2021年高考数学第一轮专题复习- 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

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2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系教学案含解析新人教A版

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识梳理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言 a ∥ba ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.[常用结论与微点提醒]1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.( )解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(新教材必修第二册P147例1改编)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，则异面直线AC 和BC 1所成角的余弦值是( ) A.8525B.455C.855D.4525解析如图，连接AD 1，CD 1，则∠D 1AC (或其补角)就是异面直线AC 和BC 1所成的角，易知AC ＝5，AD 1＝25，CD 1＝13，由余弦定理得cos ∠D 1AC ＝AD 21＋AC 2－CD 212AD 1·AC ＝8525.答案 A3.(老教材必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG ＝90°，故四边形EFGH为矩形.答案 B4.(2019·贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面或相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案 D5. (2020·重庆一中月考)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.答案 D6.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析法一对于选项B ，如图(1)所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .因此A 项中直线AB 与平面MNQ 不平行.图(1) 图(2)法二对于选项A ，其中O 为BC 的中点(如图(2)所示)，连接OQ ，则OQ ∥AB ，因为OQ 与平面MNQ 有交点，所以AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行.答案 A考点一平面的基本性质及应用【例1】已知空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三直线FH ，EG ，AC 共点. 证明 (1)连接EF ，GH ，如图所示，∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .又CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E ，F ，G ，H 四点共面.(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG .∴FH ，EG ，AC 共点.规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【训练1】如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.(1)证明：四边形BCHG 为平行四边形； (2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD ，又BC 綉12AD ，所以GH 綉BC .所以四边形BCHG 为平行四边形.(2)解 C ，D ，E ，F 四点共面.理由如下：因为BE 綉12AF ，G 为FA 的中点，所以BE 綉FG .所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG 綉CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面. 又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面. 考点二空间两直线位置关系的判定【例2】 (1)(一题多解)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)在图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形的序号是________(填上所有正确答案的序号).解析 (1)法一由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交.若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾.故l 至少与l 1，l 2中的一条相交.法二如图(1)，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图(2)，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确.(2)图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，N ∉GH ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，G ∉MN ，因此GH 与MN 异面.所以在图②④中，GH 与MN 异面. 答案 (1)D (2)②④规律方法 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线. 其中正确的结论为________(填序号).解析直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误. 答案 ③④考点三异面直线所成的角【例3】 (1)(2019·湘潭二模)已知四棱锥P －ABCD 的底面边长都为2，PA ＝PC ＝23，PB ＝PD ，且∠DAB ＝60°，M 是PC 的中点，则异面直线MB 与AP 所成的角为______.(2)(2020·安阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，过O 点作一条直线l 与A 1D 平行，设直线l 与直线OC 1的夹角为θ，则cos θ＝________. 解析 (1)如图，连接AC 与BD ，相交于点N ，连接MN ，则MN ∥PA ，所以∠NMB (或∠NMB 的补角)为异面直线MB 与AP 所成的角，在△MNB 中，由题意得NB ＝1，MN ＝3，BN ⊥MN ，则tan ∠NMB ＝NBMN ＝33，∴∠NMB ＝30°，故答案为30°.(2)如图所示，设正方体的表面ABB 1A 1的中心为P ，容易证明OP ∥A 1D ，所以直线l 即为直线OP ，角θ即∠POC 1.设正方体的棱长为2，则OP ＝12A 1D ＝2， OC 1＝6，PC 1＝6，则cos ∠POC 1＝2＋6－62×2×6＝123＝36.答案 (1)30° (2)36规律方法用平移法求异面直线所成角的一般步骤： (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.【训练3】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.56C.55D.22解析法一如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角.因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD＝——12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.法二以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D (0，0，0)，A (1，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(1，1，3)，所以AD 1→＝(－1，0，3)，DB 1→＝(1，1，3).则cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.答案 C赢得高分立体几何中的截面问题用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面.截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出现.