重庆市铜梁县第一中学2020届高三数学上学期期中试题文【含答案】
2020-2021学年重庆一中高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析
2020-2021学年重庆一中高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．（5分）设全集I是实数集R，M={x|x≥3}与N={x|≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}3．（5分）已知直线方程为cos300°x+sin300°y=3，则直线的倾斜角为（）A．60° B．60°或300°C．30° D．30°或330°4．（5分）函数f（x）=x2+xsinx的图象关于（）A．坐标原点对称 B．直线y=﹣x对称C．y轴对称D．直线y=x对称5．（5分）点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，3）6．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+B．3+C．2+D．3+7．（5分）已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x﹣3的零点依次为a，b，c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．（5分）重庆市乘坐出租车的收费办法如下：（1）不超过3千米的里程收费10元（2）超过3千米的里程2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费），当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．y=2[x+]+4 B．y=2[x+]+5 C．y=2[x﹣]+4 D．y=2[x﹣]+59．（5分）若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．[1，2] C．[2，4] D．（2，+∞）10．（5分）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为（）A．12 B．8 C．D．3611．（5分）当曲线y=与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，） B．（，] C．（，1] D．（，+∞]12．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知某长方体的长宽高分别为2，1，2，则该长方体外接球的体积为．14．（5分）若函数y=（）x在R上是减函数，则实数 a取值集合是．15．（5分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．16．（5分）已知函数f（x）=如果对任意的n∈N*，定义f n（x）=，例如：f2（x）=f（f（x）），那么f2016（2）的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，a2为整数，且a3∈[3，5]．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．19．（12分）如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱锥A﹣BDM的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+﹣1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．21．（12分）已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当x为常数，且t在区间[]变化时，求y的最小值φ（x）；（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若a，b，c为正实数，k为实数m的最小值，且++=k，求证：a+2b+3c≥9．2020-2021学年重庆一中高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．2．（5分）设全集I是实数集R，M={x|x≥3}与N={x|≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}【分析】由图形可得阴影部分所表示的集合为N∩（C I M）故先化简两个集合，再根据交集的定义求出阴影部分所表示的集合【解答】解：由题意M={x|x≥3}与N={x|≤0}={x|﹣1＜x≤3}由图知阴影部分所表示的集合为N∩（C I M）∴N∩（C I M）={x|1＜x＜3}故选A【点评】本题考查Venn图表达集合的关系及运算，解题的关键是根据图象得出N∩（C I M），再由集合的运算求出阴影部分所表示的集合3．（5分）已知直线方程为cos300°x+sin300°y=3，则直线的倾斜角为（）A．60° B．60°或300°C．30° D．30°或330°【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．可得tanα=﹣，利用诱导公式即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=﹣=﹣==tan30°，∴α=30°．故选：C．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、诱导公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）函数f（x）=x2+xsinx的图象关于（）A．坐标原点对称 B．直线y=﹣x对称C．y轴对称D．直线y=x对称【分析】判断函数的奇偶性，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=x2+xsinx是偶函数，关于y轴对称，故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．．5．（5分）点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，3）【分析】设（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称点的坐标是（ a，b ），则有，解得 a 和b的值，即得结论．【解答】解：设（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称点的坐标是（ a，b ），则有，解得 a=3，b=2，故点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（3，3），故选：A．【点评】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，得到，是解题的关键．6．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+B．3+C．2+D．3+【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以底面为正方形的三棱锥，高为2，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．【解答】解：由题意：可知该几何体是一个以底面为正方形其边长AB=1的三棱锥，高AS为2，（如图）AS⊥平面ABCD，∴AC=，SD=SB=，∵AD⊥CD，∴SD⊥CD（三垂线定理）∴△SDC是直角三角形．同理：SB⊥CB，∴△SBC是直角三角形．平面SDC的表面积为：AD×SD=，平面ABS的表面积为：AS×AB=1，平面ABD的表面积为：AS×AD=1，平面SBC的表面积为：BS×CB=．平面ABCD表面积为：AB×BC=1所以该几何体的表面积为：3+．故选D．【点评】本题考查了对三视图的投影的认识和边长之间的关系，由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7．（5分）已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x﹣3的零点依次为a，b，c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】根据函数零点的定义进行转化，由指数函数、对数函数的图象画出对应的函数图象，由图判断出a、b的范围，利用函数零点的定义和对数的运算求出c的值，可得三个零点的大小关系．【解答】解：①令f（x）=0，得3x+x=0，化为3x=﹣x，分别作出函数y=3x，y=﹣x的图象由图象可知函数f（x）的零点a＜0；②令g（x）=log3x+x=0，得log3x=﹣x，分别作出函数y=g（x）=log3x，y=﹣x的图象，由图象可知函数g（x）的零点：0＜b＜1；③令h（x）=log3x﹣3=0，则log3x=3，解得x=27，即其零点c=27，综上可知，a＜b＜c．故选B．【点评】本题考查了函数零点的定义以及转化，以及指数函数、对数函数的图象，考查转化思想，数形结合思想．8．（5分）重庆市乘坐出租车的收费办法如下：（1）不超过3千米的里程收费10元（2）超过3千米的里程2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费），当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．y=2[x+]+4 B．y=2[x+]+5 C．y=2[x﹣]+4 D．y=2[x﹣]+5【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞3时，所收费用y的表达式，化简可得答案．【解答】解：由已知中，超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞3时，所收费用y=10+[x﹣3+]×2+1=2[x+]+5，故选：B．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数模型的选择与应用，属于基础题．9．（5分）若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．[1，2] C．[2，4] D．（2，+∞）【分析】平面区域经过所有四个象限可得λ﹣2＞0，由此求得实数λ的取值范围．【解答】解：由约束条件不等式组表示的平面区域经过所有四个象限可得λ﹣2＞0，即λ＞2．∴实数λ的取值范围是（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．10．（5分）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为（）A．12 B．8 C．D．36【分析】设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知，整理求得y=8﹣x，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．【解答】解：如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，，即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以4x=24﹣3y，y=8﹣x求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•（8﹣x）=﹣（x2﹣6x），当x=3时，xy有最大值12故选A．【点评】本题主要考查了解三角形的问题．考查了学生转化和化归思想，函数思想的运用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．11．（5分）当曲线y=与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，） B．（，] C．（，1] D．（，+∞]【分析】直线方程变形，判断出直线过定点；求出特殊位置k的值，即可求出满足题意的k的范围．【解答】解：曲线y=即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线kx﹣y﹣2k+4=0即y=k（x﹣2）+4，表示恒过点A（2，4）斜率为k的直线B（2﹣，0）时，k AB=1，∵=2解得k=∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是（，1]．故选C．【点评】解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的范围问题．12．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1【分析】由f（x）≥f（1），知x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（2）=0，从而得到b=1﹣4a，作差：lna﹣（﹣b﹣1）=lna+2﹣4a，所以构造函数g（x）=lnx+2﹣4x，通过导数可求得g（x）≤g（）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜﹣b﹣1．【解答】解：f′（x）=2ax+b﹣，由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1﹣4a；令g（x）=2﹣4x+lnx（x＞0），则g′（x）=；∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；∴g（x）≤g（）=1+ln=1﹣ln4＜0；∴g（a）＜0，即2﹣4a+lna=lna+b+1＜0；故lna＜﹣b﹣1，故选：C．【点评】考查最值的概念，极值的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，通过构造函数比较两个式子大小的方法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知某长方体的长宽高分别为2，1，2，则该长方体外接球的体积为．【分析】根据长方体的对角线长公式，算出该长方体的对角线长，从而算出它的外接球半径，利用球的体积公式即可算出答案．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为2，1，2，∴长方体的对角线长为=3，设长方体外接球半径为R，则2R=3，解得R=，∴该长方体外接球的体积为=．故答案为．【点评】本题给出长方体的长、宽、高，求它的外接球的体积．着重考查了长方体的对角线长公式，属于基础题．14．（5分）若函数y=（）x在R上是减函数，则实数 a取值集合是．【分析】根据函数在R上是减函数，可得，即，由此可得结论．【解答】解：∵函数在R上是减函数，∴，∴，∴，∴实数a取值集合是．故答案为：．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查解对数不等式，考查学生的计算能力，正确转化是关键．15．（5分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．16．（5分）已知函数f（x）=如果对任意的n∈N*，定义f n（x）=，例如：f2（x）=f（f（x）），那么f2016（2）的值为 2 ．【分析】利用函数性质直接求解．【解答】解：∵函数f（x）=，对任意的n∈N*，定义f n（x）=，∴f（0）=2，f（1）=0，f（2）=2﹣1=1，f1（f（2））=f（2）=1，f2（2）=f（f（2））=f（1）=0，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．f4（2）=f（f（f（f（2）））=f（f（f（1））=f（f（0））=f（2）=1，∵2016÷3=672，∴f2016（2）=f（0）=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，a2为整数，且a3∈[3，5]．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）判断数列的第二项，然后求解通项公式即可．（2）利用裂项法化简求解即可．【解答】解：（1）由a1=2，a2为整数知，且a3∈[3，5]．a3=4，{a n}的通项公式为a n=n+1．（2），于是．【点评】本题考查数列的判断以及数列求和，裂项法的应用，考查计算能力．18．