平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是平面上最常用的坐标系统之一，用于描述平面上的点和其它几何图形的位置。
它由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴，它们的交点被称为原点。
一、坐标系介绍坐标系是用来刻画空间中各点位置的系统，而平面直角坐标系是坐标系中的一种。
平面直角坐标系的构成：1. x轴：水平的直线，向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。
2. y轴：垂直于x轴的直线，向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
3. 原点：x轴和y轴的交点，被称为坐标系的原点。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点可以表示为一个有序数对，即(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
1. 横坐标：横坐标表示点在x轴上的位置。
在原点的右边为正方向，左边为负方向。
2. 纵坐标：纵坐标表示点在y轴上的位置。
在原点的上方为正方向，下方为负方向。
三、点的位置关系根据坐标系的定义，我们可以判断点的位置关系。
1. 同一直线上的点：如果两个点的横坐标相等，纵坐标不同时，它们在同一条直线上，且与原点的距离相等。
2. 垂直关系：如果两个点的纵坐标相等，横坐标不同时，它们在同一条垂直线上，且与原点的距离相等。
3. 斜率：直线斜率是用来描述直线的倾斜程度的，斜率为0表示水平线，无限大表示垂直线。
4. 象限：根据点的坐标正负关系，可以将平面分为四个象限。
第一象限：x>0，y>0；第二象限：x<0，y>0；第三象限：x<0，y<0；第四象限：x>0，y<0。
四、点、线和图形的表示方法在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标来表示点、线和图形。
1. 表示点：一个点的位置可以使用有序数对(x, y)来表示。
如点A(2, 3)表示横坐标为2，纵坐标为3的点A。
2. 表示线段：线段由两个端点组成，可以使用两个点的坐标来表示。
如线段AB由两个点A(2, 3)和B(4, 5)表示。
3. 表示直线：直线的方程可以使用斜率截距形式或一般式来表示。
平面直角坐标系
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔
平面直角坐标系
平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。
通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。
坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。
两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。
坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。
x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。
在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。
坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。
一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。
根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。
第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。
坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。
坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。
平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。
例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。
类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。
旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。
例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。
通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。
缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。
例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。
类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述平面上点的位置。
它由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。
x轴是平行于地面的水平线，y轴是垂直于地面的竖直线。
两个轴的交点称为原点O，坐标轴上的单位长度分别称为单位长度，在坐标轴上的点用有序数对(x,y)来表示。
概念距离公式是平面直角坐标系中求两点之间距离的一种方法，它利用勾股定理的原理得出。
即：两点之间的距离等于横坐标的差的平方加纵坐标的差的平方再开平方根。
假设平面直角坐标系上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则A和B之间的距离d可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以用来计算直线上两个点的距离，也可以用来计算任意两个点之间的距离。
中点公式是指在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标，求线段的中点坐标的一种方法。
中点公式的原理是利用两点的坐标分别求出横坐标的平均值和纵坐标的平均值，得到线段的中点坐标。
假设平面直角坐标系上有线段的两个端点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段的中点M的坐标可以表示为：M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)中点公式可以简单地通过将两个端点的横坐标和纵坐标进行平均来计算出线段的中点坐标。
通过概念距离公式和中点公式，我们可以在平面直角坐标系中方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标。
这些公式在几何学、物理学和计算机图形学等学科中都有广泛的应用。
平面直角坐标系是数学中基础而重要的工具之一，它不仅可以用来描述几何图形和计算空间中的点、线、面，还可以应用于解决实际问题，如测量距离、计算速度等。
同时，平面直角坐标系还可以与其他数学概念和方法相结合，如向量、导数等，形成更加完整和强大的数学分析体系。
总之，平面直角坐标系是数学中重要的工具之一，概念距离公式和中点公式是在平面直角坐标系中求解距离和中点问题时常用的方法。
通过运用这两个公式，我们可以方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标，以及应用到各种实际问题中。
平面直角坐标系
02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平 面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再 作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离 。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离 。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可 以确定点在平面直角坐标 系中的位置关系，如平行 、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐 标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对 称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的 关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线 为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一 个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生 变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数， 点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定 直线上任意两点的坐标，从而求 出直线的方程。
