于MA(q)过程，其自相关系数具有q阶 截尾性，由此我们可以通过计算序列的自 相关系数大致判断出模型的阶数。但是， 对于平稳的自回归模型AR(p)来说，由于 自相关系数不具有截尾性，因此我们无法 利用序列的自相关系数来判断模型的阶数， 我们希望找到一种类似地系数，使得对自 回归模型AR(p)来说也具有截尾性。
zt 1 zt 1 p zt p 0
称为齐次线性差分方程。否则，线性差分 方程称为非齐次线性差分方程。
上海财经大学 统计学系
4
下列方程：
1
p
p 1
p 0
称为齐次线性差分方程的特征方程。这是 一个一元p次线性方程，它至少存在p个非 零根，称这p个非零根为特征根，记 为 1 , 2 , , p 。 根据特征根 1 , 2 ,, p 的情况，齐次线性 差分方程解的解有如下情形：
t
k EX t X t k
E G j t j Gl t k l l j
j
j
t j
2
j
GG
j
j k
上海财经大学 统计学系
10
上海财经大学 统计学系
11
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
• 3.3.1一阶移动平均过程MA(1)
上海财经大学 统计学系
39
• 图3.2为一个零均值的MA(1)序列200个模拟 数据。
上海财经大学 统计学系
40
上海财经大学 统计学系
41
• 类似于自回归模型的平稳性讨论，与移动 平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。 对于零均值的MA(1)序列
X t t t 1
上海财经大学 统计学系
j 0
B 的函数来讨
13
在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用 t时刻及t时刻以前的 X t j ( j 0,1,) 来表示白噪声 t ，即
上海财经大学 统计学系
14
上海财经大学 统计学系
15
上海财经大学 统计学系
16
§3.2 自回归过程AR(p)
• 上节中所讨论的线性过程及其逆转形式都 是无穷和的形式，当用有限和去逼近时即 产生有限参数线性模型，而且许多平稳序 列本身就是由有限参数线性模型刻画的。 有限参数线性模型是时间序列分析中理论 最基础、应用最广泛的部分。如下将讨论 AR、MA和ARMA三种有限参数线性模型。
68
• 例3.10 求ARMA(2,1)模型的逆函数。
上海财经大学 统计学系
69
上海财经大学 统计学系
70
上海财经大学 统计学系
71
上海财经大学 统计学系
72
上海财经大学 统计学系
73
§3.5 自相关系数与偏相关系数
• 3.5.1自相关系数及其特征
上海财经大学 统计学系
74
上海财经大学 统计学系
上海财经大学 统计学系
25
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
,
1 2
2
1 1, 2 1
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角 形区域，见下图阴影部分。
上海财经大学 统计学系
26
上海财经大学 统计学系
27
上海财经大学 统计学系
28
X • 例3.2 设AR(2)模型：t 0.7 X t 1 0.1X t 2 t 试判别 X t 的平稳性。 解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
上海财经大学 统计学系
29
上海财经大学 统计学系
30
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
上海财经大学 统计学系
31
3.2.3 p阶自回归过程AR(p)模型
上海财经大学 统计学系
32
上海财经大学 统计学系
33
• 首先，求对应齐次差分方程 ( B) X t 0 的通解 X t 。 p 1 p 1 p 0 假定其对应特征方程 的p个特征根为1 , 2 ,, p ，根据前面的讨 论，一般地，这p个特征根可能有如下情形：
上海财经大学 统计学系
34
上海财经大学 统计学系
35
•
再求非齐次差分方程 ( B) X t t 的一个 特解 X t 。
上海财经大学 统计学系
36
• 由此，自回归系数多项式可以写为 p
( B ) 1 j B
j 1
因此，我们可以得到非齐次差分方程( B) X 的一个特解 X 1 1
• 特征根1 , 2 ,, p中有复根 这时齐次线性差分方程的解为 t t
zt c11 c p p
t r t c1eit c2eit c33t c p p
上海财经大学 统计学系
6