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．【分析】（1）由已知及正弦定理可得，利用余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，sinA的值，进而利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cosB，解得B的范围即可得解B的值．（2）利用正弦定理可求c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）由已知可得，∴．∵A，C∈（0，π），∴，，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣（﹣）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵=10，∴c=10=6，∴．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，熟练掌握相关公式的应用是解题的关键，属于中档题．19．（12分）如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱锥A﹣BDM的体积．【分析】（1）推导出OM⊥CD，从而OM⊥平面BCD，进而OM∥AB，由此能证明OM∥平面ABD．（2）由V A﹣BDM=V M﹣ABD=V O﹣ABD=V A﹣BDO，能求出三棱锥A﹣BDM的体积．【解答】证明：（1）∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面BCD，∴OM⊥平面BCD，∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB，∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，∴OM∥平面ABD．解：（2）由（1）知OM∥平面ABD，∵点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离．∵AB=BC=4，△BCD是等边三角形，∴BD=4，OD=2，连接OB，则OB⊥CD，，，∴三棱锥A﹣BDM的体积为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+﹣1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．【分析】（1）由点到直线的距离公式d==1，求得b=1，由e===，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，则M（1，0）到直线x﹣y+﹣1=0的距离d==1，∴b=d=1，离心率e===，解得：a=，∴椭圆C的标准方程；（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x=1，，不妨设，，∵k1+k3=2，∴，∴m，n的关系式为3n=2m．②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1），联立椭圆整理得：（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴，=，=．∴，∴m，n的关系式为3n=2m．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，直线的斜率公式的综合应用，综合性较强，运算量大，极易出错，属于中档题．21．（12分）已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当x为常数，且t在区间[]变化时，求y的最小值φ（x）；（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．【分析】（1）当x为常数时，设f（t）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+（3x2+1）t+4x3﹣1，是关于y的二次函数．利用二次函数图象与性质求解（2）设g（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，按照零点存在性定理去判断．可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明．【解答】解：（1）当x为常数时，f（t）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+（3x2+1）t+4x3﹣1，f'（t）=﹣12xt+（3x2+1），f'（t）=﹣12xt+3x2﹣1=3（x﹣2t）2﹣12t2+1，当，f'（t）≥0，f（t）在上递增，其最小值φ（x）=f（0）=4x3﹣1．（2）令g（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，g'（x）=12x2+6tx﹣6t2=6（2x﹣t）（x+t），由t∈（0，+∞），当x在区间（0，+∞）内变化时，g（x）与g'（x）变化情况如下表：xg'（x）﹣0 +g（x）单调递减极小值单调递增①当，即t≥2时，g（x）在区间（0，1）内单调递减，g（0）=t﹣1＞0，g（1）=﹣6t2+4t+3=﹣2t（3t﹣2）+3≤﹣4（6﹣2）+3＜0，所以对任意t∈[2，+∞），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0；②当，即0＜t＜2时，g（x）在内单调递减，在内单调递增，所以时，函数g（x）取最小值，又g（0）=t﹣1，若t∈（0，1]，则，，所以g（x）在内存在零点；若t∈（1，2），则g（0）=t﹣1＞0，，所以g（x）在内存在零点，所以，对任意t∈（0，2），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0．结合①②，对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．【点评】本题考查函数单调性与导数关系的应用，函数最值的应用：通过极值探讨零点．综合性强．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．【分析】（1）求出曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，即可将代入并化简，求曲线C的极坐标方程；（2）直角坐标方程为y﹣x=1，求圆心C到直线的距离，即可求出直线被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，曲线C表示以（3，1）为圆心，为半径的圆，将代入并化简：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．（2）直角坐标方程为y﹣x=1，∴圆心C到直线的距离为，∴弦长为．【点评】本题考查圆的参数方程、普通方程、极坐标方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若a，b，c为正实数，k为实数m的最小值，且++=k，求证：a+2b+3c≥9．【分析】（1））|x﹣2|﹣|x﹣3|≤|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=1，由此能求出m最小值．（2）由（1）知，由此利用均值不等式能证明a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）∵|x﹣2|﹣|x﹣3|≤|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=1，不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立，∴m≥1，∴m最小值为1．（2）由（1）知k=1，即，=．当且仅当a=2b=3c时等号成立，∴a+2b+3c≥9．【点评】本题考查实数的最小值的求法，考查不等式的证明，发题时要认真审题，注意均值不等式的性质的合理运用．。
2020-2021学年重庆一中高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年重庆一中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知sin(π−α)=34，则sinα=( )A. −34B. 34C. −√74D. √742.条件p ：“a ≤0或a ≥4”是条件q ：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.11、从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对4.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ，则的最大值为A.B.C.D.5.在三角形ABC 中，已知AC =6，BC =10，cos(A −B)=35，则cos(A +B)=( )A. 45B. −45C. 35D. −356.一艘轮船从海面上从A 点出发，以40nmile/ℎ的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A 点正西方有一点B ，AB =10nmile ，该船1小时后到达C 点并立刻转为南偏东60°的方向航行，小时后到达D 点，整个航行过程中存在不同的三点到B 点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是( )A.B.C.D.7.已知集合A ={x ∈N|x(x −2)≤0}，B ={−2,−1,0}，则A ∪B =( )A. {−2,−1}B. {0,1}C. {−2,−1,0，1，2}D. {0,1，2}8.已知直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A. CM ⊥ABB. CM ⊥lC. CA ⊥CBD. CM =12AB9.一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为()A. √3+4B. √3+6C. 2√3+4D. 2√3+610.已知A={x|x+1x−1≤0}，B={−1,0，1}，则card(A∩B)=()A. 0B. 1C. 2D. 311.现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是()A. 函数y=2x图象上的点构成的集合B. 旋转体表面及其内部点构成的集合C. 扇形边界及其内部点构成的集合D. 正四面体表面及其内部点构成的集合12.已知数列{a n}是从第二项起各项均为正数的等差数列，其前13项和S13=132，则1a5+4a9的最小值为()A. 8B. 9C. 12D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0，则目标函数z=x+y最大值与最小值的和为______ ．14.已知数列2，√10，4，…，√2(3n−1)，…，那么8是这个数列的第______ 项．15.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面是ABCD正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1，E为AB上一个动点，当D1E+CE取得最小值√10时，三棱锥D1−ADE的外接球表面积为______ ．16.直线y=a与曲线y=x2−2|x|−3有四个交点，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3(a−ccosB)=bsinC．(1)求角C的大小；(2)若c =2，则当a ，b 分别取何值时，△ABC 的面积取得最大值，并求出其最大值．18. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，且S n =4a n −3(n ∈N ∗)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)令b n =(n +1)a n ，n ∈N ∗，求证：数列{b n }为递增数列．19. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中AD//BC ，∠ABC =90°PD ⊥平面ABCD ，AD =1，AB =√3，BC =4． (1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角；(3)在线段PC 上是否存在一点E ，使得DE//平面PAB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．21. 设O 为坐标原点，a >b >0，椭圆E 1：x 2a 2+y 2b 2=1，椭圆E 2：x 24a 2+y 24b 2=1，P 是椭圆E 2上一点． (Ⅰ)若直线OP 与椭圆E 1的一个交点Q ，求|OP||OQ|；(Ⅱ)已知点B(0,2)在椭圆E 1上，椭圆E 1的离心率为√22，过点P 的直线l 交于椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =2√2cosθy =√2sinθ(θ为参数)，点P 是曲线C 上一动点，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，设点Q 为NP 的中点(O 为坐标原点)． (Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 1的参数方程；(Ⅱ)过M(1,√3)的直线交曲线C 1于不同两点A ，B ，求1|MA|2+1|MB|2的取值范围．23.已知函数f(x)=(log12x)2−12log12x+5，求在区间[2,4]上f(x)的最大值与最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵sin(π−α)=sinα， ∴sinα=34， 故选：B ．利用诱导公式化简即可．本题主要考查了诱导公式，是基础题．2.答案：B解析：解：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”，则等价为f′(x)=ax 2+ax +1有两个不同的零点，即{a ≠0△=a 2−4a >0得{a ≠0a >4或a <0，即a >4或a <0，则a ≤0或a ≥4是a >4或a <0成立的必要不充分条件， 故选：B ．根据函数极值的性质，转化为f′(x)=0有两个不同的零点，利用判别式△>0进行求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数极值与导数之间的关系求出等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 解： 在正方体 中，与上平面中一条对角线 成的直线有 ，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有 对直线，去掉重复，则有 对.故选 C .。
重庆市第一中学2020届高三数学上学期期中试题文【含答案】
13． cos 27 cos18 sin 27 sin18 __________.
35 D. 10
14．已知 an (2 a)n a ,若数列an是递增数列，则实数 a 的取值范围是________.
15.(原创）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC 90 且 AB 3 , BB1 4 ，设其外接 球的球心为 O ，且球 O 的表面积为 28 ，则 ABC 的面积为__________.
（2）设 bn
an
1 log2
an
1
，求
bn
的前
n
项和.
19．(12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， P,Q 分别是 AA1 、 A1C1 的中点.
（1）设棱 BB1 的中点为 D ，证明： C1D// 平面 PQB1 ； （2）若 AB 2 ， AC AA1 AC1 4 ， AA1B1 60o 且平面 AA1C1C 平面 AA1B1B ，求三棱柱 ABC A1B1C1 的高.
f x e2x 2mx mx R， m R
21．(12 分）已知函数
．
（1）讨论函数 f x的单调性； （2）若 m 1，不等式 f x ln x ln 2 bx 对一切 x 0 恒成立，求实数 b 的取值范围.