【典例】 (2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B.233C.324D.32解析如图，依题意，平面α与棱BA ，BC ，BB 1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB 1C 符合题意，进而所有平行于平面AB 1C 的平面均符合题意.由对称性，知过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ .正六边形EFGHIJ 的边长为22，将该正六边形分成6个边长为22的正三角形.故其面积为6×34×⎝⎛⎭⎪⎫222＝334.答案 A思维升华作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理.【训练】已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是______.解析如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝3sin 60°×23＝3，AO1＝AD2－DO21＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝3＋4－2×3×2cos 30°＝1，∴OE＝O1E2＋OO21＝2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为22－（2）2＝2，面积为2π.答案2πA级基础巩固一、选择题1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )A.①B.①④C.②③D.③④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.答案 B2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.答案 C3.(2020·福州月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.答案 C4.下列命题中正确的个数为( )①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；④若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；⑤空间中不共面的五个点一定能确定10个平面.A.1B.2C.3D.4解析①将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；②当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故不正确；在③中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P，Q，R三点共线，故③正确；在④中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面内，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，故这些直线共面，故④正确；在⑤中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故⑤错.答案 C5.在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.答案 A二、填空题6.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条.解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条.答案 67.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角.因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.答案 28.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE 与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________.解析还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.易知GH与EF异面，BD与MN异面.又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.答案②③④三、解答题9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綉DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形.又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.故D1，H，O三点共线.10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求直线A1C1与EF所成角的大小.解(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B 1CA ＝60°.即直线A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.即直线A 1C 1与EF 所成的角为90°.B 级能力提升11.平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32B.22C.33D.13解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1 ＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1， ∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小.又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)， ∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A. 答案 A12.(2019·江西百所名校模拟)已知△ABC 的边长都为2，在边AB 上任取一点D ，沿CD 将△BCD 折起，使平面BCD ⊥平面ACD .在平面BCD 内过点B 作BP ⊥平面ACD ，垂足为P ，那么随着点D 的变化，点P 的轨迹长度为( ) A.π6B.π3C.2π3D.π解析由题意知，平面BCD ⊥平面ACD ，且BP ⊥平面ACD ，那么随着点D 的变化，BP ⊥CD 始终成立，可得在平面ABC 中，BP ⊥CP 始终成立，即得点P 的轨迹是以BC 为直径的圆的一部分，由题知随着点D 的变化，∠BCD 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，可得点P 的轨迹是以BC 为直径的圆的13，即得点P 的轨迹长度为13×2π×1＝2π3.答案 C13.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________.解析如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF .因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 答案 12或3214.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值. 解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE 2＋EM 2＝MD 2， ∴△DEM 为直角三角形，且∠DEM ＝90°， ∴tan∠EMD ＝DE EM＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63. C 级创新猜想15.(多选题)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折的过程中，下列命题正确的是( )A.BM 是定值B.点M 在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE解析取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE ，由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值；因为B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球面上，可得A ，B 正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 且MF ∩BF ＝F 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，故D 正确；A 1C 在平面ABCD 中的投影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，所以DE 与A 1C 也不垂直，故C 不正确.答案 ABD。

