平稳性和非平稳时间序列分析

奖级
中奖条件 红球 蓝球
说明
单注奖金
一等奖
●●● ●●●
●
当奖池资金低于 1亿元时，奖金 总额为当期高等 选6+1中6+1 奖奖金的70%与 奖池中累积的奖 金之和。
---------时间序列的动态特性 时间序列模型：时间序列各观测值之间的关系。
从系统的观点来看，某一时刻进入系统的输入 对系统后继行为的影响
(k ) (0) (0)
自相关系数 (k )随着延迟期数的增加，会迅速 衰减到零
13
一个时间序列的样本自相关系数（自相关函数）定义为：
rk
X
t 1
nk
t n
X X t k X
t
X
t 1
X
k 1,2,3,
2
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但 从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。
只需讨论相关函数
55
AR(1)模型的平稳性
2 D zt (0) 12
56
1则 k 有界
57
AR(2)模型的平稳性
k 有界
离散时间动态系统的BIBO稳定条件
58
AR(n)模型的平稳性
y n 1 y n 1 2 y n 2 n y 0 c
47
48
AR模型的平稳性 MA模型的平稳性 ARMA模型的平稳性
49
AR(1)模型的平稳性
上述序列是随机差分方程的一个平稳解
50
AR(1)模型的平稳性
E zt E(at at 1 at 2 at j ) 0
2 j
2 D zt 1 2 j 2 , 1 2 1
22
23
回归分析 regression analysis

研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1，X2，…，Xk)变 量的相依关系的统计分析方法。 相关分析研究的是现象之间是否相关、相关的方向和密切程度， 一般不区别自变量或因变量。 回归分析则确定其因果关系，用数学模型来表现其具体关系。 相关分析 “质量”和“用户满意度”变量密切相关， 到底是哪个变量受哪个变量的影响，影响程度如何，回归分析。
与t无关，与 有关的有限值
60
ARMA(p,q)模型的平稳性条件
51
AR(1)模型的平稳性
cov( zt , zt ) E zt mt zt mt E zt zt
E (at at 1 j at j )(at at 1 j at j )
•
宽平稳时间序列（week stationary）—指序列的 统计性质只要保证序列的二阶矩平稳就能保证序 列的主要性质近似稳定。
5
时间序列的平稳性定义
如果在任取时间 t 、 s 和 k 时，时间序列 X t 满足如下三个条件：
EXt2
EX t
E( X t t )( X s s ) E( X k k )( X k st k st )
27
随机游走（random walk）过程： Xt=Xt-1+t，t是一个白噪声
容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为 X0，则易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 …… Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
rk
1
rk
1
0
k
0
k
(a) (b) 图 9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
14
纯随机性检验
如果序列值彼此之间没有任何相关性，过去的行为对未 来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序 列。 从统计分析角度，纯随机序列是没有任何分析价值的序 列。
15
16
标准正态分布白噪声序列Xt
t 1 j t j

类似
阶数增加，越来越复杂!
53
一般情况？
cov( zt , zt ) E zt mt zt mt E zt zt
E (at 1at 1 j at j )(at 1at 1 j at j )
1 (k ) ~ N (0, ) n
k
E ( X t t )( X t k t k ) DX t DX t k
(k ) (0) (0)
k为延迟期数， n为样本观察期数 19

彩票分析案例
双色球投注分为红球和蓝球，红球号码 范围为01～33，蓝球号码范围为01～16， 每期开出6个红球和1个蓝球作为中奖号 码。 双色球玩法即是竞猜开奖号码的6个 红球号码和1个蓝球号码，顺序不限：
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在股票随机游走模型中，收益率序列是白噪声。致命错误: 认为一种金融资产收益率的方差是不随时间改变的， 由此也决定了定价理论与现实市场之间的偏差。 曼德尔布罗特发现收益率的分布是尖峰胖尾的，呈现长期相 关性。据此提出了股票价格的“诺亚效应” 和“约瑟效应” 。 “诺亚效应”是指股票价格偶尔会发生不连续、突发性的大 跳跃，并且在一个大跳跃后面常跟着一个大跳跃，在一个小跳 跃后面常跟着一个小跳跃，金融学中的波动集群现象。 “约瑟效应”是指股票价格存在长期持续与非周期的循环现 象。像圣经里约瑟故事中粮食生产一样，七年丰收，跟着七年 饥馑。这导致收益存在长期相关性。
4 3 2
白噪声
1 0 -1 -2 -3 -4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
时间
17
白噪声序列具有三个重要的性质：
常数均值
EX t
纯随机性（无记忆） r (t , s) 0
方差齐性(平稳)
r ( s, s ) 2
18
E (at at 1 )(at at 1 at 1at 1 )
(1 2 4 ) 2 2, 12 1
平稳性条件
52
AR(2)模诺贝尔经济学奖授予美国经济学家罗伯 特•恩格尔
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2010年17卷第二期《广西科学》 发表了广西科学院研究员严少敏和吴光的 《用随机漫步模型拟合1850年至2009年的全球气温变化》论文
随机游走过程
34
随机游走过程
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36
37
38
39
40
41
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43
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自回归模型autoregressive model

利用前期若干时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻 随机变量的线性回归模型。
25
26
方程 Xt=Xt-1+at， at是一个白噪声 1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的， 表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，因此是非 平稳的。 2)只有当-1<<1时，该随机过程才是平稳的。
只要括号内的量为有限值， cov( zt , zt )
也为有限值，且与t无关
54
一般情况？
只需得到 cov( zt , zt ) 为有限值即可，即 cov( zt , zt ) 存在
cov( zt , zt ) E zt zt mt mt mt mt
10
非平稳时间序列时序图
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
IN VGM
11
平稳时间序列
4
2
0
-2
-4 200 400 600 Z2 800 1000
12
平稳序列通常具有短期相关性
(k )
E ( X t t )( X t k t k ) DX t DX t k
•平稳性检验
实际的时间序列数据往往是非平稳的。 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”——经济学。两 个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性情况。 GDP每年都增长和旁边的树每年都长高
3
4
平稳性检验
平稳时间序列有两种定义:
• 严平稳时间序列（strictly stationary）—指序列 所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变 化。
E (at 1at 1 q at q )(as 1as 1 q as q ) E (at 1at 1 q at q )(at 1at 1 q at q )
平稳时间序列分析
1
时间序列
指被观察到的依时间为序排列的数据序列。 时间序列背后是某一现象的变化规律。
时间序列分析
根据系统的有限长度的运行记录（观察数据），建 立能够比较精确地反映序列中所包含的动态依存关系 的数学模型，并借以对系统的未来进行预报。
2
时间序列的预处理
•随机性检验
序列值彼此之间有无相关性
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•曼德尔布罗特的工作启发了两类时间序列分析方法的发展。其 中之一，是恩格尔的ARCH(自动递减条件下的异方差性)模型 ARCH模型的基本思想:某一时刻噪声是服从正态分布。其均 值为零，方差是随时间变化的量，是过去有限项噪声值平方的 线性组合(即为自回归)。 可以看出，由于现在时刻噪声的方差是过去有限项噪声值平 方的回归，也就是说噪声的波动具有一定的记忆性。如果在以 前时刻噪声的方差变大，那么此刻噪声的方差往往也跟着变大。 翻译到金融市场:如果前一阶段资产价格波动变大，那么在此 刻市场资产价格波动也往往较大，反之亦然。这就是ARCH模 型具有的波动集群特性。 ARCH模型族比较准确地刻画了金融 市场风险的变化过程。因此受到金融界的欢迎。