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.
21．（1） f x的定义域是 R ， f 'x 2e2x 2m ．..............1 分
①m
0 时，
f
' x
0
，
f
x在 R
上单调递增：...............3
分
②m
重庆市第一中学2020届高三数学上学期期中试题理(含答案)
重庆市第一中学2020届高三上学期期中试题数学 理数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点)002cos ,100(sinP 位于第（ ）象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 2.设R z y x ,,，条件22:yz xz p ，条件y x q :，则p 是q 的（ ）条件. A ．充分不必要 B ． 必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 3.设n m ,为两条不同的直线， ,为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若 n m ,，则n m ,为异面直线. B ．若 //,n m ，则n m C ．若 //,//m m ，则 // D ．若 ， n m ,，则n m 4.已知正数b a ,满足1 b a ，则abba 9的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．16 D ．255.设函数x x x f cos sin 1)( ，则下列说法中正确的是（ ） A ．)(x f 为奇函数 B ．)(x f 为增函数 C ．)(x f 的最小正周期为2 D ．)(x f 图像的一条对称轴为4x 6.设正项等比数列 n a 的前n 项之和为n S ，若365S a S ，则 n a 的公比 q （ ）A ．215 B ．1 C ．215 D ．215 或2157. 已知集合)12(log 21x y x M ， x y y N 232，则N M （ ） A ．]1,0( B ．]1,21( C ． )32,21( D ．)(0,8.已知向量b a ,满足4,3,2 b a b a ，则 b a （ ） A ．6 B ．32 C ．10 D ．3 9.某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2,则该几何体的体积为（ ）A ． 8B ．328C ．D ． 6710.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该QQ 群人数的最小值为（ ）A ．20B ．22C ．26D ．2811.如下图，正方体1111D C B A ABCD 中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断： ①存在点F 使得 C A 1平面EF B 1；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线； ③平面EF B 1与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大 小与点F 的位置无关；④三棱锥EF B B 1 的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A ． ① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④ 12.已知函数x x x f cos 4)( ，等差数列 n a 满足条件4)()(93 a f a f ， 则 981a a a （ ）A ．6B ．3C ．43D ．23正视图俯视图左视图二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数y x ,满足002204y y x y x ，则y x 23 的最大值为14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：60,50,40,32,24,18,12,8,4,2,0，则大衍数列的第41项为15.已知正三棱锥的底面边长为34，体积为332，则其外接球的表面积为16.设函数 )0()0()(2x xx e x f x，若方程 ))((x f f 恰有两个不相等的实根21,x x ，则21x x 的最大值为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置） 17.（原创）（本题满分12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，若其内部的点P 满足 120 CPA BPC APB ，则称P 为ABC 的费马点.如下图所示，在ABC 中，已知 45 BAC ,设P 为ABC 的费马点，且满足 45 PBA ，2 PA .（1）求PAC 的面积； （2）求PB 的长度.18.（本题满分12分）数列 n a 满足nn n a a 3231 ，31 a（1）证明：n n a 3为等差数列，并求 n a 的通项公式； （2）求数列 n a 的前n 项之和为n S19.（原创）（本题满分12分）已知四棱锥ABCD P 的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设CD BC ,的中点分别为F E ,,点G 在线段PA 上，如下图. （1）证明：GC EF（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值.20.（原创）（本题满分12分）已知函数x x x f ln 2)( （1）经过点)2,0( 作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程. （2）设函数)()1()(x f e x x g x，求)(x g 在),0( 上的最小值.21.（原创）（本题满分12分）已知椭圆方程为13622 y x （1）设椭圆的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上运动，求2121PF PF PF PF 的值. （2）设直线l 和圆222y x 相切，和椭圆交于B A ,两点，O 为原点，线段OB OA ,分别和圆222y x 交于D C ,两点，设COD AOB ,的面积分别为21,S S ，求21S S 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4－4：坐标系与参数方程（本题满分10分） 已知曲线C 的参数方程为cos sin cos sin y x ，（ 为参数）（1）若点),22(m M 在曲线C 上，求m 的值； （2）过点)0,1(P 的直线l 和曲线C 交于B A ,两点，求PBPA 11 的取值范围.23. （原创）选修4－5：不等式选讲（本题满分10分） 已知正实数b a ,满足)lg(lg lg b a b a （1）证明：822b a ；（2）证明：425)1)(1(22 b a b a2019年重庆一中高2020级高三上期11月月考试题参考答案数 学（理）二、填空题.(每题5分,共20分)13. 12 14. 840 15. 100 16. 22ln 2 三、解答题.(共70分)17.解：（1）由已知1545120180 PAB ，所以301545 PAC 在PAC 中，3030120180 PCA ，故2 PC PA 所以PAC 的面积3232221sin 21PAC PC PA S （2）在PAB 中，由正弦定理45sin 15sin 245sin 15sin PB PA PB （*） 而42621222322)3045sin(15sin,2245sin 代入（*）式得 PB 1318.解：（1）由已知32333233323311111 n n n n n n n n n n n a a a a a 由定义知n n a 3为等差数列，且公差为32，首项为1311 a 故13)12(31232)1(13 n n n n n a n n a （2）由已知12103)12(373533 n n n S 故nn n S 3)12(3735333321错位相减得nn n n S 3)12()333(23321210即n n n n n n S 323)12(31)31(3233210，所以n n n S 3 19.解：（1）证明：由已知ABCD P 为正四棱锥，设BD AC ,交于点O ，由正棱锥的性质可知 PO 平面ABCD ，所以EF PO ， 由于正方形ABCD 满足BD AC ，EF 为BCD 的中位线，故BD EF //，所以AC EF 所以 EF 平面PAC ，而 CG 平面PAC ，所以GC EF （2）分别以OP OC OB ,,为坐标轴建立如图坐标系， 此时)0,21,21(),0,21,21(),1,0,0(),0,1,0( F E P A 设),,(z y x G ，且PA PG ，其中10 即)1,,0()1,1,0()1,,( G z y x ， 设平面PEF 的法向量为),,(c b a m ， 由于)1,21,21( EP ,)0,0,1( EF 由EF m EP m 解得)1,2,0( m由//BG 平面PEF 知031)1,2,0()1,,1(0 m BG m BG 解得31，此时)32,31,0( G ，由于)0,1,0(C ，故)32,34,0( GC 所以直线GC 的方向向量)1,2,0( n ，设GC 和平面PEF 所成角为 ，则531401401)1(2200,cos sinmn m n m GC20.解：（1）由于xx f 21)(' ，设切点坐标为),(00y x ，则000ln 2x x y 切线斜率00x 21)x ('f k ；另一方面000002ln 22x x x x y k故310ln 2ln 221000000k x x x x x x ，此时切点坐标为)1,1( 所以切线方程为)1(31 x y ，即23 x y（2）由已知x x xe x g xln 22)( ，故)2)(1()11(2)1()('xe x x e x x g xx由于),0( x ，故01 x ，由于xe x h x2)(在),0( 单调递增 同时)(lim ,)(lim 0x h x h x x ，故存在00 x 使得0)(0 x h且当),0(0x x 时0)( x h ，当),(0 x x 时0)( x h ，所以当),0(0x x 时0)(' x g ，当),(0 x x 时0)(' x g ，即函数)(x g 先减后增. 故)ln (2)()(0000min 0x x e x x g x g x由于2ln ln 202)(0000000x x e x x e x h x x，所以2ln 22)(min x g 21.解：（1）由已知)0,3(),0,3(21F F ，设),(y x P 由焦半径公式221216)226()226(x x x PF PF3),3(),3(2221 y x y x y x PF PF ，结合2222213136x y y x 故22221213)213(x x x PF PF，故621216222121 x x PF PF PF PF （2）当直线l 斜率不存在时，其方程为2 x ，由对称性，不妨设为2 x ，此时)1,1(),1,1(),2,2(),2,2( D C B A ，故21221 S S 若直线l 斜率存在，设其方程为m kx y ，由已知)1(221222k m k m设),(),,(2211y x B y x A ，将直线l 与椭圆联立得0624)12(222m kmx x k由韦达定理1262,1242221221 k m x x k km x x结合2OD OC 及22222121213,213x y x y 可知： 22222121212121sin 21sin 21y x y x OB OA COD OD OC AOBOB OA S S 221212212221)(41]2)[(23921)213)(21(321x x x x x x x x将韦达定理代入整理得2222222221)12()3(1836612921k m k m m k S S结合)1(222k m 知222421)12(74428921 k k k S S ，设1122k t ，]1,0(1 t u 则]223,2[1688-21168821887921222221 u u t t t t t S S综上21S S 的取值范围为]223,2[ 22.解：（1）已知等价于y x y x cos 2,sin 2，由于1cos sin 22所以等价于4cos 4sin 4)()(2222y x y x整理得曲线C 的普通方程为222y x ，将),22(m M 代入解得26m （2）设直线l 的参数方程为sin cos 1t y t x （t 为参数， 为倾斜角）与222 y x 联立得：01cos 22 t t ，由韦达定理1,cos 22121 t t t t由于21,t t 异号，故21212212121214)(1111t t t t t t t t t t t t PB PA 将韦达定理代入，并结合]1,0[cos 2得]22,2[4cos 4112 PBPA 23.证明：（1）由已知b a ab ，均值不等式422 ab ab ab b a ab由均值不等式ab b a 222，结合4 ab 可知822b a（2）欲证425)1)(1(22 b a b a ，只需证)(25)1)(1(422b a b a只需证)(25]1)()[(4222b a b a ab ；即证)(25]12)()[(422b a ab b a ab 结合ab b a ，只需证ab ab ab ab 25]12)()[(422，即0433)(82ab ab ，即证0)18()4( ab ab ，因为4 ab ，故这是成立的.从而原不等式得证.。
2020届重庆一中高三年级上学期期中考试数学(文)答案
① 时, , 在 上单调递增：...............3分
② 时, ,解得 ,
当 时, ,则 在 上递减；
当 时, ,则 在 上递增．...............5分
（2）当 时, ,
依题意知不等式 ,
即 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
又因为 , 平面 ,所以 平面 ,...............8分
在 中, , .
