CFD_有限体积方法基本原理
有限体积方法
第三讲 空间离散方法—有限体积法由于控制方程的复杂性，很难求出其解析解，一般采用数值方法对其进行求解。
采用数值求解方法，首先要对流场空间进行离散，即用一些基本体积单元对物理空间进行填充，要求这些体积单元既不能重叠，也不应有间隙，我们称这些体积单元为网格，或控制体积，填充的过程则称为网格生成。
对于二维流动，基本的网格单元有三角形和四边形网格，而对于三维流动，则基本的网格单元可由四面体、三棱柱、金字塔和六面体单元组成，图3.1即为机翼附近网格。
网格划分完成后，就可以应用相应的数值求解方法把每个网格单元中心点处的流动变量求解出来，也就完成了全部流场的计算。
有限体积法就是针对每个控制体积直接对积分形式的控制方程进行离散，从而把积分型方程近似为代数方程进行求解的方法。
图3.1 机翼附近网格3.1 N-S 方程的半离散形式积分形式的N-S 方程为： ∫∫Ω∂Ω=⋅−+Ω∂∂0)(dS n F F Qd t V c r （3-1） 针对空间某一控制体I Ω，首先对时间导数项进行处理，假设守恒变量Q 在控制体积内为常数分布，即等于控制体中心点处的值I Q （也即为控制体积内守恒变量的平均值），有∫Ω∂∂Ω=Ω∂∂t Q Qd t I （3-2） 式（3-1）变为 ∫Ω∂⋅−Ω−=∂∂dS n F F t Q v c I r )(1 （3-3）假设对流通量和粘性通量在控制体界面上为常值分布，且等于界面中心点（面心）处的值，则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ⋅−Ω−=∂∂∑=F N m m m v c I S F F t Q 1)(1 （3-4） 对式（3-3）右端项的近似称为空间离散，而式（3-4）时间方向暂时保留连续的形式，所以称该式为半离散控制方程。
式（3-4）中的m S Δ为第m 个界面的有向面积，即该面的外法线矢量与界面面积的乘积，为一矢量，又称面积矢量。
仔细观察半离散方程可以发现：时间导数项是由单元中心点处的守恒变量值表示的，我们称其为单元中心法；式（3-4）右端项中的通量是关于界面处流动变量的函数，需由界面处的流动变量来确定，由此可看出，流动变量I Q 与流动通量m S F Δ⋅的空间存储位置不同，要想求出流动通量，需先假设流动变量在控制体积内的分布规律，这一过程称为重构，然后确定界面处的流动变量值，再求出界面处的流动通量。
CFD2013-第7讲-有限体积法1
x
y
Qij[1
t x
*A
t y
*B
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B i,
j
1Q
i
,
j
1
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B Q ] i, j 1 i, j 1
tRHS
D U L (D L )D1(D U ) LD 1U
[j,j+1]区间内
U A~ U 0 t x
常系数方程的 Riemann解
f j1/2
1 2
[f(UR
)
f(UL
)]
1 2
S 1
S(UR
UL)
~ A(U R , U L
)
应当具有的性质
~
f(UR ) f(UL ) A(UR , UL )(UR UL )
~ A(U R , U L )
2） f j1/ 2 f (u j1/ 2 )
j-1/2
j+1/2
f j1/ 2 （称为数值流通量） 的含义
u j1/ 2 u(x j1/ 2 ) u在xj+1/2点的值！
关键： 是用 u j 计算 u j1/2（称为重构） ，而不是用 u j 计算u j1/2
F n 垂直于n方向的单位面积的质量、动量和
能量
u u
F
n F1nx
F2ny
u2 uv
p
nx
有限体积法 中科大
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，广泛应用于解决流体动力学、热传导等物理现象的偏微分方程。
它将求解域划分为有限数量的控制体积，然后通过对控制体积应用质量、动量、能量守恒等物理原理，将偏微分方程转化为代数方程组，最终用数值方法求解。
有限体积法的基本思想包括以下几个步骤：
1.离散化：将求解域划分为有限数量的控制体积，这些体积通常是规则的立方体或六
面体。
2.建立守恒方程：对每个控制体积应用守恒方程，例如质量守恒、动量守恒、能量守
恒等。
这通常涉及将偏微分方程转化为积分形式。
3.积分：对守恒方程进行积分，将守恒方程应用于控制体积的表面，得到在体积上的
积分方程。
4.离散化方程：将积分方程离散化，将连续域上的方程转化为离散的代数方程。
5.求解代数方程组：利用数值方法求解得到的代数方程组，通常采用迭代方法或直接
求解方法。
6.结果后处理：根据求解得到的数值解进行后处理，如可视化、数据分析等。
有限体积法的优势在于其能够自然地处理复杂的几何形状、多相流体、非结构网格等问题。