• 对于非齐次线性差分方程解的问题，通常 分下下列两个步骤进行：首先求出对应齐 次线性差分方程的通解 z t ，然后再求出该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt ，即 zt z 满足： t 1 zt1 p zt p h t • 则非齐次线性差分方程zt 1 zt 1 p zt p h t 的解为对应齐次线性差分方程的解 zt 和该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt 之和， 即 zt zt zt
上海财经大学 统计学系
22
上海财经大学 统计学系
1
§3.1 线性过程
• 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出 相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线 性差分方程，这些工具会使得时间序列模 型表达和分析更为简洁和方便，下面是延 迟算子的概念。 • 设 B 为一步延迟算子，如果当前序列乘以 一个延迟算子，就表示把当前序列值的时 间向过去拨一个时刻，即 BX t X t 1 。
上海财经大学 统计学系
7
3.1.1线性过程的定义
上海财经大学 统计学系
8
• 定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳 序列，且 G 是均方收敛的。
j j t j
上海财经大学 统计学系
9
• 下面证明序列{ X t , t Z } 是平稳的，容易计 算 EX G E 0
• 在应用时间序列分析去解决实际问题时， 所使用的线性过程是因果性的，即：
上海财经大学 统计学系
12
• 设 B 为一步延迟算子， B j X t X t j ， j 0 ，(3.4)可表为： 则
G( B) G j B j ，今后将把 G (B)看作对 t 其中，
进行运算的算子，又可作为 论。
上海财经大学 统计学系
5
• 特征根1 , 2 ,, p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt c11t c p p • 特征根 1 , 2 ,, p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为
t t zt c1 c2t 2 cd t d 1 1t cd 1d 1 c p p
75
上海财经大学 统计学系
76
上海财经大学 统计学系
77
上海财经大学 统计学系
78
上海财经大学 统计学系
79
上海财经大学 统计学系
80
上海财经大学 统计学系
81
上海财经大学 统计学系
82
上海财经大学 统计学系
83
上海财经大学 统计学系
84
上海财经大学 统计学系
85
上海财经大学 统计学系
上海财经大学 统计学系
2
• 延迟算子B 有如下性质：
上海财经大学 统计学系
3
t
• 定义如下形式方程为序列{zt : t 0, 1, 2,} z 的线性差分方程：t 1 zt 1 p zt p h t h 其中 p 1， 1 , , p 为实数， t 为 t 的已 知函数。 • 特别地，当函数 h t 0 时，差分方程：
t
t
t
( B)
t
1 B
j 1 j
p
t
部分分式展开得到 X
t
1
1 B
j j 1
p
t
j 1
p
kj 1 j B
t
其中 k1 , , k p 为任意实数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上海财经大学 统计学系
37
上海财经大学 统计学系
38
§3.3 移动平均过程MA(q)
19
在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性 的条件是对应的特征方程 0 的根的绝对值必须小于1，即满足 1 。 对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
上海财经大学 统计学系
20
上海财经大学 统计学系
21
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)： • 引入延迟算子 B 的表达形式为：
55
3.4.2 模型的因果性和格(Green)函数
上海财经大学 统计学系
56
对于零均值的模型，则ARMA(p,q)模型 ( B) X t ( B) t可表示为：
G 由部分分式展开，(B)可表为
G ( B) 1 ( B)( B) G j B j
j 0
比较两边B的同次幂系数，得到：
86
上海财经大学 统计学系
87
• 3.5.2偏自相关系数及其特征 在对前面平稳时间序列的分析中，我们看 到对于MA(q)过程，其自相关系数具有q阶 截尾性，由此我们可以通过计算序列的自 相关系数大致判断出模型的阶数。但是， 对于平稳的自回归模型AR(p)来说，由于 自相关系数不具有截尾性，因此我们无法 利用序列的自相关系数来判断模型的阶数， 我们希望找到一种类似地系数，使得对自 回归模型AR(p)来说也具有截尾性。
zt 1 zt 1 p zt p 0