又因为 , ................10分
所以 ,所以 ,
解得 ................12分
20．（1） 为线段 的垂直平分线 ...............2分
即点 到定点 的距离等于点 到定直线 的距离
由抛物线的定义可知,点 的轨迹为： ...............4分
（2）由已知得直线 斜率存在,且斜率不为零,设 , ,
将直线 代入抛物线方程得
则 ...............5分
...............8分
又 ,
........10分
当且仅当 ,即 时取等号
...............12分
绝密★启用前 【考试时间：11月22日15：00 — 17：00】
重庆市第一中学2020届高三上学期期中质量检测
数学(文)试题答案
1-5CABDC
6-10DACCB
11-12 B D
13.
14.
15.
16.
17．（1） ...............2分
得： ...............4分
所以对称轴为： ...............6分
2019-2020学年重庆一中高三(上)期中数学试卷 试题及答案(文科)
2019-2020学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．设全集U Z =，集合2{|20}A x Z x x =∈--…，则(U A =ð ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1，2}2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a 等于( ) A ．3-B ．3C ．4-D ．44．已知向量(2,1)a =，(2,sin 1)b α=-，(2,cos )c α=-，若()//a b c +，则tan α的值为( )A ．2B ．12 C ．12-D ．2-5．“26m <<”是“方程22126x y m m -=--表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过点(1,2)A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=或30x y +-=D ．20x y -=或10x y -+=7．已知2(1)45f x x x -=+-，则(1)(f x += ) A ．287x x ++B ．26x x +C ．223x x +-D ．2610x x +-8．定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且f （1）2018=，f （2）2019=，则(2018)(2019)(f f += ) A ．4035B ．4036C ．4037D ．40389．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AA C C 所成角的正弦值等于( )A B C D 10．己知正实数x ，y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的x ，y ，都有2()()60x y a x y +-++…恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．B ．7C ．D ．811．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC ∆的最大边长为( )A ．2B ．3CD ．12．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(x ，0)处的切线上有一点P ，曲线232y x lnx =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为( )A B C D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．cos 27cos18sin 27sin18︒︒-︒︒= ．14．已知(2)n a a n a =-+，若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB =，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为 ．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，||FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数22()2sin cos f x x x x x =+． （1）求()f x 的对称轴；（2）当[0α∈，]π时，若()1f α=，求α的值． 18．己知数列{}n a 中，11a =，121(*)n n a a n N +=+∈． （1）求n a 的通项公式；（2）设2(1)log (1)n n n b a a =++．求{}n b 的前n 项和：19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、Q 分别是1AA 、11A C 的中点． （1）设棱1BB 的中点为D ，证明：1//C D 平面1PQB ；（2）若2AB =，114AC AA AC ===，1160AA B ∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ；求三棱柱111ABC A B C -的高．20．已知点(1,0)F 和直线1:1l x =-，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P ． ()I 求点P 的轨迹C 的方程；()II 设直线PF 与轨迹C 相交于另一点Q ，与直线1l 相交于点N ，求NP NQ 的最小值．21．已知函数2()2(,)x f x e mx m x R m R =--∈∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1m =，不等式()2f x lnx ln bx -+…对一切0x >恒成立，求实数b 的取值范围 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为4(x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数）．曲线2C 的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C 交于点M ，射线6πθ=与曲线2C 交于点N ，求MON ∆的面积（其中O 为坐标原点）． 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…．2019-2020学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．设全集U Z =，集合2{|20}A x Z x x =∈--…，则(U A =ð ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1，2}【解答】解：集合2{|20}{|2A x Z x x x Z x =∈--=∈厖或1}x -…，则{0z A =ð，1}， 故选：C ．2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)12z i i +=+，得12(12)(1)311(1)(1)22i i i z i i i i ++-===+++-， z ∴在复平面内对应的点的坐标为3(2，1)2，位于第一象限．故选：A ．3．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a 等于( ) A ．3-B ．3C ．4-D ．4【解答】解：5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点， 5a ∴、7a 是方程2430x x -+=的两个根， 573a a ∴=，由等比数列的性质可得：39573a a a a ==． 故选：B ．4．已知向量(2,1)a =，(2,sin 1)b α=-，(2,cos )c α=-，若()//a b c +，则tan α的值为( )A ．2B ．12 C ．12-D ．2-【解答】解：向量(2,1)a =，(2,sin 1)b α=-，(2,cos )c α=-，∴(4,sin )a b α+=， 若()//a b c +，则4sin tan 2cos ααα==-，则tan 2α=-， 故选：D ．5．“26m <<”是“方程22126x y m m -=--表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程表示的曲线为双曲线221(2)(6)026x y m m m m -=⇔-->--．解得26m <<； ∴ “26m <<”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分必要条件．故选：C ．6．过点(1,2)A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=或30x y +-=D ．20x y -=或10x y -+= 【解答】解：当直线过原点时，可得斜率为20210k -==-， 所以直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设方程为1x y a a+=-， 代入点(1,2)可得121a a-=，解得1a =-， 所以直线方程为10x y -+=；综上知，所求直线方程为：20x y -=或10x y -+=． 故选：D ．7．已知2(1)45f x x x -=+-，则(1)(f x += ) A ．287x x ++ B ．26x x +C ．223x x +-D ．2610x x +-【解答】解：2(1)45f x x x -=+-，2()6f x x x ∴=+， 2(1)87f x x x ∴+=++故选：A ．8．定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且f （1）2018=，f （2）2019=，则(2018)(2019)(f f += ) A ．4035B ．4036C ．4037D ．4038【解答】解：奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称， (2)(2)(2)f x f x f x ∴+=-=--，即(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=， 即()f x 是周期为8的周期函数， 则f （1）2018=，f （2）2019=，(2018)(25282)f f f ∴=⨯+=（2）2019=，(2019)(25283)f f f =⨯+=（3）(14)(1)f f f =-+=--=（1）2018=，则(2018)(2019)201820194037f f +=+=， 故选：C ．9．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AA C C 所成角的正弦值等于( )ABCD【解答】解：以C 为原点，在平面ABC 中，过C 作CB 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设122AA AB ==，则A ，12，0)，(0C ，0，0)，1(0C ，0，2)，(0D ，1，1)， 3(CA =12，0)，1(0CC =，0，2)，(AD =-12，1)， 设平面11AA C C 的法向量(n x =，y ，)z ，则13102220n CA x y n CC z ⎧=+=⎪⎨⎪==⎩，取1x =，得(1n =，0)，设AD 与平面11AA C C 所成角为θ，则||3sin 4||||24AD n AD n θ===，AD ∴与平面11AA C C 故选：C ．10．己知正实数x ，y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的x ，y ，都有2()()60x y a x y +-++…恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．B ．7C ．D ．8【解答】解：正实数x ，y 满足3x y xy ++=，而2()2x y xy +…， 23()2x y x y +∴++…， 2()4()120x y x y ∴+-+-…，6x y ∴+…或2x y +-…（舍去）， 6x y ∴+…．又正实数x ，y 有2()()60x y a x y +-++…恒成立， 6a x y x y ∴+++…恒成立， 6()min a x y x y∴+++…， 令(6,)x y t t +=…，6()g t t t=+，由双钩函数的性质得()g t 在[6，)+∞上单调递增， ∴6()()min min x y g t g x y ++==+（6）6676=+=． 7a ∴…，即a 的最大值为7．故选：B．11．已知ABC∆的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos1sin sinA B C A C-+=+，则ABC∆的最大边长为()A．2B．3C D．【解答】解：222cos cos cos1sin sinA B C A C-+=+，222(1sin)(1sin)(1sin)1sin sinA B C A C∴---+-=+，∴可得222sin sin sin sin sinA CB A C+-=-，∴根据正弦定理得222a cb ac+-=-，所以2221cos22a c bBac+-==-，(0,180)B∈︒︒，120B∴=︒，所以b最大，又ABC∆的外接圆半径为R，面积为23Rππ=，R=，所以32sin33b R B===，故选：B．12．