它在计算流体动力学、热传导、固体力学等领域有着广泛的应用。
计算流体力学讲义CFD2013-第7讲-有限体积法1
守恒变 量重构 原始变 量重构 特征变 量重构
U
U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 )
U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 ) qIL1/2 qI 1/ 2 min mod(qI 1 q I , qI qI 1 ) qIR1/2 qI 1 1/ 2 min mod(qI 1 q I , qI 2 qI 1 )
Q11 R11 / a11
Qij (Rij dij Qi 1, j eij Qi , j 1 ) / aij
Qmn Rmn / amn
Qij (aij Qij bij Qi 1, j cij Qi , j 1 ) / aij
3
§ 7.1 结构网格有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格 差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
U IJ t
残差=净通量=右端项
9
2. 无粘通量的计算
F nds
常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J)
点处的物理量； b. 利用该处的物理量，计算出流过 AB边的流通量
方法1： 中心型有限体积法
U I 1/2, J
1 U I , J U I 1, J 2
f 3 f 3 f f z 3 z 3 z z
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
ˆ J 1 ( f f f ) f 2 x 1 y 2 z 3 ˆ J 1 ( f f f ) f 3 x 1 y 2 z 3
有限容积法和有限体积法
有限容积法和有限体积法有限容积法和有限体积法是计算流体力学中常用的两种数值方法，它们在流体动力学的数值计算中占有非常重要的地位。
本文将从概念、原理、特点、应用等方面，对这两种方法进行详细介绍。
一、有限容积法1.概念有限容积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化的数值方法，它将连续的物理量离散化为有限个体积元，在每个体积元内计算其平均值，进而求解整个流体系统的物理量。
FVM方法的核心是质量守恒原理，即物质的进出必须平衡，这种保证了物理量在每个体积元内的守恒关系，从而保证了数值计算的准确性。
2.原理FVM方法的数值计算是基于网格的，它将流体动力学问题离散化为一个由有限体积元组成的系统，将原问题转化为流量守恒方程的求解，即$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\Sigma_{faces}\rho uA$$其中，$\Delta m$是在$\Delta t$时间内通过一个表面的质量变化量，$\rho$是介质的密度，$u$是速度，$A$是面积。
对于每个有限体积元，上式可以写为其中，$F_{ij}^p$和$F_{ij}^n$分别是流向有限体积元内部和外部的通量，$i,j$是有限体积元的编号。
3.特点（1）FVM方法基于质量守恒原理，具有非常强的数值稳定性和保真性；（2）FVM方法的计算结果具有局部守恒性，能够准确反映流场内部的物理现象；（3）FVM方法可以处理非结构化网格，适用范围广泛；（4）FVM方法求解的是面积分，所需的时间和空间存储相对较少。
4.应用（1）流体力学领域，如空气动力学、水力学、燃烧问题等；（2）材料科学领域，如薄膜生长、材料变形等。
有限体积法（Finite Element Method，FEM）是一种离散化的数值方法，它将求解的物理场离散化为有限个单元，然后在每个单元内进行近似计算。
相比于FVM方法，FEM方法更加精确，适用于需要高精度计算的问题。
python计算有限体积流体力学
python计算有限体积流体力学有限体积流体力学是一种用于模拟和分析流体在有限体积内的运动和行为的数值方法。
它通过将流体分割为离散的体积单元，并在每个体积单元内求解流体力学方程来描述流体的运动。
本文将介绍有限体积流体力学的基本原理和应用。
有限体积法的基本原理是将流体域划分为一系列小的离散体积单元，称为控制体。
在每个控制体内，流体的守恒方程被离散化为代表质量、动量和能量守恒的方程。
通过求解这些方程，可以得到流体在整个流场内的运动和行为。
有限体积法的首要任务是将流体域划分为离散的控制体。
这可以通过网格生成算法来实现，其中流体域被划分为一系列小的立方体单元。
每个控制体的边界与相邻控制体的边界相连，形成一个网格。
控制体的大小和形状可以根据具体问题进行调整，以满足数值计算的需求。
在每个控制体内，流体的守恒方程被离散化为代表质量、动量和能量守恒的方程。