2021年高考数学第一轮专题复习-直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥

．如图正三棱锥中，底面边长为，在侧棱上截取，在侧棱上截取，过作棱柱的截面，（1）求证：截面侧面；（2）求截面与底面所成的角。
∴ ．
∵平面平面，∴ 平面，
∵ ∴ ，∴ 平面，
∵ 平面，∴平面平面，
即二面角是直二面角．
解(2)作，为垂足，则．∴ 是二面角的平面角．在中，，则
由，得
＝＝，
∴所求正切为＝．
(3)∵ ∴ 分别是的中点．
∴ ，．
∵ ＝＝，．
∴ ，∴几何体的侧面积
五．课后作业：
在中，斜高；
例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；（3）求到平面的距离。
解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面与平面的交线，∵ //平面
(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱长、底面边长和斜高(见图)。
解：（1）作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则，，在与中，＝＝ (其中为与底面所成的角，设为 ) 故。
（2）在中，侧棱 = ，，
∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，
第81课时：第九章直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥
课题：棱柱、棱锥
一．复习目标：
了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。
二．知识要点：
1．叫棱柱
2．正棱柱的性质有
3．叫正棱锥
4．正棱锥的性质有

高三数学第一轮复习：空间直线与平面知识精讲

高三数学第一轮复习：空间直线与平面【本讲主要内容】空间直线与平面空间直线与直线间关系、直线与平面间关系、平面与平面间关系【知识掌握】【知识点精析】（一）平面的基本性质和空间的两条直线1. 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图3）推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（如图4）．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图5）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图6）说明：公理1是研究直线与平面的关系，公理2是研究平面与平面的关系，公理3及三个推论是研究有关确定平面的条件. 公理中的“有且只有一个”的含义是“既存在且唯一”．2. 空间中两条直线位置关系平行——在同一平面内，没有公共点；相交——在同一平面内，有且仅有一个公共点；异面——不同在任何一个平面内．公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．说明：公理4反映了平行线的传递性，它是证明等角定理的基础，也是论证平行问题的主要依据之一．3. 异面直线的判定及异面直线构成的角与距离（1）异面直线的判定方法主要有：①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；②定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．（2）求两条异面直线所成的角的一般步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使它们成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中的某一条上的特殊点．②求相交直线所构成的锐角（或直角，）通常在三角形中，计算这个角的大小．（3）异面直线间的距离是指它们的公垂线的长度. 公垂线的确定方法：既相交又垂直．（二）空间的直线与平面1. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内；（2）直线与平面平行；（3）直线与平面相交；相关概念——直线与平面所成的角①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．②直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．③直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°的角．2. 直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．a∥α，a⊂β,α∩β=b⇒ a∥b 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．即：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒ a∥α.3. 直线和平面垂直的判定与性质（1）直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：a⊂α，b⊂α，且a,b相交，l⊥a, l⊥b⇒ l⊥α．（2）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．（3）三垂线定理及逆定理：在平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线的射影垂直．即：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，a⊂α，a⊥AO⇔a ⊥PO．注：三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（三）空间的平面与平面1. 平面与平面的位置关系：（1）平行——没有公共点；（2）相交——有且仅有一条公共直线.2. 平面和平面平行的性质与判定（1）判定两个平面平行的方法：①根据定义——证明两平面没有公共点；②判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；③证明两平面同垂直于一条直线。

2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定及其性质含解析

第4节直线、平面平行的判定及其性质考试要求1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。

知识梳理1.直线与平面平行(1）直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行。

（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α,a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行,则过这条a∥α，a⊂β，α∩β直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行＝b⇒a∥b2。

平面与平面平行（1）平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α,b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于α∥β，a⊂α⇒a∥β理另一个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3。

与垂直相关的平行的判定(1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β。

[常用结论与易错提醒］1.平行关系的转化2。

平面与平面平行的六个性质(1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

(2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

(4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.（5）如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.(6）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊断自测1.判断下列说法的正误。

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（)（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条。

浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定及其性质含解析

第4节直线、平面平行的判定及其性质考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[常用结论与易错提醒]1.平行关系的转化2.平面与平面平行的六个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误. 答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A. 答案 A3.下列命题中正确的是( )A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.答案 D4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC 的位置关系为________.解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案平行5.用一个截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以是________(把你认为可能的结果都填上).解析由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形.答案矩形或梯形6.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线.(1)若α∥γ，β∥γ，则α与β的关系是________；(2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α与β的关系是________.解析(1)由α∥γ，β∥γ⇒α∥β.(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β.答案(1)平行(2)平行考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断【例1】(1)(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面(2)(一题多解)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析(1)若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.(2)法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确.图(1) 图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.答案(1)B (2)A规律方法(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 (1)(2020·杭州质检)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m ，n ，若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则“α∥β”是“m ∥n ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析 (1)可知当“α∥β”时有“m ∥n ”，反之，不一定成立，则“α∥β”是“m ∥n ”的充分不必要条件，故选A.(2)①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.答案 (1)A (2)②考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积. (1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綉AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM＝13×S △BCM ×PA 2＝453. 角度2 直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.(1)证明因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面ABCD 内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，PO ⊂平面PBD . 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高. 由AB ＝8，EB ＝2及EK ∥AD ，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3. 故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK ＝4＋82×3＝18.规律方法 (1)判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用反证法(线面平行的定义)；②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； ③利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； ④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【训练2】在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD .证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 的中点，∴BC 綉AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点，又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，又FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，又PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ， ∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，又∵AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面PAD . 考点三面面平行的判定与性质变式迁移【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，则GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面. (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1綉AB ， ∴A 1G 綉EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .【变式迁移1】如图，在本例条件下，若点D 为BC 1的中点，求证：HD ∥平面A 1B 1BA .证明如图所示，连接A 1B .∵D 为BC 1的中点，H 为A 1C 1的中点，∴HD ∥A 1B ，又HD ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ， ∴HD ∥平面A 1B 1BA .【变式迁移2】在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC的值.解连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1.又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1. 规律方法 (1)判定面面平行的主要方法 ①利用面面平行的判定定理.②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). (2)面面平行的性质定理①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面. ②若一平面与两平行平面相交，则交线平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【训练3】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC . 证明 (1)因为EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF ，如图①，连接DE .因为AE ＝EC ，D 为AC 的中点，图①所以DE ⊥AC .同理可得BD ⊥AC . 又BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDEF . 因为FB ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥FB .(2)如图②，设FC 的中点为I ，连接GI ，HI .图②在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.基础巩固题组一、选择题1.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.答案 A2.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B3.有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 A4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，又MN∩NP＝N.∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，NP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错.答案 B6.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中错误的是( ) A.AC ⊥BD B.AC ∥截面PQMN C.AC ＝BDD.异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确.又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确. 答案 C 二、填空题7.在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则MN 与平面ABD 的位置关系是________；与平面ABC 的位置关系是________. 解析如图，取CD 的中点E .连接AE ，BE ，由于M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，所以AE ，BE 分别过M ，N ，则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，即EM ∶MA ＝EN ∶BN ，所以MN ∥AB .因为AB ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以MN ∥平面ABD ， MN ∥平面ABC .答案平行平行8.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面PAD 的位置关系为________.解析取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，在△PCD 中，EF 綉12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ， ∴EF 綉AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.答案平行9.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为__________.解析若m⊂α，n∥α，则m，n可能平行或异面，①错误；若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，②正确；若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β，③错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或相交，④错误，则真命题个数为1.答案 110.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，易知平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)三、解答题11.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.解(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .12.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，M 为边AD 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ABB 1.证明在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有B 1C 1∥BC 且B 1C 1＝BC ，又M 为边AD 的中点，所以BC ∥AM ，即B 1C 1∥AM ，又AD ＝2BC ，所以BC ＝AM ，即B 1C 1＝AM ，所以四边形B 1C 1MA 为平行四边形，则C 1M ∥B 1A ，又B 1A ⊂平面AA 1B 1B ，C 1M ⊄平面AA 1B 1B ，所以C 1M ∥平面AA 1B 1B .能力提升题组13.给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1D.0解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γ l ⊂αα∩γ＝n ⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.答案 C14.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过EF 的平面与棱BB 1，DD 1分别交于点G ，H .设BG ＝x ，x ∈[0，1]. ①四边形EGFH 一定是菱形；②AC ∥平面EGFH ；③四边形EGFH 的面积S＝f (x )在区间[0，1]上具有单调性；④四棱锥A －EGFH 的体积为定值.以上结论正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1解析由正方体的性质易得D 1H ＝BG ＝x ，则四边形A 1D 1HE 、四边形ABGE 、四边形CBGF 、四边形C 1D 1HF 为四个全等的直角梯形，则HE ＝EG ＝GF ＝FH ，即四边形EGFH 为菱形，①正确；因为AC ∥EF ，EF ⊂平面EGFH ，AC ⊄平面EGFH ，所以AC ∥平面EGFH ，②正确；在线段DD 1上取DM ＝x ，则易得△HMG 为直角三角形，且HM ＝1－2x ，则GH ＝HM 2＋GM 2＝（1－2x ）2＋2，则菱形EGFH 的面积S ＝f (x )＝12EF ·GH ＝22（1－2x ）2＋2，易得其在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递增，在[0，1]上不具有单调性，③错误；V 四棱锥A －EGFH ＝V 三棱锥A －EFH ＋V 三棱锥A －EGF ＝V 三棱锥F －AEH ＋V三棱锥F －AEG＝13×1×12×1×12＋13×1×12×1×12＝16，为定值，④正确.综上所述，正确结论的个数是3，故选B. 答案 B15.如图所示，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________.解析设BC 1∩B 1C ＝O ，连接OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝OD ， ∴A 1B ∥OD ，∵四边形BCC 1B 1是菱形， ∴O 为BC 1的中点，∴D 为A 1C 1的中点，则A 1D ∶DC 1＝1. 答案 116.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ∥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .则以上命题错误的是________(填序号).解析若m ∥α，m ∥β，则α，β可能平行或相交，①错误；若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β，②错误；若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ，③错误；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确.答案 ①②③17.(2020·无锡调研)如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝2AF .(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求证：AC ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，因为DE ∩BD ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE .(2)如图，设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，所以，OG ∥DE 且OG ＝12DE .因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO . 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .18.如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 又AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理，得BD ＝3AD ，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，即AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC ，A 1C 1. 设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1. 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.又EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.。