设函数2()sinf x xππ=-在(0,)+∞上最小的零点为x，曲线()y f x=在点(x，0)处的切线上有一点P，曲线232y x lnx=-上有一点Q，则||PQ的最小值为()A B C D【解答】解：函数2()sinf x xππ=-的零点为x k=，k Z∈，由题意可得1x=，()f x的导数为()2cosf x xπ'=-，曲线()y f x=在点(1,0)处的切线斜率为2cos2π-=，可得切线方程为22y x=-，232y x lnx=-的导数为13y xx'=-，设与切线22y x=-平行的直线与曲线232y x lnx=-相切的切点为(,)m n，可得232n m lnm=-，0m>，而132m m-=，解得1m =（负的舍去），则切点为3(1,)2，可得切点到直线22y x =-的距离为d ==则||PQ ， 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．cos 27cos18sin 27sin18︒︒-︒︒【解答】解：cos 27cos18sin 27sin18cos(2718)cos 45︒︒-︒︒=︒+︒=︒=． 14．已知(2)n a a n a =-+，若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 (,2)-∞ ． 【解答】解：已知(2)n a a n a =-+，若数列{}n a 是递增数列， 则20a ->，求得2a <，故实数a 的取值范围为(,2)-∞， 故答案为：(,2)-∞．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB =，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆ 【解答】解：如图，由于90BAC ∠=︒，连接上下底面外心PQ ， O 为PQ 的中点，OP ⊥平面ABC ，则球的半径为OB ，球O 的表面积为28π，OB ∴=由题意，14BB =，90BAC ∠=︒，所以BC ===所以3AC ==，则ABC ∆的面积为12S AB AC =⨯⨯=．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，||FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为3． 【解答】解：如图所示，设左焦点为1F ，圆与x 轴的另一个交点为B ， 根据对称性，可得AM AN =．又线段AM 的垂直平分线经过点N ，AN NM ∴=， AMN ∴∆时正三角形． 30MAF ∠=︒，60MBF ∠=︒， MF AF a c ∴==+，13MF a c ∴=+，在1MFF ∆中，由余弦定理可得2221112cos120MF MF FF MF FF =+-︒； 22340c ac a ∴--=， 2340e e ∴--=， 43e =． 故答案为：43三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数22()2sin cos f x x x x x =+． （1）求()f x 的对称轴；（2）当[0α∈，]π时，若()1f α=，求α的值．【解答】解：（1）22()2sin cos f x x x x x =+22)sin 22sin 22sin(2)3cos x sin x x x x x π=-+=+=+．由232x k πππ+=+，得122k x ππ=+，k Z ∈． ()f x ∴的对称轴为122k x ππ=+，k Z ∈； （2）由()1f α=，得2sin(2)13πα+=，1sin(2)32πα∴+=， [0α∈，]π，∴2[33ππα+∈，7]3π， 则5236ππα+=或11236ππα+=， 即4πα=或34πα=． 18．己知数列{}n a 中，11a =，121(*)n n a a n N +=+∈． （1）求n a 的通项公式；（2）设2(1)log (1)n n n b a a =++．求{}n b 的前n 项和： 【解答】（1）解：设12()n n a k a k ++=+；则12n n a a k +=+； 1k ∴=；令1n n c a =+，其中1112c a =+=；则等比数列{}n c 的通项公式为：1*222()n n n c n N -=⨯=∈； ∴数列{}n a 的通项公式为：*121()n n n a c n N =-=-∈（2）解：由（1）可知，2222n n n n b log n ==，*()n N ∈； 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，⋯①234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，⋯②①-②，可得123122222n n n T n +-=+++⋯+-12(12)212n n n +-=--整理可得，数列{}n b 的前n 项和．1*(1)22()n n T n n N +=-+∈19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、Q 分别是1AA 、11A C 的中点． （1）设棱1BB 的中点为D ，证明：1//C D 平面1PQB ；（2）若2AB =，114AC AA AC ===，1160AA B ∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ；求三棱柱111ABC A B C -的高．【解答】（1）证明：连接AD ，D 是1BB 的中点，P 是1AA 的中点，可由棱柱的性质知1//AP DB ，且1AP DB =；∴四边形1ADB P 是平行四边形，1//AD PB ∴．P ，Q 分别是1AA 、11A C 的中点，1//AC PQ ∴，∴平面1//AC D 平面1PQB ．1C D ⊂平面1AC D ， 1//C D ∴平面1PQB ．（2）解：三棱柱的高转化成三棱锥1C ABC -的高，设为h ， 过点1B 作11B M A A ⊥交1A A 于点M ，因为平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，平面11AA C C ⋂平面111AA B B A A =， 又因为11B M A A ⊥，所以1B M ⊥平面1ACC ，在△11A B P 中求得1B M =，又因为122ABC S ∆=⨯=，114442ACC S =⨯⨯=． 所以11C ABC B ACC V V --=，所以1133ABC h S h ∆⨯⨯==．20．已知点(1,0)F 和直线1:1l x =-，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P ． ()I 求点P 的轨迹C 的方程；()II 设直线PF 与轨迹C 相交于另一点Q ，与直线1l 相交于点N ，求NP NQ 的最小值．【解答】解：()I 连接PF ，MF 的中垂线l 交2l 于点P ，||||PF PM ∴=，即点P 到点(1,0)F 的距离等于点P 到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的定义可得点P 的轨迹C 是以F 为焦点，以直线1:1l x =-为准线的抛物线，方程为24y x =．()II 把直线PF 的方程(1)y k x =-代入24y x =可得2222(24)0k x k x k -++=，0k ≠，且△0>．且212224k x x k ++=，121x x =．NP NQ 和 同向，(1,2)N k --，∴222121212||||1|1|1|1|(1)(1NP NQ NP NQ k x k x k x x x x ==++++=++++)2214(2)16k k =++…，当且仅当1k =±时，等号成立． ∴NP NQ 的最小值为16．21．已知函数2()2(,)x f x e mx m x R m R =--∈∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1m =，不等式()2f x lnx ln bx -+…对一切0x >恒成立，求实数b 的取值范围 【解答】解：（1）()f x 的定义域是R ，2()22x f x e m '=-． ①0m …时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增： ②0m >时，2()220x f x e m '=-=，解得12x lnm =，当12x lnm <时，()0f x '<，则()f x 在1(,)2lnm -∞上递减；当12x lnm >时，()0f x '>，则()f x 在1(,)2lnm +∞上递增．（2）当1m =时，2()21x f x e x =--， 依题意知不等式()2f x lnx ln bx -+…，即2212x e x lnx ln bx ---+…在(0,)+∞上恒成立，即2(2)2x e lnx b x ln e --+…在(0,)+∞上恒成立， 设2()(2)x g x e lnx b x =--+，21()2(2)x g x e b x '=--+， 令02001()2(2)0x g x e b x '=--+=，0200122(0)x e b x x -=+>， 易知()g x 在0(0,)x 上递减，在0(x ，)+∞上递增，则002200000()()(2)(12)12x x min g x g x e lnx b x x e lnx ln e ==--+=--+…， 即0200(21)20x x e ln x -+…，设020t x =>，则()(1)0h t t e lnt '=-+…，1()0h t te t''=+>，则()h t 递增，又h （1）0=， 故0021t x <=…，0102x <…， ∴02012222x b e e x +=--…， 解得24b e -…．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为4(x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数）．曲线2C 的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C 交于点M ，射线6πθ=与曲线2C 交于点N ，求MON ∆的面积（其中O 为坐标原点）． 【解答】解：（1）由曲线14:(x C t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数），消去参数t得：4x = 化简极坐标方程为：sin()26πρθ+=曲线2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 消去参数θ得：224177x y += 化简极坐标方程为：22(13sin )7ρθ+=（2）联立2sin()2633πρρθππθθ⎧=+=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩，即(2,)3M π联立222(13sin )766ρρθππθθ=⎧+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩， 即(2,)6N π故11||||sin 22sin()12236MON S OM ON MON ππ∆=∠=⨯⨯⨯-= 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…． 【解答】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 （Ⅰ）解：()1f x x +…，即|1||3|1x x x -+-+…．①当1x <时，不等式可化为421x x -+…，1x …． 又1x <，x ∴∈∅；②当13x 剟时，不等式可化为21x +…，1x …． 又13x 剟，13x ∴剟． ③当3x >时，不等式可化为241x x -+…，5x …． 又3x >，35x ∴<…．综上所得，13x 剟，或35x <…，即15x 剟． ∴原不等式的解集为[1，5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+--+-=…， 2c ∴=，即2a b +=．令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，22222(1)(1)11444111()2a b m n m n m n a b m n m n mn --+=+=+++-==+++…， 原不等式得证．。
2020-2021重庆市一中高中必修一数学上期中一模试卷(附答案)