平面直角坐标系
平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种用于描述平面内点的坐标系统。
它由两条互相垂直的直线（通常是水平的x轴和垂直的y轴）形成，它们相交于一个点，称为原点。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和使用方法。
一、基本概念平面直角坐标系由两个轴组成，通常称为x轴和y轴。
这两个轴的交点就是原点，用O表示。
x轴向右延伸正无穷远，用正数表示；x轴向左延伸负无穷远，用负数表示。
y轴向上延伸正无穷远，用正数表示；y轴向下延伸负无穷远，用负数表示。
二、坐标表示平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
x和y分别称为点的横坐标和纵坐标。
三、使用方法在平面直角坐标系中，可以进行一些简单的计算和几何分析。
1. 距离计算可以通过坐标计算两点之间的距离。
假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 点的位置关系可以比较两个点的坐标来判断它们的位置关系。
例如，如果点A的横坐标等于点B的横坐标并且点A的纵坐标小于点B的纵坐标，那么可以说点A在点B的上方。
3. 垂直和平行关系可以通过判断两个直线的斜率（或是特殊情况下的截距）来确定它们的关系。
如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
四、坐标系拓展除了普通的平面直角坐标系，还有其他类型的坐标系可以应用于不同的数学和物理问题。
例如，极坐标系以点到原点的距离和该点与正x 轴的角度来描述点的位置。
其他坐标系还包括球坐标系、柱坐标系等。
总结：平面直角坐标系是用于描述平面内点的坐标系统。
通过横坐标和纵坐标的数值，可以表示点在平面中的位置。
在平面直角坐标系中，可以进行距离计算、点的位置关系判断以及直线的垂直和平行关系确定。
此外，还存在其他类型的坐标系，用于解决不同的数学和物理问题。
平面直角坐标系平面直角坐标系
在有些情况下，1个单位长度表示的单位量可能 不是1，需要具体问题具体分析。）
3
特点
坐标轴上的单位长度是等长的，即1个单位长度 上对应的坐标值是等距的。
象限与八分区
• 象限：将平面分成四个区域，左上、右上、左下、右下分别称为第一、第二、第三、第四象限。 • 八分区：将平面分成八个区域，类似于象限的划分方法，但是增加了两条坐标轴上的奇数和偶数分区。具
平面直角坐标系的优化算法
平面直角坐标系也可以用于解决优化问题，例如线 性规划、非线性规划等。
线性规划问题可以定义一个目标函数和一组约束条 件，通过求解目标函数的最大值或最小值，以及满
足约束条件的最优解得到最优解。
非线性规划问题可以定义一个非线性目标函数和 一组约束条件，通过求解目标函数的最小值或最 大值，以及满足约束条件的最优解得到最优解。
特点
平面直角坐标系具有简单易行、直观形象、易于理解与运用 等优点。
平面直角坐标系的重要性
数学科学的基础
平面直角坐标系是数学科学中最为基础和重要的概念之一，它为代数、几何 、分析等多个分支提供了桥梁和工具。
解决实际问题
平面直角坐标系广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于 描述和分析实际问题。
体如下 • 第一象限：(+,+) • 第二象限：(-,+) • 第三象限：(-,-) • 第四象限：(+,-) • x轴正半轴：(+,0) • x轴负半轴：(0,-) • y轴正半轴：(0,+) • y轴负半轴：(-,0)
03
平面直角坐标系的应用
描述点的位置
平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，原点表示为 (0,0)，可以在此基础上确定任意点的位置。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。
本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。
一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。
x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。
两条轴的交点称为原点，记作O。
平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。
二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。
1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。
对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。
2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。
在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。
3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。
向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。
向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。
它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。
平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。
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平面直角坐标系
教学目标：（1）理解并能画出平面直角坐标系，能在方方格纸上建立适当的直
角坐标系。
（2）初步理解坐标平面内点与有序数对的一一对应关系并能熟练的由点的位置求坐标，明确数轴上点的数据特征和四个象限中的点的符号特
征。
重点：由点求坐标（a,b）（b,a）的区别和书写顺序。
难点：平行x 轴或y 轴的线段上的点的坐标有什么特点。
教学方法：利用教室里的学生构建平面直角坐标系，并让学生亲自体会坐标系的概念及相关知识。
教学过程：
一：情景导入
1. 屏幕显示课本P152中图5-6及相关问题；
2．问什么是数轴？
二：新课活动
1.（1 ）首先任意在教室中间指定一名同学，让和其横向在同一条直线的同学都站起来，让其中的一名同学代表原点0,向右手边的最边上的一名同学横向伸出右手代表正方向，并且同学与同学之间的距离代表单位刻度, 这时每位同学代表数轴上的一个刻度值, 这就构成了一条水平方向的数
轴（能够把教室中的同学抽象为在一个平面
内）
再让代表原点0的这位同学所在的一列同学也站起来以同样的方式建立一条铅直位置的数轴，并且向上的一位同学向前伸出一只手为正方向。
这时这两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取和右与向上的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点o称为直角坐标系的原点。
（2）如图显示课本P152图5-7,这两条数轴把我们教室中的同学分为四部分；右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限第三象限第四象限。
再提问几位同学具体说出自己所在的象限，发现：坐标轴上的
2，当对于平面内任意一点P过点P分别向X轴，Y轴作垂线，垂足在X轴，Y轴上对应的数a, b分别叫做点P的横坐标，纵坐标。
有序数对（a,b）叫做点p的坐标。
大屏幕显示课本P153图5-8。
（1）问四个象限中的同学，分别说出自己的坐标，以及坐标符号的特点。
第一象限横坐标为正，纵坐标为正
第二象限横坐标为负，纵坐标为正
第三象限横坐标为负，纵坐标为负
第四象限横坐标为正，纵坐标为负
（2）标轴上的同学的坐标如何表示，及坐标轴上点的坐标的特
点。
会发现：坐标轴上的点的坐标中的至少有一个为0;横轴上的点的纵坐标是0,纵轴上的点的横坐标是0.
（3）大屏幕显示课本P153例1写出图5-9中的多边形ABCDEF 各个项点的坐标，
（4）线段CE的有什么特征CE两点的坐标间有什么关系？会发现：当两点横坐标相同时这两点所在的直线与纵轴平行
当两点纵坐标相同时，这两点所在的直线与横轴平行三，做一做，大屏幕显示P154图5-10以及问题。
四，随堂练习（大屏幕显示）
五，小结：你学到了什么？（本节课的主要内容）
六，作业布置：习题5.3 1.2.3题。