考点26 空间直线、平面的平行-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

考点26空间直线、平面的平行【命题解读】空间直线、平面的平行是高考必考的重点知识，在立体几何部分，直线与平面的平行的判定与性质的应用在高考中出题比较灵活，在新高考的引领下，出题创新性比较强，更加注重了学生能力的考察。

【命题预测】预计2021年的高考对于空间直线、平面的平行考察还是以应用为主，线线、线面、面面之间的相互转化是重点，空间想象力和空间思维能力是考察的重点。

【复习建议】1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.2.能运用结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。

考向一线面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行a∩α=⌀⇒a∥α证明直线与平面平行平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则平面外这条直线平行于这个平面a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α证明直线与平面平行性质一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a ∥α,a ⊂β, α∩β=b ⇒a ∥b证明直线与直线平行1. 【2019南宁市银海三美学校高二期末】如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G 分别是线段A 1C 1上的点，且A 1E ＝EF ＝FG ＝GC 1.则下列直线与平面A 1BD 平行的是（）A ．CEB ．CFC ．CGD ．CC 1【答案】B【解析】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，CF ，在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，由于111//,2A F AC A F AC =，又OC ＝12AC ，可得：11//,A F OC A F OC =，即四边形A 1OCF 为平行四边形，可得：A 1O ∥CF ，又A 1O ⊂平面A 1BD ，CF ⊄平面A 1BD ，可得CF ∥平面A 1BD ，故选：B.2. 【2020全国高三月考】在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，M 分别是棱BC ，1CC ，1BB 的中点，点1A ，M 到平面AEF 的距离分别为1h ，2h ，则（）A ．1222h h =B ．1232h h =C ．12h h =D ．122h h =【答案】C【解析】如图，取11B C 的中点N ，连接1A N ，MN ，易证//MN EF ．又因为EF ⊂平面AEF ，MN ⊄平面AEF ，所以//MN 平面AEF ，同理可证1//A N 平面AEF ．因为1A N ，MN ⊂平面1A MN ，且1A NMN N =，所以平面1//A MN 平面AEF ，又1A M ⊂平面1A MN ，所以1//A M 平面AEF ，所以12h h =，故选:C ．考向二面面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥β,b ∥β⇒α∥β证明平面与平面平行么这两个平面平行如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥a',b ∥b',a'⊂β,b'⊂β⇒α∥β垂直于同一条直线的两个平面平行a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面α∥β,a ⊂α⇒a ∥β证明直线与平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行1. 【2020浙江高三期中】已知直线a 与平面,,αβγ，能使//αβ的充分条件是（） ①,αγβγ⊥⊥ ②//,//αγβγ ③//,//a a αβ ④,a a αβ⊥⊥ A ．①② B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【解析】对①，若,αγβγ⊥⊥，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若//,//αγβγ，则//αβ，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若//,//a a αβ，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，,a a αβ⊥⊥，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确. 综上：②④正确，故选：D.2. 【2020湖南高一月考】如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，D 、E 、F 分别是所在棱的中点.则下列说法错误的是（）A ．面//DEF 面PBCB ．面PAB ⊥面ABC C ．PA BC ⊥D ．//DE PC 【答案】D 【解析】D 、E 分别是PA ，AB 的中点，//DE PB ∴，又DE ⊂/平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， //DE ∴平面PBC ，同理可得//DF 平面PBC ，又DE DF D ⋂=，∴平面//DEF 平面PBC ，故A 正确；PA AB ⊥，PA AC ⊥，ABAC A =，PA ∴⋂平面ABC ，PA BC ∴⊥，故C 正确，又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC ，故B 正确；假设//DE PC ，又//DE PB ，//PB PC ∴，与PB PC P ⋂=矛盾，故DE 与PC 不平行，故D 错误，故选：D3.【2020江苏高三期中】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD【答案】BD 【解析】如图，取1CC 的中点G ，连接1,D G EG ，可证1111,//A D EG A D EG =，得四边形11A EGD 为平行四边形，则11//A E D G ，若直线1//A E 平面1ACD ，则1D G //平面ACD 或1D G ⊂平面1ACD ，与1D G ⋂平面11ACD D =矛盾，故A 错误；由正方体的结构特征可得11A B ⊥平面11AA D D ，则111A B AD ⊥，又1111111,,AD A D A D A B A AD ⊥⋂=∴⊥平面11DA B ，得11AD B D ⊥，同理可证1AC B D ⊥，又1AD AC A =，∴直线1B D ⊥平面ACD 1，故B 正确;而BD ⊂平面11A B CD ，∴平面11A B CD ⊥平面ACD 1，故D 正确;连接1111,,AC A B BC ，由1111//,A A C C A A C C =，可得四边形AA 1C 1C 为平行四边形，则1111//,A C AC A C ⊂平面A 1BC 1，AC ⊄平面A 1BC 1，//AC ∴平面A 1BC 1，同理AD 1//平面A 1BC 1，又AC ∩AD 1=A ，∴平面A 1BC 1//平面ACD 1，若平面A 1 EF //平面ACD 1，则平面A 1EF 与平面A 1BC 1重合，则EF ⊂平面A 1BC 1，与EF //平面A 1BC 1矛盾，故C 错误．故选：BD题组一（真题在线）1. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．3. 【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长． 4. 【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．5. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B−EB1C1F的体积．6.【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．题组二1. 【2020全国高二】如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)2.【2020安徽六安一中高二月考】如图，在直角梯形ABCD 中，BC DC ⊥，AE DC ⊥，且E 为CD 的中点，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将ADE 沿AE 折起，则下列说法不正确．．．的是_______. ①不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN 平面DEC ； ②不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有MN AE ⊥； ③不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN AB ； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥.3. 【2020湖南雅礼中学高三月考】已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是（）A ．若O 为ABC 的外心，则2PC =B ．若ABC 为等边三角形，则⊥AP BCC ．当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若//OM 平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为24. 