2020-2021重庆市一中高中必修一数学上期中一模试卷(附答案)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,76．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ð D ．()()U M P S ⋂⋃ð7．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3- B．1,33C ．11,,33-D ．11,,3329．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．函数()245f x xx =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,411．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 14．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．23．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？24．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.25．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．26．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．3．B解析：B 【解析】【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．11．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.14．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值17．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-，实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】 本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.18．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-【解析】【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称，作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点.故m 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系解析：【分析】【详解】 试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．三、解答题21．（Ⅰ）()()(](]2110800,1229012,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（Ⅱ）在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析【分析】（I ）当(]0,12x ∈时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当(]12,40x ∈时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.（II ）利用分段函数解析式解不等式()62f x >，由此求得学习效果最佳的时间段.【详解】（Ⅰ）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+，过点()12,78代入得，则()()2110802f x x =--+， 当(]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点()12,78、()40,50，得12784050k b k b +=⎧⎨+=⎩，即90y x =-+，则函数关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （Ⅱ）由题意(]0,12x ∈，()211080622x --+>或(]12,40x ∈，9062x -+>. 得412x <≤或1228x <<，∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.22．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)．令t ＝2x，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数．∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26.(2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立，∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10.故a 的取值范围为(－∞，－10]．23．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论.【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =，又由1t =时，11()42a -=，解得3a =， 所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.24．（1）2；（2）(]1,3.【解析】【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】 （1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=； （2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?.因此，实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题. 25．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ．【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝． 由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．26．（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【解析】【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2min (31)x x -+，2min (31)m x x <-+即可.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立.设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.。
2020届重庆铜梁县第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2020届重庆铜梁县第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．若集合A ={0,1,2,3}，B ={x ︳21,x m m A =-∈}，则A B I =（ ） A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{0,1}D ．{3}【答案】B【解析】求出集合B 后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案.【详解】 {1,1,3,5}B =-,{0,1,2,3}{1,1,3,5}{1,3}A B ⋂=⋂-=,故选：B【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题. 2．若sin 0,sin 20αα><，则α是第（ ）象限的角A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】根据二倍角的正弦公式以及sin 0α>，可得cos 0α<，由此可得α是第二象限角.【详解】因为sin 22sin cos 0ααα=<，且sin 0α>，所以cos 0α<，所以α是第二象限角.故选：B【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了正弦函数与余弦函数的符号规则，属于基础题. 3．已知命题P ：,sin 10x x R e x ∃∈-+<，则⌝P 是（ ）A ．,sin 10x x R e x ∃∈-+≥B ．,sin 10x x R e x ∀∈-+<C ．,sin 10x x R e x ∀∈-+≥D ．,sin 10x x R e x ∃∈-+≤【答案】C【解析】“存在”改为“任意”，“小于”改为“大于等于”即可得到.【详解】因为命题P ：,sin 10xx R e x ∃∈-+<，所以p ⌝：,sin 10x x R e x ∀∈-+≥ 故选：C【点睛】本题考查了存在量词的命题的否定，属于基础题.4．函数3()log (1)f x x =+的定义域为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,1)-C ．(]1,1-D ．(1,1)-【答案】C【解析】利用偶次根式的被开方非负以及对数的真数为正数列不等式组解得结果即可.【详解】 由22010x x ⎧-≥⎨+>⎩ 解得11x -<≤， 所以定义域为(]1,1-，故选：C【点睛】本题考查了求含偶次根式和对数符号的函数的定义域，偶次根式的被开方非负与真数为正数是求定义域时，经常碰到的，需要牢固掌握，属于基础题.5．已知4tan()30απ+-=，则cos2α的值为（ ）A ．725B ．725-C ．925D ．925- 【答案】A【解析】根据诱导公式求得3tan 4α=，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将cos2α化为正切的形式，代入正切值即可得到.【详解】因为4tan()30απ+-=，所以3tan 4α=， 所以222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+221tan 1tan αα-==+2231()743251()4-==+. 故选：A【点睛】本题考查了诱导公式，考查了二倍角的余弦公式以及同角公式，弦化切是解题关键，属于基础题.6．函数3log 2,0()5,0x x x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩ 有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ） A ．0m <B ．112m <<C ．102m <<D ．0m ≤或1m > 【答案】A【解析】先求充要条件为1m >或0m ≤，再根据充分不必要条件的概念以及四个选项可得答案.【详解】先求充要条件：因为当0x >时，令3log 20x -=，解得9x =符合，所以当0x ≤时，令50x m -=，则此方程无解，因为0x ≤时，051x <≤，所以1m >或0m ≤ ，所以 3log 2,0()5,0x x x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充要条件是1m >或0m ≤， 根据四个选项，结合充分不必要条件的概念可知选A.故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，考查了函数的零点，属于基础题.7．已知1sin()124πα+=，则17cos()12πα-的值等于（ ） A ．14 B ．14- CD．【答案】B【解析】分别根据诱导公式三，二，五转化为sin()12πα-+，结合已知可得答案.【详解】因为17cos()12πα-=5cos()12παπ--5cos()12ππα=+- 5cos()12πα=--cos[()]212ππα=--+ sin()12πα=-+14=-. 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式三，二，五，属于基础题.8．已知34x y k ==，且212x y +=，则实数k 的值为（ ） A ．12B．C．D ．6 【答案】D【解析】将34x y k ==化为对数式，再倒过来，利用对数的运算法则即可得到答案.【详解】由34x y k ==得3log x k =，4log y k =， 所以1log 3k x=，1log 4k y =， 所以212log 3log 4log 362k k k x y+=+==， 所以236k =，又0k >，所以6k =.故选：D【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，考查了对数的运算法则，属于基础题.9．设实数37log 2a =，131()4b =，131log 5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A【解析】根据对数函数3log x =的单调性可得1c a >>，根据指数函数的性质可得1b <，由此可得答案.【详解】 因为131log 5c =3log 5=，37log 2a =，且3log y x =在(0,)+∞上是增函数， 所以1c a >>， 又131()14b =<，故c a b >>， 故选：A【点睛】本题考查了对数函数的单调性，考查了指数函数的性质，属于基础题.10．设有限集合A =123{,,,}n a a a a L ，则称123A n S a a a a =++++L 为集合A 的和.若集合M ={x ︳2,N ,6x t t t *=∈<},集合M 的所有非空子集分别记为123,,,k P P P P L ，则123k PP P P S S S S ++++L =（ ） A ．540B ．480C ．320D ．280【答案】B【解析】求出{2,4.6.8.10}M =后，分别求出含有2,4,6,8,10的子集个数，然后可求得结果.【详解】 {2,4.6.8.10}M =，其中含有元素2的子集共有4216=个，含有元素4的子集共有4216=个，含有元素6的子集共有4216=个，含有元素8的子集共有4216=个，含有元素10的子集共有4216=个，所以123k P P P P S S S S ++++L (246810)16480=++++⨯=.故选：B【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了集合的子集个数的计算公式，属于基础题. 11．设(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，且cos tan (1sin )βαβ=-，则下列式子中为定值的是（ ）A ．βα+B ．2αβ-C ．2αβ-D ．2αβ+ 【答案】C【解析】将已知等式切化弦后，利用两角差的余弦公式以及诱导公式变为cos()cos()2παβα-=-，再根据余弦函数cos y x =在[0,]π上为递减函数可得到结果.