对于质量守恒，可以利用控制体内的质量变化率来表示。
对于动量守恒，可以利用控制体内的动量变化率和外力对流体的作用来表示。
对于能量守恒，可以利用控制体内的能量变化率、流体的压力和温度来表示。
这些方程可以通过数值差分方法进行离散化，并利用迭代算法求解。
有限体积法的一个重要优势是可以处理复杂的流体边界条件。
在每个控制体的边界上，可以设置不同的边界条件，如固壁、入口和出口条件。
这些边界条件可以根据具体问题进行设定，并在数值计算中进行考虑。
通过合理设置边界条件，可以模拟不同类型的流体流动，如层流、湍流和多相流动。
有限体积法在工程领域有着广泛的应用。
它可以用于分析流体在管道、喷口和涡轮机等设备中的流动行为。
通过模拟流体在这些设备中的运动，可以优化设备的设计和性能。
此外，有限体积法还可以用于模拟自然界中的流体现象，如河流和海洋中的水流。
总结起来，有限体积流体力学是一种用于模拟和分析流体运动的数值方法。
它通过将流体域划分为离散的控制体，并在每个控制体内求解流体力学方程来描述流体的运动。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
CFD2013-第8讲-有限体积法2
U f(U) 0 t x
U U R U
L
x0 x0
u*
1） 精确 Riemann解 （Godunov方法）
v, w 按照被动标量处理
L R
u* 0 u* 0
Copyright by Li Xinliang
Copyright by Li Xinliang 1
知识回顾： 有限体积法基本流程
U IJ 1 t IJ
F nds
1 IJ
Fv nds 0
无粘项常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J) 点处的物理量；
直接利用“差分格式” b. 利用该处的物理量，计算出流过AB边的流通量 迎风型方法需利用“通量分裂技术”
9
2） Roe 近似Riemann解
Riemann 问题：
U f(U) 0 t x U f(U) 0 t x
U U ( x, tn ) R U
L
Roe平均
[( L R ) / 2]2
u ( L u L R u R ) /( L R ) H ( L H L R H R ) /( L R )
计算流体力学讲义2011
第八讲 有限体积法（2）
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
通量分裂技术简述 加速收敛技术
讲义、课件上传至 (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 /browse.aspx/.Public
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2. 有限体积方法基本原理
2.3 有限体积法与差分法的比较
U F G 0
U
1
u
J v
e
U%
F
1 J
uU%
x
p
vU%
e p
Uy%p
V%
G
1 J
uV%
叶根倒角网格
2. 有限体积方法基本原理
Lax-Wendroff一类格式的一个问题：
Lax-Wendroff格式：
un1 i
uin
2
un i 1
un i 1
2
2
un i 1
2uin
un i 1
a t
x
u a
t 2x
1. 计算网格
结构化网格
优点：内存小、运算速度快、易于使用高阶格式、精度高 缺点：难以处理复杂边界问题（解决方案：多块网格、重叠 网格、Chimera网格 / Dragon网格）
非结构网格
优点：容易处理复杂边界问题 缺点：计算精度不容易保证（解决方案：结构/非结构混合 网格）、运算速度慢、内存需求大
2. 有限体积方法基本原理
2.6 边界单元的处理
网格节点有限体积离散：积分到边界
第四步：离散的控制方程组的求解
（离散系统的求解方法）
接下来的课程内容：
计算网格 有限体积方法基本原理 对流通量计算格式基本原理 时间离散及离散系统的求解方法 边界条件 湍流模型
1. 计算网格
空间离散的结构化网格：
1. 计算网格
空间离散的非结构网格：
1. 计算网格
Cartesian grid：
非连续对接网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
涡轮中的O－H型网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
涡轮中的H-C型网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
叶尖削尖处理
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
叶尖间隙内的蝶型网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
2.5 N-S方程组的有限体积离散