【2020四川省棠湖中学高三下学期第三学月考】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点．（I ）证明：PD //平面AEC ；（II ）设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P AFE -的体积．5.【2020全国高三专题练习（理）】如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，DE ＝3AF ＝3.证明：平面ABF ∥平面DCE .6. 【2020东台创新高级中学高一月考】如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（1）求证：//AF 平面PCE ；（2）求异面直线PD 和EC 所成角的余弦值．题组一1.B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．2.（1）见解析；（2）105. 【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ．又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(13,2)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,3,0)MN =-．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --3. （1）见解析；（2）49；（3）87．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ．由题意，有224||1cos ,||||3432h h -⋅〈〉===+m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87．4. 见解析【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .5.见解析【解析】（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．（2）AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN 平面EB 1C 1F =PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN =AO =6，AP =ON =13AM =3，PM =23AM =23，EF =13BC =2．因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B −EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由（1）知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT =PM sin ∠MPN =3．底面EB 1C 1F 的面积为1111()(62)624.22B C EF PN ⨯+⨯=+⨯=所以四棱锥B −EB 1C 1F 的体积为1243243⨯⨯=．6. 见解析【解析】因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥.又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C =所以AB ⊥平面1AB C . 又因为AB ⊂平面1ABB , 所以平面1AB C ⊥平面1ABB .题组二1. 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)【解析】连接HN ，FH ，FN ，因为E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，所以MN ∥平面B 1BDD 1. 故答案为：点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合).2. ③【解析】取AE 的中点Q ，连接MQ 、QN ，如下图所示：对于①，M 、Q 分别为AD 、AE 的中点，//MQ DE ∴，MQ ⊄平面DEC ，DE ⊂平面DEC ，//MQ ∴平面DEC ，同理可证//QN 平面DEC ，MQ QN Q =，所以，平面//MNQ 平面DEC ，MN ⊂平面MNQ ，//MN ∴平面DEC ，①正确；对于②，AE DE ⊥，//MQ DE ，MQ AE ∴⊥，同理可得QN AE ⊥，MQ QN Q =，AE ∴⊥平面MNQ ，MN ⊂平面MNQ ，AE MN ∴⊥，②正确；对于③，//AB QN ，若//AB MN ，由平行线的传递性可知//MN QN ，但MN 与QN 有公共点N ，这与//MN QN 矛盾，③错误；对于④，AE EC ⊥，若AD EC ⊥，由AE AD A =，可得出EC ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，可得EC DE ⊥，因此，只需在折起的过程中使得EC DE ⊥，就有EC AD ⊥，④正确. 故答案为：③. 3.ACD【解析】依题意，画图如下：若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ，可得PO OC ⊥，2OP OA OB ===，故222PC PO OC =+=，A 正确；ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥，BC 与PB 相交于平面PBC 内，可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥，由PO OC ⊥，2OP OA OB ===，可得36OC AC ==，故222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，B 错误; 若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ，由A 正确，知2,2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得11112223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅ 即有222242AC BC AC BC d+⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 2，2sin 22dθ=，即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，C 正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得，//ON AC ，//MN PC ，则平面//OKN 平面PAC ，由//OM 平面PAC ，可得M 在线段KN 上，即轨迹122KN PC ==，可得D 正确；故选：ACD4. 见解析【解析】（1）证明：连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，因为ABCD 是菱形，所以O 为DB 的中点，又因为E 为PB 的中点，所以//PD OE ，因为PD ⊄平面,AEC OE ⊂平面AEC ，所以//PD 平面AEC ．（2）解：取BC 中点M ，连接,AM PM ，因为四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，且PC PB =，所以,BC AM BC PM ⊥⊥，又AMPM M =，所以BC ⊥平面APM ，又AP ⊂平面APM ，所以BC PA ⊥．同理可证：DC PA ⊥，又BCDC C =，所以PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，又平面PAF ⋂平面ABCD AF =，所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为2AB =，因为E 为PB 的中点，故点E 到平面PAF 的最大距离为1，此时，F 为DC 的中点，即3AF =所以1123322PAF S PA AF =⋅=⨯=△ 所以13313P AFE E PAF V V --===5.见解析【解析】因为DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，所以DE ∥AF ，因为AF ⊄平面DCE ，DE ⊂平面DCE ，所以AF ∥平面DCE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，因为AB ⊄平面DCE ，所以AB ∥平面DCE ，因为AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面DCE . 6.见解析【解析】（1）取PC 的中点G ，连接FG 、EG ， ∴FG 为CDP 的中位线∴//FG CD ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴//AB CD ，∴//FG AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF //EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴//AF 平面PCE ；（2）取CD 的中点N ，连接GN ，AN ，AG ， ∴//AE CN ，所以//AN EC ，因为//GN PD ∴ANG ∠或其补角即为异面直线所成角， ∵2PA =，PA ⊥面ABCD ，45PDA ∠=︒， ∴2AB =，5AN =2GN =132AG PC ==∴10cos 5252ANF ∠==⨯⨯，即异面直线PD 和EC 10.。