【详解】因为cos tan (1sin )βαβ=-， 所以sin cos (1sin )cos αββα=-， 所以cos cos sin sin sin αβααβ=-，所以cos()sin αβα-=， 所以cos()cos()2παβα-=-， 因为(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，所以0αβπ<-<，022ππα<-<，因为cos y x =在[0,]π上为递减函数， 所以2παβα-=-，即22παβ-=（定值），故选：C【点睛】本题考查了同角公式切化弦，考查了两角差的余弦公式，考查了诱导公式，考查了余弦函数的单调性，属于中档题.12．已知函数()log 2(0,1)m f x x m m =->≠，若a b c d >>>且()()()()f a f b f c f d ===，则11111111a b c d +++----的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．4m【答案】A 【解析】不妨假设1m >，作出函数()f x 的图像，根据图像可得21a ->，021b <-<，021c <-<，122d <-<，根据已知可得log (2)log (2)log (2)log (2)m m m m a b c d -=--=--=-，进一步可得13a d -=-，13c b -=-，122b d-=-，再将所求式子化为22221(2)11(2)d d =+--+-+-，化简可得答案.【详解】不妨假设1m >，作出函数()f x 的图像如下：由图可知321a b c d >>>>>>，所以21a ->，021b <-<，021c <-<，21d ->，因为()()()()f a f b f c f d ===，且1m >，所以log (2)log (2)log (2)log (2)m m m m a b c d -=--=--=-，所以22a d -=-，22b c -=-，(2)(2)1b d --=，所以13a d -=-，13c b -=-，122b d-=-， 所以111111111133a c b d d b +++=+------1111b d ++-- 1111()()3131b b d d =+++---- 22(3)(1)(3)(1)b b d d =+---- 22224343b b d d =+-+--+- 2222(2)1(2)1b d =+--+--+ 22221(2)11(2)d d =+--+-+- 2222(2)2(2)1(2)1d d d -=+----+22228824343d d d d d d -+=+-+-+- 22288243d d d d -+-=-+ 2=.故选：A【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用等基础知识，考查了函数图像的作法，考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，数形结合思想，转化划归思想，属于较难题.二、填空题13．已知2(1)lg 2f x x x +=-，则(3)f =_________.【答案】2-【解析】在2(1)lg 2f x x x +=-中令1x =即可求出结果.【详解】 因为2(1)lg 2f x x x +=-， 所以2(3)(1)lg1210221f f =+=-⨯=-=-，故答案为：2-.【点睛】本题考查了求函数的函数值，不需要求函数解析式，在已知中令1x =即可解决问题，属于基础题.14．奇函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x -为偶函数，且(1)3f =，则(19)(20)f f +=_________.【答案】3-【解析】根据已知条件推出周期为4，根据周期性将所求转化为(1)(0)f f -+即可得到结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，且(0)0f =，因为(1)f x -为偶函数，所以(1)(1)f x f x --=-，所以(1)(1)f x f x -+=-，所以(1)(1)f x f x +=--，所以(3)(21)(1)[(1)]f x f x f x f x +=-+-=-+=---(1)f x =-，所以()f x 的周期为4，所以(19)(20)f f +(451)(45)f f =⨯-+⨯(1)(0)(1)(0)f f f f =-+=-+ 303=-+=-.故答案为：3-【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性推出周期，根据周期性求函数值，属于中档题. 15．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>是偶函数，且对任意x ∈R ，都有2()()3f x f π≥成立，则ω的最小值是________. 【答案】32 【解析】根据函数为偶函数可得,2k k Z πϕπ=+∈，()cos()f x A x k ωπ=+，根据对任意x ∈R ，都有2()()3f x f π≥成立，可得23x π=时，函数()f x 取得最小值A -，从而可得结果.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>是偶函数，所以(0)sin f A A ϕ==±，即sin 1ϕ=±， 所以,2k k Z πϕπ=+∈， 所以()sin()cos()2f x A x k A x k πωπωπ=++=+，k Z ∈，又因为对任意x ∈R ，都有2()()3f x f π≥成立， 所以23x π=时，函数()f x 取得最小值A -， 所以2cos()13k πωπ+=-，k Z ∈ 所以2(21)3k n πωππ+=-，k Z ∈，n Z ∈，所以2213n k ω=--，k Z ∈，n Z ∈， 因为0>ω，所以211n k --=（k Z ∈，n Z ∈）时，ω取最小值32. 故答案为：32【点睛】 本题考查了正弦型函数的奇偶性，考查了正弦型函数的最值，属于中档题.16．已知函数2()ln f x x x x x =+-，且0x 是函数()f x 的极值点.给出以下几个结论：① 001ex <<；② 0012ex x >>； ③ 00()0f x x +<； ④ 001()04f x x ++>.其中正确的结论是___________（填上所有正确结论的序号）.【答案】② ④【解析】求导后利用零点存在性定理可得①不正确，② 正确，利用()f x x +为增函数可得③不正确，④正确.【详解】因为2()ln f x x x x x =+-，所以()1ln 21ln 2f x x x x x '=++-=+， 所以()f x '为(0,)+∞上的递增函数，依题意()f x '有唯一零点0x ， 因为1112()ln 210f e e e e '=+⨯=-< ，111()ln 21ln 20222f '=+⨯=->， 所以根据零点存在性定理有0112x e <<，所以①不正确，②正确， 又00()f x x +20000000ln (1ln )x x x x x x x =+-+=+01(1ln )0x e>+=，所以③不正确， 所以001()04f x x ++>，故④正确. 故答案为：②④【点睛】本题考查了函数的极值点，考查了零点存在性定理，考查了函数的单调性的应用，属于中档题.三、解答题17．现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地区、单位的发展.某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被淘汰.三轮的项目问题都正确解决者即被录用.已知A 选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为45、23、12，且各项目问题能否正确解决互不影响. （1）求A 选手被淘汰的概率；（2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.【答案】（1）1115；（2）分布列见解析，85. 【解析】（1）根据对立事件的概率公式可求得；（2）由题知：ξ可取值为0,1,2,3，计算出各个取值的概率后写出分布列和期望即可. 【详解】（1）所求概率42111153215P =-⋅⋅=. （2）由题知：ξ可取值为0,1,2,341(0)155P ξ==-=， 424(1)(1)5315P ξ==-=，4214(2)(1)53215P ξ==⋅-=，4214(3)53215P ξ==⋅⋅=所以ξ的分布列为：所以8()5E ξ=. 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题. 18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合.（1）若角α的终边所在的方程为2(0)y x x =-≤2tan αα-的值；（2）若角α的终边经过点sin ,cos 55P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，且0α<，求α的最大值.【答案】（1）3；（2）1310π-. 【解析】（1）在角α的终边取一点(1,2)Q -，然后根据定义计算可得； （2）根据定义求得3sin sin 10πα=，然后求得α，由0α<可求得最大值. 【详解】（1）在角α的终边取一点(1,2)Q -，则r OQ == 由三角函数的定义知 cos tan 2αα==-，2tan 143αα-=-+=.（2）由三角函数的定义知 3sin cos sin()sin52510ππππα==-= 3210k παπ∴=+ 或 3722()1010k k k Z ππαπππ=-+=+∈又0α<，所以α得最大值为 1310π-. 【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了已知值求角，属于基础题.19．已知二次函数()f x 满足()0f x ≤的解集为[3,1]-，且在区间[0,2]的最小值为6-. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()xg x f x xe =-的极值.【答案】（1）2()246f x x x =+-；（2）1()8g x e=-极小，2()2(ln 4)6g x =-极大. 【解析】（1）由题可设()(3)(1)(0)f x a x x a =+->，根据最小值可求得2a =，由此可得解析式；（2）求导后，利用导数的符号和极值的定义可求得. 【详解】（1）由题可设()(3)(1)(0)f x a x x a =+->，2()(23)f x a x x ∴=+-在区间[]0,2单调递增，min ()(0)3,f x f a ∴==- 36,2a a ∴-=-∴=2()246f x x x ∴=+-.（2）2()246x g x x x xe =+--，()44(1)(1)(4)x x g x x x e x e '∴=+-+=+-由 ()01g x x '<⇒<- 或 ln 4x >，由 ()01ln 4g x x '>⇒-<<，()g x ∴在(,1)-∞-单减，在(1,ln 4)-单增，(ln 4,)+∞单减，1()(1)8g x g e∴=-=-极小，2()(ln 4)2(ln 4)6g x g ∴==-极大.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，考查了利用导数求函数的极值，属于中档题.20．已知直线12,x x x x ==分别是函数()2sin(2)6f x x π=-与3()sin(2)2g x x π=+图象的对称轴.（1）求12()f x x +的值；（2）若关于x 的方程()()1g x f x m =+-在区间[0,]3π上有两解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2±；（2）512m ≤<. 【解析】（1）根据正弦函数的对称轴列式可得12122()()3x x k k ππ+=+-，然后代入12()f x x +，利用诱导公式可求得；（2）sin 2x =在区间[0,]3π上有两解，根据正弦函数的图像列式可得答案. 【详解】（1）由题知：11221232,2,(,)6222x k x k k Z k Z ππππππ-=++=+∈∈ 12122()()3x x k k ππ∴+=+-，121212()2sin ()2cos()36f x x k k k k ππππ⎡⎤∴+=+--=-+⎢⎥⎣⎦，12k k Z +∈Q ，12()2f x x ∴+=±.（2）由()()1g x f x m =+-3sin(2)2x π⇒+2sin(2)6x π=-+1-m21m x ⇒=+sin 2x =，20,,20,33x x ππ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ， ()()1g x f x m =+-Q 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同实数解，sin 21x ≤<，1≤<，512m ∴≤<. 【点睛】本题考查了正弦函数的对称轴，考查了正弦函数的图像，考查了函数与方程思想，属于中档题.21．已知0a >，函数()ln 21f x x x x a =-++-，()(2)g x a x b =-+.（1）求7()()(1)ln 3h x f x x x x =++-在区间[],2a a +的最大值()M a ； （2）若关于x 不等式()()f x g x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求证：45b a >.【答案】（1）25ln(2),0133()ln 32,132ln 1,33a a a m a a a a a a ⎧++-<<⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+->⎩；（2）证明见解析. 