S
q x
dS
qdlx
S
q
x
1 S
S
q lx
＋
－
＋
－
＋
－
2. 有限体积方法基本原理
2.5 N-S方程组的有限体积离散
q
x
1 S
S
q lx
2. 有限体积方法基本原理
2.6 边界单元的处理
网格中心有限体积离散：使用虚单元方法
i, j 1
i,
j
1 2
i
1,
ji
1 2
,
j
i,
j
i 1, j
i
1 2
,
j
i,
j
1 2
i, j 1
t
QS
i, j
(Fˆ
Fˆ
)i
1 2
,
j
(Fˆ
Fˆ
)i
1 2
,
j
(Fˆ
Fˆ
)i,
j
1 2
(Fˆ
Fˆ
)i,
j
1 2
0
2. 有限体积方法基本原理
0
xx
E
xy xz
u xx v xy w xz
qx
0
yx
F
yy yz
u yx v yy w yz
qy
0
zx
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
O-H-H-H 型网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
O-H-H-H 型网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
O-H-H-H 型网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
H-I-H型网格
1. 计算网格
叶轮机械CFD中常用网格结构：
其它
Cartisian网格（高雷诺数粘性流动不好）、无网格
1. 计算网格
多块结构化网格：
1. 计算网格
1. 计算网格
结构化嵌套网格：
1. 计算网格
1. 计算网格
1. 计算网格
结构化嵌套网格：
1. 计算网格
结构化嵌套网格：
1. 计算网格
Dragon 网格：
1. 计算网格
非结构－结构化混合网格：
G
zy zz
u zx v zy w zz
qz
2. 有限体积方法基本原理
2.1 积分形式的流体控制方程组
t
Q d F
Fv
ndS
0
u
Q
w
x
p
veV%pVy%p
J
1
x y x y
x Jy
,
y Jx
,
x Jy
,
y Jx
2. 有限体积方法基本原理
2.4 Euler方程组的有限体积离散
积分形式的二维Euler方程组：
Q dS
F n dl 0
结构化网格的单元中心离散方法
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
非结构化网格的单元中心离散方法
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
结构化网格的节点中心离散方法
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
非结构化网格的节点中心离散方法
2. 有限体积方法基本原理
t S
S
Q
u
E
F
V
ppji
2. 有限体积方法基本原理
2.4 Euler方程组的有限体积离散
i, j 1
i,
j
1 2
i
1,
ji
1 2
,
j
i,
j
i 1, j
i
1 2
w
E
u
u
2
p
E uv
uw
E pu
v
v u
F v2 p
vw
E pv
w
wu
G wv
w2 p
E pw
d
V
ndS
0
t
动量守恒：
Vd
V (V
n)dS
ndS
t
能量守恒：
Ed
E(V
n)dS
V
(
n)dS
q ndS
t
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
t
Q d
F
Fv
n dS
0
t
Q i, j,k
Fˆ Fˆv n S 0
t
Q i, j,k
Ri, j,k
0
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
CFD基础与应用
有限体积方法基本原理
一个CFD计算的流程：
一个CFD计算的流程：
一个CFD计算的流程：
一个CFD计算的流程：
一个CFD计算的流程：
一个CFD计算的流程：
第一步：划定计算域
（问题的特点、边界条件、……）
第二步：生成计算网格
（计算域的空间离散）
第三步：控制方程组的离散
（方程组的空间离散、时间离散）
xxi
xy
j
fy1xiify2yjj
f1 u xx yx qx f2 u xy yy qy
ij
2Sij
2 3
ij
uk xk
uij
2. 有限体积方法基本原理
2.5 N-S方程组的有限体积离散
2.2 有限体积空间离散方法
角点格式
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
2. 有限体积方法基本原理
2.2 有限体积空间离散方法
2. 有限体积方法基本原理
2.3 有限体积法与差分法的比较
有限体积方法的优点： （1）自然保证守恒 （2）对于例如激波等弱解数学适定 （3）可在非结构网格上应用