2021年高考数学复习第77课时第九章直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算名师精品教案

实用文档2021年高考数学复习第77课时第九章直线、平面、简单几何体-空间向量的坐标运算名师精品教案一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==， 1．；；；；2．；；3．；．4．。

三．基础训练：1．已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==,则向量与的夹角是（）2．已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=，则的最小值是（）3．已知为平行四边形,且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --,则点的坐标为______.4．设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-，若，则，。

5．已知向量与向量共线，且满足，，则，。

四．例题分析：例1．棱长为的正方体中，分别为的中点，试在棱上找一点，使得平面。

例2．已知，为坐标原点，（1）写出一个非零向量，使得平面；（2）求线段中点及的重心的坐标；（3）求的面积。

例3．如图，两个边长为1的正方形与相交于，分别是上的点，且，（1）求证：平面；（2）求长度的最小值。

实用文档五．课后作业：1．若向量(1,,2),(2,1,1),,a b a b λ==-夹角的余弦值为，则=（） 12．已知点，则点关于轴的对称点的坐标为（）3．已知四面体中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（） ||||AB AC AD AB AC AD ++=+- 2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++ ()0AB AC AD BC ++⋅= AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅4．若2(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（）5．设，则与平行的单位向量的坐标为，同时垂直于的单位向量 .6．设向量，计算及与的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.7．矩形中，已知面积，若边上存在唯一点，使得，（1）求的值；（2）是上的一点，在平面上的射影恰好是的重心，求到平面的距离。