称为齐次线性差分方程。否则，线性差分 方程称为非齐次线性差分方程。
上海财经大学 统计学系
4
下列方程：
1
p
p 1
p 0
称为齐次线性差分方程的特征方程。这是 一个一元p次线性方程，它至少存在p个非 零根，称这p个非零根为特征根，记 为 1 , 2 , , p 。 根据特征根 1 , 2 ,, p 的情况，齐次线性 差分方程解的解有如下情形：
t
k EX t X t k
E G j t j Gl t k l l j
j
j
t j
2
j
GG
j
j k
上海财经大学 统计学系
10
上海财经大学 统计学系
11
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
• 3.3.1一阶移动平均过程MA(1)
上海财经大学 统计学系
39
• 图3.2为一个零均值的MA(1)序列200个模拟 数据。
上海财经大学 统计学系
40
上海财经大学 统计学系
41
• 类似于自回归模型的平稳性讨论，与移动 平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。 对于零均值的MA(1)序列
X t t t 1
上海财经大学 统计学系
j 0
B 的函数来讨
13
在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用 t时刻及t时刻以前的 X t j ( j 0,1,) 来表示白噪声 t ，即
上海财经大学 统计学系
14
上海财经大学 统计学系
15
上海财经大学 统计学系
16
§3.2 自回归过程AR(p)
• 上节中所讨论的线性过程及其逆转形式都 是无穷和的形式，当用有限和去逼近时即 产生有限参数线性模型，而且许多平稳序 列本身就是由有限参数线性模型刻画的。 有限参数线性模型是时间序列分析中理论 最基础、应用最广泛的部分。如下将讨论 AR、MA和ARMA三种有限参数线性模型。
68
• 例3.10 求ARMA(2,1)模型的逆函数。
上海财经大学 统计学系
69
上海财经大学 统计学系
70
上海财经大学 统计学系
71
上海财经大学 统计学系
72
上海财经大学 统计学系
73
§3.5 自相关系数与偏相关系数
• 3.5.1自相关系数及其特征
上海财经大学 统计学系
74
上海财经大学 统计学系
上海财经大学 统计学系
25
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
,
1 2
2
1 1, 2 1
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角 形区域，见下图阴影部分。
上海财经大学 统计学系
26
上海财经大学 统计学系
27
上海财经大学 统计学系
28
X • 例3.2 设AR(2)模型：t 0.7 X t 1 0.1X t 2 t 试判别 X t 的平稳性。 解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
上海财经大学 统计学系
29
上海财经大学 统计学系
30
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
上海财经大学 统计学系
31
3.2.3 p阶自回归过程AR(p)模型
上海财经大学 统计学系
32
上海财经大学 统计学系
33
• 首先，求对应齐次差分方程 ( B) X t 0 的通解 X t 。 p 1 p 1 p 0 假定其对应特征方程 的p个特征根为1 , 2 ,, p ，根据前面的讨 论，一般地，这p个特征根可能有如下情形：
上海财经大学 统计学系
34
上海财经大学 统计学系
35
•
再求非齐次差分方程 ( B) X t t 的一个 特解 X t 。
上海财经大学 统计学系
36
• 由此，自回归系数多项式可以写为 p
( B ) 1 j B
j 1
因此，我们可以得到非齐次差分方程( B) X 的一个特解 X 1 1
• 特征根1 , 2 ,, p中有复根 这时齐次线性差分方程的解为 t t
zt c11 c p p
t r t c1eit c2eit c33t c p p
上海财经大学 统计学系
6
• 对于非齐次线性差分方程解的问题，通常 分下下列两个步骤进行：首先求出对应齐 次线性差分方程的通解 z t ，然后再求出该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt ，即 zt z 满足： t 1 zt1 p zt p h t • 则非齐次线性差分方程zt 1 zt 1 p zt p h t 的解为对应齐次线性差分方程的解 zt 和该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt 之和， 即 zt zt zt
上海财经大学 统计学系
22
上海财经大学 统计学系