【解析】（1）()h x 1ln 13x x a =-+-，求导后知()h x 在（0,3）上递增，在(3,)+∞单减，然后对a 和2a +分类讨论可得结果；（2）将()()f x g x ≤转化为ln 41b x x ax x a ≥--++-在(0,)x ∈+∞恒成立，对不等式右边构造函数求导求得最大值31a e a -+-，可得31a b e a -≥+-(0)a >恒成立，右边再构造函数求导即可解决. 【详解】（1）7()()(1)ln 3h x f x x x x =++-=1ln 13x x a -+- 113()(0)33xh x x x x-'∴=-=>，由()003h x x '>⇒<<，由()03h x x '<⇒> ()h x ∴在（0,3）上递增，在(3,)+∞单减，①当23a +<即01a <<时，()h x 在[],2a a +上递增，25()(2)ln(2)33m a h a a a ∴=+=++-②当32a a ≤≤+即13a ≤≤时，()h x 在[,3]a 上递增，在[3,2]a +单减，()(3)ln 32m a h a ∴==+-；③当3a >时，()h x 在[],2a a +上单减，2()()ln 13m a h a a a ∴==+-，25ln(2),0133()ln 32,132ln 1,33a a a m a a a a a a ⎧++-<<⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+->⎩（2）由()()f x g x ≤ln 41b x x ax x a ⇒≥--++-在(0,)x ∈+∞恒成立， 令()ln 41p x x x ax x a =--++-，()ln 3p x x a '=--+在(0,)+∞上单减， 由3()0ap x x e-'=⇒=，所以()p x 在（0,3a e -）上递增，在3(,)ae -+∞单减，33max ()()1a a p x p e e a --∴==+-，31a b e a -∴≥+-，341155a b a e a -∴-≥+-，令31()1(0)5a R a e a a -=+->，31()5a R a e -'=-+在在(0,)+∞上递增，令31()05t R t e -'=⇒=，且()R a 在（0,t ）上递减，在(,)t +∞单增，所以3114()()1555tR a R t e t t -≥=+-=-，又34111(4)055R e e -'=-+=-<，352111(5)055R e e-'=-+=->，45t ∴<<14()055R a t ≥->，440,55b a b a ∴->∴>，又40,5b a a >∴>.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数证明不等式，考查了转化划归思想，考查了分类讨论思想，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为3sin 2cos x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；曲线2C 是过点Q （1，0），斜率为2的直线，且与曲线1C 相交于A 、B 两点.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的参数方程； （2）求22QA QB +的值.【答案】（1）223645sin ρθ=+，15x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（2）415. 【解析】（1）先将1C 的参数方程化为普通方程，再根据互化公式化为极坐标方程，设2C 的倾斜角为θ，则tan 2θ=，所以cos θθ==，则可得2C 的参数方程； （2）将2C 的参数方程代入22194x y +=，利用参数的几何意义可求得结果.【详解】（1）由2222223sin 14cos 9sin 362cos 94x x y y αρθρθα=⎧⇒+=⇒+=⎨=⎩ 22(45sin )36θρ⇒+=，所以曲线1C 的极坐标方程为：223645sin ρθ=+， 设2C 的倾斜角为θ，则tan 2θ=，所以cos θθ==， 所以曲线2C的参数方程为：15x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) （2）将15x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22194x y +=中得224(1)9()3655t ++=，240t ∴+-=， 设A 、B 两点对应的参数分别为12,t t，则121245t t t t +=-⋅=-， 22222121212141()2855QA QB t t t t t t ∴+=+=+-=+=.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，普通方程化极坐标方程，考查了直线的参数方程及其几何意义，注意要用直线参数方程的标准形式，属于中档题 23．已知函数()213f x x x =++-. （1）求不等式()26f x x ≤-的解集；（2）已知m 是函数()f x 的最小值，若正数,a b 满足2a b m +=，求证：227b aa b+≥.【答案】（1）24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用两边平方去绝对值，再解一元二次不等式可得；（2）先求m ，利用绝对值三角不等式可求得，然后利用基本不等式可证不等式. 【详解】（1）由22()26213(21)(3)f x x x x x x ≤-⇒+≤-⇒+≤-223108043x x x ⇒+-≤⇒-≤≤， 所以原不等式的解集为24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）因为()|21||3|f x x x =++-11|||||3|22x x x =++++- 11|||3|22x x x ≥++++-77022≥+=当且仅当1()(3)02x x +-≥且12x =-时等号成立，所以72m =， 因为0,0a b >>，所以223322()()b a a b a b a b a b b a ++=+++22a b ≥++ 222a b ab =++2()a b =+（当且仅当72a b ==时等号成立） 227b a a b a b∴+≥+=.所以227 b aa b+≥.【点睛】本题考查了利用绝对值三角不等式求最小值，考查了利用基本不等式证明不等式，属于中档题.。
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1
1 2
)
bn
，设数列
cn
的前
n
项和为 Tn
，求证:
2 3
Tn
1
。
f x a ln x x2 a 2x a2
20．（12 分）已知函数
4.
（1）当曲线 f x在 x 3 时的切线与直线 y 4x 1平行，求曲线 f x在 1, f 1处的
切线方程；
（2）求函数 f x的极值，并求当 f x有极大值且极大值为正数时，实数 a 的取值范围。
因此，当 x
a 时， g(x) 取得极大值 g(
a ) 2(
a 1)e a 1 a2 4；
当x
a 时， g(x) 取得极小值 g(
a ) 2(
a 1)e a 1 a2 4.
综上所述：当 a 0 时， g(x) 无极值；
g( a ) 2( a 1)e a 1 a2
当 a 0 时，极大值为
a 1, 1 (a 1)3 b 0
A．
6
a 1, 0 b 1 (a 1)3
B．
6
1 a 1, 1 (a 1)3 b 0
C.
6
1 a 1, 0 b 1 (a 1)3
D．
6
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在答题卷相应题目的答题区域内作
即
3
sin
C
cos
C
1 ，即
2 sin
C
π 6
1
sin
，则
C
π 6
1 2
，
π C π 5π C π π C π
∵ 0 C π ，∴ 6
6 6 ，∴ 6 6 ，即 3 ，
则
sin
C
π 6
sin
π 3
π 6
sin
π 2
1
.
19．解(1)设等比数列
an
的公比为
q
,等差数列
f
x 0, 在
递减，
f
x 无极值.
（2）当 a
0
时，由
f
' x
0
得
x
a 2
.
随
x
的变化
f
'x
、
f
x 的变化情况如下：
x
0,
a 2
a 2
a 2
,
f 'x
0
_
f x
极大值
故
f
x 有极大值，无极小值；
f
x 极大
a
ln
a 2
a 2
2
a
2
a 2
a2 4
a ln a a 2，
f x a ln a a 0
0
(0,1)
1
(1, )
f '(x)
_
0
0
_
0
f (x)
由表得: f (x) 的递增区间为: (1, 0) , (1, ) ; 递减区间为: (, 1) , (0,1)
(2) 因为 g(x) (x2 2x 2 a)ex f (x) ， 所以 g(x) (2x 2)ex (x2 2x 2 a)ex f '(x) (x2 a)ex e(x3 ax) (x2 a)(ex x) ，
，将函数图象向
π
左平移 12 个单位得到函数 g(x) 的图象，则 g(x) (
)
sin(x π )
A．
3
sin(2x π )
B．
3
sin(2x )
sin(x π )
C．
4 D．
4
11．在平行四边形 ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上(包含端点)，且 AC 2 ，则
PB PD PA
由题意得:
3
，得 a 3 .
f 1 12 3 21 32 9
当 x 1 时，
4 4，
f '1 3 21 3 2 2
1
，
曲线
f
x在 1,
f
1处的切线方程为
y
9 4
2x
1
，即
8x
4y
17
0
.
（Ⅱ）
f
' x
a x
2x
a
2
2x
a x
x
1
(x
0)
.
（1）当 a
0
时，
f
' ( x)
0 ，所以，
铜梁一中高 2020 届 11 月月考试题
(文科数学)答案
一、选择题：BABCC,CDDAB,CD
2 2 5
二、填空题： 13. 5 ； 14.
1, 2
； 15.
；16.
[1, 0) [2,3)
三、解答题：
1 17.解(1) an1
2 an
0 an1
，
1 2 an ，
又
a1
1 2
，所以数列
有（ ）
1 A. 最大值为 2 ，没有最小值
1 B. 最小值为 2 ，没有最大值
1 C. 最小值为 2 ，最大值为 4
1 D. 最小值为 4 ，最大值为 2
12.
已知 a,b R
,函数
f
(x)
x, x 0
1 3
x3
1 2
(a
1)
x
2
ax, x
0
,若函数
y
f
(x) ax b 恰
有 3 个零点，则( )
极大
由
2
，∵ a 0 ，∴ a 2e .
所以，当
f
x的极大值为正数时，实数 a
2e,
的取值范围为
。
f (x) 1 x4 1 x2(x R)
21．解(1)当 a 1 时,
42
f ' (x) x3 x , 令 f ' (x) x3 x 0 得 x 1, 0,1
列表:
x
(, 1) 1 (1, 0)
f
(1 8
)
1
,当
x
0
时,
f (x) log2 (x) m ,则实数
m( )
A． 1
B．0
C．1
D．2
9.若复数 z 满足 z 3 4i 2 ，则 z z 的最小值为（
）
A. 9
B. 81
C. 7
D. 49
10.
已知函数
f (x)
sin(x
π )
6
(
π 0) 的相邻对称中心之间的距离为 2
)
A． c b a B． a b c C． b c a D． c a b
5.
函数
f
(
x)
1 2
x
x
的零点所在的一个区间是(
)
A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）
6.已知等差数列
an
的首项为
4
，公差为
2
，前
n
项和为
Sn
，若
Sk
ak 5
60
k N
，
则 k 的值为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 7 或 8
x y 2 0,
x y 2 0,
x… 1, 7. 设 N (4,1), M (x, y) ,变量 x, y 满足约束条件 y… 1,
，则 z OM ON 的最小值
为( )
A． 7
B． 3
C． 2 D． 13
8.
函数
f (x) 是定义在 R 上的奇函数,
bn
2
11
(2n 1) (2n 1) 2n 1 2n 1
Tn
1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
1 2n 1
1 2n 1
1
1 2n 1
n N
Tn 递增,
n ,Tn 1 T1 Tn 1 ,即:
2 3
Tn
1
20．解:（Ⅰ）
f
' x
a x
2x
a
2
(x
0)
,
f '3 a 2 3 a 2 4
答．
13.
(0, ), 2sin 2
已知
2
cos 2
1,则 cos
_______．
14. 已知向量 a (1, 2) ， b (2,3) ， c (4,5) ，若 (a b) c ，则实数 _______．
15.当 x (, 1) 时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0 恒成立，则实数 m 的取值范围是
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第 22 题)
22．（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 M (0 ,0 )(0 0) 在曲线 C : 4 cos 上，直
线 l 过点 A(0, 4) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
C． x0 R, x02 x0 1 0
D． x0 R, x02 x0 1 0
3.设
a,b R
，则“
a
b
a
”是“
ba2
0
”的(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
条件
4.已知 a log2 (x2 16), b log3 8, c 0.31 ，则 a，b，c 的大小关系为(