2021高考数学(理)大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第4节直线、平面平行的判定与性质

跟踪训练3:如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,点A′, B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心. (1)求证:平面ABC∥平面A′B′C′;
(1)证明:分别连接 PA′,PB′,PC′并延长交 BC,AC,AB 于点 D,E,F,连接 DE,EF,DF.
因为点 A′,C′分别是△PBC,△PAB 的重心,所以 PA′= 2 PD,PC′= 2 PF,
第4节直线、平面平行的判定与性质
[考纲展示]
1.以立体几何的定义、公理和定理 2.能运用公理、定理和已获得的结
为出发点,认识和理解空间中线面论证明一些有关空间图形的平行关
平行的有关性质与判定定理.
系的简单命题.
知识梳理自测考点深度剖析核心素养提升
知识梳理自测
知识梳理
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
多维探究
[例1] 如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD, SD=CD,AB=AD,CD=2AD,M是BC中点,N是SA的中点. 求证:MN∥平面SDC.
证明:法一如图,取SB的中点T,连接NT,MT. 在△SAB中,SN=NA,ST=TB,所以NT∥AB, 又AB∥CD,所以NT∥CD. 在△SBC中,BM=MC,BT=TS,所以MT∥SC. 又因为NT∩MT=T,SC∩CD=C,所以平面MNT∥平面SDC, 又因为MN⊂平面MNT,所以MN∥平面SDC.
解析:因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.
2.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中
(
)A
(A)不一定存在与a平行的直线

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第76课时：第九章直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算
课题：空间向量及其运算
一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质．二．主要知识：
1．,a b 向量共线的充要条件：； 2．三点共线：； 3．三向量共面：； 4．四点共面：； 5．两向量夹角的范围；三．课前预习：
1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =，
AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM
等的向量是
（）
()A 1122a b c -++ ()B 1122
a b c ++ ()C 1122
a b c -
-+ ()D c b a +-21
21
2．有以下命题：
①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；
②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；
C1
③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）
()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③
3．下列命题正确的是（）
()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的
直线共面；
()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；
4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）
()A OM ++= ()B OM --=2 ()C OC OB OA OM 3121++= ()D OC OB OA OM 3
1
3131++=
四．例题分析：
例1．已知在正三棱锥ABC P -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：
BC PG ⊥
G
N
A
B
C
P
M
例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点，（1）用向量法证明H G F E ,,,四点共面；（2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；
（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有
1
()4
OM OA OB OC OD =+++
例3．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1
AA 长为b ，且 1111120AA B AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；
（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。

1B
D
C
A
B
1A
1C
1D O
M
G
F
A
B
C
D
E H
五．课后作业：
1．对于空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，点P 满足OP xOA yOB zOC =++是点
,,,P A B C 共面的（）
()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件
2．棱长为a 的正四面体中，AB BC AC BD ⋅+⋅= 。

3．向量,,a b c 两两夹角都是60，||1,||2,||3a b c ===，则||a b c ++= 。

4．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是上底面11AC 和侧面1CD 的中心，求下列各式中的,x y 的值：
（1）11()AC x AB BC CC =++，则x = ；
（2）1AE AA xAB y AD =++，则x = ；y = ；（3）1AF AD xAB y AA =++，则x = ；y = ； 5．已知平行六面体1111ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：
（1）111AB C B CD -+= ；（2）1AB AD AA ++= 。

6．设1111ABCD A B C D -是平行六面体，M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对
角线1BC 上的点，且13BN NC =，设1MN a AB bAD cAA =++，试求,,a b c 的值。

7．空间四边形OABC 中，8,6,4,5,45,60OA AB AC BC OAC OAB ====∠=∠=，求OA 与BC
夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别为平行六面体棱的中点，
求证：（1）0LE FG HK ++= （2）,,,,,E F G H K L 六点共面.
1。